1.1 探索勾股定理 同步练习 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 北师大版八年级上册勾股定理同步练习，分层设计梯度合理，覆盖基础应用到综合探究，通过概念理解-图形应用-动态探究路径巩固知识，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|勾股定理直接应用、概念辨析|单选题1-5题网格边长计算、证明图形辨析，夯实公式记忆与几何直观| |提升|图形综合与动态问题|填空题11-15题动点直角三角形、折叠问题，培养空间观念与分类讨论能力| |拓展|探究性与跨知识整合|解答题19-20题垂等四边形证明、动点对称问题，发展推理能力与创新意识|

1.1探索勾股定理同步练习2026-2027学年北师大版数学八年级上册 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 一、单选题（本大题共10小题） 1．如图，网格中每个小正方形边长均为1，点，，都在格点上，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．据《周髀算经》记载，商高曾发现勾股定理的一个特例，即“勾三、股四、弦五”，并给出其证明思路，后世据此将勾股定理又称为“商高定理”；三国时期的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明.下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 3．小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB=3(如图)．以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于(   ) A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 4．如图，以的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形、正方形的面积分别为、，则阴影部分的面积为（   ） A．52 B．76 C．100 D．124 5．图中的四边形均为正方形，三角形为直角三角形，最大的正方形的边长为7cm，则图中A、B两个正方形的面积之和为（    ） A．28cm2 B．42cm2 C．49cm2 D．63cm2 6．如图所示，在中，，分别以、、为边向外作正方形，若三个正方形的面积分别为、、，则的值为（　　） A．25 B．175 C．600 D．625 7．如图，在中，为上一点，，，且.记长为，长为，当，变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 8．有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长“下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若”生长”了2026次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（   ） A．2025 B．2026 C．2027 D． 9．如图，，，，点，，在同一条直线上，则的长为（ ） A． 5 B． 6 C． 7 D． 8 10．如图，A，B是直线l同侧的两点，作点A关于直线l的对称点，连接．若点A，B到直线l的距离分别为2和3，则线段与之间的数量关系为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题） 11．如图，点A是射线外一点，连接，若，点A到的距离为，动点P从点B出发沿射线以的速度运动．设运动的时间为t秒，当为直角三角形时，t的值为_________． 12．小若利用欧几里得的一元二次方程图解法解方程的过程如下：将方程配方得，以和为两直角边作（如图），再在斜边及其延长线上截取，发现方程的解，．若，则的值为__________． 13．如图所示，在中，，，，点D为边上的中点，将沿对折，使点C落在同一平面内的点处，连接．则 （1）的长为______； （2）的长为______． 14．如图，在中，，，，点在上，延长到点，使，连接，若，则的长为______． 15．如图，动点，分别是正方形的边，上的动点，沿，折叠正方形，点，的对应点恰好都落在处，若，当点是边的三等分点时，的长为______________. 16．如图，在中，，与的角平分线交于点，连接，则______，若，，，则______． 三、解答题（本大题共5小题） 17．已知在△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=90°,以AC为一边在Rt△ABC外部作等腰直角三角形ACD,请你画出图形,并直接写出线段BD的长. 18．如图，已知中，，，，P、Q分别为、边上的动点，若点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，且时间为t． （1）当出发2秒时，求的周长． （2）运动过程中，直线可否将的周长分成相等的两部分，若可以，请求出运动时间，若不能，请说明理由． 19．某兴趣小组利用勾股定理和三角形的面积公式探究对角线互相垂直的四边形得出下面两个结论 【性质呈现】： 结论一：对角线互相垂直的四边形两组对边的平方和相等． 结论二：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半． 【概念呈现】：对角线互相垂直且相等的四边形叫垂等四边形． 【性质应用】： （1）如图1，中，，，，，过点作，垂足为点，并截取，连接，，过点作垂足为． ①请用含，的代数式表示图中的面积＝______；的面积＝______； ②请用含的代数式表示图中四边形的面积＝______； ③根据①②得出什么结论； 【拓展提高】： （2）如图2，中，，分别以、为直角边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，且，连接、、，且与交于点．求证：四边形是垂等四边形； （3）在（2）条件下，若，，直接写出的长． 20．在学习勾股定理后，我们知道，直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，则可得到，小红和小林分别通过各自的方式验证了这一结论． 【验证】（1）小红将如图1所示的4张大小形状完全相同的直角三角形纸片拼成如图2所示的大正方形，则图2中大正方形的面积为______，也可用几个三角形和正方形的面积表示为______，然后根据面积之间的数量关系即可验证勾股定理； （2）爱动脑的小林用图1中相同的2张直角三角形纸片拼成了如图3所示的梯形，他发现通过该图形也能验证勾股定理，请你帮助小林完成验证； 【应用】（3）如图4，已知在中，，，，动点D从点B出发沿射线运动，连接． ①当点D在线段上运动，且时，求的长； ②已知点C关于所在直线的对称点为点，当点恰好落在射线上时，请直接写出的长． 参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B C B C D A C D B 11．或 12． 13．； 14． 15．或 16．； 17． 18．（1）解：由题意得：当秒时，，， 又∵，， ∴． 在中，由勾股定理得： ． ∴的周长为：； （2）解：∵，，， ∴在中，由勾股定理得：， ∴的周长为：， ∴当时，在上，在上， ∴，， ∴， 由题意得：． ∴， 解得：． 不符合，故舍去． 当时，在上，在上， ∴，， 由题意得：， ∴， 解得：． ∴综上，当时，直线将的周长分成相等的两部分． 19．（1）①∵，， ∴，． ∴． 在和中 ∴． ∴，． ∴，，． ∴． ②∵， ∴． ∵， ∴． ③∵， ∴． ∴． ∴根据①②得出的结论为：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理． （2）∵和都是等腰直角三角形， ∴，． ∵，， ∴． ∴． ∴，． 设与交于点． ∵， ∴． ∴． ∴四边形是垂等四边形． （3）∵， ∴． ∵，，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 20．（1）图2中大正方形的面积为，也可用几个三角形和正方形的面积表示为. （2）验证：∵梯形的面积为，也可表示为， ∴， 整理得； （3）①在中，由勾股定理得． ∵， ∴． 在中，由勾股定理得； ②如图，当点D在线段上，且点恰好落在射线上． ∵点C与点关于对称， ∴，，， ∴，． 设， ∴． 在中，， 即， ∴， 即的长为； 如图2，当点D在线段的延长线上，且点恰好落在射线上． ∵点C与点关于对称， ∴，，， ∴． 设， ∴． 在中，， 即， ∴，即的长为6． 综上，的长为或6 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $