1.1.1 空间向量及其线性运算（7个核心题型归纳）讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量及其线性运算核心知识点，系统梳理空间向量的概念（定义、模、特殊向量等）、线性运算（加减、数乘及运算律）、共线与共面判定，构建从基础概念到几何应用的学习支架，助力学生逐步掌握空间向量的理论与实践。 该资料以7大题型为框架，每个题型含基础知识、方法技巧、典型例题及巩固练习，通过概念辨析题培养抽象能力，线性运算题提升推理意识，几何应用题发展空间观念。课中辅助教师系统授课，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

1.1.1 空间向量及其线性运算 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高二上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 1．空间向量的有关概念 （1）定义：在空间中，把具有____大小___和___方向____的量叫做空间向量． （2）长度：向量的__大小______叫做向量的长度或_模_____ （3）表示法 ①字母表示法：空间向量用字母表示 ②有向线段表示法：向量的起点是A，终点是B，则向量也可以记作________，其模记为_______或________． （4）几类特殊向量 特殊向量 定义 表示法 零向量 长度为__0___的向量 单位向量 模为__1__的向量 或 相反向量 与长度___相等____而方向__相反 _____的向量，称为的相反向量 相等向量 方向__相同_____且模____相等___的向量 或 共线向量或平行向量 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 或 2．空间向量的共线与共面 （1）共线、共面向量 共线（平行）向量 共面向量 定义 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线______互相平行或重合________________，那么这些向量叫做___共线向量______或平行向量 平行于____同一个平面___________的向量，叫做共面向量 充要条件 对于空间任意两个向量（），的充要条件是存在实数，使___ ______ 若两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使______ （2）直线l的方向向量 如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得．我们把与向量平行的非零向量称为直线l的___方向向量 ____． 3．空间向量的加减运算 加法运算 三角形法则 语言表述 首尾顺次相接，___首指向尾___为和 图形表示 平行四边形法则 语言表述 以共起点的两边为邻边作平行四边形，___共起点对角线___为和 图形表示 减法运算 三角形法则 语言表述 共起点，连终点，方向指向__被减____向量 图形表示 运算律 交换律 __ ____ 结合律 _ _____ 4．空间向量的线性运算满足的运算律 交换律：___ ____. 结合律：________. 分配律： ________， ________. 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 空间向量概念辨析（单位向量，共线向量） 基础知识 核心知识 空间向量为既有大小又有方向的量 向量的模代表向量的长度 单位向量模长等于1方向不唯一 零向量模长为0方向任意 共线向量又称平行向量表示方向相同或者相反的非零向量 零向量与任意向量共线 相等向量要求模长相等且方向完全相同 方法技巧 判断向量关系同时兼顾方向与模长两个条件 单位向量只限定模长不限制方向 共线向量不要求向量位置重合 遇到零向量要特殊留意零向量方向具有任意性 看清题干区分单位向量相等向量共线向量概念 典型例题 【例题 1】（25-26高二上·山东济南·期中）（多选）下列四个命题中，说法不正确的是（   ） A．空间任意两个单位向量必相等 B．对于非零向量，由，则 C．是共线的充分不必要条件 D．若向量满足，则 【答案】ABD 【分析】根据单位向量、相等向量、共线向量、向量的数量积等逐项进行分析判断即可. 【详解】选项A：单位向量的模长均为1，但方向任意，而相等向量需要模长和方向都相同，因此空间任意两个单位向量不一定相等，A错误. 选项B：因为为非零向量，所以可化为，故，无法推出，B错误. 选项C：若，则，即， 所以，说明反向共线； 当共线时，①同向时，，②反向时，， 所以不一定等于. 因此是共线的充分不必要条件，C正确. 选项D：向量是既有大小又有方向的量，不能直接比较大小，故D错误. 故选：ABD. 【例题2】（25-26高二上·全国·期末）下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B．若空间向量，满足，则或； C．若空间向量满足，则； D．若空间向量满足，，则． 【答案】C 【分析】根据单位向量的性质可判断A的正误，根据相等向量的定义可判断BC的正误，根据零向量的性质可判断D的正误. 【详解】对于A，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点， 则它们的终点构成一个球面，所以A错误； 对于B，若空间向量，满足， 但由于它们的方向不一定相同或相反，故不一定相等或相反，所以B错误； 对于C，根据向量相等的定义可得，所以C正确； 对于D，向量的平行不具有传递性，比如当为零向量时，零向量与任何向量都平行， 则不一定平行，所以D错误. 故选：C. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·全国·期末）（多选）下列命题是假命题的是（ ） A．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B．是向量的必要不充分条件； C．与实数类似，对于两个向量、，有、、三种大小关系 D．若两个非零向量与满足，则与共线 【答案】AC 【分析】根据共面向量的定义可判断A选项；利用向量的定义结合充分条件、必要条件的定义可判断B选项；利用向量不能比大小可判断C选项；利用共线向量的定义可判断D选项, 【详解】对于A，因为空间中任意两向量平移之后都可以共面，所以空间中任意两向量均共面，所以A是假命题； 对于B，若，则和的模相等，方向不一定相同， 若，则和的模相等，方向也相同， 所以是向量的必要不充分条件，故B为真命题； 对于C，向量不能比较大小，只能对向量的长度进行比较，所以C是假命题； 对于D，因为，所以，故与共线，所以D是真命题． 故选：AC. 【巩固练习2】（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）（多选）下列关于空间向量的说法正确的是（    ） A．零向量与任意向量平行 B．相反向量就是方向相反的向量 C．零向量不能作为任意直线的方向向量 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 【答案】ACD 【分析】根据零向量概念可判断A；根据相反向量概念可判断B；根据直线方向向量与零向量可判断C；根据相等向量概念可判断D. 【详解】对于A，零向量方向是任意的，规定零向量与任意向量平行，故A正确； 对于B，相反向量是长度相等方向相反的一组向量，故B错误； 对于C，在直线上取非零向量，把与平行的非零向量称为直线的方向向量， 所以零向量不能作为任意直线的方向向量，故C正确； 对于D，方向相同且模相等的两个向量是相等向量，故D正确. 故选：ACD 【巩固练习3】（2026高二·全国·专题练习）（多选）下列命题中正确的是    （    ） A．如果,是两个单位向量，则 B．两个空间向量共线，则这两个向量方向相同 C．若，，为非零向量，且，，则 D．空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内 【答案】ACD 【分析】根据向量的定义及性质可以判定. 【详解】由单位向量的定义即得，故A正确； 共线不一定同向，故B错误； 因为为非零向量，且，所以，故C正确； 在空间任取一点，过此点引两个与已知非零向量相等的向量，而这两个向量所在的直线相交于此点，两条相交直线确定一个平面，所以两个非零向量可以平移到同一平面内，故D正确． 故选：ACD 【题型2】 空间向量的加减数乘运算 基础知识 核心知识 空间向量加法遵循三角形法则和平行四边形法则 向量减法可以转化为加上相反向量 数乘模长 数乘后与原向量方向相同 数乘后与原向量方向相反 得到零向量 加减数乘运算满足交换律结合律分配律 方法技巧 向量运算优先处理括号内部 数乘运算注意系数正负对向量方向的影响 向量化简时把相同基底进行合并整理 向量表达式移项变形和代数等式变形规则相近 注意向量符号书写向量不能直接和数字相等 典型例题 【例题1】（26-27高二上·河南郑州·开学考试）如图所示，在正方体 中，下列各式中运算结果为 的有（   ） ①； ②； ③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【详解】对于①：，①正确； 对于②：，②正确； 对于③：，③正确. 所以运算结果为的有个. 【例题2】（25-26高二下·甘肃白银·期末）在平行六面体中，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得， 所以. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二下·江苏徐州·阶段检测）在四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】在四面体中，为棱的中点， 则， 则. 【巩固练习2】（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 【巩固练习3】（25-26高二上·广东深圳·期末）如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】. 故选：B 【题型3】 空间向量线性运算的几何表示 基础知识 核心知识 空间任意向量都可以用空间内有向线段表示 向量加法三角形法则首尾相接 向量减法起点重合指向被减向量终点 线性运算可以将几何体中的向量用选定基底进行改写 同一个向量可以有多种不同的几何表达形式 方法技巧 在几何体中找向量优先确定起点和终点 向量改写坚持首尾相接的转换思路 把目标向量拆解成已知向量的加减组合 充分利用几何体中点中线等分点条件 完成表达式之后检验起点终点是否匹配 典型例题 【例题1】（25-26高二下·河南新乡·期中）如图，在三棱锥中，为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的加减法及数乘运算计算求解. 【详解】因为为的中点，所以， 因为， 所以． 【例题2】（24-25高二上·河南南阳·期末）如图，在四面体中，设，为的重心，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算可得结果. 【详解】 如图，连接，连接并延长交于点，则为中点，且， ∴. ∵为的中点，∴， ∴． 故选：A. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高二上·天津·期末）如图， 在四面体OABC中， M为棱BC的中点， 点N，P分别满足 则 （   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案. 【详解】 . 故选：B 【巩固练习2】（24-25高二上·天津南开·期中）在正四面体中，过点A作平面的垂线，垂足为H点，点M满足，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解. 【详解】在正四面体中， 因为平面，所以是的中心，连接， 则， 所以 . 故选：B. 【巩固练习3】（24-25高二上·贵州·阶段检测）如图，在四面体中，分别为的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算，将用表示即可. 【详解】因为分别为的中点，所以. 因为为的重心，所以， 所以. 故选：B. 【题型4】 空间向量共线及求参数 基础知识 核心知识 空间两个非零向量共线的充要条件是存在实数使得 零向量和任意向量共线 三点共线等价于 共线向量只关注方向不关注向量所在位置 方法技巧 向量共线优先套用列式 向量坐标形式则对应坐标成比例求解参数 注意讨论零向量的特殊情况 三点共线题型转化为向量共线条件列式 求出参数之后回代检验向量是否满足共线关系 典型例题 【例题1】（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）已知是空间的一个基底，向量，，，若，则的值________ 【答案】 【分析】由向量平行得到，求解即可. 【详解】因为，所以， 即，， 所以. 故答案为：. 【例题2】（25-26高二上·吉林·开学考试）设向量不共面，已知，，，若三点共线，则________． 【答案】0 【分析】由三点共线，可得与共线，即存在唯一的实数，使得，结合空间向量基本定理求解即可. 【详解】因为，，，所以．因为三点共线，所以存在唯一的实数，使得，即，即,解得. 故答案为：0 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高二下·福建龙岩·期中）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】由，列出方程求解即可. 【详解】因为三点共线， 所以， 即， 所以，解得， 所以， 故选：A 【巩固练习2】（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知向量，，是空间中不共面的三个向量，若，，. (1)若三点共线，求的值； (2)若四点共面，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量共线可得答案； （2）由四点共面设，得出，再由配方求最值可得答案. 【详解】（1）因为B，C，D三点共线，则， 又， ， 所以 即， 解得，所以； （2）因为A，B，C，D四点共面，所以， 即 ， 于是有， 解得，即， 所以， 当，时，取到最大值. 【巩固练习3】（25-26高二上·新疆喀什·期中）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把问题转化为两向量平行，求参数的问题求解. 【详解】因为 . 因为、、三点共线，所以. 所以 . 故选：D 【题型5】 判定空间向量共面及共面求参数 基础知识 核心知识 共面向量指平行于同一个平面的向量 两个不共线向量一定共面 三个向量共面代表其中一个向量可以写成另外两个向量的线性组合 若三个向量起点相同向量终点共面则三向量共面 方法技巧 两个向量一定共面不要误判 三个向量判定共面优先使用共面定理 坐标形式可构建方程组求解参数 注意区分向量共面和点共面的不同含义 求解参数完成后回代验证线性关系是否成立 典型例题 【例题1】（25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测）已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和，再逐个验证选项. 【详解】若在平面内，则存在实数，使得,即， 整理得：，令，则， 即点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和； 对于 A：系数和，不满足共面条件， 对于B：系数和，不满足共面条件， 对于 C：系数和，满足共面条件， 对于 D：系数和，不满足共面条件. 【例题2】（25-26高一下·黑龙江·期末）已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC外一点，且.若H，A，B，C四点共面，则__________. 【答案】 【分析】结合空间向量共面定理的推论求参数即可. 【详解】由题意可知H，A，B，C四点共面的充要条件是存在，使得且， 所以，解得. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·重庆·期末）已知是同一平面内的四点，且任意三点不共线，为平面外一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用共面向量定理的推论，四点共面时向量线性表示的系数和为1，列方程求解λ. 【详解】因为是同一平面内的四点，任意三点不共线， 为平面外一点，当时， 根据共面向量定理的推论，有，解得. 【巩固练习2】（2026高二·全国·专题练习）已知四点满足任意三点均不共线，但四点共面，为平面外任意一点，且，则实数的值为______． 【答案】 【分析】整理可得，结合四点共面的结论列式求解即可. 【详解】， 因为四点共面，所以，解得． 【巩固练习3】（2026·湖南长沙·二模）为空间任意一点，若，若A，B，C，P四点共面，则实数等于_______. 【答案】/ 【分析】借助空间向量线性运算及四点共面条件计算即可得. 【详解】由，则， 则， 由A，B，C，P四点共面，则，解得. 【题型6】 由空间向量共面定理求参数 基础知识 核心知识 空间向量共面定理如果不共线 则向量与共面的充要条件为存在实数满足 四点共面等价于 方法技巧 把已知向量全部整理为同一组基底的表达式 利用基底系数对应相等建立方程组求解参数 看清题目条件是向量共面还是四点共面 四点共面题型灵活转化为共面向量定理 解出参数务必回代检验等式关系 典型例题 【例题1】（2024·北京朝阳·模拟预测）在正四棱锥中，，设平面与直线交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，结合已知可得，利用共面求. 【详解】因为， 所以， 因为，所以， 所以， 又，所以， 所以， 因为共面，所以，解得. 故选：D. 【例题2】（24-25高三上·广东深圳·阶段检测）在三棱锥中，与中点分别为，点为中点．若在上满足，在上满足，平面交于点，且，则_____． 【答案】 【分析】利用向量的线性运算，结合四点共面，即可得到结果. 【详解】 由题意得，， ∵，，，∴，，， ∴， ∵点四点共面， ∴，解得. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据空间向量的线性运算得到，利用四点共面可知，即可得到的值. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高二上·湖北·期中）如图，在正四棱台中， .直线与平面EFG交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，通过四点共面，即可求解. 【详解】依题意，，在四棱台中， ， 设，则四点共面， . 故选：A 【巩固练习2】（23-24高二上·广东东莞·阶段检测）如图，点是棱长为2的正四面体底面的中心，过点的直线交棱于点是棱上的点，平面与棱的延长线相交于点，与棱的延长线相交下点，则______．    【答案】 【分析】确定，根据共面得到，解得答案. 【详解】 ； 四点共面，故，即. 故答案为： 【巩固练习3】（24-25高二上·全国·单元测试）在棱长为1的正方体中，，，分别在棱，，上，且满足，，，是平面，平面与平面的一个公共点，设，则 _________. 【答案】/1.2 【分析】根据共面定理列方程组可解. 【详解】如图所示， 正方体中，， ， ，A，，四点共面，，，，四点共面， ，解得，； ． 故答案为： 【题型7】 空间向量共面定理与空间几何体体积计算 基础知识 核心知识 由共面向量可以确定平面 空间几何体体积常用底面积乘以高 向量可以用来判断点到平面的距离相关条件 四点共面则四点构成的四面体体积等于0 方法技巧 先利用共面定理判断点是否落在目标平面上 若四点共面直接得到四面体体积为0 不共面时结合几何体几何特征寻找底面与高 结合向量条件分析几何体的位置关系 区分向量共面对体积带来的特殊情况 典型例题 【例题1】（2024·山东·模拟预测）已知三棱锥，空间内一点满足，则三棱锥与的体积之比为________． 【答案】 【分析】根据题意，化简得到，结合空间向量的基本定理，得到在平面内存在一点，使得，得到，即可求解. 【详解】由空间内一点满足， 可得， 因为，根据空间向量的基本定理，可得在平面内存在一点， 使得，所以，即点为的中点， 可得，所以三棱锥和的体积比值为. 故答案为：. 【例题2】（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知三棱锥的体积为15，是空间中一点，，则三棱锥的体积是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据题意，由空间向量的运算可得，再由空间向量基本定理可得，即可得到结果. 【详解】 因为，则， 即， 即，所以， 因为，由空间向量基本定理可知，在平面内存在一点， 使得成立，即， 所以，即，则， 又三棱锥的体积为15， 则. 故选：C 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高二上·河北·期中）如图，在正四棱锥中，E，F分别为的中点，．    (1)证明：B，E，G，F四点共面． (2)记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，求的值． 【答案】(1)证明如下： 设为空间的一组基底， 因为E，F分别为PA，PC的中点， 所以，． 又， 所以 ． ∴B，E，G，F四点共面． (2) 【分析】（1）根据题意，由空间向量的运算可得，即可证明B，E，G，F四点共面； （2）根据题意，由棱锥的体积公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）略 （2）由正四棱锥的对称性知，，． 设点E到平面PBG的距离为，点A到平面PBD的距离为，由E是PA的中点得． 由，得，则． 【巩固练习2】（24-25高二上·山西·开学考试）已知三棱锥的体积为13，是空间中一点，，则三棱锥的体积是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据空间向量基本定理，结合四点共面性质、共线向量的性质、三棱锥体积的性质进行求解即可. 【详解】由 ， 因为，所以在平面内存在一点，使得 成立，即， ， 故选：C    【巩固练习3】（2026·海南海口·模拟预测）已知四棱锥的底面是平行四边形，过点和的中点作平面，且平面与侧棱，（不含端点）分别交于点，，若四棱锥的体积为24，则四棱锥体积的最小值为________． 【答案】 【分析】设，其中，由空间四点共面定理可得，再由，得，结合基本不等式求解即可. 【详解】设，其中， 取空间基底, 因为底面是平行四边形， 所以 , 又因为为的中点， 所以, 又因为四点共面， 所以 , 所以，解得， 又因为, 又因为， ， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 所以四棱锥体积的最小值为8. 课后过关检测 一、单选题 1．（24-25高二下·全国·课堂例题）下列关于空间向量的说法中正确的是（　　） A．单位向量都相等 B．若，则的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 【答案】D 【分析】根据向量的相关概念及向量的性质，即可判断各项的正误. 【详解】对于A中，单位向量长度相等，方向不确定，故A错误； 对于B中，只能说明的长度相等而方向不确定，故B错误； 对于C中，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，故错误； 对于D中，相等向量其方向必相同，故D正确． 故选：D. 2．（25-26高二下·福建宁德·期末）如图，在三棱锥中，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 3．（25-26高二上·江西南昌·期末）如图，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，是底面圆的圆心，，为SC的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据空间向量的线性运算即可得结果. 【详解】因为，为SC的中点， 所以， 故选：C. 4．（25-26高二上·山东泰安·期末）已知在三棱锥中，，点在线段上，且，点为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的线性运算计算可得到结果. 【详解】因为点为线段的中点，所以 因此 故选：B. 5．（25-26高二上·天津西青·阶段检测）已知是空间的一组基底，其中，，.若，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，设存在唯一的实数对，使得，结合向量的数乘运算和相等向量的概念计算，即可求解. 【详解】由题意，设存在唯一的实数对，使得， 即， 则， 则x=2，，，解得. 故选：D. 6．（24-25高三上·江苏苏州·阶段检测）如图，三棱柱中，为的中点，满足，过作三棱柱的截面交于，且，则实数的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由四点共面，，由，求出的值. 【详解】因为，E为中点，. 又因为四点共面，设， 即 所以 ， 所以. 故选：A． 7．（2025高三上·河南安阳·专题练习）若，，是空间一组不共面的向量，则不共面的一组向量为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据空间向量共面定理依次判断各选项即可得到答案． 【详解】A选项：，所以，，是共面向量； B选项：，所以，，是共面向量； C选项：， 所以，，是共面向量； D选项：令，即， 则，显然方程组无解，故，，不是共面向量． 故选：D． 8．（25-26高三上·黑龙江·阶段检测）已知正方体，点，，分别在棱，，上，且，，，过，，三点的平面与棱相交于点，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算求出，，，利用向量共面，即存在实数，使得，列出方程，解方程即可得到答案. 【详解】因为点，，分别在棱，，上，且，，， 则， ， 设，则， 因为四点共面，所以共面． 设存在实数，使得， 所以，，，解得，． 即，所以． 故选：A．    9．（24-25高二上·上海宝山·阶段检测）在正四面体中，，点满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，延长至点，使得，得到，结合空间向量的共面定理，得到四点共面，把A到平面的距离转化为点到平面的距离的一半，结合正四棱锥的性质，即可求解. 【详解】如图所示，延长至点，使得， 所以， 又由，所以四点共面， 所以的最小值，即为点A到平面的距离， 因为点A是的中点，则点A到平面的距离是点到平面的距离的一半， 又因为，所以三棱锥为正三棱锥， 取等边的中心为，连接，可得平面， 所以即为点到平面的距离， 在等边，因为，可得， 在直角中，可得， 即点到平面的距离为，所以的最小值为. 故选：B. 10．（24-25高二上·山东烟台·阶段检测）已知正四面体的棱长为3，空间中一点满足，其中，且.则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】根据共面定理的推论判断点的位置，然后求正四面体的高即可得解. 【详解】因为，，所以四点共面， 所以的最小值即为正四面体的高， 记的中点为，作底面于点， 由正四面体的性质可知，为正三角形的重心， 所以， 所以， 即的最小值为. 故选：C 二、多选题 11．（24-25高二上·山东·期中）下列说法中正确的是（    ） A． 是共线的充分不必要条件 B．若共线，则 C．三点不共线，对空间中任意一点，若，则四点共面 D．若为空间四点，且有（不共线），则是三点共线的充要条件 【答案】ACD 【分析】由向量数量积运算律及共线判定，结合充分必要性定义判断A，利用共线，则直线AB，CD可能重合判断B，利用四点共面的结论判断C，由向量线性运算及共线判定，结合充分必要性定义判断D. 【详解】对于A：由， 此时，共线，充分性成立， 若，同向共线，且，则，显然不成立， 必要性不成立， 所以“”是“共线”的充分不必要条件，故A正确； 对于B：若共线，则直线AB，CD可能重合，故B错误； 对于C：由，且， 根据空间向量共面的推论知四点共面，故C正确； 对于D：（不共线），若， 则，所以， 即，所以三点共线，反之也成立， 所以是三点共线的充要条件，（本选项也可用三点共线的推论）故D正确. 故选：ACD 三、填空题 12．（25-26高二上·青海海南·阶段检测）如图，在四面体中，，，分别是，，的中点，化简：______，______，______．    【答案】 【分析】根据向量的线性运算即可. 【详解】； ； ； 故答案为：；；. 13．（25-26高二上·安徽·期末）在四面体中，点D满足，若A，B，C，D四点共面，则_______. 【答案】 【分析】利用空间向量的共面定理建立方程，求解参数即可. 【详解】因为四点共面，所以，解得. 故答案为： 14．（24-25高二上·四川南充·期中）设，是空间中两个不共线的向量，已知，，，且 三点共线，则实数___________． 【答案】 【分析】先求出向量，再根据，，三点共线得出与的关系，从而求出的值. 【详解】因为，已知，， 所以. 因为，，三点共线，所以与共线，即存在实数，使得. 已知，，则. 根据向量相等的性质，对于和前面的系数分别相等，可得. 由，解得，又因为，所以. 故答案为：. 15．如图，在正方体中，、分别是棱、的中点，是棱上靠近的四等分点，过、、三点的平面交棱于，设，则______. 【答案】/ 【分析】设，，，用基底表示向量、、，设，可出关于、、的方程组，即可得解. 【详解】设，，，则， ， ， 由题意可知，、、共面，设， 即， 所以，，解得. 故答案为：. 四、解答题 16．在正四面体中，点在平面内的投影为，点是线段的中点，过的平面分别与，，交于，，三点. (1)若，求的值； (2)设，，，求的值. 【答案】(1)0 (2)6 【分析】（1）为正的中心，利用空间向量的线性运算，把用表示，可求的值； （2）根据已知条件，把用表示，由，，，共面，可求的值. 【详解】（1）正四面体中，在底面内的投影为正的中心， ∴， ∴，，，∴. （2）因为，且，，， 所以，即， 因为，，，共面，所以，即. $1.1.1 空间向量及其线性运算 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高二上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 1．空间向量的有关概念 （1）定义：在空间中，把具有____大小___和___方向____的量叫做空间向量． （2）长度：向量的__大小______叫做向量的长度或_模_____ （3）表示法 ①字母表示法：空间向量用字母表示 ②有向线段表示法：向量的起点是A，终点是B，则向量也可以记作________，其模记为_______或________． （4）几类特殊向量 特殊向量 定义 表示法 零向量 长度为__0___的向量 单位向量 模为__1__的向量 或 相反向量 与长度___相等____而方向__相反 _____的向量，称为的相反向量 相等向量 方向__相同_____且模____相等___的向量 或 共线向量或平行向量 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 或 2．空间向量的共线与共面 （1）共线、共面向量 共线（平行）向量 共面向量 定义 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线______互相平行或重合________________，那么这些向量叫做___共线向量______或平行向量 平行于____同一个平面___________的向量，叫做共面向量 充要条件 对于空间任意两个向量（），的充要条件是存在实数，使___ ______ 若两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使______ （2）直线l的方向向量 如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得．我们把与向量平行的非零向量称为直线l的___方向向量 ____． 3．空间向量的加减运算 加法运算 三角形法则 语言表述 首尾顺次相接，___首指向尾___为和 图形表示 平行四边形法则 语言表述 以共起点的两边为邻边作平行四边形，___共起点对角线___为和 图形表示 减法运算 三角形法则 语言表述 共起点，连终点，方向指向__被减____向量 图形表示 运算律 交换律 __ ____ 结合律 _ _____ 4．空间向量的线性运算满足的运算律 交换律：___ ____. 结合律：________. 分配律： ________， ________. 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 空间向量概念辨析（单位向量，共线向量） 基础知识 核心知识 空间向量为既有大小又有方向的量 向量的模代表向量的长度 单位向量模长等于1方向不唯一 零向量模长为0方向任意 共线向量又称平行向量表示方向相同或者相反的非零向量 零向量与任意向量共线 相等向量要求模长相等且方向完全相同 方法技巧 判断向量关系同时兼顾方向与模长两个条件 单位向量只限定模长不限制方向 共线向量不要求向量位置重合 遇到零向量要特殊留意零向量方向具有任意性 看清题干区分单位向量相等向量共线向量概念 典型例题 【例题 1】（25-26高二上·山东济南·期中）（多选）下列四个命题中，说法不正确的是（   ） A．空间任意两个单位向量必相等 B．对于非零向量，由，则 C．是共线的充分不必要条件 D．若向量满足，则 【例题2】（25-26高二上·全国·期末）下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B．若空间向量，满足，则或； C．若空间向量满足，则； D．若空间向量满足，，则． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·全国·期末）（多选）下列命题是假命题的是（ ） A．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B．是向量的必要不充分条件； C．与实数类似，对于两个向量、，有、、三种大小关系 D．若两个非零向量与满足，则与共线 【巩固练习2】（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）（多选）下列关于空间向量的说法正确的是（    ） A．零向量与任意向量平行 B．相反向量就是方向相反的向量 C．零向量不能作为任意直线的方向向量 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 【巩固练习3】（2026高二·全国·专题练习）（多选）下列命题中正确的是    （    ） A．如果,是两个单位向量，则 B．两个空间向量共线，则这两个向量方向相同 C．若，，为非零向量，且，，则 D．空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内 【题型2】 空间向量的加减数乘运算 基础知识 核心知识 空间向量加法遵循三角形法则和平行四边形法则 向量减法可以转化为加上相反向量 数乘模长 数乘后与原向量方向相同 数乘后与原向量方向相反 得到零向量 加减数乘运算满足交换律结合律分配律 方法技巧 向量运算优先处理括号内部 数乘运算注意系数正负对向量方向的影响 向量化简时把相同基底进行合并整理 向量表达式移项变形和代数等式变形规则相近 注意向量符号书写向量不能直接和数字相等 典型例题 【例题1】（26-27高二上·河南郑州·开学考试）如图所示，在正方体 中，下列各式中运算结果为 的有（   ） ①； ②； ③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【例题2】（25-26高二下·甘肃白银·期末）在平行六面体中，（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二下·江苏徐州·阶段检测）在四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（25-26高二上·广东深圳·期末）如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 【题型3】 空间向量线性运算的几何表示 基础知识 核心知识 空间任意向量都可以用空间内有向线段表示 向量加法三角形法则首尾相接 向量减法起点重合指向被减向量终点 线性运算可以将几何体中的向量用选定基底进行改写 同一个向量可以有多种不同的几何表达形式 方法技巧 在几何体中找向量优先确定起点和终点 向量改写坚持首尾相接的转换思路 把目标向量拆解成已知向量的加减组合 充分利用几何体中点中线等分点条件 完成表达式之后检验起点终点是否匹配 典型例题 【例题1】（25-26高二下·河南新乡·期中）如图，在三棱锥中，为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高二上·河南南阳·期末）如图，在四面体中，设，为的重心，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高二上·天津·期末）如图， 在四面体OABC中， M为棱BC的中点， 点N，P分别满足 则 （   ）    A． B． C． D． 【巩固练习2】（24-25高二上·天津南开·期中）在正四面体中，过点A作平面的垂线，垂足为H点，点M满足，则（    ）． A． B． C． D． 【巩固练习3】（24-25高二上·贵州·阶段检测）如图，在四面体中，分别为的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【题型4】 空间向量共线及求参数 基础知识 核心知识 空间两个非零向量共线的充要条件是存在实数使得 零向量和任意向量共线 三点共线等价于 共线向量只关注方向不关注向量所在位置 方法技巧 向量共线优先套用列式 向量坐标形式则对应坐标成比例求解参数 注意讨论零向量的特殊情况 三点共线题型转化为向量共线条件列式 求出参数之后回代检验向量是否满足共线关系 典型例题 【例题1】（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）已知是空间的一个基底，向量，，，若，则的值________ 【例题2】（25-26高二上·吉林·开学考试）设向量不共面，已知，，，若三点共线，则________． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高二下·福建龙岩·期中）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【巩固练习2】（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知向量，，是空间中不共面的三个向量，若，，. (1)若三点共线，求的值； (2)若四点共面，求的最大值. 【巩固练习3】（25-26高二上·新疆喀什·期中）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【题型5】 判定空间向量共面及共面求参数 基础知识 核心知识 共面向量指平行于同一个平面的向量 两个不共线向量一定共面 三个向量共面代表其中一个向量可以写成另外两个向量的线性组合 若三个向量起点相同向量终点共面则三向量共面 方法技巧 两个向量一定共面不要误判 三个向量判定共面优先使用共面定理 坐标形式可构建方程组求解参数 注意区分向量共面和点共面的不同含义 求解参数完成后回代验证线性关系是否成立 典型例题 【例题1】（25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测）已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高一下·黑龙江·期末）已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC外一点，且.若H，A，B，C四点共面，则__________. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·重庆·期末）已知是同一平面内的四点，且任意三点不共线，为平面外一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 【巩固练习2】（2026高二·全国·专题练习）已知四点满足任意三点均不共线，但四点共面，为平面外任意一点，且，则实数的值为______． 【巩固练习3】（2026·湖南长沙·二模）为空间任意一点，若，若A，B，C，P四点共面，则实数等于_______. 【题型6】 由空间向量共面定理求参数 基础知识 核心知识 空间向量共面定理如果不共线 则向量与共面的充要条件为存在实数满足 四点共面等价于 方法技巧 把已知向量全部整理为同一组基底的表达式 利用基底系数对应相等建立方程组求解参数 看清题目条件是向量共面还是四点共面 四点共面题型灵活转化为共面向量定理 解出参数务必回代检验等式关系 典型例题 【例题1】（2024·北京朝阳·模拟预测）在正四棱锥中，，设平面与直线交于点，则（   ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高三上·广东深圳·阶段检测）在三棱锥中，与中点分别为，点为中点．若在上满足，在上满足，平面交于点，且，则_____． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高二上·湖北·期中）如图，在正四棱台中， .直线与平面EFG交于点，则（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（23-24高二上·广东东莞·阶段检测）如图，点是棱长为2的正四面体底面的中心，过点的直线交棱于点是棱上的点，平面与棱的延长线相交于点，与棱的延长线相交下点，则______．    【巩固练习3】（24-25高二上·全国·单元测试）在棱长为1的正方体中，，，分别在棱，，上，且满足，，，是平面，平面与平面的一个公共点，设，则 _________. 【题型7】 空间向量共面定理与空间几何体体积计算 基础知识 核心知识 由共面向量可以确定平面 空间几何体体积常用底面积乘以高 向量可以用来判断点到平面的距离相关条件 四点共面则四点构成的四面体体积等于0 方法技巧 先利用共面定理判断点是否落在目标平面上 若四点共面直接得到四面体体积为0 不共面时结合几何体几何特征寻找底面与高 结合向量条件分析几何体的位置关系 区分向量共面对体积带来的特殊情况 典型例题 【例题1】（2024·山东·模拟预测）已知三棱锥，空间内一点满足，则三棱锥与的体积之比为________． 【例题2】（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知三棱锥的体积为15，是空间中一点，，则三棱锥的体积是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高二上·河北·期中）如图，在正四棱锥中，E，F分别为的中点，．    (1)证明：B，E，G，F四点共面． (2)记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，求的值． 【巩固练习2】（24-25高二上·山西·开学考试）已知三棱锥的体积为13，是空间中一点，，则三棱锥的体积是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【巩固练习3】（2026·海南海口·模拟预测）已知四棱锥的底面是平行四边形，过点和的中点作平面，且平面与侧棱，（不含端点）分别交于点，，若四棱锥的体积为24，则四棱锥体积的最小值为________． 课后过关检测 一、单选题 1．（24-25高二下·全国·课堂例题）下列关于空间向量的说法中正确的是（　　） A．单位向量都相等 B．若，则的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 2．（25-26高二下·福建宁德·期末）如图，在三棱锥中，（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江西南昌·期末）如图，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，是底面圆的圆心，，为SC的中点，则（    ）    A． B． C． D． 4．（25-26高二上·山东泰安·期末）已知在三棱锥中，，点在线段上，且，点为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·天津西青·阶段检测）已知是空间的一组基底，其中，，.若，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·江苏苏州·阶段检测）如图，三棱柱中，为的中点，满足，过作三棱柱的截面交于，且，则实数的值为（   ）    A． B． C． D． 7．（2025高三上·河南安阳·专题练习）若，，是空间一组不共面的向量，则不共面的一组向量为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 8．（25-26高三上·黑龙江·阶段检测）已知正方体，点，，分别在棱，，上，且，，，过，，三点的平面与棱相交于点，若，则（ ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·上海宝山·阶段检测）在正四面体中，，点满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·山东烟台·阶段检测）已知正四面体的棱长为3，空间中一点满足，其中，且.则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．3 二、多选题 11．（24-25高二上·山东·期中）下列说法中正确的是（    ） A． 是共线的充分不必要条件 B．若共线，则 C．三点不共线，对空间中任意一点，若，则四点共面 D．若为空间四点，且有（不共线），则是三点共线的充要条件 三、填空题 12．（25-26高二上·青海海南·阶段检测）如图，在四面体中，，，分别是，，的中点，化简：______，______，______．    13．（25-26高二上·安徽·期末）在四面体中，点D满足，若A，B，C，D四点共面，则_______. 14．（24-25高二上·四川南充·期中）设，是空间中两个不共线的向量，已知，，，且 三点共线，则实数___________． 15．如图，在正方体中，、分别是棱、的中点，是棱上靠近的四等分点，过、、三点的平面交棱于，设，则______. 四、解答题 16．在正四面体中，点在平面内的投影为，点是线段的中点，过的平面分别与，，交于，，三点. (1)若，求的值； (2)设，，，求的值. $