精品解析：辽宁北票市高级中学2026-2027学年高三上学期开学摸底考试数学试卷

高三年级开学摸底考试 数学 （考试用时：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求解一元一次不等式，再由集合交集、补集运算即可求解. 【详解】由，得， 故，故，又， 故． 2. 在复平面内，对应的点位于（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】利用虚数单位的幂次运算性质化简复数，得到其对应点的坐标后判断所在象限. 【详解】， 复平面内对应的点为，位于第一象限. 3. 在边长为2的正方形ABCD中，E是AB的中点，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】，利用向量数量积公式计算出结果. 【详解】边长为2的正方形ABCD中，E是AB的中点，故， . 故选：D 4. 已知等差数列，若，则（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】在等差数列中，，解得， 所以. 5. 双曲线的一条渐近线方程为，，分别为其左、右焦点，M是C上的一点，且，则（） A. 1 B. 3 C. 7 D. 9 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得，，得， 则， 若在左支，则；若在右支，则； 因为，所以在左支，则，得. 6. 学校举办“校园歌手大赛”，某参赛同学的参赛曲库中有5首歌，分别是：抒情歌1首，流行歌2首，摇滚歌2首．若他演唱这三类歌曲能晋级下一轮的概率分别为，，，他比赛时，随机从这5首歌里选择一首演唱，则他能晋级的概率为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得，他能晋级的概率为. 7. 在平面直角坐标系中，已知点，若，则（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量夹角的定义，结合三角恒等变形化简求解即可． 【详解】根据题意可知，， ， 即． 8. 已知函数，若函数有个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数作出函数的图象，转化条件为的图象与直线有个交点，数形结合即可得解. 【详解】由题当时，，所以， 所以当时，，当时，； 所以在区间上单调递增，在上单调递减， 当时，当时，； 当时，； 所以可作出函数的图象，如下图， 若要使函数有个不同的零点， 所以的图象与直线有个交点， 即，解得. 即实数的取值范围是. 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知，下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：根据不等式的性质分析判断；对于BD：举反例说明即可；对于C：结合指数函数单调性分析判断. 【详解】对于选项A：因为，可得，故A正确； 对于选项B：例如满足，但，故B错误； 对于选项C：因为在上单调递增，且，所以，故C正确； 对于选项D：例如满足， 但，即，故D错误； 故选：AC. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 在上单调递增 B. 的图象关于点对称 C. 关于的方程在上有2个相异实根 D. 将的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据函数图象的最值、周期和图象上的点求出的解析式，再根据余弦函数的单调性、对称性和值域判断ABC，根据平移变换判断D. 【详解】由的图象得，，， 所以，故， 由，得，即的单调递增区间为， 令，得，又，故A正确； 因为，所以的图象关于直线对称，故B错误； 因为，所以由图象知，当时，在上有两个不相等的实根，故C正确； 将的图象向左平移个单位长度，得的图象， 显然为奇函数，故D正确． 故选：ACD 11. 在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，则（ ） A. 直线与平面平行 B. 四面体的外接球的表面积为 C. 三棱锥的体积为 D. 平面与平面的夹角的余弦值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用向量法判断位置关系后可判断A的正误，利用空间距离计算外接球的球心后求得半径，再结合公式求出表面积后判断B，利用等积转化求出体积后判断C，利用向量法求出面面角的余弦值后可判断D的正误. 【详解】 以原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 对于A，，， 设平面的法向量为，则， 所以，取， 因为，故直线与平面不平行，故A错误； 对于B，设四面体的外接球的球心为，半径为， 则， 故即， 故，故外接球的表面积为，故B正确； 对于C，因为到平面的距离即为棱长， 故，故C正确； 对于D，因为平面的法向量， 设平面与平面的夹角为，， 故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本大题共小题，每小题分，共分） 12. 已知函数，则_______ 【答案】 【解析】 【分析】代入函数的解析式，利用对数与指数的运算求解即可. 【详解】因为函数， 所以， 故答案为:. 13. 在中，若，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】已知边，角以及角的余弦值，可先由同角三角函数关系求出，再由正弦定理求出. 【详解】在△ABC中，因为 ，所以 又因为 ，所以， 由正弦定理，得， 所以. 14. 已知的顶点，分别为双曲线：的左、右焦点，点在的右支上，且与的一条渐近线垂直，记的离心率为，若，则_______. 【答案】## 【解析】 【分析】设，在中利用正弦定理，再结合双曲线的定义可得到的关系式，即可求出. 【详解】 由题意可知，与渐近线垂直，则直线的斜率为， 设，则，所以，， ，，， 在中利用正弦定理得， ， ， 由双曲线定义知，， 即，化简得， . 故答案为：. 四、解答题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15. 已知分别是的角所对的边，且. （1）求； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理对已知式进行边角互化，并根据余弦定理求得，从而得到； （2）由已知条件求出，再根据三角形面积公式求得的面积. 【小问1详解】 由及正弦定理得 ，所以， 由余弦定理得， 因为，所以. 【小问2详解】 ， 因为，所以， 解得， 所以. 16. 某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示． （1）求的值； （2）若从高度在和中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在内的株数为，求的分布列及数学期望； 【答案】（1） （2）的分布列为： （或）【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1列方程求解； （2）根据频率之比确定分层抽样抽取的株数，确定随机变量X的取值，利用超几何分布的概率公式求出各取值的概率，进而得到分布列和数学期望. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，组距为， 因为所有小矩形的面积之和为， 所以， 解得. 【小问2详解】 由（1）及题图可知， 高度在内的频率为， 高度在内的频率为， 两者的频率之比为. 因为采用分层抽样抽取株， 所以高度在内抽取的株数为， 高度在内抽取的株数为. 从这株中随机抽取株，记高度在内的株数为， 则的可能取值为.  ， ， . 所以的分布列为： 所以（或）. 17. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，，，平面平面． （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求． 