第1章 勾股定理 单元检测 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 以勾股定理为核心，融合数学文化（如《算法统宗》秋千问题）、生活实践（卡车过隧道、蚂蚁爬行）及几何模型（最短路径、折叠问题），体现培优导向的问题设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|直角三角形边长计算（1题）、半圆隧道问题（2题）、数学文化应用（3题）|基础巩固与空间观念结合| |填空题|5/15|折叠问题（12题）、正方形面积与勾股定理（11题）、动态最值（13题）|能力提升与几何直观并重| |解答题|7/61|赵爽弦图与总统证法（16题）、最短路径建模（19题）、综合几何证明（20题）|创新应用与推理能力融合|

2026年北师大版数学八年级上册 勾股定理 单元检测（培优） 说明： 1．答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡定的位置上，并将条形码粘贴好． 2．考试时间90分钟，满分100分． 3．作答选择题1-8，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题9—20，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案（含作辅助线）写在答题卡指定区域内．写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效． 4．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1．若一直角三角形两边长分别为和，则第三边长为（     ）． A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】根据题意，两条边中的较长边既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：当是斜边时，第三边是； 当是直角边时，第三边是， 故选：． 【点睛】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理及其应用是解题的关键． 2．一辆装满货物，宽为1.6米的卡车，欲通过如图所示的隧道（隧道下方为长方形，上方为半圆形拱门），则卡车的外形不得高于（   ） A．3.1米 B．3米 C．2.9米 D．2.8米 【答案】C 【分析】本题考查圆的半径与勾股定理的实际应用，涉及知识点：半圆的半径性质、勾股定理求线段长度．先确定半圆半径，结合卡车宽度得水平距离，用勾股定理求半圆内的垂直高度，再与长方形高度相加得卡车最大允许高度． 【详解】解：由图形可得，（米），（米）， ， ， ， 解得：， ， （米）， ∴卡车的外形不得高于米． 故选C． 3．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？” 译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”    若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设秋千的绳索长为 尺，根据题意可得 尺，利用勾股定理可得方程，即可求解． 【详解】解：设秋千的绳索长为尺，则尺 由题意可知：尺，尺，则尺，则尺， 由勾股定理可得：， 则可列方程为：． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出 的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方． 4．如图、在中，，以为边在外作正方形，其面积为，以为斜边在外作等腰直角三角形，其面积为，过点作交于点，则（   ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理解三角形，属于基础题，熟练掌握勾股定理解三角形是解决本题的关键．根据题意，可知 通过求出的长，已知正方形的面积，可求出边长的长，由勾股定理求得的长，利用面积法求出的长，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， 以为边在外作正方形，其面积为，以为斜边在外作等腰直角三角形，其面积为， ∴ ∴， ∴ ∵ ， ∵ ∴ ∴ ∴ 故选：． 5．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘，点E在上，，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为（   ）米．（边缘部分的厚度忽略不计） A．25 B．24 C．26 D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，要求滑行的最短距离，需将该型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，型池的侧面展开图是一个矩形，此矩形的宽等于半径为的半圆的弧长，矩形的长等于． 【详解】解：如图是其侧面展开图：，，， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， 故他滑行的最短距离约为． 故选：A． 6．如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点处有滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜂蜜点的最短距离为（    ）    A．8 B．10 C．8 D．12 【答案】B 【分析】利用展开图，轴对称，勾股定理计算即可． 【详解】如图，根据题意，，    作点Ａ关于直线的对称点Ｇ，连接，则为所求最小值， 则， 过点作，交的延长线于点Ｅ， 则四边形是矩形， 故， 故， 故， 故选Ｂ． 【点睛】本题考查了圆柱的展开图，轴对称，勾股定理，熟练掌握轴对称，勾股定理是解题的关键． 7．如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE＝a，HG＝b，则斜边BD的长是（　　） A．a+b B．a﹣b C． D． 【答案】C 【分析】解：设CD=x，则DE=a-x，求得AH=CD=AG-HG=DE-HG=a-x-b=x，求得CD= ，得到BC=DE=，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】设CD＝x，则DE＝a﹣x， ∵HG＝b， ∴AH＝CD＝AG﹣HG＝DE﹣HG＝a﹣x﹣b＝x， ∴x＝， ∴BC＝DE＝a﹣＝， ∴BD2＝BC2+CD2＝（）2+（）2＝， ∴BD＝， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，正确的识别图形,用含的式子表示各个线段是解题的关键． 8．如图，在中，，以，和为边向上作正方形和正方形和正方形，点G落在上，若，空白部分面积为，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，推出，根据勾股定理得到，解方程组得到，接着由图可知空白部分为重叠部分，阴影部分为非重叠部分，所以2倍的空白部分与阴影部分面积和等于三个正方形与三角形面积和．结合即可得出结论． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 即， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 阴影部分的面积和 三个正方形面积三角形面积倍空白部分面积， ； 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理的相关知识，有一定难度；解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．已知，在中，，，边上的高，则边的长为______． 【答案】10或2 【分析】分两种情况讨论：高在内部和高在外部，利用勾股定理分别求出，的长度，再计算的长即可． 【详解】解：∵ 是边上的高， ∴ ， ①当高在内部时， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， 此时； ②当高在外部时， 同理可得，， 此时． 综上，的长为2或10． 10．小亮在一个科学实验课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠进小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的O、A、B、C、D均在同一平面上），过点作于点．现已知，测得，则的长为___________________cm． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用证明得到，然后根据勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】解：， ， 又，， ， ， ． 在和中， ，，， ， ， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：35． 11．如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】5 【分析】本题考查了勾股定理、正方形的性质以及三角形面积，解题的关键是根据勾股定理得到． 由勾股定理得，再由正方形面积公式得，求出，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：是以为斜边的直角三角形， ， ， ， ， 如图所示， ∴， ∵阴影部分的面积为，与正方形等底等高， 阴影部分的面积为， 故答案为：． 12．如图，在中，，D、E分别为，上一点，将，分别沿、折叠，点A、B恰好重合于点处．若，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了翻折的性质，勾股定理，解题的关键是：熟练掌握翻折的性质与勾股定理解三角形．根据翻折的性质得到，，由，即可得到，由折叠的性质可得：，，设，在中，根据勾股定理即可求出， 【详解】解：由折叠的性质可得，，， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：，， 设，则， 在中，， 即：， 解得：， ∴， 故答案为：． 13．如图，在四边形中，，连接，，，点分别在边上，且，连接，若，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】延长至点H使，连接，构造可得，即可得的最小值为，通过勾股定理即可求解． 【详解】解：延长至点H使，连接如图： ，， ， ， ， ，， ， ， ， 的最小值为， 的最小值为， 在中， ． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定及性质，平行线的判定及性质，勾股定理及其逆定理，两点之间线段最短等知识，解题关键是构造全等三角形，题目难度大，是中考常考题型． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分） 14．在“欢乐周末·非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明． 【答案】(1) (2)不能成功，理由见解析． 【分析】（1）过点作于点，在中，根据勾股定理即可求解；（2）假设能上升，作图，根据勾股定理可得，再根据题意，，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， 过点作于点，则，，， 在中，， ； （2）不能成功，理由如下：假设能上升，如图所示， 延长至点，连接，则， ， 在中，， ，余线仅剩， ， 不能上升，即不能成功． 15．在数学活动课上，老师让学生用勾股定理内容设计一个测量旗杆的高度的方案．下面是小明同学的设计方案，请根据小明的设计方案计算出旗杆的高度． 课题 测量学校旗杆高度 工具 皮尺 方案 测量过程： 步骤一：如图1，线段AB表示旗杆高度，AB垂直地面于点B，将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段BC，用皮尺测出BC的长度； 步骤二：如图2，将绳子拉直，并且使绳子末端D处恰好接触地面，用皮尺测出BD距离． 数据 绳子垂到地面多出部分为1米 绳子末端D到旗杆的水平距离为5米 【答案】旗杆的高度为12米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理建立方程是解问题的关键． 先设旗杆的高度，并表示绳子的长度，再根据勾股定理列方程，求出解即可． 【详解】解：由图1可得绳子的长度比旗杆的高度多1米， 设旗杆长为米，则绳子长为米 由图2可得，在中，米， 由勾股定理得： ， 解得：， 米， 答：旗杆的高度为12米． 16．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论． 【方法运用】（1）千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2中的，，用两种方法表示出梯形的面积，说明勾股定理； 【方法迁移】（2）如图3，每个小方格的边长为1，点，，分别在格点上，连接点，，可得，求边上的高； 【方法拓展】（3）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 【答案】 （1）证明：∵ ； 又， ， ∴， ； （2）； （3） 【分析】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，掌握利用面积证明勾股定理是解本题的关键． （1）利用直角梯形的面积的两种表示，列式化简即可得证； （2）设中边上的高为，计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高； （3）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可． 【详解】解：（1）略 （2），， 设中边上的高为， ， ∴，即边上的高是； （3）在中， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴． 17．阅读理解： 【问题情境】 教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？请你帮忙完成． 【探索新知】 从面积的角度思考，大正方形的面积小正方形的面积个直角三角形的面积． 请用含有的代数式表示以上面积： 大正方形的面积___________； 小正方形的面积个直角三角形的面积=___________； 从而得出数学等式：___________； 化简证得勾股定理． 【知识迁移】 （1）将图1中上方的两直角三角形纸片向内折叠，如图2，若，，此时空白部分的面积为___________； （2）将这四个直角三角形纸片紧密地拼接，形成飞镖状，如图3，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该飞镖状图案的面积． 【拓展延伸】 如图4，中，平分是线段上一动点（不与点，点重合），是线段上一动点（不与点，点重合），直接写出的最小值． 【答案】探索新知：，，；知识迁移：（1）；（2）；拓展延伸： 【分析】本题考查的是勾股定理的证明与应用，完全平方公式的应用，轴对称的性质，作出合适的辅助线是解题的关键. 探索新知：如图1，求出小正方形的面积，大正方形的面积即可． 知识迁移：（1）根据空白部分的面积小正方形的面积个直角三角形的面积计算即可． （2）可设，根据勾股定理列出方程可求，再根据直角三角形面积公式计算即可求解； 拓展延伸：如图，作关于角平分线的对称点，连接，可得，当三点共线且时，，此时最小；再进一步求解即可. 【详解】解：探索新知： 从面积的角度思考，大正方形的面积小正方形的面积个直角三角形的面积． 大正方形的面积； 小正方形的面积个直角三角形的面积； 从而得出数学等式：； 化简证得勾股定理． 知识迁移： （1）由题意得： 空白部分的面积为． （2）∵， 设，依题意有 ， 解得：， ∴ ． 故该飞镖状图案的面积是24． 拓展延伸：如图，作关于角平分线的对称点，连接， ∴， 当三点共线且时，，此时最小； ∵中，， ∴， ∵， ∴. ∴的最小值为. 18．已知和都是等腰直角三角形，．    (1)【发现问题】 如图1，若D为内部一点，AE与BD的数量关系是______； (2)【探索证明】 如图2，若D为AB边上一点，，，求DE的长． (3)【学于致用】 运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，已知，，，，求AE的长． 【答案】(1)；理由： 如图    和都是等腰直角三角形， ． (2) (3) 【分析】（1）证明即可得； （2）方法同（1）证明，从而 ，最后由勾股定理即可求得； （3）根据（1）（2）的方法作点关于对称点，连接，，，证明=，通过证明 得，在中用勾股定理求得的长． 【详解】（1）略． （2）如图      和都是等腰直角三角形， , ， 在中， ． （3）如图：作点关于对称点，连接，，，    则,， 又 在与中 在中 =， ． 【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，找到三角形全等的条件或通过辅助线构造三角形全等的条件是解题的关键． 19．“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题． 几何模型在最短路径问题中的应用 素材一 提出问题：求代数式的最小值． 素材二 建立模型：可看作直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．因此，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上（如图1所示），这时，．原问题就变成“点在线段的何处时，的值最小？” 素材三 解答过程：如图2连接，交于点，此时的值最小，将延长至使得，连接，则．，在中，，，的最小值是13． 问题解决 任务一 根据以上学习：代数式的最小值为___________． 