第二章 有理数的运算 单元测试2026-2027学年人教版七年级数学上册

**基本信息** 人教版七年级数学上册第二章有理数运算单元卷，以基础运算为核心，融合祖冲之圆周率、结绳计数等文化素材与温度变化、年龄问题等生活情境，通过数轴规律探究、除方新定义等题设计，考查运算能力与推理意识，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|12|倒数、乘方、近似数等|第8题数轴蜗牛移动规律，第12题结绳计数文化情境| |填空题|8|精确度、科学记数法等|第20题“24点”游戏，第18题正负数实际应用| |解答题|6|混合运算、新定义等|第24题圆片滚动结合数轴与正负数，第26题除方新定义考查创新思维|

第二章 有理数的运算 单元测试2026-2027学年人教版 七年级数学上册 一、单选题 1．若a的倒数是，那么a是（   ） A． B． C． D． 2．下列算式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 3．已知圆周率，将π精确到百分位的结果是（   ） A．3.1 B．3.14 C．3.141 D．3.142 4．把写成省略括号和加号的形式为（    ） A． B． C． D． 5．为了计算简便，把写成省略加号的和的形式，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 6．一天早晨某草原的气温是，中午上升了，则这天中午的气温是（    ） A． B． C． D． 7．（　　） A．2 B． C．1 D．4 8．一只蜗牛从数轴的原点出发，第一次向正方向移动1个单位，第二次向反方向移动2个单位，第三次向正方向移动3个单位，第四次向反方向移动4个单位，，按这样的规律则蜗牛第101次移动后在数轴上的位置所表示的有理数是（   ） A． B．50 C． D．51 9．下列各算式中，不能利用乘法分配律进行简便运算的是（   ） A． B． C． D． 10．6年前，母亲的年龄是女儿的5倍；6年后，母亲和女儿的年龄和是78岁，则2年后母亲的年龄是（    ） A．45岁 B．51岁 C．53岁 D．63岁 11．计算，，，，联系这类具体的数的乘方，你认为当时，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 12．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位书生坚持每天五更起床读书，为了勉励自己，他用“结绳计数”的方法来记录自己读书的天数，如图是他从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，表示的天数为天，按同样的方法，图表示的天数是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 13．祖冲之是我国杰出的数学家，他首次将圆周率精算到小数第七位，即，取近似值是精确到______位． 14．中国的森林面积大约为公顷，将其还原为原数是__________． 15．如图，在数轴上点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是的倒数．若将数轴折叠，使得点与点重合，则与点重合的点表示的数是________． 16．名同学同台演出，演出中每名同学需相互握一次手，则握手的次数一共____次. 17．当整数为______时，；若是正整数，则______． 18．6个小朋友参加实验小学一年级跳绳比赛，其中2号小朋友跳了100下，王老师把比赛成绩记录成表．那么这组小朋友平均每人实际跳了________下；如果将1号小朋友的成绩记作0，那么3号小朋友的成绩应记作________． 编号 1号 2号 3号 4号 5号 6号 成绩/下 0 19． _________. 20．你会玩“24点”游戏吗？规则：任取四个整数（每个数用且只能用一次，可以加括号）进行加、减、乘、除四则运算，算其结果等于24或．现在四个数分别是、、3、5，请根据规则写出结果为24或的等式__________________ 三、解答题 21．计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 22．如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）． (1)当小明输入4，7这两个数时，则两次输出的结果依次为________，________； (2)你认为当输入数等于________（写出一个即可），其输出结果为0； (3)你认为这个“数值转换机”不可能输出________（填“正数”、“0”、“负数”） 23．小明与小红同学计算的过程如下： 小明： 原式（第一步） （第二步） （第三步） 小红： 原式 （第二步） （第三步） （第四步） (1)小明与小红在计算中均出现了错误，请分别指出他们开始出错的步骤． (2)请写出正确的解答过程． 24．如图，直径为个单位长度的圆片上有一点A与数轴上的原点重合．    (1)把圆片沿数轴向左滚动半周，点到达数轴上点的位置，点对应的数是　 　； (2)把圆片沿数轴滚动周，点到达数轴上点的位置，点对应的数是　 　； (3)圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，滚动次的情况记录如下：，，，，． ①当圆片结束滚动时，求点对应的数是多少？ ②在滚动过程中，共经过　 　次数轴上表示的点；第　 　次滚动后，点距离原点最远． 25．综合与实践 【实践探究】 课堂上老师给出一道计算题，计算：．同学们积极思考，主动出击，有三位同学的做法如下： 甲：原式 ． 乙：原式． 丙：原式的倒数为 ． 故原式． 认真阅读，请解答下列问题： （1）上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，也有正确的解法，你认为甲、乙、丙谁的解法是错误的，谁的解法是正确的． 【小试牛刀】 （2）用甲、乙、丙的所有正确的解法进行解答，计算：． 【拓展延伸】 （3）用甲、乙、丙的所有正确的解法中，你认为比较简便一种解法进行解答，计算； 26．规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作，读作“a的圈n次方”．请你阅读以上材料并完成下列问题： 【直接应用】（1）直接写出计算结果：______，______； 【归纳总结】（2）提出问题：我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 仔细思考：将下列运算结果直接写成幂的形式．_______；_______；_______． 归纳总结：______，要使以上等式成立，a应满足的条件是_______． 【灵活应用】（3）计算：． 【拓展提升】（4）试说明： 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D B C B B D D D C B B 1．【答案】C 【知识点】倒数 【分析】根据倒数的定义计算a的值即可得到答案． 【详解】解：∵a的倒数是， ∴． 2．【答案】D 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查有理数的乘方运算，根据乘方的定义计算每个选项，即可判断正误． 【详解】解：对选项A， ， A错误； 对选项B， ， B错误； 对选项C， ， C错误； 对选项D， ， D正确． 3．【答案】B 【知识点】求一个数的近似数 【分析】精确到百分位即保留小数点后两位，只需观察千分位数字进行四舍五入即可得到结果． 【详解】将π精确到百分位的结果是3.14． 4．【答案】C 【知识点】省略加法和括号的形式 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，去括号时，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都不改变符号，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都改变符号，据此求解即可． 【详解】解：把写成省略加号和的形式为， 故选：C． 5．【答案】B 【知识点】有理数加法中的符号问题 【分析】根据去括号法则化简，再判断即可． 【详解】原式=． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了去括号法则，即括号前是“+”，去掉后，括号内不变号，括号前是“－”，去掉后，括号内变号． 6．【答案】B 【知识点】有理数加法在生活中的应用 【分析】本题主要考查了有理数加法运算的应用，根据温度变化直接计算即可． 【详解】解：∵早晨气温为，中午上升了， ∴中午气温． 故选：B． 7．【答案】D 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，需按照从左到右的顺序进行计算，并注意负号的处理. 【详解】解： 原式   故选：D 8．【答案】D 【知识点】有理数加减中的简便运算、数轴上的规律探究 【分析】本题主要考查了数轴及数字的变化类，熟练掌握数轴上点的移动规律是解题的关键．数轴上点的移动规律是“左减右加”．依据规律列式计算即可． 【详解】解： ． 故选：D． 9．【答案】D 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查的知识点是乘法分配律的应用，解题关键是熟练掌握乘法分配律． 乘法分配律适用于算式中存在加法或减法的情况，据此对选项进行逐一判断即可得解． 【详解】解：、，可以利用乘法分配律进行简便运算，不符合题意； 、，可以利用乘法分配律进行简便运算，不符合题意； 、，可以利用乘法分配律进行简便运算，不符合题意； 、仅为有理数相乘，无加减法，不能利用乘法分配律进行简便运算，符合题意． 故选：． 10．【答案】C 【知识点】有理数除法的应用 【分析】本题考查了有理数的混合运算，年龄问题．6年后母女年龄和是78岁，可以求出母女今年年龄和是（岁）．6年前母女年龄和是（岁）．又根据6年前母女年龄和与母亲年龄是女儿的5倍，可以求出6年前母亲年龄，再求出母亲今年的年龄，据此解答即可． 【详解】解：母女今年年龄和：（岁）， 母女6年前年龄和：（岁）， 母亲6年前的年龄：（岁）， 母亲今年的年龄：（岁）， 2年后母亲的年龄是（岁）， 故选：C． 11．【答案】B 【知识点】乘方运算的符号规律 【分析】本题考查了有理数乘方的符号规律，掌握有理数乘方的符号规律是解题的关键． 根据负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数判断即可． 【详解】解：当时，∴，故A选项错误； 根据有理数乘方法则，互为相反数的两个数的偶次幂相等，，故B选项正确； 当时，，而，故C选项错误； 当时，，而，故D选项错误． 故选B． 12．【答案】B 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意可得，图表示的天数是，然后通过运算法则即可求解，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得，图表示的天数是 ， 故选：． 13．【答案】百分 【知识点】求近似数的精确度 【分析】根据近似数的精确度，近似值的最后一位数字4位于百分位，因此精确到百分位． 【详解】解：的近似值中，数字4在百分位上，故精确到百分位． 故答案为：百分． 14．【答案】128600000 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数 【详解】解：． 15．【答案】 【知识点】数轴上两点之间的距离、倒数、数轴上的翻折 【分析】本题考查了倒数定义，数轴折叠问题，由题可知的倒数为，则点表示，又、重合，故有折痕点，从而可得与重合的点表示的数为，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题可知：的倒数为， ∴点表示， ∵、重合， ∴折痕点：， ∴与重合的点表示的数为：， 故答案为：． 16．【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】考查有理数乘除运算．解题关键是注意每一次握手对每个人来说重复算了一次． 根据每两个人都握手次可得每个同学参与了次握手，但每一次握手算了次，由此列式计算即可． 【详解】解：有名同学，每个人握手的次数为次， ∵每两个人握手一次， ∴他们握手的总次数为次． 故答案为：． 17．【答案】 奇数 0 【知识点】有理数的乘方运算、乘方运算的符号规律 【分析】的奇次方为，的偶次方为；再分类讨论即可得到答案． 【详解】解：当整数为奇数时，； 当整数为奇数时，则为偶数， ∴， 当整数为偶数时，则为奇数， ； 故答案为：奇数，0 【点睛】本题考查的是负1的奇次方与偶次方，熟记乘方的含义与乘方的符号确定方法是解本题的关键． 18．【答案】 102 +2 【知识点】有理数加减混合运算的应用、正负数的实际应用 【分析】本题主要考查了正负数的应用，有理数的混合运算应用，解决此题的关键是正确的计算；先算出总成绩，即可算出平均数；根据正负数的意义得到第二空的答案即可； 【详解】解：（下）， （下）， 答：平均每个小朋友跳102下． ， 如果将1号小朋友的成绩记作0，那么3号小朋友的成绩应记作． 故答案为：102；． 19．【答案】 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】本题考查有理数的加减法，把两个数结合为一组，进行计算即可求解 【详解】解： ， 故答案为. 20．【答案】（答案不唯一） 【知识点】算“24”点 【详解】解：依题意可得（答案不唯一）． 21．【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算 【分析】按照有理数混合运算的法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 22．【答案】(1)1；2 (2)0 (3)负数 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了倒数、相反数和绝对值的知识，弄清题中的图表表示的意义是解题的关键． （1）分别将4、7代入数值转换机，计算即可得出结果； （2）当输入数字为0时得到的结果为0； （3）根据“数值转换机”即可得到答案． 【详解】（1）解：若输入数字为4时，，得到， ∵， ∴得到相反数为1，倒数为1， ∴输出结果为1； 若输入数字为7时，，得到，得到相反数为，绝对值为2， ∴输出结果为2； 故答案为：1，2； （2）解：根据题意，输入数字为0时， ∴得到相反数为0，不是正数， ∴取绝对值为0， ∴结果为0， 故答案为：0； （3）解：这个“数值转换机”不可能输出负数， 根据“数值转换机”可得，最后一步时，为正数时取倒数，为非正数时取绝对值， ∴这个“数值转换机”不可能输出负数， 故答案为：负数． 23．【答案】(1)小明：第一步，小红：第二步 (2) 解： 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）小明：第一步将错误地计算为，小红：第二步应该按照从左到右的顺序计算 （2）根据有理数的混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解：小明：第一步开始出错，小红：第二步开始出错 （2）略 24．【答案】(1) (2)或6 (3)①；②； 【知识点】用数轴上的点表示有理数、正负数的实际应用、有理数的减法运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算、圆的周长公式，数轴； （1）利用圆的周长以及滚动周数，结合数轴，即可得出点C对应的数； （2）利用圆的周长以及滚动周数，结合数轴，即可得出点D对应的数； （3）①利用滚动的方向即周数，结合数轴，算出最后A点位置；②根据（1）得出圆片沿数轴滚动周，点在数轴上是个单位，然后再根据圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，滚动次的记录分别得出滚动过程，即可得出答案． 【详解】（1）解： ， 把圆片沿数轴向左滚动半周，点到达数轴上点的位置，点对应的数是， 故答案为：； （2）解： ， 把圆片沿数轴滚动周，点到达数轴上点的位置，点对应的数是或6， 故答案为：或6； （3）解：①，即向左滚动了周， ， 圆片结束滚动时，点对应的数是； ②第次：从滚动到了，经过数轴上表示的点； 第次：从滚动到了，经过数轴上表示的点； 第次：从滚动到了，经过数轴上表示的点； 第次：从滚动到了，经过数轴上表示的点； 第次：从滚动到了，不经过数轴上表示的点； 共有次经过数轴上表示的点，第次滚动后，点距离原点最远． 故答案为：，． 25．【答案】（1）甲的解法错误，乙与丙的解法正确；（2）；（3） 【知识点】有理数乘法运算律、有理数的除法运算 【分析】本题考查了有理数的乘除运算法则，利用一个非零数的倒数的倒数是自身是解题关键． （1）根据除法运算法则，正负号变化规则，倒数的定义和乘法运算法则判断即可； （2）根据解法三，先求倒数，将除法化为乘法，再求倒数即可； （3）根据解法三，先求倒数，将除法化为乘法，再求倒数即可． 【详解】解：（1）解法一中，除法是没有分配律的，计算是错误的； 则甲的解法错误，乙与丙的解法正确； （2）原式的倒数为 故原式； （3）原式的倒数为 故原式． 26．【答案】（1）；（2）；；；；；（3）； （4）∵ ， ∴． 【知识点】有理数幂的概念理解、有理数的乘方运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】（1）根据新定义的含义直接计算即可； （2）根据新定义的运算法则，结合同底数幂的乘法运算法则可得答案，进而得出规律，即可求解； （3）根据新定义的运算法则，结合有理数的加减乘除乘法运算法则进行运算即可； （4）根据新定义的含义以及（2）的结论，直接计算即可求解． 【详解】解：，， 故答案为：； （2） ； 故答案为：；；． ，要使以上等式成立，a应满足的条件是； （3） ； （4）略 【点睛】本题考查的是乘方运算的理解，新定义运算，理解新定义，按照新定义的运算法则进行运算是解本题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $