精品解析：陕西咸阳市长武县2025～2026学年下学期期末考试八年级数学试题

2025~2026学年度第二学期学业水平评估 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷； 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 以下各数中，是不等式的解的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 对多项式进行因式分解，应提取的公因式是（ ） A. 4 B. C. D. 4. 在中，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 下列说法不一定成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 如图，平面直角坐标系中，线段的两端点坐标分别为，，现将该线段沿轴向右平移，使得点与原点重合，得到线段，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的方程有增根，则的值为（ ） A. 7 B. 4 C. 1 D. 0 8. 如图，在中，过点A作，点D在边上，连接并延长交于点E，连接，以、为邻边作，若的面积为8，则的面积为（ ） A. 16 B. 6 C. 12 D. 8 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 因式分解：__． 10. 要使分式有意义，则需要满足的条件是________． 11. 若将一个多边形的边数增加，则它的内角和增加的度数为 ． 12. 如图，在中，，点、分别为、的中点，连接，若，，则的长为____________． 13. 如图，在和中，，，若，则__________． 14. 如图，在中，，，，点是边上的动点，以为边，向下作如图所示等边，连接，则长的最小值为_____． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 因式分解：． 16. 解方程：． 17. 如图，已知，请用尺规作图，在上找一点，使得（保留作图痕迹，不写作法）． 18. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 19. 如图，是等边三角形，点是内的一点，连接，点是上的一点，连接，连接并延长，交于点，若．求证：是等边三角形． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为点、、． （1）若经过平移后得到，已知点C的对应点的坐标为，画出；（点A、B的对应点分别为点、） （2）将绕原点O顺时针旋转得到，画出．（点A、B、C的对应点分别为点、、） 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 如图，在中，对角线与相交于点O，点、、分别为、、的中点，连接、． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，求的长． 23. 2026年太原市推进口袋公园微更新民生工程，已知香樟树是法定市树，某项目组采购两种规格的香樟树苗用于绿化升级，其中大规格香樟树苗价格为120元/株，小规格香樟树苗价格为80元/株．若计划采购两种树苗共50株，且要求小规格树苗的数量不超过大规格树苗数量的1.5倍，请设计最省钱的采购方案，并求出该方案的总费用． 24. 如图，在中，点为边上一点，连接，过点分别作于点，于点，交于点，且． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的度数． 25. 为落实乡村快递配送，某物流园准备购入A、B两种型号的无人配送车，承担快递转运任务．已知A型无人车运送720件快递所用的时间与B型无人车运送480件快递所用的时间相同，且A型无人车每小时比B型无人车多运送15件，由于充电及道路拥堵问题，无人配送车的每天工作时间为8小时． （1）求A、B两种型号无人配送车每小时分别运送快递的件数； （2）若该物流园计划购入这两种无人配送车共20辆，保证每天至少6000件快递的转运量，求至少购入A型无人配送车多少辆？ 26. 按要求解答下列问题： （1）【问题探究】 如图1，将绕点旋转得到，点在边上，连接．求证：平分； （2）【问题解决】 如图2，城市休闲广场中心摆放了一块平行四边形景观钢板，设计师将这块平行四边形钢板以顶点为旋转中心，旋转一定角度得到新的平行四边形钢板，用作配套装饰雕塑，旋转后顶点恰好落在原钢板的边上，连接，连接交于点，现场勘测测得，的边米，米，求装饰区域的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期学业水平评估 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷； 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 以下各数中，是不等式的解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵ 不等式的解为所有小于的数， 又∵ ， ∴ 是该不等式的解． 2. 下列图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】中心对称是指把一个图形绕某点旋转，旋转后的图形能和原图形重合，则这个图形为中心对称图形，由此即可求解． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故该选项不符合题意； B、不是中心对称图形，故该选项不符合题意； C、是中心对称图形，故该选项符合题意； D、不是中心对称图形，故该选项不符合题意． 3. 对多项式进行因式分解，应提取的公因式是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵ 多项式中，系数2与8的最大公约数为2，两项共有的字母为，的最低次数为1，仅在第二项出现，不属于共有字母， ∴应提取的公因式是． 4. 在中，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴． 5. 下列说法不一定成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式性质逐一判断各选项是否一定成立即可，核心是注意不等式两边乘除负数时不等号方向要改变． 【详解】解：对于选项A：∵ ，不等式两边同乘得 ，两边同加得 ，A一定成立． 对于选项B：∵ ，不等式两边同加得 ，B一定成立． 对于选项C：当时，由可得；当时，由，不等式两边同除以负数，不等号方向改变，可得， 因此时，不一定成立，C不一定成立． 对于选项D：∵ ，，不等式两边同乘非负数，当，， 当，则，所以，所以可得，D一定成立． 6. 如图，平面直角坐标系中，线段的两端点坐标分别为，，现将该线段沿轴向右平移，使得点与原点重合，得到线段，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移后点与原点重合，可知是向右平移了个单位长度，根据平移方式即可得点的坐标． 【详解】解：平移后点与原点重合， 平移方式是向右平移个单位长度， 向右平移个单位长度后得点的坐标为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查平移，解题的关键是根据平移后点与原点重合找到平移方式． 7. 若关于的方程有增根，则的值为（ ） A. 7 B. 4 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】把原分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，根据分式方程有增根的条件是未知数的值使得分母为0求出x的值，进而建立关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解： 去分母得， 解得， ∵原分式方程有增根， ∴， ∴， ∴， ∴． 8. 如图，在中，过点A作，点D在边上，连接并延长交于点E，连接，以、为邻边作，若的面积为8，则的面积为（ ） A. 16 B. 6 C. 12 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行可知、等底同高，即有，进而可证明，再结合平行四边形的性质即可求解． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为8， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 因式分解：__． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用平方差公式分解即可得． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【点晴】本题考查了公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 10. 要使分式有意义，则需要满足的条件是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义时分母不为零，即可求解. 【详解】解：分式有意义， 分母不为零，即， 解得. 11. 若将一个多边形的边数增加，则它的内角和增加的度数为 ． 【答案】 【解析】 【分析】设原多边形边数为，分别计算原多边形和边数增加1后的内角和，作差即可求出增加的度数． 【详解】解：设原多边形的边数为，则内角和为， 新多边形边数为，内角和为， ∴内角和增加的度数为． 12. 如图，在中，，点、分别为、的中点，连接，若，，则的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据中位线定理可求解的长，再由勾股定理即可求得的长． 【详解】解：∵点、分别为、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵在中，，， ∴． 13. 如图，在和中，，，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件利用定理证明，得出，再利用直角三角形两锐角互余求出，最后利用角的和差关系求解即可． 【详解】解：， 与均为直角三角形， 在和中， ， ， ， ， ， ． 14. 如图，在中，，，，点是边上的动点，以为边，向下作如图所示等边，连接，则长的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】设的中点为点，连接，，证明，得，当时，取最小值，求得此时的，便是的最小值． 【详解】解：设的中点为点，连接，，如图， ，， ，， 为等边三角形， ，， ， ， ， 当时，取最小值为， 长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短性质，关键是构造全等三角形把的最小值转化为的最小值进行解答． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 因式分解：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【详解】解：方程两边都乘以，得， 解得：， 检验：当时，， 是分式方程的解， 故原分式方程的解是． 17. 如图，已知，请用尺规作图，在上找一点，使得（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】画图见解析. 【解析】 【分析】作AB的垂直平分线交BC于M，根据垂直平分线的性质可得AM=BM，所以AM+MC=BM+MC=BC． 【详解】解：如图，点M即为所作． 【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 18. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】， 在数轴上表示： 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：解①得：， 解②得：， 不等式组的解集为：． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 19. 如图，是等边三角形，点是内的一点，连接，点是上的一点，连接，连接并延长，交于点，若．求证：是等边三角形． 【答案】证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴, 同理可得， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】由等边三角形的性质得到，则由三角形外角的性质得到，同理可得，据此可证明是等边三角形． 【详解】证明：略． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为点、、． （1）若经过平移后得到，已知点C的对应点的坐标为，画出；（点A、B的对应点分别为点、） （2）将绕原点O顺时针旋转得到，画出．（点A、B、C的对应点分别为点、、） 【答案】（1）下图即为所求作： ， （2）下图，即为所求作： 【解析】 【分析】（1）先根据点C 和对应点的坐标，确定平移的方式，然后根据平移的性质解答即可； （2）根据旋转的性质解答即可． 【小问1详解】 解：∵点的对应点的坐标为， ∴向右平移5个单位，向上平移2个单位， 则点对应的点、点对应的点． 【小问2详解】 解：∵点、、绕原点O顺时针旋转， ∴点、、． 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 22. 如图，在中，对角线与相交于点O，点、、分别为、、的中点，连接、． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：点、、分别为、、的中点， 是的中位线，， ，， ，， 四边形为平行四边形． （2） 【解析】 【分析】（1）先证是的中位线，得出，，再结合即可得证； （2）由平行四边形的性质可得，，再结合点为的中点可求得的长，最后根据求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形与四边形均为平行四边形，， ，． 点为的中点， ， ， ． 23. 2026年太原市推进口袋公园微更新民生工程，已知香樟树是法定市树，某项目组采购两种规格的香樟树苗用于绿化升级，其中大规格香樟树苗价格为120元/株，小规格香樟树苗价格为80元/株．若计划采购两种树苗共50株，且要求小规格树苗的数量不超过大规格树苗数量的1.5倍，请设计最省钱的采购方案，并求出该方案的总费用． 【答案】最省钱采购方案为采购大规格香樟树苗20株，小规格香樟树苗30株，总费用为4800元． 【解析】 【分析】设采购大规格香樟树苗x棵，购买两种树苗所需的费用是y元，则采购小规格香樟树苗的数量为棵，根据题意列出不等式求得x的范围，再根据一次函数的性质求解即可． 【详解】解：设采购大规格香樟树苗x株，购买两种树苗所需的费用是y元，则采购小规格香樟树苗的数量为株， 根据题意，可得：， ∵小规格树苗的数量不超过大规格树苗数量的1.5倍， ∴， 解得：， ∵， ∴随x的增大而增大， ∵x取整数， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴最省钱采购方案为采购大规格香樟树苗20株，小规格香樟树苗30株，总费用为4800元． 24. 如图，在中，点为边上一点，连接，过点分别作于点，于点，交于点，且． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：∵，，且， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2） 【解析】 【分析】（1）由角平分线的判定定理可得平分，再由角平分线的定义和平行线的性质可 证明，得到，则可证明是等腰三角形； （2）证明，得到，求出的度数，可得到，据此可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）得， ∴． 25. 为落实乡村快递配送，某物流园准备购入A、B两种型号的无人配送车，承担快递转运任务．已知A型无人车运送720件快递所用的时间与B型无人车运送480件快递所用的时间相同，且A型无人车每小时比B型无人车多运送15件，由于充电及道路拥堵问题，无人配送车的每天工作时间为8小时． （1）求A、B两种型号无人配送车每小时分别运送快递的件数； （2）若该物流园计划购入这两种无人配送车共20辆，保证每天至少6000件快递的转运量，求至少购入A型无人配送车多少辆？ 【答案】（1）A型无人配送车每小时运送快递45件，B型无人配送车每小时运送快递30件 （2） 至少购入A型无人配送车10辆 【解析】 【分析】（1）根据“时间工作总量工作效率”列式，根据两种型号车的时间关系列等式求解即可； （2）根据“工作总量总工作效率总工作时间”列不等式． 【小问1详解】 解：设A型号无人配送车每小时运送快递的件数为件，则B型号无人配送车每小时运送快递的件数为件， 由题意得， 解得， 经检验，当时，， ∴是原分式方程的解， ∴， ∴A型无人配送车每小时运送快递45件，B型无人配送车每小时运送快递30件． 【小问2详解】 解：设A型无人配送车有辆，则B型号无人配送车有辆， 则， 解得， ∴至少购入A型无人配送车10辆． 26. 按要求解答下列问题： （1）【问题探究】 如图1，将绕点旋转得到，点在边上，连接．求证：平分； （2）【问题解决】 如图2，城市休闲广场中心摆放了一块平行四边形景观钢板，设计师将这块平行四边形钢板以顶点为旋转中心，旋转一定角度得到新的平行四边形钢板，用作配套装饰雕塑，旋转后顶点恰好落在原钢板的边上，连接，连接交于点，现场勘测测得，的边米，米，求装饰区域的面积． 【答案】（1）证明：在中，， ∴， 由旋转知， ∴， ∴， ∴平分； （2）平方米． 【解析】 【分析】（1）由平行、旋转及等腰三角形的性质得，即可证明结论； （2）过点B作，交于点N，连接，作于点I，由已知及旋转可得是等边三角形，结合平行四边形的性质得，，，再证明四边形是平行四边形，，则， 在中求得，即可求解． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：如图，过点B作，交于点N，连接，作于点I， 由（1）知， ∴， 由旋转有， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 由旋转得， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴（平方米）． 答：装饰区域的面积为平方米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $