精品解析：辽宁大连市第二十四中学2027届高三年级上学期摸底考试数学试卷

大连市第二十四中学高三年级摸底考试 高三数学试卷 考试时间：120分钟 试题满分：150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】已知集合，集合， 所以. 2. 命题“，使”的否定是（ ） A. ，使 B. ，使 C. ，使 D. ，使 【答案】B 【解析】 【详解】命题“，使”的否定是“”. 3. 已知幂函数为偶函数，且，，，则（　 　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】为幂函数，所以，即， 因式分解得：，解得：或， 为偶函数，所以，， 因为，所以在单调递增，所以，，即得. 4. 已知实数，则下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】对于A，因为，所以，故，A正确； 对于B，因为，所以，所以，B错误； 对于C，因为，所以，所以，C正确； 对于D，因为，所以， 故，所以，D正确. 5. 若且，则函数是（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既奇又偶函数 D. 非奇非偶函数 【答案】B 【解析】 【分析】首先确定定义域，再验证与的关系，得出函数的奇偶性. 【详解】由可得，函数定义域为， 且定义域关于原点对称，又因为， ，进一步化简可得：， 因此满足偶函数定义，是偶函数. 6. 已知函数的定义域为，且对于任意实数，，都有，若函数在定义域内的最大值为，最小值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得为奇函数，为奇函数，然后由奇函数性质可得答案. 【详解】因对于任意实数，，都有， 令，可得， 再令，则，从而为奇函数. 注意到， 结合为R上奇函数，为R上偶函数， 可得为R上奇函数， 由题可得存在，且为，存在，且为. 又由奇函数性质可得， 从而. 7. 已知正数 满足 ，则 的最小值为（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，用表示并代入目标式，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】由正数 满足 ，得， 因此，当且仅当时取等号， 所以时，  取得最小值8. 8. 已知正实数满足，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】已知式等价于，利用函数的单调性得，，相加后利用等号成立的条件求得值，从而可得结论. 【详解】，所以原等式化为， 设，则， 时，，递增，时，，递减， 所以，所以，即，当且仅当时取等号， 所以时，，，所以， 又已知条件为，所以，， 所以. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设为等差数列的前n项和，已知，，则（ ） A. 数列的公差为 B. 与的等比中项为 C. D. 当取得最大值时，或6 【答案】ACD 【解析】 【详解】A.设等差数列的公差为，由，得 解得，A正确； B.∵，，∴与的等比中项为， 而，B错误； C.由等差数列求和公式得，C正确； D.∵，,对称轴为，开口向下，∴当取得 最大值时，或6，D正确. 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 在上单调递减 C. 有三个不等的实根，则 D. 已知数列是公差为1的等差数列，则函数在上的平均变化率的最大值为2 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数的定义判断A（举特例），利用导数判断B，把函数图象向左平移个单位得偶函数的图象，结合图象的对称性及函数的单调性求解判断C，求出平均变化率，然后结合绝对值不等式的性质求解判断D. 【详解】A，记，，，所以即不是偶函数，A错； B，时，，， ，则，，所以，所以是减函数，B正确； C，记，定义域为，关于原点对称， ，所以是偶函数，的图象是由的图象向左移动个单位得到的， 因此由选项B知在上单调递减， 而时，在上是增函数， 作出的图象与直线，如图， 有三个不等的实根，即要有三个实根，即的图象与直线有三个公共点， 所以，所以有三个不等的实根时，C正确； D，，则函数在上的平均变化率为， 设，， ， 因为， 所以, 所以， 所以，当且仅当时，， 所以函数在上的平均变化率的最大值是，D错. 11. 已知，对任意的，都满足是的导函数，，则下列选项正确的是（ ） A. B. 若的解集是，则的解集是 C. D. 的三个零点为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】本题围绕函数的性质（由推导的对称性、导数的性质等）来分析各个选项； 【详解】对任意的，都满足 将代入展开： ， ， 两式相加后，含的奇次项全部抵消， 整理得：， 该等式对任意恒成立，因此的系数必须为： 代入常数项等式： 再结合导函数条件先求导得 代入进而得 因此，选项A正确； 由可得函数满足中心对称性质： 对任意即函数关于点中心对称. 已知的解集为，将不等式变形： ， 当时，， 对应时，， 令，可得的解集为，因此选项B正确； 求导得两个极值点为 在单调递增，在单调递减， 在单调递增；代入数值估算： ， 该点在极大值点附近， 两者相加得， 不满足小于的条件，选项C错误； 三次函数，零点， 对于三次多项式求导： 代入零点： 可得， ， D正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，用表示不超过的最大整数，则的实根个数为__________. 【答案】3 【解析】 【分析】先通过换元将对数方程转化为含取整函数的方程，再利用取整函数性质得到的取值范围，最后分情况讨论求出的值进而得到的值. 【详解】令，原方程转化为：， 根据取整函数的定义：对任意实数，都满足，且是整数， 将代入上述不等式，得：， 所以，解得， 同理，，解得或 ， 结合两个范围，得到的候选区间： 或 ， 再结合是整数分情况讨论： 当时，代入可得， 结合，得，对应​，是有效解， 当时，代入得，结合，得， 对应，是有效解， 当时，代入得， 结合，得，对应，是有效解， 综上原方程共有3个实根. 13. 已知为常数且，函数的最小值为__________.（结果用表示） 【答案】 【解析】 【分析】令，根据基本不等式得到；根据二次函数的对称轴与区间的关系，结合单调性求解即可. 【详解】 . 令，则，当且仅当时，等号成立. 又， 所以. 令，对称轴，开口向上. 因为，所以对称轴在区间的左侧，即在上单调递增， 所以. 故函数的最小值为. 14. 已知定义在上的偶函数满足，则的值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由题意得到，；根据已知条件得到的周期，结合函数的周期性及奇偶性求解即可. 【详解】， 令，因为，所以，所以，，即以，. 由，得， 即，整理得. 令，则，且，. 所以，作差得. 因为，，所以，即的周期， 于是的周期. 因为为偶函数，则也为偶函数，所以. 令，则，即，解得或（舍去）. 所以， 故. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数（其中均为常数，）的图象经过点与点 （1）求的值； （2）设函数，若对任意的，存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】(1)代入已知点，建立方程组，即可得到的值； (2)记函数的值域为，函数的值域为，则，列出不等式组，从而得到实数的取值范围. 【详解】（1）由已知得， 消去得，即，又，， 解得. （2）由（1）知函数的解析式为. . 当时，函数单调递增，其值域为； 令，当时，， 于是 . 设函数，则函数的值域为， 根据条件知，于是，解得. 所以实数的取值范围为. 【点睛】本题考查了函数解析式的求法，考查了函数值域的求法，考查了函数与方程思想与等价转化思想，属于中档题. 16. 已知正项数列是的前项和，且满足． （1）求的通项公式： （2）数列满足，是的前项和，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知前n项和公式，利用前n项和与前项和的差构造等式关系，推出数列的通项公式； （2）通过数列的通项公式形式，利用裂项相消的方法求和． 【小问1详解】 由题意得，所以， 两式相减，可得，即． 数列的各项均为正数，，， 两式相减得，即 由数列的各项均为正数，知． 由，，， 由，解得， 于是，从而数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 故； 【小问2详解】 由（1）可知，代入可得 ； ． 17. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若对任意的，且，恒有，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，根据题意可得切点坐标和切线斜率，进而可得切线方程； （2）分析可知在上单调递减，即可得在上恒成立，参变分离可得，令，，利用导数求最大值即可得结果. 【小问1详解】 已知函数， 当时，则，， 可得，， 所以切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 因为函数，则， 由于对任意的，且，恒有， 即， 构造函数， 上述条件等价于对任意的，且，恒有， 可知在上单调递减，则在上恒成立， 即在上恒成立， 令，，则， 令，解得， 当时，，可知在单调递增； 当时，，可知在单调递减； 则在处取最大值， 可得，解得， 所以的取值范围为. 18. 已知数列是正项数列，，，是的极小值点. （1）当时，求的通项公式； （2）是否存在，使数列是等比数列？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在，使得数列是等比数列，的取值范围是，理由为： 由（1）知，数列是等比数列，必有， 此时数列的首项为，公比为3，， 而，，则，解得， 此时，用数学归纳法证明结论： ①当时，，当时，，结论成立； ②假设当时，结论成立，即，， 而， ，因此，即时，结论成立， 综合①②知，对一切都有，满足上式， 于是，数列是等比数列， 当时，，，由（1）知，函数无极小值； 当时，，数列不是等比数列； 当时，，由（1）知，函数无极小值； 当时，数列不是等比数列， 所以存在，使数列是等比数列，且的取值范围为. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出函数的导数，再按分类并结合数学归纳法确定极小值点，进而求出数列通项公式. （2）由（1）中信息知，是等比数列，必有，再利用等比数列定义，结合数学归纳法求出的范围，然后判断的情况即可. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增，无极小值； 当时，由，得或；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 则在处取得极小值，则； 当时，由，得或；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 则在处取得极小值，则， 因此，， 猜想，用数学归纳法证明猜想：①当时，猜想显然成立； ②假设当时，猜想成立，即，， 而， ，因此，即时，猜想成立， 综合①②知，对一切都有， 此时数列是首项为1，公比为3的等比数列， 所以. 【小问2详解】 略 19. 材料1.在现行的《数学分析》教材中，对初等函数给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且在定义域上能用一个式子表示的函数，如函数，我们可以做变形：，所以函数可以看作是由和复合而成的，即为初等函数. 材料2.对于个正数，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即. 结合材料： （1）直接写出的单调性； （2）方程有两个解，证明：； （3）令，证明：. 【答案】（1）函数在上单调递减 （2）因为，则，即， 可知有两解， 设，，，即有两个解， 要证，只需证，即证， 设，则， 令，解得；令，解得； 可知在上单调递增，上单调递减， 不妨设， 因为，即， 两式相加可得，则，即， 因为，且，在上单调递减， 则，可得， 即，则，所以. （3）令， 则， 且， 因为，即， 可得，所以. 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数分析可知在内单调递减，再结合复合函数单调性即可判断； （2）设，，，要证，即证，设，利用导数判断的单调性，整理可得，结合单调性分析证明即可； （3）令，可得，，结合题中不等式分析证明即可. 【小问1详解】 因为，，则， 令，，则， 可知在内单调递减，则， 即，可知在内单调递减， 又因为在定义域内单调递增，所以函数在内单调递减. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大连市第二十四中学高三年级摸底考试 高三数学试卷 考试时间：120分钟 试题满分：150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，使”的否定是（ ） A. ，使 B. ，使 C. ，使 D. ，使 3. 已知幂函数为偶函数，且，，，则（　 　） A. B. C. D. 4. 已知实数，则下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 若且，则函数是（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既奇又偶函数 D. 非奇非偶函数 6. 已知函数的定义域为，且对于任意实数，，都有，若函数在定义域内的最大值为，最小值为，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知正数 满足 ，则 的最小值为（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 9 8. 已知正实数满足，则（ ） A. B. C. D. 1 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设为等差数列的前n项和，已知，，则（ ） A. 数列的公差为 B. 与的等比中项为 C. D. 当取得最大值时，或6 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 在上单调递减 C. 有三个不等的实根，则 D. 已知数列是公差为1的等差数列，则函数在上的平均变化率的最大值为2 11. 已知，对任意的，都满足是的导函数，，则下列选项正确的是（ ） A. B. 若的解集是，则的解集是 C. D. 的三个零点为，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，用表示不超过的最大整数，则的实根个数为__________. 13. 已知为常数且，函数的最小值为__________.（结果用表示） 14. 已知定义在上的偶函数满足，则的值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数（其中均为常数，）的图象经过点与点 （1）求的值； （2）设函数，若对任意的，存在，使得成立，求实数的取值范围. 16. 已知正项数列是的前项和，且满足． （1）求的通项公式： （2）数列满足，是的前项和，求． 17. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若对任意的，且，恒有，求的取值范围. 18. 已知数列是正项数列，，，是的极小值点. （1）当时，求的通项公式； （2）是否存在，使数列是等比数列？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 19. 材料1.在现行的《数学分析》教材中，对初等函数给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且在定义域上能用一个式子表示的函数，如函数，我们可以做变形：，所以函数可以看作是由和复合而成的，即为初等函数. 材料2.对于个正数，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即. 结合材料： （1）直接写出的单调性； （2）方程有两个解，证明：； （3）令，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $