精品解析：陕西西安市汇知中学、第八十九中学2025-2026学年下学期期末检测八年级数学

2025~2026学年度第二学期期末检测 八年级数学 （满分：120分时间：100分钟） 一．选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列汉字中，可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 因式分解多项式，应提取的公因式是（ ） A. B. C. D. 3. 正九边形的每个外角的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 把分式（，）中的分子、分母的a、b同时扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大为原来的3倍 B. 扩大为原来的9倍 C. 缩小为原来的 D. 不改变 5. 如图，在平行四边形中，，点E为边上一点，连接，点M、N分别是的中点，连接，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 6. 如图，直线：和直线：（，为常数，且）相交于点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》中记载这样一道问题：现将一份文书送往距离里处的城池，若用慢马递送，所需时间比规定时间多天；若用快马递送，所需时间比规定时间少天．已知快马速度是慢马速度的倍，求规定的递送时间．设规定的递送时间为天，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在等腰中，，于点，于点，点在边上，连接交于，，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 因式分解： =___． 10. 请写出一个不等式的正整数解：________．（只写一个） 11. 如图，在中，，，点在边上，连接，，若，则的长为________． 12. 如图，在梯形中，，，将边沿方向平移到的位置，点的对应点在边上，若，，则与之间的距离是________． 13. 若关于的方程有增根，则的值为________． 14. 如图，在中，为边上的高，点和点分别为高和边上的动点，且．连接、，若，，，则的最小值为________．（结果保留根号） 三．解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解不等式组：． 16. 请用因式分解计算：． 17. 解分式方程：． 18. 如图，、表示两条互相交叉的公路，点处是一个大型货物批发站，现在要在内部建一个货物中转站．要求货物中转站到公路、的距离相等，且，请用尺规作图法找到货物中转站的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，在中，，过点、分别作，，连接、、，．求证：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，在中，点E、F在对角线上，且，点E在点F的左侧，点G、H分别在边、上，连接、，．求证：． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）将先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到，画出；（点A、B、C的对应点分别为点、、） （2）将绕点逆时针旋转得到，画出，并写出点的坐标．（点A、B的对应点分别为点、） 23. 中国书法是中华优秀传统文化的重要组成部分，书法教育对培养学生的书写能力、审美能力和文化品质具有重要作用．张叔叔计划为母校捐赠一批毛笔和宣纸，打算从甲、乙两家物流公司中选择一家进行运输，甲物流公司的收费标准是12元/千克；乙物流公司的收费标准是：5千克以内（无论几千克）共收费80元，超过5千克的部分，每增加1千克，收费增加10元．设张叔叔要运输的这批毛笔和宣纸共千克，甲物流公司的总运输费用为元，乙物流公司的总运输费用为元． （1）分别求出与之间的函数关系式； （2）张叔叔选择哪家物流公司比较划算？（不计其他费用） 24. 如图，在中，，，点是外一点，连接、，，过点作分别交、于点、． （1）求证：是等边三角形； （2）连接交于点，若，，求的长． 25. 生肖文化是中华传统文化的重要组成部分，承载着吉祥祈福、辞旧迎新的美好寓意．某文创商家为传承和弘扬生肖文化，计划购进甲、乙两种生肖主题纪念币进行销售，已知每枚乙种纪念币的进价是每枚甲种纪念币的进价的1.5倍，用300元购进甲种纪念币的数量比用540元购进乙种纪念币的数量少2枚． （1）求每枚甲、乙两种纪念币的进价各为多少元？ （2）商家发现销售效果较好，在甲、乙两种纪念币的进价保持不变的前提下，再次购进甲、乙两种纪念币共200枚，且购进的总费用不超过8250元，则该商家最少购进多少枚甲种纪念币？ 26. 【问题探究】 （1）如图，在中，，，点、分别是边、的中点，在线段上，连接、，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．求证：； 【问题解决】 （2）如图，某景观园林设计师规划了一块形如等腰的主题绿化区域，其中，，点、分别是底边、腰的中点，是预先铺设的景观步道，在点处设置景观灯，点在上，沿铺设景观步道，将绕点顺时针旋转得到新的景观步道，为方便游客通行，搭建步道、，在步道和边的交点处设置观景平台，测量发现点恰好是步道的中点（即），已知步道米，求步道的长．（步道的宽度以及景观灯、景观平台的大小均忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期期末检测 八年级数学 （满分：120分时间：100分钟） 一．选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列汉字中，可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转后与原图重合的图形是中心对称图形，进而分析即可．此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合． 【详解】A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 因式分解多项式，应提取的公因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据多项式的公因式的系数是多项式所有项的系数的最大公因数，字母是所有项均含的字母且次数取最低次数，它们的乘积即为多项式的公因式．据此即可解答． 【详解】解：∵多项式的两项系数为5和10， 最大公约数是5． 两项均含字母，， 其中的最低次数为1， 的最低次数为1． ∴ 应提取的公因式是． 3. 正九边形的每个外角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据任意多边形外角和为，正多边形各外角相等的性质，计算正九边形每个外角的度数即可． 【详解】解：∵任意多边形的外角和恒为，正九边形的9个外角都相等， ∴正九边形每个外角的度数为． 4. 把分式（，）中的分子、分母的a、b同时扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大为原来的3倍 B. 扩大为原来的9倍 C. 缩小为原来的 D. 不改变 【答案】D 【解析】 【详解】解：将、同时扩大为原来的3倍后，得到新分式， 所以新分式的值与原分式相等，即分式的值不改变． 5. 如图，在平行四边形中，，点E为边上一点，连接，点M、N分别是的中点，连接，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得到，再由三角形中位线定理可得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点M、N分别是的中点， ∴为的中位线， ∴． 6. 如图，直线：和直线：（，为常数，且）相交于点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线的表达式求出的值，观察函数图像得到在点的右边，直线：都在直线：的上方，据此求解． 【详解】解：直线：和直线：相交于点， 将点代入直线中，即当时，． 观察图像可知，不等式的解集为． 7. 《九章算术》中记载这样一道问题：现将一份文书送往距离里处的城池，若用慢马递送，所需时间比规定时间多天；若用快马递送，所需时间比规定时间少天．已知快马速度是慢马速度的倍，求规定的递送时间．设规定的递送时间为天，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分别表示出快、慢马的速度，再根据快马速度是慢马速度的倍列方程即可． 【详解】解：∵规定时间为天，慢马所需时间比规定时间多2天，快马所需时间比规定时间少3天， ∴慢马走完全程的时间为天，快马走完全程的时间为天， ∵总路程为900里， ∴慢马速度为，快马速度为， ∵快马速度是慢马速度的2倍， ∴． 8. 如图，在等腰中，，于点，于点，点在边上，连接交于，，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定和性质得出，，设，得出，根据各角之间的关系确定，得出，确定，再由等角对等边得出，结合图形求三角形面积即可 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为：． 二．填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 因式分解： =___． 【答案】． 【解析】 【详解】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此， 先提取公因式a后继续应用平方差公式分解即可：． 10. 请写出一个不等式的正整数解：________．（只写一个） 【答案】（或） 【解析】 【分析】先解不等式得到的取值范围，再找出范围内的正整数即可． 【详解】解：， 移项得， 合并同类项得， 不等式两边同时除以，不等号方向改变，得， ∴小于的正整数为和，任写一个即可． 11. 如图，在中，，，点在边上，连接，，若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】先由三角形内角和定理、直角三角形两锐角互余求出相关角度，再由所对的直角边是斜边的一半求出，然后得出，进而由等腰三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：在中，，，则， 在中，，，则， ， ， ， ， 即， ． 12. 如图，在梯形中，，，将边沿方向平移到的位置，点的对应点在边上，若，，则与之间的距离是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平移的性质得出，再由平行四边形的判定和性质得出四边形为平行四边形，，结合图形利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵边沿方向平移到的位置， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴与之间的距离是4． 13. 若关于的方程有增根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】分式方程有增根，说明增根使原方程分母为，先确定增根，再代入去分母后的整式方程即可求出． 【详解】解：， 方程两边同乘得：， 整理得， ∵原方程有增根， ∴分母，解得， 把代入，得， 解得． 14. 如图，在中，为边上的高，点和点分别为高和边上的动点，且．连接、，若，，，则的最小值为________．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】过点作，且，分别连接，则，证明，得到，当点在上时，取得最小值，且最小值为线段的长，在中，由勾股定理得到，即可得到答案． 【详解】解：过点作，且，分别连接，则， ， 在中，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 当点在上时，点三点共线，取得最小值，且最小值为线段的长，在中，由勾股定理得到， 即的最小值为． 三．解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴原不等式组的解集是． 16. 请用因式分解计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 17. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原方程去分母得， 解得， 检验：当时，， ∴原方程的解为． 18. 如图，、表示两条互相交叉的公路，点处是一个大型货物批发站，现在要在内部建一个货物中转站．要求货物中转站到公路、的距离相等，且，请用尺规作图法找到货物中转站的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，P点即为所求． 【解析】 【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，先作的平分线，然后连接，再作的垂直平分线，与相交于点P，则点P即为建中转站的位置． 【详解】解：由作图可知点在的平分线上， ∴点到公路、的距离相等， 又∵由作图可知点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴P点就是货物中转站的位置． 图略． 19. 如图，在中，，过点、分别作，，连接、、，．求证：． 【答案】证明：，， ． ， ． 又， ， ． 【解析】 【分析】根据等角对等边可得，再根据证明，即可得． 【详解】略 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【详解】解： ， 当时，原式． 21. 如图，在中，点E、F在对角线上，且，点E在点F的左侧，点G、H分别在边、上，连接、，．求证：． 【答案】证明：四边形是平行四边形， ，， ． ， ， ． 在和中，, ， ． ， ． 【解析】 【分析】首先根据平行四边形的性质得到和平行且相等，接着在和中，根据平行线性质得到两组对角相等，结合已知条件，证明两个三角形全等，从而得到对边，最后通过等量代换即可证明结论． 【详解】略 22. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）将先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到，画出；（点A、B、C的对应点分别为点、、） （2）将绕点逆时针旋转得到，画出，并写出点的坐标．（点A、B的对应点分别为点、） 【答案】（1）即为所求； ； （2）即为所求，点的坐标为． 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 中国书法是中华优秀传统文化的重要组成部分，书法教育对培养学生的书写能力、审美能力和文化品质具有重要作用．张叔叔计划为母校捐赠一批毛笔和宣纸，打算从甲、乙两家物流公司中选择一家进行运输，甲物流公司的收费标准是12元/千克；乙物流公司的收费标准是：5千克以内（无论几千克）共收费80元，超过5千克的部分，每增加1千克，收费增加10元．设张叔叔要运输的这批毛笔和宣纸共千克，甲物流公司的总运输费用为元，乙物流公司的总运输费用为元． （1）分别求出与之间的函数关系式； （2）张叔叔选择哪家物流公司比较划算？（不计其他费用） 【答案】（1）， （2）当时，张叔叔选择乙物流公司比较划算；当时，张叔叔选择两家物流公司的费用相同；当时，张叔叔选择甲物流公司比较划算 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的方案问题，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先分别理解甲、乙物流公司的收费标准，再分别列式化简，即可作答． （2）依题意，进行分类讨论，然后列式算出所对应的的值或者的范围，即可作答． 【小问1详解】 解：∵设张叔叔要运输的这批毛笔和宣纸共千克，甲物流公司的收费标准是12元/千克 ∴， ∵乙物流公司的收费标准是：5千克以内（无论几千克）共收费80元，超过5千克的部分，每增加1千克，收费增加10元． ∴ 【小问2详解】 解：当时，， 解得， 当时，， 解得， 当时，， 解得． 当时，张叔叔选择乙物流公司比较划算； 当时，张叔叔选择两家物流公司的费用相同； 当时，张叔叔选择甲物流公司比较划算． 24. 如图，在中，，，点是外一点，连接、，，过点作分别交、于点、． （1）求证：是等边三角形； （2）连接交于点，若，，求的长． 【答案】（1）证明：在中，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形； （2） 【解析】 【分析】（1）可证得是等边三角形，由，得到，，即可证得是等边三角形； （2）由等边三角形、线段垂直平分线、等腰三角形的性质可求得，由即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 25. 生肖文化是中华传统文化的重要组成部分，承载着吉祥祈福、辞旧迎新的美好寓意．某文创商家为传承和弘扬生肖文化，计划购进甲、乙两种生肖主题纪念币进行销售，已知每枚乙种纪念币的进价是每枚甲种纪念币的进价的1.5倍，用300元购进甲种纪念币的数量比用540元购进乙种纪念币的数量少2枚． （1）求每枚甲、乙两种纪念币的进价各为多少元？ （2）商家发现销售效果较好，在甲、乙两种纪念币的进价保持不变的前提下，再次购进甲、乙两种纪念币共200枚，且购进的总费用不超过8250元，则该商家最少购进多少枚甲种纪念币？ 【答案】（1）每枚甲种纪念币的进价为30元，每枚乙种纪念币的进价为45元 （2）该商家最少购进50枚甲种纪念币 【解析】 【分析】（1）设每枚甲种纪念币的进价为元，每枚乙种纪念币的进价为元．根据用300元购进甲种纪念币的数量比用540元购进乙种纪念币的数量少2枚列出分式方程求解即可得出答案． （2）设商家购进甲种纪念币枚，则购进乙种纪念币枚．根据购进甲、乙两种纪念币共200枚，且购进的总费用不超过8250元列出不等式求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：设每枚甲种纪念币的进价为元，每枚乙种纪念币的进价为元． 根据题意得 解得： 经检验是原方程的根， ∴ 答：每枚甲种纪念币的进价为30元，每枚乙种纪念币的进价为45元． 【小问2详解】 解：设商家购进甲种纪念币枚，则购进乙种纪念币枚． 根据题意得 解得： ∴该商家最少购进50枚甲种纪念币． 26. 【问题探究】 （1）如图，在中，，，点、分别是边、的中点，在线段上，连接、，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．求证：； 【问题解决】 （2）如图，某景观园林设计师规划了一块形如等腰的主题绿化区域，其中，，点、分别是底边、腰的中点，是预先铺设的景观步道，在点处设置景观灯，点在上，沿铺设景观步道，将绕点顺时针旋转得到新的景观步道，为方便游客通行，搭建步道、，在步道和边的交点处设置观景平台，测量发现点恰好是步道的中点（即），已知步道米，求步道的长．（步道的宽度以及景观灯、景观平台的大小均忽略不计） 【答案】（1）证明：∵点、分别是边、的中点， ∴是的中位线， ∴，， ，， ∴，， ∴， ∴． 由旋转性质得，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）步道的长为米 【解析】 【分析】（1）利用中位线的性质和等腰三角形的性质容易证明，由旋转的性质可得，，结合三角形内角和定理可得，进而证明，因此； （2）过点作交于点，连接，容易证明，则，．同理（1）可证明，则，，进而得到．利用等腰三角形的性质与三角形内角和定理可计算出，则，，从而证明四边形为平行四边形，则，综合可得米． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作交于点，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， 同（1）易得， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵ ，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵米， ∴米， 答：步道的长为米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $