1.2 空间向量基本定理课后同步作业-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，聚焦空间向量基本定理，分层覆盖基础概念到综合应用，梯度合理，助力知识巩固与能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一概念（基底、共线共面）|单选为主，考查理解（如第1题基底判断）| |中档|综合辨析与运算|多选填空结合，强化推理（如第8题基底性质辨析）| |提升|几何应用与综合证明|解答题综合，提升应用（如第15题长度与夹角计算）|

1.2 空间向量基本定理课后同步作业 （限时：45分钟） 1．若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】设实数使得，从而得到方程组，求出答案. 【详解】因为不能构成空间的一个基底， 所以存在实数使得，即， 即， 因为是空间的一个基底，则，解得. 故选：B. 2．在下列命题中： ①若、共线，则、所在的直线平行； ②若、所在的直线是异面直线，则、一定不共面； ③若、、三个向量两两共面，则、、三个向量一定也共面； ④已知三个向量、、，则空间任意一个向量总可以唯一表示为． 其中正确命题的个数为（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据空间向量共线，共面的性质及定理逐一分析每个选项. 【详解】对于①，若向量共线，则向量所在的直线平行，也可能重合，故①错误； 对于②，由于向量可以平移，两个向量一定共面，故②错误； 对于③，任意两个向量两两都共面，三个向量则不一定共面，例如空间直角坐标系中分别在轴上的向量两两共面，但是显然轴不共面，三个向量也不共面，故③错误； 对于④，若， 则成立，此时； 又还可以写成的形式，此时， 即表示形式并不唯一； 若，当不与向量共线时，不存在使，故④错误. 综上可知，四个命题都不正确. 故选：A. 3．如图，在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算，利用基底表示即可. 【详解】由题意，得. 4．已知正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取中点，连接，利用三角形法则和三角形重心的性质以及中线的性质即可求解. 【详解】如图，取中点，连接， 因为是的重心，， 所以 ， 所以. 故选：B 5．如图，在四面体OABC中，，，，若，且∥平面ABC，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件可知，延长与交于，连接，则由题意可得∥，令，，则利用不同的方法将用表示，可求出，然后利用三角形相似可求得结果. 【详解】由条件可知，延长与交于，连接， 因为平面， 平面，平面平面， 所以∥， 令，， 则有， ， 根据向量基底表示法的唯一性， 得解得 ∥， ，， ． 故选：D． 6．平行六面体中.则=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先表达出，两边平方后，利用空间向量数量积运算法则得到，从而求出模长. 【详解】由题意得， 故 ， 故. 故选：A 7．如图，在三棱台中，，是的中点，是的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量的线性运算和空间向量基本定理求解即可. 【详解】结合图形可知： 是的中点，,, ， 是的中点，, , 即, ，，. 故选：C. 8．（多选）已知是空间向量的一个基底，则下列说法正确的是（    ） A．若是单位正交基底，且，则 B．存在唯一有序实数对中，使得 C．若，且，则 D．也一定能构成空间向量的一个基底 【答案】AD 【分析】由模长公式可判断A；由空间向量基本定理可判断BD，由空间向量垂直的条件可判断C. 【详解】若是单位正交基底，则，且， 所以，故A正确； 是空间向量的一个基底，则不共面， 所以不存在唯一的有序实数对，使得，故B错误； 若，则或或与既不平行也不垂直，故C错误； 设，则有，方程组无解， 所以不存在，， 所以不共面，能构成空间向量的一个基底，故D正确. 故选：AD 9．（多选）(多选)如图所示，在平行六面体中，设，，，，分别是，，的中点，则下列表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据空间向量的线性运算结合基底向量求解即可. 【详解】对于A选项，因为是的中点， 所以，故A正确； 对于B选项，因为是的中点， 所以，故B错误； 对于C选项，因为是的中点， 所以，故C正确； 对于D选项，因为是的中点， 所以，故D正确. 10．（多选）在正四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C．在上的投影向量为 D．当时， 【答案】BC 【分析】求证即可判断A；B利用向量的运算化简即可；C利用基底和数量积的运算律求出，，最后利用公式化简即可；D利用基底表示，再利用数量积的运算律和定义化简即可. 【详解】连接，因为正四面体，则均为等边三角形， 又为棱的中点，则，则与不可能垂直，故A错误； ，故B正确； 设正四面体的棱长为， 则， ， 在上的投影向量为，故C正确； 因为，则为线段的中点， 则， 则 故D错误.    故选：BC 11．在正方体中，点E是上底面的中心，若，则实数______. 【答案】2 【分析】结合空间向量基本定理，利用向量的线性运算求得，即可解答. 【详解】因为 ， 又， 所以，，，所以.    故答案为：2. 12．在平行六面体中，，，，且与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，则体对角线的长度为_____ 【答案】 【分析】由空间向量的平行六面体法则可知，利用空间向量数量积的运算性质可求得的值，即为所求. 【详解】如下图所示： 由空间向量数量积的定义可知， ，， 由空间向量的平行六面体法则可知， 所以 ， 故，即体对角线的长度为. 13．如图，在平行六面体中，与的交点为. （1）设，则_____(用表示) （2）若，，则与所成角的余弦值为_____. 【答案】 / 【分析】（1）根据空间向量的线性运算求解即可； （2）根据空间向量的数量积的定义及运算律求解即可. 【详解】（1）由 . （2）由（1）知，， 则 ， 所以， 而 ， 所以， 则与所成角的余弦值为. 故答案为：；. 14．在平行六面体中，，，，为的中点，为与的交点． (1)用基底表示下列向量：，，； (2)在图中画出化简后的向量． 【答案】(1)，， (2)答案见解析 【分析】（1）根据几何体的性质，以及空间向量基本定理，用基底表示向量即可； （2）根据向量加法，求出向量即可. 【详解】（1）， ， ． （2），连接， 由于，且，所以或即为所求． 15．如图，在平行六面体中， ,,且点F为与的交点，点E在线段上，且    (1)求的长； (2)设，求x，y，z的值. (3)与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，利用条件求出，结合图形用表示，利用向量数量积的运算律计算即得的长； （2）利用条件，将用线性表示，对照已知式，即得x，y，z的值； （3）分别将与用线性表示，求出，和，再利用向量夹角的计算公式计算，即得与所成角的余弦值. 【详解】（1）设，因，， 则， 因， 则 . 即的长为； （2）由图可得： ， 因，故； （3）因，而， 则，， ， 设与所成角为，则. 即与所成角的余弦值为. 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 空间向量基本定理课后同步作业 （限时：45分钟） 1．若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B．1 C．0 D． 2．在下列命题中： ①若、共线，则、所在的直线平行； ②若、所在的直线是异面直线，则、一定不共面； ③若、、三个向量两两共面，则、、三个向量一定也共面； ④已知三个向量、、，则空间任意一个向量总可以唯一表示为． 其中正确命题的个数为（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 3．如图，在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 4．已知正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，在四面体OABC中，，，，若，且∥平面ABC，则实数（    ） A． B． C． D． 6．平行六面体中.则=（    ） A． B． C． D． 7．如图，在三棱台中，，是的中点，是的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 8．（多选）已知是空间向量的一个基底，则下列说法正确的是（    ） A．若是单位正交基底，且，则 B．存在唯一有序实数对中，使得 C．若，且，则 D．也一定能构成空间向量的一个基底 9．（多选）(多选)如图所示，在平行六面体中，设，，，，分别是，，的中点，则下列表示正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（多选）在正四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C．在上的投影向量为 D．当时， 11．在正方体中，点E是上底面的中心，若，则实数______. 12．在平行六面体中，，，，且与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，则体对角线的长度为_____ 13．如图，在平行六面体中，与的交点为. （1）设，则_____(用表示) （2）若，，则与所成角的余弦值为_____. 14．在平行六面体中，，，，为的中点，为与的交点． (1)用基底表示下列向量：，，； (2)在图中画出化简后的向量． 15．如图，在平行六面体中， ,,且点F为与的交点，点E在线段上，且    (1)求的长； (2)设，求x，y，z的值. (3)与所成角的余弦值. 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $