第二章有理数的运算（单元测试基础+培优卷） 2026-2027学年人教版数学七年级上册

**基本信息** 初中数学《有理数的运算》单元基础+培优卷，通过基础计算与综合应用梯度设计，考查运算能力、推理意识及应用意识，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|有理数运算、科学记数法、比较大小|基础概念辨析，如科学记数法表示174万| |填空题|6/18|幻方、结绳计数、新定义运算|文化情境（结绳计数）与创新应用（幻方填数）| |解答题|9/72|简便计算、实际应用（抗洪抢险/自行车生产）、规律探究|分层设计，如抗洪抢险行程计算考查应用意识，规律探究题培养推理能力|

第2章 《有理数的运算》单元测试（基础+培优卷） （卷面总分100分 考试用时60分钟） 班级:___________学号：___________姓名：___________得分：___________ 一、单选题 1．计算（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加法运算，根据有理数的加法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 2．下列计算不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逐一计算各选项中式子的结果，与选项给出的结果对比，判断正误． 【详解】解：∵ ， ∴ A正确． ∵ ， ∴ B正确． ∵ ， ∴ C错误． ∵ ，∴ D正确． 3．“五一”小长假3天，青岛地铁共运送乘客174万人次，174万用科学记数法表示为（　　） A．174×104 B．1.74×105 C．1.74×106 D．1.74×107 【答案】C 【分析】根据科学记数法的表示方法逐一进行判断即可. 【详解】174>10，不符合科学记数法的表示方法，故A选项错误， 1.74 174万，故B选项错误， 1.74×106 =174万，符合科学记数法的表示方法，故C选项正确， 1.74×107174万，故D选项错误， 故选C. 【点睛】本题考查科学记数法，科学记数法是把一个大于10的数表示成a （0<a<10，n为正整数）的形式，要注意a和n的取值范围，熟练掌握科学记数法的表达方式是解题关键. 4．下列各组数中，相等的一组是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】分别根据相反数、绝对值、有理数乘方计算每个选项中两个数的值，再比较是否相等即可解答． 【详解】解：A． ，，，即选项A不符合题意； B．，，，即选项B符合题意； C．，，，即选项C不符合题意； D．，，，即选项D不符合题意． 5．下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． 根据有理数的混合运算顺序和运算法则逐个进行计算，即可解答． 【详解】解：A、，故A计算正确，不符合题意； B、，故B正确，不符合题意； C、，故C计算正确，不符合题意； D、，故D计算错误，符合题意； 故选：D． 6．在，，，中，负数的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方及绝对值，根据有理数的乘方的运算法则及绝对值的意义即可求解，熟练掌握有理数的乘方的运算法则及绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：，，，， 则是负数的有2个， 故选C． 7．已知 ， ， ，则 的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方，化简绝对值，有理数的大小比较，先化简各数，再比较大小，即可求解． 【详解】解：，，， ∴ 故选：C． 8．，，7的和比它们的绝对值的和小（    ） A． B． C．10 D．34 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的计算以及有理数的加减混合运算．熟练掌握绝对值的计算以及有理数的加减混合运算是解题的关键． 计算三个数的实际和与绝对值的和，然后求绝对值的和与实际和的差． 【详解】解：， ， 故，，7的和比它们绝对值的和小34． 故选D． 9．按如图所示的运算程序，如果输入的值是2，那么输出的结果是（    ） A． B．2 C．24 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，根据输入的值是2，代入代数式进行计算，得，，即可作答． 【详解】解：依题意，输入的值是2，则， ∴， ∴输出的结果是8， 故选：D． 10．观察下列等式：，，，，，，…，通过观察，找出规律，确定的个位数字是（   ） A．3 B．9 C．7 D．1 【答案】A 【分析】本题考查数字类规律探究，观察可知，的个位数字，以四个数为一组，进行循环，用的商和余数，进行判断即可． 【详解】解：观察可知，的个位数字，以四个数为一组，进行循环， ∵， ∴位数字是9； 故选B． 二、填空题 11．比较大小：______．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，先根据相反数和乘方的定义化简有理数，再进行比较即可，掌握相反数和乘方的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：． 12．某市一天早晨的气温是，中午比早晨上升了，则这天中午的气温是___________摄氏度． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加法应用，理解题意，正确列出算式是解答的关键． 根据题意，列出加法算式，再根据有理数的加法运算法则求解即可． 【详解】解：由题意得 故答案为：． 13．如表，将9个数分别填入幻方的9个空格中，使处于每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和相等．若，，分别表示其中的一个数，则a=_____,b=______,c=_________． 4 a 2 1 3 b 5 c 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，代数式求值．利用每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，多次建立等式和方程求解，再代入求值即可． 【详解】解：由第二行数字之和可得幻和， 第一行数字之和为幻和，故，解得 ， 第三行数字之和为幻和，故，即， 第一列数字之和为幻和，故 ，解得， 代入 ，得， 故答案为：． 14．如果，那么的值为__________． 【答案】25 【分析】此题主要考查了非负数的性质，正确得出x，y的值是解题关键．直接利用偶次方的性质以及绝对值的性质得出x，y的值，进而得出答案． 【详解】解：∵， ， 解得：， ． 故答案为：25． 15．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．如图1，孩子出生后的天数（天），那么图2表示孩子出生后的天数是_______天． 【答案】508 【分析】此题考查了用数字表示事件，以及有理数的乘方．根据图1的计算方法，表示出图2中的天数，计算即可得到结果． 【详解】解：根据图1的方法得： 图2中孩子出生后的天数是（天． 故答案为：508． 16．定义一种运算“”，规定：，如，．若，则的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查一元二次方程的应用和解一元一次不等式，理解题意并列得正确的方程是解题的关键． 令，解得的取值范围，然后分两种情况列得方程，解方程确定符合题意的的值即可． 【详解】解：令， 解得：， 当时，， 则， 整理得：， 因式分解得：， 解得：（舍）或， 当时，， 则， 整理得：， 解得：， 综上，的值为或， 故答案为：或． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则． （1）根据有理数加减混合运算法则进行计算即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．用简便方法计算下列各题 (1) (2) 【答案】(1)23 (2) 【分析】本题主要考查有理数乘除中的简便运算； （1）先把除法变乘法，再根据有理数乘法运算律计算即可； （2）把2020变为，再根据有理数乘法运算律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 19．阅读计算：． 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 (1)开始出现错误的是第_______步；错误的原因是_______． (2)请写出这个计算题的正确解题步骤． 【答案】(1)一、除法没有分配律 (2) ． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则和运算顺序． （1）利用有理数的运算顺序找到错误原因； （2）先算括号里面的，再做除法运算即可． 【详解】（1）解：题目从第一步就出错了，错误的原因是除法没有分配律； 故答案为：一，除法没有分配律； （2）略 20．阅读下题的计算方法． 计算：． 解：原式 ． 上面这种解题方法叫拆项法． 按此方法计算：． 【答案】 【分析】按照题目中的拆项法解答即可． 【详解】原式 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，读懂题意、掌握解法是关键． 21．在抗洪抢险中，人民解放军的冲锋舟沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：14，，，，13，，，， (1)B地在A地的哪边？距A地多少千米？ (2)救灾过程中，最远处离出发点A有多远？ (3)若冲锋舟每千米耗油升，油箱原油量为29升，求途中还需补充多少升油？ 【答案】(1)B地在A地东18千米处 (2)23千米 (3)7升 【分析】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，正确列出算式并掌握相关运算法则是解答本题的关键． （1）根据有理数的加法，可得答案； （2）根据有理数的加法运算，可得每次的距离，再根据有理数的大小比较，可得答案； （3）根据行车就耗油，可得耗油量，再根据耗油量与原有油量的差，可得答案． 【详解】（1）解：（千米）， 答：B地在A地东18千米处； （2）第一次14千米， 第二次（千米）， 第三次（千米）， 第四次（千米）， 第五次（千米）， 第六次（千米）， 第七次（千米）， 第八次（千米）， ， 答：最远处离出发点A有23千米； （3）耗油量： （升）， （升）， 答：求途中还需补充7升油． 22．小奇借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则是：．例如： (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了含乘方的有理数混合运算，熟练掌握新定义运算是解题的关键． （1）按照新定义的运算顺序代入数值计算即可； （2）按照新定义的运算顺序代入数值计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：， ． 23．某自行车厂计划平均每天生产300辆自行车，但由于各种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量/辆 +6 ﹣1 ﹣4 +13 ﹣10 +15 ﹣8 (1)根据记录的数据可知，该厂星期五生产自行车辆． (2)根据记录的数据可知，该厂本周实际生产自行车辆． (3)该厂实行每天计件工资制，每生产一辆自行车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆在60元基础上另奖20元；少生产一辆扣25元．那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ (4)若将（3）题中的“实行每天计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，在此方式下这一周工人的工资与按日计件的工资哪一个更多？请说明理由． 【答案】(1)该厂星期五生产自行车辆290辆； (2)该厂本周实际生产自行车辆2111辆； (3)该厂工人这一周的工资总额是126765元； (4) 按周计件工资制的一周工资较高，理由：实行每周计件工资制的工资为2111×60+11×20=126660+220=126880＞126756． 【分析】（1）用300加上增减的-10即可； （2）先把增减的量都相加，然后根据有理数的加法运算法则进行计算，再加上计划生产量即可； （3）根据规定列出算式，然后根据有理数的混合运算方法进行计算即可求解； （4）根据规定列出算式，然后根据有理数的混合运算方法进行计算，再比较大小即可求解． 【详解】（1）解：该厂星期五生产自行车300-10=290（辆）． 答：该厂星期五生产自行车辆290辆； （2）解：该厂本周实际生产自行车 300×7+（+6）+（-1）+（-4）+（+13）+（-10）+（+15）+（-8） =2100+11 =2111（辆）． 答：该厂本周实际生产自行车辆2111辆； （3）解：2111×60+（6+13+15）×20+（-1-4-10-8）×25=126765（元）． 故该厂工人这一周的工资总额是126765元； （4）略 【点睛】本题考查了正数与负数，有理数加减混合运算，读懂表格数据，根据题意准确列式是解题的关键． 24．观察下列等式： ，，． 将以上三个等式两边分别相加，得． (1)①猜想：______； ②______； ③_______； (2)探究并计算： 【答案】(1)①；②；③ (2) 【分析】本题主要考查了数字的变换规律问题； （1）①根据已知等式做出猜想即可解答；②原式利用得出的规律变形计算即可；③运用规律即可解答； （2）仿照（1）对各项进行变形，即可算出结果． 【详解】（1）解：①根据已有猜想可得：． 故答案为：． ② ； 故答案为：． ③ ． 故答案为：． （2）解： ． 25．在数学活动课上，王老师设计了一个游戏活动：在A、B、C、D四张卡片上分别写着四种运算（如图所示），四张卡片可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品，下面我们用四个卡片代表四名同学（如图）： (1)经过的顺序运算后，结果是 ． (2)3经过的顺序运算后，结果是 ． (3)若数x经过的顺序运算后，结果是5，则x的值为 ． 【答案】(1)15 (2) (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，解一元一次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的算式，求出相应的结果． （1）根据题意，可以列出相应的算式，从而可以求得相应的结果； （2）根据题意，可以列出相应的算式，从而可以求得相应的结果； （2）根据题意，可以得到关于x的方程，从而可以求得x的值． 【详解】（1）解：依题意， ， ， ； 故答案为：15 （2）解：依题意， ； 故答案为：134 （3）解：由题意知，， ， ， ， ． 故答案为： 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 《有理数的运算》单元测试（基础+培优卷） （卷面总分120分 考试用时60分钟） 班级:___________学号：___________姓名：___________得分：___________ 一、单选题（每题3分，共30分） 1．计算（    ） A．2 B． C． D． 2．下列计算不正确的是（     ） A． B． C． D． 3．“五一”小长假3天，青岛地铁共运送乘客174万人次，174万用科学记数法表示为（　　） A．174×104 B．1.74×105 C．1.74×106 D．1.74×107 4．下列各组数中，相等的一组是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 5．下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 6．在，，，中，负数的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．已知 ， ， ，则 的大小关系是（ ） A． B． C． D． 8．，，7的和比它们的绝对值的和小（    ） A． B． C．10 D．34 9．按如图所示的运算程序，如果输入的值是2，那么输出的结果是（    ） A． B．2 C．24 D．8 10．10．观察下列等式：，，，，，，…，通过观察，找出规律，确定的个位数字是（   ） A．3 B．9 C．7 D．1 二、填空题（每题3分，共18分） 11．比较大小：______．（填“”“”或“”） 12．某市一天早晨的气温是，中午比早晨上升了，则这天中午的气温是___________摄氏度． 13．如表，将9个数分别填入幻方的9个空格中，使处于每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和相等．若，，分别表示其中的一个数，则a=_____,b=______,c=_________． 4 a 2 1 3 b 5 c 14．如果，那么的值为__________． 15．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．如图1，孩子出生后的天数（天），那么图2表示孩子出生后的天数是_______天． 16．定义一种运算“”，规定：，如，．若，则的值为______． 三、解答题（共72分） 17．（本题8分）计算： (1)； (2)． 18．（本题8分）用简便方法计算下列各题 (1) (2) 19．（本题8分）阅读计算：． 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 (1)开始出现错误的是第_______步；错误的原因是_______． (2)请写出这个计算题的正确解题步骤． 20．（本题8分）阅读下题的计算方法． 计算：． 解：原式 ． 上面这种解题方法叫拆项法． 按此方法计算：． 21．（本题8分）在抗洪抢险中，人民解放军的冲锋舟沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：14，，，，13，，，， (1)B地在A地的哪边？距A地多少千米？ (2)救灾过程中，最远处离出发点A有多远？ (3)若冲锋舟每千米耗油升，油箱原油量为29升，求途中还需补充多少升油？ 22．（本题8分）小奇借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则是：．例如： (1)求的值； (2)求的值． 23．（本题8分）某自行车厂计划平均每天生产300辆自行车，但由于各种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量/辆 +6 ﹣1 ﹣4 +13 ﹣10 +15 ﹣8 (1)根据记录的数据可知，该厂星期五生产自行车辆． (2)根据记录的数据可知，该厂本周实际生产自行车辆． (3)该厂实行每天计件工资制，每生产一辆自行车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆在60元基础上另奖20元；少生产一辆扣25元．那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ (4)若将（3）题中的“实行每天计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，在此方式下这一周工人的工资与按日计件的工资哪一个更多？请说明理由． 24．（本题8分）观察下列等式： ，，． 将以上三个等式两边分别相加，得． (1)①猜想：______； ②______； ③_______； (2)探究并计算： 25．（本题8分）在数学活动课上，王老师设计了一个游戏活动：在A、B、C、D四张卡片上分别写着四种运算（如图所示），四张卡片可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品，下面我们用四个卡片代表四名同学（如图）： (1)经过的顺序运算后，结果是 ． (2)3经过的顺序运算后，结果是 ． (3)若数x经过的顺序运算后，结果是5，则x的值为 ． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $