14.2.2 三角形全等的判定（第2课时ASA、AAS）导学案2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学导学案聚焦“三角形全等的判定（第2课时ASA、AAS）”，通过回顾上节课SAS判定，自然过渡到“两角及一边”的两种情况，以旧知引新知，构建知识衔接的学习支架。 导学案突出探究过程，通过画图叠合推导ASA基本事实，借助三角形内角和定理转化得到AAS判定，培养学生几何直观与推理意识。设置隐含条件识别、规范证明书写等环节，提升数学语言表达能力，分层作业兼顾基础与培优，助力学生自主探究与创新意识发展。

14.2.2 三角形全等的判定【解析版】 【学习目标】 1. 根据SAS 的探究经验，继续探究两角和一边判定三角形全等，经历 ASA 基本事实的画图叠合推导过程。 2. 掌握角边角（ASA）判定；能借助三角形内角和，推导得到角角边（AAS）判定，分清 ASA 与 AAS 条件的区别。 3. 会识别图形中公共角、对顶角、垂直得到直角等隐含条件，能规范完成全等证明，会用全等推导线段、角相等。 4. 提升识图能力与几何推理能力，体会转化思想（把 AAS 转化为 ASA 进行证明）。 学习重点：ASA、AAS 全等判定；几何证明书写。 学习难点：区分“角边角”和“角角边”；挖掘题目中的隐含条件。 【情境导入】 上一节课我们探究了两边一角判定全等，得到了SAS：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。同时我们知道“两边及其中一边的对角”不能判定全等。 想一想： 前面研究了“两边及一角” 的情况，那如果把条件换成两角 + 一边，能不能判定两个三角形全等？两角和一边也存在两种情况：①两角以及这两个角中间的边（夹边）； ②两角以及其中一个角的对边。 【学生自学】 ①承接旧知，提出两角和一边分别相等的探究问题； ②探究3：两角及其夹边，画图叠合，归纳 ASA 基本事实； ③例 2：巩固全等三角形证明格式； ④思考：两角及其中一角的对边，借助内角和定理推导出 AAS 判定。 探究一 ：两角和它们的夹边（ASA） 直观感知：AB，∠A，∠B 的大小确定了，△ABC 的形状、大小也就确定了。也就是说，在△A'B'C' 与△ABC 中，如果 A'B'=AB，∠A'=∠A，∠B'=∠B，那么△A'B'C'≌△ABC。这个判断正确吗？ 叠合思考： 由 A'B'=AB 可知，如果使点 A'与点A重合，点 B'在射线 AB上，那么点 B' 与点B重合； 再由 ∠A'=∠A，可知射线 A'C'与射线 AC重合； 再由∠B'=∠B，可知射线 B'C'与射线 BC重合； 于是射线 A'C'，B'C'的交点 C'与射线AC，BC的交点 C 重合。 这样，△A'B'C'的三个顶点与△ABC 的三个顶点分别重合，△A'B'C' 与△ABC 能够完全重合。 基本事实：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。 简写：角边角 或 ASA。 几何语言模板： 在△ABC 和△A'B'C' 中 ∠A=∠A' AB=A'B' ∠B=∠B' } ∴△ABC≌△A'B'C'(ASA) 【对点小练】 ASA 条件关键点：边必须是两个角的夹边，即边夹在两个角的中间。 探究二 例 2：点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，AB=AC，∠B=∠C。求证：AD=AE。 分析： 想要证明线段 AD=AE，可以转化思路：先证明包含这两条线段的两个三角形全等，再利用全等三角形对应边相等得到线段相等。 找条件： ①∠A 是两个三角形共有的角，即∠A=∠A（隐含公共角）； ②已知条件：AC=AB； ③已知条件：∠C=∠B。 证明： 在△ACD 和△ABE 中 { ∠A=∠A (公共角) AC=AB (已知) ∠C=∠B (已知) } ∴△ACD≌△ABE (ASA) ∴AD=AE（全等三角形的对应边相等） 探究三 思考：如果两个三角形的两角分别相等且其中一组等角的对边相等，那么这两个三角形全等吗？ 推理依据：根据三角形的内角和定理，如果两个三角形的两个角分别相等，那么它们的另一个角也相等。 这样，由两个三角形的两角分别相等且其中一组等角的对边相等，可以得到这两个三角形的两角和它们的夹边分别相等，进而利用 “角边角” 的基本事实，就可以判定这两个三角形全等。 得到结论：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。 简写：角角边 或 AAS。 几何语言模板： 在△ABC 和△A'B'C' 中 { ∠A=∠A' ∠B=∠B' BC=B'C' } ∴△ABC≌△A'B'C'(AAS) 小组辨析： 1. ASA：边是两个角的夹边；AAS：边是其中一个角的对边。 2. AAS 可以借助三角形内角和定理转化为 ASA 进行证明。 【合作学习・判断正误】（对√，错 ×） （×）1. 两角和任意一条边相等，就一定可以用 ASA 判定全等。 （√）2. ASA 要求边必须是两个角的夹边。 （√）3. 两角及其中一组等角的对边相等，可以用 AAS 判定全等。 （√）4. AAS 可以借助三角形内角和转化为 ASA。 小组疑问记录：________________________________________________ 【精讲点拨】 🔔1. ASA：角边角，边夹在两角中间，是夹边；AAS：角角边，边是其中一个角的对边。两者条件不能混淆。 🔔2. 常用隐含条件：公共角、对顶角相等；垂直条件可以直接得到直角相等。 🔔3. AAS 不需要画图实验，可以由三角形内角和定理，把条件转化为 ASA 推导出来。 🔔4. 证明线段、角相等：优先考虑证明所在的三角形全等。 课堂笔记： 【课内自测】课本练习原题 1. 如图，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为 B，D，且∠1=∠2。求证：AB=AD。 证明： ∵AB⊥BC，AD⊥DC ∴∠B=∠D=90° 在△ABC 和△ADC 中 { ∠B=∠D ∠1=∠2 AC=AC } ∴△ABC≌△ADC (AAS) ∴AB=AD。 2.要测量池塘两岸相对的两点 A，B 的距离，可以在池塘外取 AB 的垂线 BF 上的两点 C，D，使 BC=CD，再画出 BF 的垂线 DE，使点 E 与点 A，C 在一条直线上，这时测得 DE 的长就是 AB 的长。为什么？ 证明： ∵AB⊥BF，DE⊥BF ∴∠B=∠EDC=90° 在△ABC 和△EDC 中 { ∠B=∠EDC BC=DC ∠ACB=∠ECD } ∴△ABC≌△EDC (ASA) ∴AB=DE，即 DE 的长就是 AB 的长。 【分层作业】 A 组【基础过关・必做】 1.  2.  3.证明：， ， ， 在和中， ， ， ．  B 组【能力提升・选做】 4.解：，， ． 在和中， ． ，即的长就是的长．  5.证明：，，即  在与中，  ．  C 组【拓广探索・培优】 6.解：由，得，从而． 再由“”证，所以．  7.【小题】 证明：，．平分，平分，，，，，．，，在和中，  【小题】 解：证明如下：由可知，，，，，在和中，．，，．   学科网（北京）股份有限公司 $ 14.2.2 三角形全等的判定（第2课时ASA、AAS）导学案 班级：________ 姓名：________ 学号：________ 【学习目标】 1. 根据SAS 的探究经验，继续探究两角和一边判定三角形全等，经历 ASA 基本事实的画图叠合推导过程。 2. 掌握角边角（ASA）判定；能借助三角形内角和，推导得到角角边（AAS）判定，分清 ASA 与 AAS 条件的区别。 3. 会识别图形中公共角、对顶角、垂直得到直角等隐含条件，能规范完成全等证明，会用全等推导线段、角相等。 4. 提升识图能力与几何推理能力，体会转化思想（把 AAS 转化为 ASA 进行证明）。 学习重点：ASA、AAS 全等判定；几何证明书写。 学习难点：区分“角边角”和“角角边”；挖掘题目中的隐含条件。 【情境导入】 上一节课我们探究了两边一角判定全等，得到了SAS：两边和它们的________分别相等的两个三角形全等。同时我们知道 “两边及其中一边的对角” 不能判定全等。 想一想： 前面研究了“两边及一角” 的情况，那如果把条件换成两角及一边，能不能判定两个三角形全等？两角和一边也存在两种情况：①两角以及这两个角中间的边（夹边）； ②两角以及其中一个角的对边。 【学生自学】 ①承接旧知，提出两角和一边分别相等的探究问题； ②探究3：两角及其夹边，画图叠合，归纳 ASA 基本事实； ③例 2：巩固全等三角形证明格式； ④思考：两角及其中一角的对边，借助内角和定理推导出 AAS 判定。 探究一 ：两角和它们的夹边（ASA） 直观感知：AB，∠A，∠B 的大小确定了，△ABC 的形状、大小也就确定了。也就是说，在△A'B'C' 与△ABC 中，如果 A'B'=AB，∠A'=∠A，∠B'=∠B，那么△A'B'C'≌△ABC。这个判断正确吗？ 叠合思考： 由 A'B'=AB 可知，如果使点 A'与点A重合，点 B'在射线 AB上，那么点 B' 与点B________； 再由∠A'=∠A，可知射线 A'C'与射线 AC________； 再由∠B'=∠B，可知射线 B'C'与射线 BC________； 于是射线 A'C'，B'C'的交点 C'与射线AC，BC的交点 C 重合。 这样，△A'B'C'的三个顶点与△ABC 的三个顶点分别重合，△A'B'C' 与△ABC 能够完全________。 基本事实：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。 简写：____________ 或 ____________。 几何语言模板： 在△ABC 和△A'B'C'中 ∴△ABC≌△A'B'C'(________) 【对点小练】 ASA 条件关键点：边必须是两个角的________边，即边夹在两个角的中间。 探究二 例2：点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C。求证：AD=AE。 分析：想要证明线段AD=AE，可以先证明包含这两条线段的两个三角形____和____全等，再利用全等三角形对应边相等得到线段相等。 找条件： ①∠A是两个三角形共有的角，即________（隐含公共角）； ②已知边条件： ； ③已知角条件： 。 证明： 在△ACD 和△ABE 中 ∴△ACD≌ ( ) ∴AD=AE（________________________） 探究三 推导 AAS 判定 思考：如果两个三角形的两角分别相等且其中一组等角的对边相等，那么这两个三角形全等吗？ 推理依据：根据三角形的内角和定理，如果两个三角形的两个角分别相等，那么它们的另一个角也________。 这样，由两个三角形的两角分别相等且其中一组等角的对边相等，可以得到这两个三角形的两角和它们的________分别相等，进而利用 “角边角” 的基本事实，就可以判定这两个三角形全等。 结论：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。 简写：____________ 或 ____________。 几何语言模板： 在△ABC 和△A'B'C'中 ∴△ABC≌△A'B'C'(________) 小组辨析： 1. ASA：边是两个角的________；AAS：边是其中一个角的________。 2. AAS 可以借助________定理转化为 ASA 进行证明。 【合作学习】（对√，错 ×） （）1. 两角和任意一条边相等，就一定可以用 ASA 判定全等。 （）2. ASA 要求边必须是两个角的夹边。 （）3. 两角及其中一组等角的对边相等，可以用 AAS 判定全等。 （）4. AAS 可以借助三角形内角和转化为 ASA。 小组疑问记录：________________________________________________ 【精讲点拨】 🔔1. ASA：角边角，边夹在两角中间，是夹边；AAS：角角边，边是其中一个角的对边。两者条件不能混淆。 🔔2. 常用隐含条件：公共角、对顶角相等；垂直条件可以直接得到直角相等。 🔔3. AAS 不需要画图实验，可以由三角形内角和定理，把条件转化为 ASA 推导出来。 🔔4. 证明线段、角相等：优先考虑证明所在的三角形全等。 课堂笔记： 【课内自测】 1. 如图，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为 B，D，且∠1=∠2。求证：AB=AD。 2. 要测量池塘两岸相对的两点 A，B 的距离，可以在池塘外取 AB 的垂线 BF 上的两点 C，D，使 BC=CD，再画出 BF 的垂线 DE，使点 E 与点 A，C 在一条直线上，这时测得 DE 的长就是 AB 的长。为什么？ 【分层作业】 A 组【基础过关】 1.如图，为了测量点到河对面的目标之间的距离，在点同侧选择了一点，测得，然后在点处立了标杆，使，，得到，测得的长就是，两点间的距离．这里判定的理由是． A. B. C. D. 2.如图，一块三角形的玻璃碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是． A. 携带去 B. 携带去 C. 携带去 D. 携带和去 3.如图，点，分别在，的延长线上，，求证：． B 组【能力提升】 4.如图，要测量池塘两岸相对的两点，的距离，可以在池塘外取的垂线上的两点，，使，再画出的垂线，使点与点，在一条直线上，这时测得的长就是的长为什么 5.如图，，求证：． C 组【拓广探索・培优】 6.如图，在中，，垂足为，，垂足为，且有求证． 7.如图，在中，，的角平分线，相交于点，过点作交的延长线于点，交于点． 求证：； 试猜想线段与，之间存在怎样的数量关系，并证明． 学科网（北京）股份有限公司 $