任务二 知识运用：如图，一条河的两岸平行，河宽，村庄到河岸的垂直距离为村庄到河岸的垂直距离为，且、到河岸的垂足之间的水平距离为．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从到，过桥，再从到的路程最短，则最短路程为___________km． 任务三 思维拓展：已知正数满足，求的值． 【答案】任务一：；任务二：18；任务三：的值为 【分析】本题主要考查轴对称求最短距离、勾股定理等知识点，灵活应用勾股定理是解题的关键． （1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （2）将实际问题转化成已建立的模型求解即可； （3）如图4构造△ABC，于D，，设，则，，易证；再用等面积法即可求得，再验证即可解答． 【详解】解：任务一：如图，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，，， 连接，交于点，此时的值最小，将延长至使得，连接， ．， 在中，， ， ∴代数式的最小值为． 故答案为：． 任务二：如图：为总路程，由于，则要求的最小值，只需求得， 如图：将点向上平移得到，此时共线，；延长到使，则四边形是长方形，连接交于，此时的最小值为． 由题意可得：，， ∴的最小值为． ∴最短路程为． 故答案为：18． 任务三：解：如图，构造，于D，， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴的值为． 20．【问题呈现】“一直线三等角”，是几何证明的常见模型． （1）如图1，和均为等边三角形，点D为边上一个动点，，点O为边中点，连接，写出图中全等的三角形______．线段的最小值______． 【问题探索】 （2）是等腰直角三角形，，点E是上一点，，交于D． ①如图①试探究数量关系，并给予证明； ②如图②，若，点F是的中点，求的长． 【灵活运用】 （3）如图3，四边形中，对角线相交于点E，，，求四边形的面积． 【答案】（1），； （2）①解：，证明如下： 如图所示，过点C作交延长线与F，连接， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理得， 在中， 由勾股定理得， ∴； ②； （3）． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质等等： （1）连接，证明，得到，则，可得点E在射线上运动，故当时，有最小值，此时，据此求解即可； （2）①如图所示，过点C作交延长线与F，连接，证明是等腰直角三角形，得到，再证明，，得到，则，由勾股定理即可得到；②如图所示，过点C作于G，则，进而得到，再求出，由勾股定理得； （3）如图所示，在延长线上截取，连接，过点A作于H证明，得到，在中，，则，可得，，再由即可得到答案． 【详解】解：（1）如图所示，连接， ∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点E在射线上运动， ∴当时，有最小值， ∴此时， ∵点O为边中点， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为； （2）①略 ②如图所示，过点C作于G， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得； （3）如图所示，在延长线上截取，连接，过点A作于H， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 试卷第6页（共26页） 试卷第7页（共26页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年北师大版数学八年级上册 勾股定理 单元检测（培优） 说明： 1．答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡定的位置上，并将条形码粘贴好． 2．考试时间90分钟，满分100分． 3．作答选择题1-8，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题9—20，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案（含作辅助线）写在答题卡指定区域内．写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效． 4．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1．若一直角三角形两边长分别为和，则第三边长为（     ）． A．或 B．或 C．或 D． 2．一辆装满货物，宽为1.6米的卡车，欲通过如图所示的隧道（隧道下方为长方形，上方为半圆形拱门），则卡车的外形不得高于（   ） A．3.1米 B．3米 C．2.9米 D．2.8米 3．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？” 译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”    若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（    ）． A． B． C． D． 4．如图、在中，，以为边在外作正方形，其面积为，以为斜边在外作等腰直角三角形，其面积为，过点作交于点，则（   ） A． B． C． D．4 5．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘，点E在上，，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为（   ）米．（边缘部分的厚度忽略不计） A．25 B．24 C．26 D． 6．如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点处有滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜂蜜点的最短距离为（    ）    A．8 B．10 C．8 D．12 7．如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE＝a，HG＝b，则斜边BD的长是（　　） A．a+b B．a﹣b C． D． 8．如图，在中，，以，和为边向上作正方形和正方形和正方形，点G落在上，若，空白部分面积为，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．已知，在中，，，边上的高，则边的长为______． 10．小亮在一个科学实验课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠进小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的O、A、B、C、D均在同一平面上），过点作于点．现已知，测得，则的长为___________________cm． 11．如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为___________． 12．如图，在中，，D、E分别为，上一点，将，分别沿、折叠，点A、B恰好重合于点处．若，，则______． 13．如图，在四边形中，，连接，，，点分别在边上，且，连接，若，则的最小值为_________． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分） 14．在“欢乐周末·非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明． 15．在数学活动课上，老师让学生用勾股定理内容设计一个测量旗杆的高度的方案．下面是小明同学的设计方案，请根据小明的设计方案计算出旗杆的高度． 课题 测量学校旗杆高度 工具 皮尺 方案 测量过程： 步骤一：如图1，线段AB表示旗杆高度，AB垂直地面于点B，将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段BC，用皮尺测出BC的长度； 步骤二：如图2，将绳子拉直，并且使绳子末端D处恰好接触地面，用皮尺测出BD距离． 数据 绳子垂到地面多出部分为1米 绳子末端D到旗杆的水平距离为5米 16．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论． 【方法运用】（1）千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2中的，，用两种方法表示出梯形的面积，说明勾股定理； 【方法迁移】（2）如图3，每个小方格的边长为1，点，，分别在格点上，连接点，，可得，求边上的高； 【方法拓展】（3）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 17．阅读理解： 【问题情境】 教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？请你帮忙完成． 【探索新知】 从面积的角度思考，大正方形的面积小正方形的面积个直角三角形的面积． 请用含有的代数式表示以上面积： 大正方形的面积___________； 小正方形的面积个直角三角形的面积=___________； 从而得出数学等式：___________； 化简证得勾股定理． 【知识迁移】 （1）将图1中上方的两直角三角形纸片向内折叠，如图2，若，，此时空白部分的面积为___________； （2）将这四个直角三角形纸片紧密地拼接，形成飞镖状，如图3，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该飞镖状图案的面积． 【拓展延伸】 如图4，中，平分是线段上一动点（不与点，点重合），是线段上一动点（不与点，点重合），直接写出的最小值． 18．已知和都是等腰直角三角形，．    (1)【发现问题】 如图1，若D为内部一点，AE与BD的数量关系是______； (2)【探索证明】 如图2，若D为AB边上一点，，，求DE的长． (3)【学于致用】 运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，已知，，，，求AE的长． 19．“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题． 几何模型在最短路径问题中的应用 素材一 提出问题：求代数式的最小值． 素材二 建立模型：可看作直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．因此，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上（如图1所示），这时，．原问题就变成“点在线段的何处时，的值最小？” 素材三 解答过程：如图2连接，交于点，此时的值最小，将延长至使得，连接，则．，在中，，，的最小值是13． 问题解决 任务一 根据以上学习：代数式的最小值为___________． 任务二 知识运用：如图，一条河的两岸平行，河宽，村庄到河岸的垂直距离为村庄到河岸的垂直距离为，且、到河岸的垂足之间的水平距离为．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从到，过桥，再从到的路程最短，则最短路程为___________km． 任务三 思维拓展：已知正数满足，求的值． 20．【问题呈现】“一直线三等角”，是几何证明的常见模型． （1）如图1，和均为等边三角形，点D为边上一个动点，，点O为边中点，连接，写出图中全等的三角形______．线段的最小值______． 【问题探索】 （2）是等腰直角三角形，，点E是上一点，，交于D． ①如图①试探究数量关系，并给予证明； ②如图②，若，点F是的中点，求的长． 【灵活运用】 （3）如图3，四边形中，对角线相交于点E，，，求四边形的面积． 试卷第4页（共8页） 试卷第3页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $