第二章 有理数的运算 重难点检测卷 2026-2027学年人教版七年级数学上册

**基本信息** 本卷为七年级有理数运算单元检测卷，26题覆盖全章重难点，以真实情境、跨学科问题及数学文化为载体，考查运算能力、推理意识与模型意识，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/20|科学记数法、乘方意义、数轴应用|结合高考人数（37.8万）、北京白昼时长等真实情境，考查数学眼光| |填空题|8/16|新定义运算、程序计算、最优方案|设计会员证费用比较、程序输出问题，体现模型意识与应用能力| |解答题|8/64|24点游戏、进位制转换、"有趣的数"证明|融合数学文化（结绳记事）、跨学科问题（程序计算），分层考查运算能力与推理意识|

第二章 有理数的运算重难点检测卷 （满分100分，考试时间120分钟，共26题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：有理数的运算全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（25-26七年级上·云南文山·期末）高考是一场全力以赴的成长考验，据统计2026年云南省高考报名人数约为37.8万人．数据378000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】科学记数法的表示形式为，要求满足，n为整数，只需确定a和n的值即可得到答案． 【详解】解：对于数字378000，将小数点向左移动5位可得， ∴， 因此378000用科学记数法表示为． 2．（2026·江苏无锡·模拟预测）计算的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】原式． 3．（2026·天津河东·二模）计算的结果等于（   ） A． B． C．6 D．7 【答案】C 【详解】解：． 4．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）在学习了乘方运算后，对于聪聪和明明有如下讨论： 聪聪：表示有2个k相乘     明明：表示有2个k相加 你认为他们的说法（    ） A．只有聪聪是对的 B．只有明明是对的 C．他们两人都不对 D．他们都有道理 【答案】C 【分析】本题考查乘方的定义，表示n个a相乘（n为正整数），据此可得答案． 【详解】解：根据乘方的定义可知表示k个2相乘， ∴两个人的说法都不正确， 故选：C． 5．（2026·天津河西·一模）计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 6．（25-26七年级下·云南楚雄·阶段检测）实数在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先观察数轴可知：，，且，然后根据有理数的加减法则进行判断即可． 【详解】解：观察数轴可知：，，且， ∴，故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C错误； ，故选项D正确． 7．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是多少？（     ） A． B．11 C． D． 【答案】A 【分析】明确运算规则为，判断条件为结果小于，若否则循环计算． 【详解】解：当输入时，， ∵， ∴需将重新代入计算， ∴当时，， ∵， ∴最后输出的结果为． 8．（25-26七年级下·广东广州·期末）北京市2026年5月1日的“日出、日中、日落时刻”如下表所示，则北京市2026年5月1日的白昼时长是（     ） 日出时刻 日中时刻 日落时刻 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】白昼时长为日落时刻减去日出时刻，根据时分秒的60进制计算即可得到结果． 【详解】解：． 9．（25-26七年级上·湖南益阳·期末）从个元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示．已知“！”是一种数学运算符号，且；……；若公式（为正整数），则为（    ） A．56 B．42 C．34 D．28 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算，新定义运算，需根据题目给出的组合数公式和阶乘的运算规则，代入数值计算求解即可． 【详解】解：∵（为正整数）， ∴ ， 故选：D． 10．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，逢三进一就是三进制． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数19化为二进制数：． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数19化为三进制数：． 将二进制数化为三进制数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算．先将二进制数转化为十进制数，再把十进制数转化为三进制数，依据进位制的转化规则计算即可． 【详解】解： ∵ ∴ ∴二进制数化为三进制数为 故选：A． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（2026·安徽阜阳·二模）计算：___________． 【答案】 【详解】． 12．（2026·江苏南京·三模）比较大小：____________． 【答案】 【分析】将两个用科学记数法表示的数化为指数相同的形式，再比较系数大小即可得出结果． 【详解】解：， ∵， ∴． 13．（25-26七年级下·重庆·自主招生）定义新运算“”，规定：，则若，则________． 【答案】38 【详解】解：根据新运算的定义，， ． 14．（25-26七年级上·河南·期末）一家游泳馆每年6月—8月出售夏季会员证．每张会员证120元，只限本人使用，凭会员证购入场券每张15元，不凭会员证购入场券每张20元．小明计划暑假游泳20次，那他选择____________最合算（填“办会员证”或“不办会员证”）． 【答案】不办会员证 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，熟练掌握有理数混合运算法则，是解题的关键．比较办会员证和不办会员证两种方案的总费用，即可得出答案． 【详解】解：办会员证的总费用为会员证费用120元加上20次游泳费用，即：（元）， 不办会员证的总费用为：（元）， 因为400元元，因此不办会员证更合算． 故答案为：不办会员证． 15．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）小明在计算时，不小心把一个运算符号写错了（“”错写成“”或“”错写成“”），结果算成了，则原式从左往右数，第______个运算符号写错了． 【答案】22 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算、有理数的四则混合运算，根据计算得出是奇数前面的“”错写成了“”是解题的关键． 先求出没有写错时的正确答案，再比较错误答案与正确答案相差多少，从而即可推出是哪一个数字前面的符号错了． 【详解】解： ， 结果算成了比小， 是奇数前面的“”错写成了“”， ， 写错的是23前面的符号，把“”错写成了“”， 原式从左往右数，第22个运算符号写错了， 故答案为：22． 16．（25-26七年级下·全国·周测）给出如图所示的程序．当输入的值为1时，输出的值为1；当输入的值为时，输出的值为．故当输入的值为0.5时，输出的值为_________． 【答案】 【分析】根据程序流程，可得出函数关系式。已知两组、的对应值，可将其代入函数式，得到一个关于、的二元一次方程组，解出 、的值后，再将代入求出对应的值． 【详解】解：由题意可列方程组 即解得 当输入的值为时，输出的值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用和函数关系式的确定，解题关键是将程序流程转化为数学表达式，再利用已知条件建立方程组求解． 17．（25-26七年级上·河南南阳·期末）阅读以下内容： 根据这一规律，计算：________． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘方，对于任意正整数，有，令，，即可求得答案． 【详解】根据题意可知，对于任意正整数，有． 令，，可得 ． 即 ． 故答案为： 18．（2026·安徽合肥·模拟预测）某公司办公大楼共5层，公司要召开会议．如果从1层到5层参会人数分别为20、16、10、10、12，在确定最优会议室所在楼层时，需考虑到使所有参会人员到会议室爬楼的距离之和最短． （1）最优会议室放在__________层； （2）现要在1-5层的某个楼层新增10名参会人员，且必须保证原来的最优会议室楼层保持不变，则这10人应该加到__________层． 【答案】 或 【分析】先计算原问题中各楼层作为会议室的总爬楼距离，得到原最优楼层. 再分别计算新增10人到不同楼层后各楼层的总爬楼距离，筛选出使原最优楼层仍保持最短总距离的添加位置． 【详解】解：(1) 设所有参会人员到会议室的爬楼距离之和为，其中为会议室所在楼层，相邻楼层的爬楼距离记为个单位. 原各楼层参会人数分别为：1层人，2层人，3层人，4层人，5层人. 分别计算总爬楼距离： ， ， ， ， . 比较得，因此原最优会议室在层. (2) 设将名新增参会人员添加到层，此时层作为会议室的总爬楼距离记为，分情况讨论： ① 当时： ，，，，. 此时最小，最优楼层仍为层，符合要求. ② 当时： ，，， ，. 此时最小，最优楼层仍为层，符合要求. ③ 当时： ，，可得，最优楼层变为层，不符合要求 ④ 当时： ，，可得，最优楼层改变，不符合要求. ⑤ 当时： ，，可得，最优楼层改变，不符合要求. 因此满足条件的添加楼层为层或层． 三、解答题（8小题，共64分） 19．（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式； （4）解：原式． 20．（25-26七年级上·全国·课后作业）小亮和小满的身高大约都是，但小亮说他比小满高，请问：有这种可能吗？ 【答案】有可能． 【分析】本题主要是考查能四舍五入得到1.5×102cm的数的范围，看这个范围中的数能否相差9cm． 【详解】解：由于是近似数， 所以其范围是至． 若小亮的身高是， 小满的身高是，则相差， 故有可能． 【点睛】本题主要考查了如何对一个数进行四舍五入． 21．（2026·河北石家庄·模拟预测）图是一个计算程序． (1)按照顺序计算并填写其中的“     ”，并在下面横线上列出综合算式； 综合算式：___________________（仅列算式无需计算）； (2)计算：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据题意计算即可； （2）先计算乘方和绝对值，再计算乘除，最后计算减法． 【详解】（1）解：；；综合算式： （2）解： ． 22．（25-26七年级上·河北衡水·期中）黑板上有一道题：计算，嘉嘉和淇淇给出了两种不同的解法． 嘉嘉： 原式 淇淇： 原式 _________________ _________________ _________________ (1)请将淇淇的解法补充完整； (2)计算：． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ． 23．（25-26七年级上·广东佛山·期中）一个自然数若能表示为若干个正整数的和，且这些正整数的倒数之和恰好等于1，则称其为“有趣的数”．比如：且，则22就是一个“有趣的数”． (1)证明：11是“有趣的数”； (2)证明：若是“有趣的数”，则也是“有趣的数”． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴11是“有趣的数”； (2) 证明：设，则， 代入可得， ∵是“有趣的数”， ∴， ∴， 由（1）知， ∴，且， ∴也是“有趣的数”． 【分析】本题考查有理数的加法运算，倒数的定义，新定义，正确理解“有趣的数”是解题的关键． （1）根据“有趣的数”的定义解答即可； （2）设，则，代入可得，由，即可得到，由（1）知，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 24．（25-26七年级上·山东泰安·期中）某校数学兴趣小组学完“有理数加减”后就某一道试题展开了讨论，请仔细阅读并完成任务． 小明：我看到了一道试题：“计算”，对于此算式，我的方法是直接按照运算顺序从左往右依次计算． 小亮：你的方法很常规，我课外学习时，发现了一种拆项法： 原式 ＝A＋B ＝C 任务： (1)小亮的解题过程中，处依次代表的数据是______、______、______； (2)按小亮的方法计算． 【答案】(1)，， (2)4046 【分析】本题主要考查有理数的加减混合运算，理解题中拆项法是解答的关键． （1）根据所给求解过程，利用有理数的加减混合运算求解即可； （2）仿照题中拆项法求解过程求解即可． 【详解】（1）解：原式 ． 故答案为：，，． （2）解： ． 25．（25-26七年级上·全国·单元复习）24点游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌（去掉大王、小王剩下52张）中任意抽取4张牌，把牌面上的数字进行混合运算，使得运算结果为24．每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号．其中♥，♦表示正，♣，♠表示负，分别代表1，11，12，13． （1）在玩“24点”游戏时，小明抽到图1的4张牌，请你帮他写出2个运算结果为24的算式：______，______； （2）在玩“24点”游戏时，小刚抽到图2的4张牌，请你帮他写出1个运算结果为24的算式：______． 【答案】（1），（答案不唯一）（2）（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数四则混合运算的应用，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先根据题意可得图1中的4张牌分别代表，再根据和列出算式即可得； （2）先根据题意可得图2中的4张牌分别代表，再根据列出算式即可得． 【详解】解：（1）由题意得：图1中的4张牌分别代表， 则运算结果为24的算式：，， 故答案为：，（答案不唯一）． （2）由题意得：图2中的4张牌分别代表， 则运算结果为24的算式：， 故答案为：（答案不唯一）． 26．（24-25七年级上·广东广州·期中）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制．使用十个数字记数时，几个数字排成一行，从右起，第一位是个位，个位上的数字是几就表示几个一；第二位是十位，十位上的数字是几就表示几个十；接着依次是百位、千位……例如，十进制数3721中的3表示3个千，7表示7个百，2表示2个十，1表示1个一，于是我们得到下面的式子： 可见，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式． 计算机常用二进制来表示字符代码，二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1．把二进制数1011表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，从而转换成十进制数． 即二进制数（*），其他进制也有类似的算法…… 说明：为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制数1011的简单写法，即（*）可以简写为：．十进制数一般不标注基数． (1)根据以上信息，将二进制数1101转化为十进制数，即 ____________； (2)将表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式； (3)在我国古书《易经》中有“上古结绳而治”的记载，它指“结绳记事”或“结绳记数”．如图，一远古牧人在从右到左依次排列的绳子上打结，逢六进一，用来记录他所放牧的羊的只数，求他所放牧的羊的只数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二进制，八进制，十进制间转化，有理数的乘方的应用； （1）根据示例，把二进制转化为十进制即可； （2）根据示例，把八进制转化为幂的乘积之和的形式即可； （3）根据题意，把六进制转化为十进制即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：． （3）解：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 有理数的运算重难点检测卷 （满分100分，考试时间120分钟，共26题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：有理数的运算全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（25-26七年级上·云南文山·期末）高考是一场全力以赴的成长考验，据统计2026年云南省高考报名人数约为37.8万人．数据378000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏无锡·模拟预测）计算的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2026·天津河东·二模）计算的结果等于（   ） A． B． C．6 D．7 4．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）在学习了乘方运算后，对于聪聪和明明有如下讨论： 聪聪：表示有2个k相乘     明明：表示有2个k相加 你认为他们的说法（    ） A．只有聪聪是对的 B．只有明明是对的 C．他们两人都不对 D．他们都有道理 5．（2026·天津河西·一模）计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·云南楚雄·阶段检测）实数在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是多少？（     ） A． B．11 C． D． 8．（25-26七年级下·广东广州·期末）北京市2026年5月1日的“日出、日中、日落时刻”如下表所示，则北京市2026年5月1日的白昼时长是（     ） 日出时刻 日中时刻 日落时刻 A． B． C． D． 9．（25-26七年级上·湖南益阳·期末）从个元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示．已知“！”是一种数学运算符号，且；……；若公式（为正整数），则为（    ） A．56 B．42 C．34 D．28 10．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，逢三进一就是三进制． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数19化为二进制数：． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数19化为三进制数：． 将二进制数化为三进制数为（   ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（2026·安徽阜阳·二模）计算：___________． 12．（2026·江苏南京·三模）比较大小：____________． 13．（25-26七年级下·重庆·自主招生）定义新运算“”，规定：，则若，则________． 14．（25-26七年级上·河南·期末）一家游泳馆每年6月—8月出售夏季会员证．每张会员证120元，只限本人使用，凭会员证购入场券每张15元，不凭会员证购入场券每张20元．小明计划暑假游泳20次，那他选择____________最合算（填“办会员证”或“不办会员证”）． 15．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）小明在计算时，不小心把一个运算符号写错了（“”错写成“”或“”错写成“”），结果算成了，则原式从左往右数，第______个运算符号写错了． 16．（25-26七年级下·全国·周测）给出如图所示的程序．当输入的值为1时，输出的值为1；当输入的值为时，输出的值为．故当输入的值为0.5时，输出的值为_________． 17．（25-26七年级上·河南南阳·期末）阅读以下内容： 根据这一规律，计算：________． 18．（2026·安徽合肥·模拟预测）某公司办公大楼共5层，公司要召开会议．如果从1层到5层参会人数分别为20、16、10、10、12，在确定最优会议室所在楼层时，需考虑到使所有参会人员到会议室爬楼的距离之和最短． （1）最优会议室放在__________层； （2）现要在1-5层的某个楼层新增10名参会人员，且必须保证原来的最优会议室楼层保持不变，则这10人应该加到__________层． 三、解答题（8小题，共64分） 19．（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．（25-26七年级上·全国·课后作业）小亮和小满的身高大约都是，但小亮说他比小满高，请问：有这种可能吗？ 21．（2026·河北石家庄·模拟预测）图是一个计算程序． (1)按照顺序计算并填写其中的“     ”，并在下面横线上列出综合算式； 综合算式：___________________（仅列算式无需计算）； (2)计算：． 22．（25-26七年级上·河北衡水·期中）黑板上有一道题：计算，嘉嘉和淇淇给出了两种不同的解法． 嘉嘉： 原式 淇淇： 原式 _________________ _________________ _________________ (1)请将淇淇的解法补充完整； (2)计算：． 23．（25-26七年级上·广东佛山·期中）一个自然数若能表示为若干个正整数的和，且这些正整数的倒数之和恰好等于1，则称其为“有趣的数”．比如：且，则22就是一个“有趣的数”． (1)证明：11是“有趣的数”； (2)证明：若是“有趣的数”，则也是“有趣的数”． 24．（25-26七年级上·山东泰安·期中）某校数学兴趣小组学完“有理数加减”后就某一道试题展开了讨论，请仔细阅读并完成任务． 小明：我看到了一道试题：“计算”，对于此算式，我的方法是直接按照运算顺序从左往右依次计算． 小亮：你的方法很常规，我课外学习时，发现了一种拆项法： 原式 ＝A＋B ＝C 任务： (1)小亮的解题过程中，处依次代表的数据是______、______、______； (2)按小亮的方法计算． 25．（25-26七年级上·全国·单元复习）24点游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌（去掉大王、小王剩下52张）中任意抽取4张牌，把牌面上的数字进行混合运算，使得运算结果为24．每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号．其中♥，♦表示正，♣，♠表示负，分别代表1，11，12，13． （1）在玩“24点”游戏时，小明抽到图1的4张牌，请你帮他写出2个运算结果为24的算式：______，______； （2）在玩“24点”游戏时，小刚抽到图2的4张牌，请你帮他写出1个运算结果为24的算式：______． 26．（24-25七年级上·广东广州·期中）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制．使用十个数字记数时，几个数字排成一行，从右起，第一位是个位，个位上的数字是几就表示几个一；第二位是十位，十位上的数字是几就表示几个十；接着依次是百位、千位……例如，十进制数3721中的3表示3个千，7表示7个百，2表示2个十，1表示1个一，于是我们得到下面的式子： 可见，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式． 计算机常用二进制来表示字符代码，二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1．把二进制数1011表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，从而转换成十进制数． 即二进制数（*），其他进制也有类似的算法…… 说明：为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制数1011的简单写法，即（*）可以简写为：．十进制数一般不标注基数． (1)根据以上信息，将二进制数1101转化为十进制数，即 ____________； (2)将表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式； (3)在我国古书《易经》中有“上古结绳而治”的记载，它指“结绳记事”或“结绳记数”．如图，一远古牧人在从右到左依次排列的绳子上打结，逢六进一，用来记录他所放牧的羊的只数，求他所放牧的羊的只数． 学科网（北京）股份有限公司 $