1.1.1 空间向量及其线性运算讲义【知识清单+5大题型】-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本高中数学讲义聚焦空间向量及其线性运算核心知识点，系统梳理空间向量的概念、表示方法、加减与数乘运算，以及共线、共面向量的定理及推论，构建从基础概念到运算应用的递进学习支架。 资料以典型例题为载体，结合正方体、三棱锥等几何体实例，通过概念辨析、推理证明培养学生的空间观念与几何直观（数学眼光），训练逻辑推理能力（数学思维）。课中辅助教师分层教学，课后检测助力学生巩固知识、查漏补缺，提升应用意识（数学语言）。

1.1.1 空间向量及其线性运算 第一部分：知识清单 知识点1：空间向量的有关概念 1.空间向量的有关概念 （1）概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模；如空间中的位移速度、力等． （2）几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 2.空间向量的表示 表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法： （1）几何表示法：用有向线段来表示，叫向量的起点，叫向量的终点； （2）字母表示法：用表示．向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或. 知识点2：空间向量的加法、减法运算 1.空间向量的位置：已知空间向量，可以把它们平移到同一平面内，以任意点为起点，作向量， 2.空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量，则向量叫做向量的和．记作，即 3.空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量叫做与差，记作，即 4.空间向量的加法运算律 （1）加法交换律： （2）加法结合律： 知识点3：空间向量的数乘运算 1.定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 2.数乘向量与向量的关系 的范围 的方向 的模 与向量的方向相同 ，其方向是任意的 与向量的方向相反 3.对数乘向量与向量的关系的进一步理解： （1）可以把向量模扩大（当时），也可缩小（当时）；可以不改变向量的方向（当时），也可以改变向量的方向（当时）． （2）实数与向量的积的特殊情况：当时，；当时，若，则． （3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如，，没有意义，无法运算． 知识点4：共线向量与共面向量 1.共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为． 在正确理解共线向量的定义时，要注意以下两点： （1）零向量和空间任一向量是共线向量． （2）共线向量不具有传递性，如，那么不一定成立，因为当时，虽然，但不一定与共线（特别注意，与任何向量共线）． 2.共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使． （1）共线向量定理推论：如果为经过点平行于已知非零向量的直线,那么对于空间任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,使①，若在上取，则①可以化作： （2）拓展(高频考点）：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中 3.共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． （1）共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 （2）空间共面向量的表示 如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使． 或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． （3）拓展 对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 第二部分：典型例题汇总 典例一 空间向量的有关概念 典例二 空间向量的加减运算 典例三 空间向量共线的问题 典例四 空间向量共面的问题 典例五 空间向量的数乘运算 第三部分：典型例题 典例一 空间向量的有关概念 1．（25-26高一·全国·课后作业）①零向量没有方向； ②两个有公共终点的向量，一定是共线向量； ③空间向量的数乘运算中，只决定向量的大小， 不决定向量的方向； ④若， 则； ⑤若两个向量的起点重合， 则这两个向量的方向相同； 则上述命题中正确的是___________.（填写序号） 2．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）（多选）下列命题中，是真命题的为    （    ） A．若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同 B．若空间向量满足，则 C．若空间向量满足，则 D．在正方体中，必有 3．（25-26高二上·山西临汾·阶段检测）如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．    (1)试写出与相等的所有向量． (2)试写出的相反向量． 4．（25-26高二上·贵州黔西南·阶段检测）（多选）下列说法，错误的为（    ） A．若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同 B．若向量满足，且与同向，则 C．若两个非零向量与满足，则为相反向量 D．的充要条件是与重合，与重合 典例二 空间向量的加减运算 5．（25-26高二上·陕西咸阳·阶段检测）已知平行六面体，化简下列向量表达式 (1)； (2)； (3)． 6．（25-26高二上·浙江舟山·阶段检测）如图，在平行六面体中，若，与相等的是（   ）    A． B． C． D． 7．（25-26高二下·江苏徐州·期中）在四棱柱中，，，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）在四面体中，，D为的三等分点（靠近B点），E为的中点，则（    ） A． B． C． D． 典例三 空间向量共线的问题 9．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图，在正方体中，E在上，且，F在对角线A1C上，且若. (1)用表示. (2)求证：E，F，B三点共线. 10．（25-26高二上·全国·课后作业）已知三点共线，为空间任意一点，，则______. 11．（25-26高二下·全国·课后作业）已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0 12．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）已知、、三个空间向量，若与共线，则的值为______． 典例四 空间向量共面的问题 13．（25-26高二上·山东青岛·阶段检测）（多选）以下能判定空间中四点共面的条件是（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高一·全国·课后作业）已知非零向量，，，若，为共线向量，则以下判断中错误的是（    ） A．与一定共线 B．与一定共面 C．，，一定共面 D．与一定共线 15．（25-26高二上·安徽亳州·期末）已知是空间的一组基，向量，且四点共面，则__________. 16．（25-26高二上·青海海东·期末）已知，，，四点共面于，且其中任意三点均不共线.设为空间中任意一点且，若，则（   ） A．0 B．1 C． D． 17．（25-26高二上·安徽宿州·期末）三棱锥中，点面，且，则实数（   ） A． B． C． D． 18．（25-26高二上·四川绵阳·期末）（多选）以下能确定空间中四点 共面的条件是（   ） A． B． C． D． 典例五 空间向量的数乘运算 19．（25-26高二上·安徽·期末）如图，三棱柱中，，，，点为四边形的中心点，则（    ）    A． B． C． D． 20．（25-26高二上·山西长治·期末）（多选）在三棱锥中，，，，点在直线上，且，是的中点，则下列结论可能成立的是（    ） A． B． C． D． 21．（25-26高二上·河南濮阳·期末）如图，在三棱台中，，，，，，分别为，的中点，则（   ） A． B． C． D． 22．（25-26高二上·辽宁丹东·期末）在四面体中，，，，点满足，为的中点，且，则（   ） A． B． C． D． 第四部分：课后检测 1．（25-26高二上·重庆·期中）关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面 2．（25-26高二·全国·暑假作业）在正方体中，下列各式的运算结果不为向量的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江西南昌·期末）如图，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，是底面圆的圆心，，为SC的中点，则（    ）    A． B． C． D． 4．（25-26高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知向量，，不共面，下列选项中的三个向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．（25-26高二上·广东广州·期末）在正四棱锥中，，.若平面AEF与直线PC相交于点Q，且，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 7．（25-26高二上·广东惠州·期末）如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 8．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）在三棱柱中，设，，，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）（多选）在以下命题中，不正确的命题是（   ） A．已知A，B，C，D是空间任意四点，则 B．是共线的充要条件 C．若与共线，则表示与的有向线段所在直线平行 D．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若（其中），则P，A，B，C四点共面 10．（25-26高二上·辽宁丹东·期末）（多选）已知O，A，B，C，D是空间中互不重合的点，空间向量，，不共面，下列命题正确的是（   ） A．若，，，则向量，，共面 B．若，，则 C．若，则A，B，C，D共面 D．若，则A，B，C，D共面 11．（25-26高二上·四川成都·期中）（多选）在正方体中，下列各式运算结果为向量的是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·安徽·期末）在四面体中，点D满足，若A，B，C，D四点共面，则_______. 13．（25-26高二上·云南迪庆·期末）如图，在平行六面体中，，，，点为线段的中点，则______（用含有的式子表示）．    14．（25-26高一·全国·课后作业）已知平行六面体，化简下列向量表达式 (1)； (2)； (3)． 15．（25-26高一·全国·课后作业）如图，已知平行六面体，分别是棱和的中点，求证：四点共面． 16．（25-26高一·全国·课后作业）如图，在平行六面体中，分别是，，的中点，是线段上的动点．    (1)求证：四点共面； (2)若且三点共线，求的值． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1.1 空间向量及其线性运算 第一部分：知识清单 知识点1：空间向量的有关概念 1.空间向量的有关概念 （1）概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模；如空间中的位移速度、力等． （2）几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 2.空间向量的表示 表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法： （1）几何表示法：用有向线段来表示，叫向量的起点，叫向量的终点； （2）字母表示法：用表示．向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或. 知识点2：空间向量的加法、减法运算 1.空间向量的位置：已知空间向量，可以把它们平移到同一平面内，以任意点为起点，作向量， 2.空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量，则向量叫做向量的和．记作，即 3.空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量叫做与差，记作，即 4.空间向量的加法运算律 （1）加法交换律： （2）加法结合律： 知识点3：空间向量的数乘运算 1.定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 2.数乘向量与向量的关系 的范围 的方向 的模 与向量的方向相同 ，其方向是任意的 与向量的方向相反 3.对数乘向量与向量的关系的进一步理解： （1）可以把向量模扩大（当时），也可缩小（当时）；可以不改变向量的方向（当时），也可以改变向量的方向（当时）． （2）实数与向量的积的特殊情况：当时，；当时，若，则． （3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如，，没有意义，无法运算． 知识点4：共线向量与共面向量 1.共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为． 在正确理解共线向量的定义时，要注意以下两点： （1）零向量和空间任一向量是共线向量． （2）共线向量不具有传递性，如，那么不一定成立，因为当时，虽然，但不一定与共线（特别注意，与任何向量共线）． 2.共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使． （1）共线向量定理推论：如果为经过点平行于已知非零向量的直线,那么对于空间任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,使①，若在上取，则①可以化作： （2）拓展(高频考点）：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中 3.共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． （1）共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 （2）空间共面向量的表示 如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使． 或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． （3）拓展 对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 第二部分：典型例题汇总 典例一 空间向量的有关概念 典例二 空间向量的加减运算 典例三 空间向量共线的问题 典例四 空间向量共面的问题 典例五 空间向量的数乘运算 第三部分：典型例题 典例一 空间向量的有关概念 1．（25-26高一·全国·课后作业）①零向量没有方向； ②两个有公共终点的向量，一定是共线向量； ③空间向量的数乘运算中，只决定向量的大小， 不决定向量的方向； ④若， 则； ⑤若两个向量的起点重合， 则这两个向量的方向相同； 则上述命题中正确的是___________.（填写序号） 【答案】④ 【分析】依据空间向量的有关概念辨析即可. 【详解】①错误.零向量与任意向量平行，方向是任意的. ②错误.方向相同或相反的向量称为共线向量，只终点相同，不能确定向量的方向. ③错误.当时，与向量的方向相同；当时，与向量的方向相反. ④正确.由相反向量的概念可知正确. ⑤错误.若两个向量的起点重合，终点不确定，则其方向的关系不能确定. 故答案为：④ 2．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）（多选）下列命题中，是真命题的为    （    ） A．若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同 B．若空间向量满足，则 C．若空间向量满足，则 D．在正方体中，必有 【答案】CD 【分析】根据给定条件，利用空间向量的相关概念逐项判断即得. 【详解】当两个向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个相等的向量起点、终点不一定相同，A错误； 模相等的两个向量的方向是任意的，即模相等的两个向量的方向不一定相同，也不一定相反，B错误； 由相等向量的传递性，知若，则，C正确； 在正方体中，四边形是矩形，向量与的方向相同，模也相等，即，D正确， 故选：CD 3．（25-26高二上·山西临汾·阶段检测）如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．    (1)试写出与相等的所有向量． (2)试写出的相反向量． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据相等向量的定义写出即可； （2）根据相反向量的定义写出即可. 【详解】（1）由题意，与相等有； （2）由题意，的相反向量有. 4．（25-26高二上·贵州黔西南·阶段检测）（多选）下列说法，错误的为（    ） A．若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同 B．若向量满足，且与同向，则 C．若两个非零向量与满足，则为相反向量 D．的充要条件是与重合，与重合 【答案】ABD 【分析】利用向量与有向线段的区别可判定A、D，利用向量的概念可判定B，利用相反向量的定义可判定C. 【详解】向量是具有方向和大小的量，向量可自由平移， 而表示向量的有向线段是起点、方向、终点都确定的， 故相等向量的起点和终点不必相同， 对应表示它们的有向线段也不必起点相同，终点也相同，即A、D错误； 向量的模长可比大小，但向量不可以，故B错误； 由相反向量的定义可知C正确. 故选：ABD. 典例二 空间向量的加减运算 5．（25-26高二上·陕西咸阳·阶段检测）已知平行六面体，化简下列向量表达式 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】结合图形，根据空间向量的线性运算依次化简求解即可. 【详解】（1） （2）； （3）. 6．（25-26高二上·浙江舟山·阶段检测）如图，在平行六面体中，若，与相等的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算，准确化简，即可求解. 【详解】在平行六面体中，由， 根据空间向量的线性运算法则，可得. 故选：C. 7．（25-26高二下·江苏徐州·期中）在四棱柱中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助空间向量的线性运算计算即可得. 【详解】 ，故A、B错误； ，故C错误、D正确. 故选：D. 8．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）在四面体中，，D为的三等分点（靠近B点），E为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算计算即可. 【详解】由题意， . 故选：C. 典例三 空间向量共线的问题 9．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图，在正方体中，E在上，且，F在对角线A1C上，且若. (1)用表示. (2)求证：E，F，B三点共线. 【答案】(1) (2) ， 又与相交于B，所以E，F，B三点共线. 【分析】（1）由已知得，由此可得答案； （2）由已知得，由此可得证. 【详解】（1）因为， ， 所以， 所以； （2）略 10．（25-26高二上·全国·课后作业）已知三点共线，为空间任意一点，，则______. 【答案】 【分析】根据向量共线和平面向量基本定理可求出结果. 【详解】因为三点共线，∴， 即，， 又，所以，所以. 故答案为：. 11．（25-26高二下·全国·课后作业）已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0 【答案】B 【分析】根据三点共线的推理即可求得，. 【详解】，B，C三点共线，，，解得， 又由，得， 由A，B，C三点共线知，，则. 故选：B 12．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）已知、、三个空间向量，若与共线，则的值为______． 【答案】0 【分析】由于共线，则，可得，即可求得的值. 【详解】由于共线，则，即， 所以，则. 故答案为：. 典例四 空间向量共面的问题 13．（25-26高二上·山东青岛·阶段检测）（多选）以下能判定空间中四点共面的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据空间向量的相关概念结合四点共面的结论逐项分析判断. 【详解】对于选项A:由知，为共面向量，故四点共面，故选项A正确； 对于选项B:因为， 所以，即, 由共面向量定理可知四点共面，故选项B正确； 对于选项C:若，则，即直线异面垂直或共面垂直， 四点不一定共面，故选项C错误； 对于选项D:若，则直线平行或重合， 故四点共面, 故选项D正确． 故选：ABD. 14．（25-26高一·全国·课后作业）已知非零向量，，，若，为共线向量，则以下判断中错误的是（    ） A．与一定共线 B．与一定共面 C．，，一定共面 D．与一定共线 【答案】D 【分析】先得到与共线，从而，，共面，则A和C都正确；空间中任意两个向量必定共面，B正确，得到答案. 【详解】对于A，因为，为共线向量，所以，则，即与共线，所以A正确， 对于B，因为空间中任意两个向量必定共面，所以B正确， 对于C，由A可知，与共线，所以，，共面，所以C正确， 对于D，与不一定共线，所以D错误. 故选：D. 15．（25-26高二上·安徽亳州·期末）已知是空间的一组基，向量，且四点共面，则__________. 【答案】1 【分析】根据四点共面，可得存在实数m，n，使得，根据条件，代入求解，即可得答案. 【详解】因为四点共面，所以存在实数m，n，使得， 因为， 所以， 则，解得. 故答案为：1 16．（25-26高二上·青海海东·期末）已知，，，四点共面于，且其中任意三点均不共线.设为空间中任意一点且，若，则（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用共面定理和空间向量的线性运算可求答案. 【详解】因为，，，四点共面，所以，其中， 所以， 即； 因为，所以， 而不共面，则，即. 故选：C 17．（25-26高二上·安徽宿州·期末）三棱锥中，点面，且，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由四点共面的充要条件列方程即可得解． 【详解】由题意三棱锥中，点面，且， 所以，解得． 故选：D． 18．（25-26高二上·四川绵阳·期末）（多选）以下能确定空间中四点 共面的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用共面向量定理及推论判断AB；利用两条直线共面的条件判断CD. 【详解】对于A，由，得向量共面，而它们有公共起点，因此四点共面，A是； 对于B，在中，，因此四点共面，B是； 对于C，存在互相垂直的两条异面直线，它们的方向向量垂直，由不能确定四点共面，C不是； 对于D，由，得直线与平行或重合，因此四点共面，D是. 故选：ABD 典例五 空间向量的数乘运算 19．（25-26高二上·安徽·期末）如图，三棱柱中，，，，点为四边形的中心点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用空间向量的线性运算，即可求出结果. 【详解】根据题意，， 又，所以，    故选：A. 20．（25-26高二上·山西长治·期末）（多选）在三棱锥中，，，，点在直线上，且，是的中点，则下列结论可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意，结合点的位置，利用空间向量的线性运算，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，因为是的中点，可得，所以A不正确； 对于B，当点在线段上时，因为，此时， 则，所以B正确； 对于C，当点在线段的延长线上时，因为，此时为的中点， 可得，所以C正确； 对于D，当点在线段上时，可得； 当点在线段的延长线上时，， 当点在线段的延长线上时，不可能成立，所以D不正确. 综上可得，可能正确的结论为BC. 故选：BC. 21．（25-26高二上·河南濮阳·期末）如图，在三棱台中，，，，，，分别为，的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量基本定理结合图形求解即可. 【详解】. 因为，，，， 所以 . 故选：A. 22．（25-26高二上·辽宁丹东·期末）在四面体中，，，，点满足，为的中点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的线性运算计算即可. 【详解】由题意 ， 所以，解得， 故选：B 第四部分：课后检测 1．（25-26高二上·重庆·期中）关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面 【答案】D 【分析】根据空间向量的相关定义即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，共线的单位向量方向可能相同也可能相反，即共线的单位向量可能是相等的向量也可能是相反向量，故A不正确； 对于B，不相等的两个空间向量的模可能相等，比如相反向量，故B错误； 对于C，相反向量指方向相反，模相等的两个向量，故C错误； 对于D，任意两个空间向量一定共面，故D正确. 故选：D 2．（25-26高二·全国·暑假作业）在正方体中，下列各式的运算结果不为向量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据空间向量的加法法则及正方体的性质，逐一判断可知A，B，D的运算结果都为，而C中，． 3．（25-26高二上·江西南昌·期末）如图，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，是底面圆的圆心，，为SC的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据空间向量的线性运算即可得结果. 【详解】因为，为SC的中点， 所以， 故选：C. 4．（25-26高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的加法运算可判断A，根据向量的减法以及相反向量可判断B，根据共线向量的定义可判断C，向量的模长相等不一定能推出向量共线，即可判断D. 【详解】对于A，对于空间中的任意向量，都有，不能说明三点共线，说法A错误； 对于B，若，则，而，据此可知，即，两点重合，选项B错误； 对于C，，则、、三点共线，选项C正确； 对于D，，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有、、三点共线，选项D错误； 故选：C. 5．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知向量，，不共面，下列选项中的三个向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】已知不共面，逐一判断： A：，故，，共面. B：，故，，共面. C：假设，整理得. 即，因不共面，不存在这样的，故，，不共面. D：，故，，共面. 6．（25-26高二上·广东广州·期末）在正四棱锥中，，.若平面AEF与直线PC相交于点Q，且，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】连接交于点，连接，由题设易得，进而得到，再根据四点共面求解即可. 【详解】连接交于点，连接， 在正四棱锥中，且为的中点， 则，，即， 则，即， 则， 由题意，四点共面，则，解得. 故选：A 7．（25-26高二上·广东惠州·期末）如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将所求向量转化为以为起点的向量，利用向量的运算规则进行计算即可得出答案. 【详解】连接，由向量的加减和数乘运算规则可知 . 故选：D. 8．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）在三棱柱中，设，，，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量的线性运算法则即可求解． 【详解】连接，如图， 因为为的中点， 所以． 故选：C． 9．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）（多选）在以下命题中，不正确的命题是（   ） A．已知A，B，C，D是空间任意四点，则 B．是共线的充要条件 C．若与共线，则表示与的有向线段所在直线平行 D．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若（其中），则P，A，B，C四点共面 【答案】BCD 【分析】根据空间向量线性运算、模、平行、共面等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】，故A正确； 若，同向共线，则，故B不正确； 若与共线，则表示与的有向线段所在直线重合或平行，故C不正确； D选项中，只有时，才有P，A，B，C四点共面，故D不正确． 10．（25-26高二上·辽宁丹东·期末）（多选）已知O，A，B，C，D是空间中互不重合的点，空间向量，，不共面，下列命题正确的是（   ） A．若，，，则向量，，共面 B．若，，则 C．若，则A，B，C，D共面 D．若，则A，B，C，D共面 【答案】AC 【分析】根据共面向量的定义、共线向量的定义，结合共面定理逐一判断即可. 【详解】A：因为，，， 所以， 即，所以由共面向量定理可以判断向量，，共面， 因此该选项命题正确； B：假设，所以存在，使得成立， 即， 因为空间向量，，不共面， 所以，显然不成立，假设不成立，因此本选项的命题不正确； C：因为O，A，B，C，D是空间中互不重合的点， 而且， 所以由空间共面性质可知A，B，C，D共面，所以本选项命题正确； D：， 因为O，A，B，C，D是空间中互不重合的点， 而且， 所以由空间共面性质可知A，B，C，D不共面，所以本选项命题不正确. 故选：AC 11．（25-26高二上·四川成都·期中）（多选）在正方体中，下列各式运算结果为向量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据向量的加法和减法运算逐一化简即可. 【详解】，A正确； ，B正确； ，C错误； ，D错误；    故选：AB 12．（25-26高二上·安徽·期末）在四面体中，点D满足，若A，B，C，D四点共面，则_______. 【答案】 【分析】利用空间向量的共面定理建立方程，求解参数即可. 【详解】因为四点共面，所以，解得. 故答案为： 13．（25-26高二上·云南迪庆·期末）如图，在平行六面体中，，，，点为线段的中点，则______（用含有的式子表示）．    【答案】 【分析】先求出向量的表达式，再利用中点性质得到，最后通过向量减法求出. 【详解】，因为是的中点， 所以，但，而， 所以. 故答案为： 14．（25-26高一·全国·课后作业）已知平行六面体，化简下列向量表达式 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）结合图形，根据空间向量的线性运算依次化简求解即可. 【详解】（1）由题意得. （2）由题意得. （3）由题意得 15．（25-26高一·全国·课后作业）如图，已知平行六面体，分别是棱和的中点，求证：四点共面． 【答案】 取，，，结合题图及已知， 则 ， 所以与共面，又，， 所以与，共面，即四点共面. 【分析】取，，，由向量的线性运算得与，共面可得答案. 【详解】略 16．（25-26高一·全国·课后作业）如图，在平行六面体中，分别是，，的中点，是线段上的动点．    (1)求证：四点共面； (2)若且三点共线，求的值． 【答案】(1)证明: 设，由题可知， 则， 根据共面定理可得，，，四点共面． (2) 【分析】（1）根据向量共面的基本定理求解即可； （2）由三点共线基本定理的应用求解即可. 【详解】（1）略； （2）因为且，，三点共线， 由共线定理推论可得，则. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $