1.1 探索勾股定理 同步训练 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 本同步练习以勾股定理为核心，通过基础巩固、情境应用、历史探究三阶分层设计，实现从概念理解到综合运用的递进，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|勾股定理直接计算|选择1-6题考查直角边与斜边互求，填空13题通过比例验证勾股数，强化运算能力| |提升|实际情境与几何综合|选择7-12题结合折叠（题8）、面积法（题10），填空14-16题渗透数形结合，培养空间观念| |拓展|定理证明与跨学科应用|解答19-22题重现赵爽弦图、总统证法，融入刘徽割补术（题17），发展推理意识与创新思维|

北师大版（2024）八年级上册 1.1 探索勾股定理 同步训练 一、选择题 1.如图，由一个直角三角形和三个正方形组成，则图中字母A所表示的正方形的面积为(　　) A.36 B.4 C.64 D.8 2.下列各图是以直角三角形各边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积．其中S的值恰好等于10的是（　　） A. B. C. D. 3.如图，直角三角形中未知边的长度为（　　） A. B. C.5 D.7 4.如图所示，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC，交AC于点M，若CM＝7，则CE2+CF2等于（　　） A.166 B.186 C.196 D.256 5.如图，在△ABC中，已知∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB的大小是(　　) A.1 B.2 C.3 D.5 6.已知直角三角形的斜边长为10 cm，一条直角边长为6 cm，则此直角三角形的另一条直角边长为(　　) A.12 cm B.10 cm C.8 cm D.4 cm 7.△ABC是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮a元计算，那么共需要资金(　　) A.600a元 B.50a元 C.1 200a元 D.1 500a元 8.已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　） A.3cm2 B.4cm2 C.6cm2 D.12cm2 9.一个钝角三角形的两边长为3，4，则第三边长可以为(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 10.意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理.若设图1中空白部分的面积为S1，图2中空白部分的面积为S2，则下列等式成立的是(　　) A.S2=c2 B.S2=c2+ab C.S1=a2+b2+ab D.S1=a2+b2+2ab 11.我国古代称直角三角形为“勾股形”.如图，数学家刘徽(约公元225年-公元295年)将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形.若a=10，b=2，则此勾股形的面积为(　　) A.28 B.30 C.32 D.36 12.勾股定理在平面几何中有着不可替代的重要地位，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长均为1的小正方形和Rt△ABC构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．将图1按图2所示“嵌入”长方形LMJK，则该长方形的面积为（　　） A.120 B.110 C.100 D.90 二、填空题 13.一个三角形的三边长的比为3∶4∶5，且其周长为24 cm，则其面积为　　　　. 14.根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法.简称为“无字证明”.例如，利用图形面积的不同计算方法，可以验证很多代数恒等式，体现了数形结合的数学思想.分析如图，你可以写出的代数恒等式是　　　　　　　　　　　　　　　.(任选1个图形作答.回答时请注明图形序号，如图1、图2) 15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D在AB上，AD=AC，AF⊥CD交CD于点E，交CB于点F，则CF的长是　　　　. 16.如图，长方形ABCD中，AB=8，BC=4，将长方形沿AC折叠，点D落在点D'处，则重叠部分△AFC的面积为　　　　. 17.青朱出入图(图1)是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形.为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形GDJH的边长为a，青方对应正方形ABCD的边长为b，已知b-a=3，a2+b2=29，则图2中的阴影部分面积为　　　　. 三、解答题 18.如图，长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的F点处，若AD＝5，AB＝3，求EF的长度． 19.我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”．如图，大正方形ABCD由4个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，AB＝c，BE＝a，AE＝b（b＞a）． （1）请你利用这个图形，推导勾股定理：a2+b2＝c2； （2）若直角三角形ABE的面积为54，c＝15，求小正方形EFGH的边长． 20.同学们在学习完《轴对称》一节时，发现长方形ABCD是轴对称图形，但是沿着BD所在直线翻折，却不能重合(如图)，所以得出结论：BD所在的直线不是它的对称轴，聪明的嘉琪想后说：如果AB=3，BC=4，就能求AE的长，请你也试着做做. 21.[教材呈现]如图为华师大版数学教材八年级上册第110页的部分内容： 这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．类比上面教材中证明勾股定理的方法，我们还可以通过别的图形来进行证明． [动手操作]（1）请你利用2个或4个图①所示的直角三角形设计出一个图形，画出来，并证明勾股定理． [定理应用]（2）如图②，四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，AB＝6，BC＝5，CD＝2，请求出AD2的值． 22.教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c），也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； （2）如图③，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值． 北师大版（2024）八年级上册 第一章 勾股定理1 探索勾股定理 同步训练（参考答案） 一、选择题 1.如图，由一个直角三角形和三个正方形组成，则图中字母A所表示的正方形的面积为(　　) A.36 B.4 C.64 D.8 【答案】A 【解析】如图， 由题意可知，字母A所表示的正方形的面积为a2，b2=64， c2=100，a2+b2=c2， 所以a2=c2-b2=100-64=36. 2.下列各图是以直角三角形各边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积．其中S的值恰好等于10的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：∵以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形，每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积， ∴每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的边长的平方， A、由勾股定理得：S＝5+15＝20，故选项A不符合题意； B、由勾股定理得：S＝8+6＝14，故选项B不符合题意； C、由勾股定理得：S＝8﹣6＝2，故选项C不符合题意； D、由勾股定理得：S＝15﹣5＝10，故选项D符合题意； 故选：D． 3.如图，直角三角形中未知边的长度为（　　） A. B. C.5 D.7 【答案】B 【解析】解：42﹣32＝x2． x2＝16﹣9＝7． ∵x为边长． ∴x＝． 故选：B． 4.如图所示，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC，交AC于点M，若CM＝7，则CE2+CF2等于（　　） A.166 B.186 C.196 D.256 【答案】C 5.如图，在△ABC中，已知∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB的大小是(　　) A.1 B.2 C.3 D.5 【答案】D 【解析】在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4， 则根据勾股定理得AB2=AC2+BC2=25.所以AB=5. 6.已知直角三角形的斜边长为10 cm，一条直角边长为6 cm，则此直角三角形的另一条直角边长为(　　) A.12 cm B.10 cm C.8 cm D.4 cm 【答案】C 【解析】因为直角三角形的斜边长是10 cm，一条直角边长为6 cm， 所以另一条直角边长的平方是102-62=64， 所以另一条直角边长为8 cm. 7.△ABC是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮a元计算，那么共需要资金(　　) A.600a元 B.50a元 C.1 200a元 D.1 500a元 【答案】A 【解析】在△ABC中，∠C=90°，AC=30米， AB=50米， 所以BC2=AB2-AC2=502-302=1 600， 所以BC=40 米， 共需要资金为×40×30·a=600a(元). 8.已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　） A.3cm2 B.4cm2 C.6cm2 D.12cm2 【答案】C 【解析】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE＝ED． ∵AD＝9cm＝AE+DE＝AE+BE． ∴BE＝9﹣AE， 根据勾股定理可知AB2+AE2＝BE2． 解得AE＝4． ∴△ABE的面积为3×4÷2＝6（cm2）． 9.一个钝角三角形的两边长为3，4，则第三边长可以为(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】C 【解析】设第三边长为c，若这个三角形为直角三角形，且两直角边长分别为3，4， 则第三边长为=5， 因为钝角大于直角， 所以c>5， 又因为三角形两边之和大于第三边， 所以c<7. 所以第三边长可以为6. 10.意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理.若设图1中空白部分的面积为S1，图2中空白部分的面积为S2，则下列等式成立的是(　　) A.S2=c2 B.S2=c2+ab C.S1=a2+b2+ab D.S1=a2+b2+2ab 【答案】C 【解析】由题图可得，S2=S1=c2+ab·2=c2+ab=a2+b2+ab. 11.我国古代称直角三角形为“勾股形”.如图，数学家刘徽(约公元225年-公元295年)将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形.若a=10，b=2，则此勾股形的面积为(　　) A.28 B.30 C.32 D.36 【答案】B 【解析】如图，设阴影部分的直角三角形的未知直角边长为x， 则BC=x+b，AC=x+a， BA=a+b， 由勾股定理得 (x+b)2+(a+b)2=(x+a)2. 因为a=10，b=2， 则(x+2)2+(10+2)2 =(x+10)2， 解得x=3， 所以BC=3+2=5，AB=10+2=12， 所以△ABC的面积=×12×5=30. 12.勾股定理在平面几何中有着不可替代的重要地位，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长均为1的小正方形和Rt△ABC构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．将图1按图2所示“嵌入”长方形LMJK，则该长方形的面积为（　　） A.120 B.110 C.100 D.90 【答案】B 【解析】解：延长AB交KL于点O，延长AC交LM于点P，如图2所示： 则四边形AOLP是矩形， ∴∠BOF＝∠BAC＝90°， ∵四边形BCGF是正方形， ∴BC＝BF，∠CBF＝90°， ∴∠ABC+∠OBF＝90°， 又∵Rt△ABC中，∠ABC+∠ACB＝90°， ∴∠OBF＝∠ACB， 在△OBF和△ACB中， ， ∴△OBF≌△ACB（AAS）， ∴AC＝OB， 同理：△ACB≌△PGC（AAS）， ∴PC＝AB， ∴AB+OB＝PC+AC， 即OA＝AP， ∴矩形AOLP是正方形，边长AO＝AB+OB＝AB+AC＝3+4＝7， ∴KL＝3+7＝10，LM＝4+7＝11， ∴长方形LMJK的面积为：10×11＝110， 故选：B． 二、填空题 13.一个三角形的三边长的比为3∶4∶5，且其周长为24 cm，则其面积为　　　　. 【答案】24 cm2 【解析】设三边长为3x cm，4x cm，5x cm，如图， 因为(3x)2+(4x)2=(5x)2， 所以AC2+BC2=AB2， 所以∠C=90°， 因为周长为24 cm， 所以3x+4x+5x=24， 解得x=2， 所以3x=6，4x=8， 所以面积为×6×8=24(cm2). 14.根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法.简称为“无字证明”.例如，利用图形面积的不同计算方法，可以验证很多代数恒等式，体现了数形结合的数学思想.分析如图，你可以写出的代数恒等式是　　　　　　　　　　　　　　　.(任选1个图形作答.回答时请注明图形序号，如图1、图2) 【答案】如图1：(a+b)2=(a-b)2+4ab；如图2：b2+c2=a2(任选其一作答即可) 【解析】如图1，根据矩形的面积相等得(a+b)2=(a-b)2+4ab； 如图2，根据梯形的面积相等得(b+c)(b+c)=2×bc+a2， 所以b2+c2=a2. 15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D在AB上，AD=AC，AF⊥CD交CD于点E，交CB于点F，则CF的长是　　　　. 【答案】1.5 【解析】连接DF，如图所示， 因为在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4， 所以AB=5， 因为AD=AC=3，AF⊥CD， 所以CE=DE，BD=AB-AD=2， 所以CF=DF， 在△ADF和△ACF中， 所以△ADF≌△ACF(SSS)， 所以∠ADF=∠ACF=90°， 所以∠BDF=90°， 设CF=DF=x，则BF=4-x， 在Rt△BDF中，由勾股定理得DF2+BD2=BF2， 即x2+22=(4-x)2， 解得x=1.5， 所以CF=1.5. 16.如图，长方形ABCD中，AB=8，BC=4，将长方形沿AC折叠，点D落在点D'处，则重叠部分△AFC的面积为　　　　. 【答案】10 【解析】易证△AFD'≌△CFB， 所以D'F=BF， 设D'F=x，则AF=8-x， 在Rt△AFD'中，(8-x)2=x2+42， 解得x=3， 所以AF=AB-FB=8-3=5， 所以S△AFC=AF·BC=10. 17.青朱出入图(图1)是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形.为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形GDJH的边长为a，青方对应正方形ABCD的边长为b，已知b-a=3，a2+b2=29，则图2中的阴影部分面积为　　　　. 【答案】10 【解析】如图， 因为朱方对应正方形GDJH的边长为a，青方对应正方形ABCD的边长为b， 所以GD=GH=a，CD=BC=b， 因为朱入与朱出的三角形全等， 所以△FNK≌△GHI， 所以FN=GH=a， 因为两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等， 所以△IJC≌△KAM，△GFN≌△CMB， 所以S△IJC=S△KAM，BM=FN=a， 所以阴影部分面积为S四边形GDJI+S△KAM+S△BCM =S四边形GDJI+S△IJC+S△BCM =S△GDC+S△BCM =GD·CD+BM·BC =ab+ab =ab， 因为b-a=3，a2+b2=29， 所以ab===10， 即阴影部分的面积为10. 三、解答题 18.如图，长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的F点处，若AD＝5，AB＝3，求EF的长度． 【答案】解：△AEF是△ADE通过折叠得到，∴△ADE≌△AFE，DE＝EF ∵AB＝3，AD＝5，在Rt△ABF中， 利用勾股定理可得BF＝4， ∴CF＝1，设DE＝EF＝x， 则在Rt△CEF中，x2＝（3﹣x）2+12 解得：x＝． 答：EF的长为． 19.我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”．如图，大正方形ABCD由4个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，AB＝c，BE＝a，AE＝b（b＞a）． （1）请你利用这个图形，推导勾股定理：a2+b2＝c2； （2）若直角三角形ABE的面积为54，c＝15，求小正方形EFGH的边长． 【答案】解：（1）∵正方形ABCD由4个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，AB＝c，BE＝a，AE＝b（b＞a）， ∴c2＝4×+（b﹣a）2， 整理，得a2+b2＝c2； （2）∵直角三角形ABE的面积为54，c＝15， ∴ab＝54，a2+b2＝c2＝152＝225， ∴ab＝108， ∴小正方形EFGH的面积＝（b﹣a）2＝a2+b2﹣2ab＝225﹣2×108＝9， ∴小正方形EFGH的边长为3． 20.同学们在学习完《轴对称》一节时，发现长方形ABCD是轴对称图形，但是沿着BD所在直线翻折，却不能重合(如图)，所以得出结论：BD所在的直线不是它的对称轴，聪明的嘉琪想后说：如果AB=3，BC=4，就能求AE的长，请你也试着做做. 【答案】解　因为FD=DC=AB=3， 在△ABE和△FDE中， 所以△ABE≌△FDE(AAS)， 所以AE=FE，BE=DE， 设AE=x，则BE=DE=4-x，在Rt△ABE中，由勾股定理得BE2=AE2+AB2，即(4-x)2=x2+32， 解得x=， 所以AE=. 21.[教材呈现]如图为华师大版数学教材八年级上册第110页的部分内容： 这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．类比上面教材中证明勾股定理的方法，我们还可以通过别的图形来进行证明． [动手操作]（1）请你利用2个或4个图①所示的直角三角形设计出一个图形，画出来，并证明勾股定理． [定理应用]（2）如图②，四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，AB＝6，BC＝5，CD＝2，请求出AD2的值． 【答案】解：（1）如图： 方案一：图示为直角梯形，面积的两种求法： 方法一：， 方法二：， 则， 整理可得：a2+2ab+b2＝2ab+c2， 即：a2+b2＝c2， 故：勾股定理成立； 方案二：图示内外均为正方形，面积的两种求法： 方法一：， 方法二：， 则（a+b）2＝2ab+c2， 即a2+b2＝c2， 故：勾股定理成立， （2）由题意可得，△ABO，△BCO，△CDO，△ADO均为直角三角形， 由勾股定理可得，AO2+BO2＝AB2①，CO2+DO2＝CD2②，AO2+DO2＝AD2③，BO2+CO2＝BC2④， ①+②，可得AO2+BO2+CO2+DO2＝AB2+CD2， ③+④，AO2+BO2++CO2+DO2＝AD2+BC2， 即：AB2+CD2＝AD2+BC2， ∴62+22＝AD2+52， ∴AD2＝15， 22.教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c），也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； （2）如图③，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值． 【答案】解：（1）梯形ABCD的面积为， 也可以表示为， ∴， 即a2+b2＝c2． （2）设BD＝x， 在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝42﹣x2＝16﹣x2； 在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣DC2＝52﹣（6﹣x）2＝﹣11+12x﹣x2； 所以16﹣x2＝﹣11+12x﹣x2， 解得． 学科网（北京）股份有限公司 $