【答案】（1）证明：由，，，、平面 可得平面，又平面，故， 由平面平面ABCD，平面平面，且平面， 故平面； （2）或 【解析】 【分析】（1）借助线面垂直判定定理可得平面，则可得，再由面面垂直性质定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系后，求出直线的方向向量与平面的法向量后，利用空间向量夹角公式计算即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向， 的方向为z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 不妨设，， 则，，，， ，，， 记平面的法向量为，，即， 令，则，，即可取， 设直线与平面所成角为， 则， 即，， 解得或（负值舍去），故或． 18. 已知椭圆：，左右焦点为，，上顶点为，为正三角形，点在椭圆上，过（与轴不重合）的直线与椭圆交于，两点. （1）求椭圆的方程及离心率； （2）在轴上是否存在定点（与不重合），使得点到直线，的距离总相等，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1）， （2）存在， 【解析】 【分析】（1）依题意可得，即可求出离心率，再根据椭圆过点，即可得到方程组，求出、，即可求出椭圆方程； （2）方法一：设直线方程：，当时显然成立，当时，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，设轴上点，依题意可得为的平分线，与互为相反数，根据求出的值，即可得解；方法二：当直线斜率不存在时显然成立，直线的斜率存在时，设直线的方程：，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，设轴上点，依题意可得为的平分线，与互为相反数，根据求出的值，即可得解. 【小问1详解】 为正三角形， ，， 椭圆过点， 或者，解得， 椭圆的方程为； 【小问2详解】 方法一：过的直线与轴不重合，设直线方程：， 当时，直线与轴垂直，由椭圆的对称性可知为等腰三角形（与不重合）， 因为为的中点，为的角分线， 到直线，的距离总相等. 当时，，消去整理得， 由条件可知恒成立，设，， ①，②， 设轴上点， 由于点到直线，的距离总相等， 为的平分线， 与互为相反数， ， ， 整理得：， 将①②代入上式， 当时，化简得到，解得，即， 故在轴上存在定点使得点到直线，的距离总相等. 方法二： 当直线的斜率不存在时，由椭圆的对称性可知为等腰三角形（与不重合）， 为的中点，为的角分线， 到直线，的距离总相等， 当直线的斜率存在时，设直线的方程：， 又，消去得， 由条件可知恒成立，设，， ①，②， 设轴上点，由于点到直线，的距离总相等， 为的平分线 与互为相反数 ， ， 整理得， 将①②代入上式， 整理得， 所以， ，即， 故在轴上存在定点使得点到直线，的距离总相等. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 19. 已知函数. （1）判断函数的单调性； （2）已知在上的最小值为2，求k的值； （3）若恒成立，求k的取值范围. 【答案】（1） 当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，在上单调递减； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数，分和研究单调性； （2）根据，，和时函数在上的单调性判断最值，求k的值； （3）若恒成立，即恒成立，设，利用导数求函数的最大值即可. 【小问1详解】 由题意知的定义域为， 且， 当时，时，，在上单调递减， 时，，在上单调递增， 当时，，故在上单调递减， 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，在上单调递减； 【小问2详解】 由（1）知， 当，则在上单调递减， 所以，则，矛盾舍去， 当，，则在上单调递减，在上单调递增， 所以，得，矛盾舍去， 若，则在上单调递增， 所以，则，符合题意， 综上； 【小问3详解】 若恒成立， 即恒成立， 设， 则， 令，则， 所以在上单调递增， ， 所以在上有唯一零点，即, 所以， 令，则， 当时，，即在上单调递增， 所以由，得， 所以， 当时，，，则在上单调递增， 当时，，，则在上单调递减， 所以， 由恒成立， 所以，即k的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级开学摸底考试 数学 （考试用时：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，对应的点位于（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 在边长为2的正方形ABCD中，E是AB的中点，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 4. 已知等差数列，若，则（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 5. 双曲线的一条渐近线方程为，，分别为其左、右焦点，M是C上的一点，且，则（） A. 1 B. 3 C. 7 D. 9 6. 学校举办“校园歌手大赛”，某参赛同学的参赛曲库中有5首歌，分别是：抒情歌1首，流行歌2首，摇滚歌2首．若他演唱这三类歌曲能晋级下一轮的概率分别为，，，他比赛时，随机从这5首歌里选择一首演唱，则他能晋级的概率为（） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，已知点，若，则（ ） A. B. 0 C. D. 8. 已知函数，若函数有个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知，下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 在上单调递增 B. 的图象关于点对称 C. 关于的方程在上有2个相异实根 D. 将的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数 11. 在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，则（ ） A. 直线与平面平行 B. 四面体的外接球的表面积为 C. 三棱锥的体积为 D. 平面与平面的夹角的余弦值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本大题共小题，每小题分，共分） 12. 已知函数，则_______ 13. 在中，若，则___________． 14. 已知的顶点，分别为双曲线：的左、右焦点，点在的右支上，且与的一条渐近线垂直，记的离心率为，若，则_______. 四、解答题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15. 已知分别是的角所对的边，且. （1）求； （2）若，求的面积. 16. 某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示． （1）求的值； （2）若从高度在和中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在内的株数为，求的分布列及数学期望； 17. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，，，平面平面． （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求． 18. 已知椭圆：，左右焦点为，，上顶点为，为正三角形，点在椭圆上，过（与轴不重合）的直线与椭圆交于，两点. （1）求椭圆的方程及离心率； （2）在轴上是否存在定点（与不重合），使得点到直线，的距离总相等，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由. 19. 已知函数. （1）判断函数的单调性； （2）已知在上的最小值为2，求k的值； （3）若恒成立，求k的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $