1.2 空间向量基本定理 课时作业-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 练习围绕空间向量基本定理，分层设计基础巩固、能力提升、综合应用三阶，覆盖基底判断、向量表示、共面条件等核心知识点，通过几何体情境深化空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|基底概念、共面条件|选择1-5、填空9-10以概念辨析为主，如正方体中基底判断，夯实空间向量基本定理理解| |提升层|向量线性表示|选择6-8、填空11-12结合中点、棱长等几何元素，如平行六面体中向量分解，培养几何直观| |综合层|定理综合应用|解答13-15以平行六面体、四面体为载体，需证明垂直与计算长度，发展逻辑推理与运算能力|

课时作业3 空间向量基本定理 一、选择题 1.在正方体中，可以作为空间向量的一组基底的是（ ） A． B． C． D． 2.如图，平行六面体中，为的中点，，，，则（ ） A． B． C． D． 3．已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，则与a，b不能构成空间基底的是(　　) A．　　　　　　　　 B． C． D．或 4．若向量，，的起点M与终点A，B，C互不重合且无三点共线，且满足下列关系(O是空间任一点)，则能使向量，，成为空间一组基底的关系的是(　　) A．＝＋＋ B．≠＋ C．＝＋＋ D．＝2－ 5．在空间四点O，A，B，C中，若{是空间的一个基底，则下列命题不正确的是(　　) A．O，A，B，C四点不共线 B．O，A，B，C四点共面，但不共线 C．O，A，B，C四点不共面 D．O，A，B，C四点中任意三点不共线 6．四面体OABC中，，点M在OA上，且，N为BC中点，则为(　　) A.a－b＋c B.－a＋b＋c C.a＋b－c D.a＋b－c 7．正方体ABCD­A′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{，，}为基底，′＝x＋y＋z，则x，y，z的值是(　　) A．x＝y＝z＝1 B．x＝y＝z＝ C．x＝y＝z＝ D．x＝y＝z＝2 8.如图，在三棱锥中，点，，分别是，，的中点，设，，，则（ ） A． B． C． D． 二、填空题 9.在四面体中，空间的一点满足，若共面，则 10．若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x，y，z，使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z满足的条件是________． 11．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋2c，若m与n共线，则x＝________；y＝________. 12．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，设，＝c，A1C1与B1D1的交点为E，则＝________. 三、解答题 13．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，设，E，F分别是AD1，BD的中点． (1)用向量a，b，c表示，； (2)若＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值． 14.如图所示，已知四面体ABCD的各棱和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点． (1)求证MN⊥AB，MN⊥CD； (2)求MN的长． 15.如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，， （1）用表示； （2）求对角线的长； （3）求 课时作业3 空间向量基本定理 (答案） 一、选择题 1.在正方体中，可以作为空间向量的一组基底的是（ ） A． B． C． D． 解析:共面，排除A共面，排除B共面，排除D三个向量是不共面的，可以作为一个基底.故选：C 2.如图，平行六面体中，为的中点，，，，则（ ） A． B． C． D． 解析：为的中点， ． 故选：B． 3．已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，则与a，b不能构成空间基底的是(　　) A．　　　　　　　　 B． C． D．或 解析：选C　∵＝(a－b)，∴与a，b共面，∴a，b，不能构成空间基底． 4．若向量，，的起点M与终点A，B，C互不重合且无三点共线，且满足下列关系(O是空间任一点)，则能使向量，，成为空间一组基底的关系的是(　　) A．＝＋＋ B．≠＋ C．＝＋＋ D．＝2－ 解析：选C　A中，因为＋＋＝1，所以M，A，B，C共面；B中，≠＋，但可能＝λ＋μ，所以M，A，B，C四点可能共面；D中，因为＝2－，所以M，A，B，C四点共面．故选C. 5．在空间四点O，A，B，C中，若{是空间的一个基底，则下列命题不正确的是(　　) A．O，A，B，C四点不共线 B．O，A，B，C四点共面，但不共线 C．O，A，B，C四点不共面 D．O，A，B，C四点中任意三点不共线 解析：选B　选项A对应的命题是正确的，若四点共线，则向量共面，构不成基底；选项B对应的命题是错误的，若四点共面，则共面，构不成基底；选项C对应的命题是正确的，若四点共面，则构不成基底；选项D对应的命题是正确的，若有三点共线，则这四点共面，向量构不成基底． 6．四面体OABC中，，点M在OA上，且，N为BC中点，则为(　　) A.a－b＋c B.－a＋b＋c C.a＋b－c D.a＋b－c 解析：选B　 ＝ ＝－ ＝－a＋b＋c. 7．正方体ABCD­A′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{，，}为基底，′＝x＋y＋z，则x，y，z的值是(　　) A．x＝y＝z＝1 B．x＝y＝z＝ C．x＝y＝z＝ D．x＝y＝z＝2 解析：选A　′＝′＋＋ ＝(＋)＋(′＋)＋(′＋) ＝＋′＋′ ＝＋＋， 由空间向量基本定理，得x＝y＝z＝1. 8.如图，在三棱锥中，点，，分别是，，的中点，设，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】连接 分别为中点 故选： 二、填空题 9.在四面体中，空间的一点满足，若共面，则 解析：由共面知， 答案： 10．若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x，y，z，使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z满足的条件是________． 解析：若x≠0，则a＝－b－c，即a与b，c共面．由{a，b，c}是空间的一个基底知a，b，c不共面，故x＝0，同理y＝z＝0. 答案：x＝y＝z＝0 11．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋2c，若m与n共线，则x＝________；y＝________. 解析：因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋2λc， 于是有解得 答案：2　－2 12．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，设，＝c，A1C1与B1D1的交点为E，则＝________. 解析：如图，＝＋＝＋(＋)＝＋(－)＝－a＋b＋c. 答案：－a＋b＋c 三、解答题 13．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，设，E，F分别是AD1，BD的中点． (1)用向量a，b，c表示，； (2)若＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值． 解：(1)如图，＝＋＝－＋－＝a－b－c， ＝＋＝＋＝－(＋)＋(＋)＝(a－c)． (2)＝(＋) ＝(－＋) ＝(－c＋a－b－c) ＝a－b－c， ∴x＝，y＝－，z＝－1. 14.如图所示，已知四面体ABCD的各棱和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点． (1)求证MN⊥AB，MN⊥CD； (2)求MN的长． 解：(1)证明：设＝p，＝q，＝r， 由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p，q，r三向量的两两夹角均为60°. ＝－＝(＋)－ ＝(q＋r－p)， ·＝(q＋r－p)·p＝(p·q＋p·r－p2) ＝(a2cos 60°＋a2cos 60°－a2)＝0， ∴⊥，即MN⊥AB，同理可证MN⊥CD. (2)由(1)可知＝(q＋r－p)， ∴||2＝(q＋r－p)2 ＝[q2＋r2＋p2＋2(q·r－p·q－r·p)] ＝＝×2a2＝， ∴|MN|＝a，∴MN的长为a. 15.如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，， （1）用表示； （2）求对角线的长； （3）求 解析：（1）连接,，，如图： ，， 在，根据向量减法法则可得： 底面是平行四边形 且 又为线段中点 在中 （2）顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是 由（1）可知 平行四边形中 故： 故：对角线的长为：. （3）， 又 学科网（北京）股份有限公司 $