第二十八章 旋转 单元测试卷 B卷 2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 人教版2024九年级上“旋转”单元B卷，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，融合几何直观、推理能力与空间观念，适配单元复习综合检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|中心对称图形判断、旋转角度计算、矩形性质|结合特殊三角形（等边、直角）旋转，如第9题等边三角形内点旋转构造全等| |填空题|5题|旋转路径长度、动态等腰三角形分类|第13题平行四边形中AB旋转使△PCD等腰，考查分类讨论| |解答题|5题|旋转与全等应用、动态几何综合|第16题源自教材例题拓展，探究旋转全等面积关系；第20题结合旋转与直角三角形存在性，培养创新意识|

人教版（2024）九年级上 第二十八章 旋转 单元测试卷 B卷 一．选择题（共10小题） 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=20°，将△ABC绕点A顺时针旋转y°（0＜y＜180）得到△AB′C′．当BB′∥AC时，y的值为（　　） A．30 B．60 C．45 D．40 3．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转80°，得到△AB'C'，若点B′在线段BC的延长线上，则∠BB'C'的大小为（　　） A．95° B．98° C．100° D．102° 4．如图，将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°至矩形EBGF的位置，连接AC，BF，取AC，BF的中点M，N，连接MN，若AB=8，BC=6，则MN的长度为（　　） A．8 B．6 C．5 D． 5．如图，将正方形ABCD的边CD绕点D逆时针旋转60°得DE，连接BE交AC于M，则∠AME的度数是（　　） A．105° B．110° C．115° D．120° 6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，点B，C的对应点分别为B′，C′，且旋转角为锐角，连接CC′．当点B恰好落在直线B′C′上时，线段CC′的长为（　　） A．4 B．5 C． D． 7．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A′BC′，连接A′C，则A′C的长为（　　） A．8 B． C． D． 8．下列性质中矩形不一定具有的性质是（　　） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．既是轴对称图形又是中心对称图形 9．如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA=6，PB=8，PC=10，则∠BPA的度数为（　　） A．120° B．135° C．150° D．165° 10．如图，△ABC是等边三角形，点D在AC上，点E是AB的中点，若BC=8，，将线段CD绕点C进行旋转，点D的对应点为D'，连接AD'，ED'，当∠AED'=90°时，AD'的长为（　　） A． B． C．或 D．或 二．填空题（共5小题） 11．如图，在一个长方形内有一个等边三角形，已知等边三角形的每个角为60°，长方形的宽与等边三角形的边长之比为2：1，长方形的长是宽的1.5倍，等边三角形的边长为2厘米．将三角形沿长方形的边在长方形内部旋转：先绕点A顺时针旋转，使点C落在长方形的边上，再绕点C顺时针旋转，使点B落在长方形的边上，最后绕点B顺时针旋转，使点A落在长方形的边上，整个过程中点C经过的路程为______厘米．（π取3.14，结果精确到0.01厘米） 12．如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于O，以OA、OD为边作正方形ODGA，将正方形ODGA绕点A逆时针旋转得到正方形O′D′GA，O的对应点是O′，旋转一周的过程中，当O′落在射线DG上时，△BGO′的面积为 ______． 13．如图，在▱ABCD中，∠B=60°，BC=2AB，将AB绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜360°）得到AP，连接PC，PD．当△PCD为等腰三角形时，旋转角α的度数为 ______． 14．将Rt△ABC绕直角边AC的中点H旋转，得到△EFD．且△EFD的直角顶点D落在△ABC的斜边AB上，EF所在直线与AC所在直线交于点G，如图，若△EGH是等腰三角形，则∠A的度数为______． 15．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=1，AC=2，现将线段AB绕点B顺时针旋转α（0°＜α≤180°）得到线段BP，连接AP，PC，当∠PCB=30°时，AP的长为______． 三．解答题（共5小题） 16．数学活动 项目活动 全等的应用与拓展 研究来源 2014版人教版教材九年级上册第60页例题 教材再现 如图（1），E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°得到△ABF，根据旋转可知△ADE≌△ABF． 探究一 问题初探：如图（1），若AB=5，四边形AECF的面积是______； 活动工具 （三角尺） 探究二 问题再探：如图（2），在等腰直角三角尺△ABC中，∠ACB=90°，点O是AB的中点，另一块三角尺直角顶点与点O重合，分别交AC，BC于点D，E．若AC=6，求四边形ODCE的面积； 探究三 问题拓展：如图（3），在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD．点E，F分别在CD，CB的延长线上，连接AE，AF．在△AED中，∠EAD=34°，AE=5，在△ABF中，∠BAF=26°，AF=8，求△ADE与△ABF的面积之和． 17．阅读以下素材并解决问题： “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是12-x和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角△ABC和△DEF，并使直角边BC和EF在同一直线上，向右平移直角△ABC使点B和E重合（图1），这时CF=x+12-x=12，AC=3，DF=2，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． （1）代数式的最小值是______． （2）根据上述信息，求代数式的最小值． （3）已知正数x满足，结合上述问题的方法，求x的值． 18．如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，点A，B，C都在格点上．按下列要求，请用直尺在网格中画图． （1）①将△ABC向下平移6个单位长度，得到△A1B1C1； ②△A1B1C1的面积为______； （2）画出△A2B2C2，使△A2B2C2和△ABC关于直线MN成轴对称； （3）将△A2B2C2绕点C2顺时针旋转90°得到△A3B3C2． 19．在△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=2．将三角形ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，连接EC． （1）如图1，当点D落在AC边上时，CE= ______； （2）如图2，在△ABC旋转一周的过程中，求CE的最大值； （3）当△CDE是以DE为直角边的直角三角形时，求CE的长． 20．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在线段BC上，点E在射线AB上，连接CE，DE，DC=DE，N为CE中点，连接AN，DN，AN与BC交于点F． （1）如图1，若2∠DEB=∠BCE，求∠AND的度数； （2）如图2，点G在CN上，且CG=AF，连接AG交BC于点M，求证：； （3）如图3，连接AD，若H是AD中点，AD=4，连接HC，将AH绕点A旋转得到AP，连接BP，将BP绕点B逆时针旋转90°得到BQ，连接HQ，当HC取得最大值时，直接写出△HCQ的最大值． 人教版（2024）九年级上 第二十八章 旋转 单元测试卷 B卷 (参考答案) 一．选择题（共10小题） 1、C 2、D 3、C 4、D 5、D 6、D 7、C 8、B 9、C 10、C  二．填空题（共5小题） 11、π； 12、+1或-1； 13、60°或120°或240°； 14、36°或45°； 15、1或或2；  三．解答题（共5小题） 16、解：探究一：∵△ADE≌△ABF， ∴S△ADE=S△ABF， ∴， 故答案为：25； 探究二：如图2，连接CO，  在Rt△ABC中，AC=BC，点O是AB的中点， ∴∠A=∠B=45°，CO⊥AB， ∴∠OCB=45°，OA=OC， ∴∠A=∠OCE，  又∵∠AOD+∠COD=∠COE+∠COD=90°， ∴∠AOD=∠COE， 在△AOD和△COE中， ， ∴△AOD≌△COE（ASA）， ∴S四边形ODCE=S△AOC， ∴， 在Rt△ABC中，AC=BC=6， ∴， 即：四边形ODCE的面积为9； 探究三：如图3，在BC上截取点M，使得BM=DE，连接AM， ∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADE=180°， ∴∠ABM=∠ADE， 在△ABM和△ADE中， ， ∴△ABM≌△ADE（SAS）， ∴AM=AE=5，∠BAM=∠EAD=34°， ∵∠FAB=26°， ∴∠FAM=60°， 过点F作FN⊥AM于点N， 在Rt△AFN，AF=8，∠FAM=60°， ∴∠AFN=30°， ∴， 在直角三角形AFN中，由勾股定理得：， ∴， ∵△ABM≌△ADE， ∴， 即：△ADE与△ABF的面积之和为． 17、解：（1）如图2，设AC=3，DF=4，BC=x,BF=40-x, ∴AH=4+5=9，HD=40， 在直角三角形ADH中，由勾股定理得：， ∴的最小值是41， 故答案为：41； （2）如图3，设AC=2，DF=1，CF=5，BC=x,则AH=2+1=3，HD=5，BF=5-x, 在直角三角形ADH中，由勾股定理得：， ∴的最小值是； （3）构造△ABC，CD⊥BC于D，AC=6，BC=8，如图4，   设CD=x,则， ∴， ∵62+82=102， ∴∠ACB=90°， ∴， ∴x=4.8， ∴方程的解是x=4.8． 18、解：（1）①将△ABC向下平移6个单位长度，得到△A1B1C1，如图1即为所求； ②， 故答案为：； （2）△ABC关于直线MN成轴对称的△A2B2C2，如图2即为所求； （3）将△A2B2C2绕点C2顺时针旋转90°得到△A3B3C2，如图3即为所求． 19、解：（1）在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=2， ∴AC=2AB=4，∠BAC=60°， 由勾股定理得：BC===， ∴将三角形ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE， ∴AE=AC=4，AD=AB=2，DE=BC=，∠ADE=∠B=90°，∠AED=∠ACB=30°， 当点D落在AC边上时，如图1所示： ∴∠CDE=180°-∠ADE=90°，CD=AC-AD=4-2=2， 在Rt△CDE中，∠CDE=90°， 由勾股定理得：CE===4， 故答案为：4； （2）根据“两点之间线段最短”得：CE≤AE+AC=4+4=8， ∴当点E落在CA的延长线上时，CE为最大，如图2所示： ∴CE的最大值为8； （3）依题意有以下三种情况： ①当点D落在AC边上时， 由（1）可知：∠CDE=90°，CE=4， ∴△CDE是以DE为直角边的直角三角形，此时CE=4； ②当点D落在CA的延长线上时，如图3①所示： ∵∠CDE=∠ADE=90°， ∴△CDE是以DE为直角边的直角三角形， 此时CD=AC+AD=4+2=6，DE=， 在Rt△CDE中，由勾股定理得：CE===； ③当点E在AB的延长线上，如图3②所示： ∵AE=AC=4，∠BAC=60°， ∴△ACE是等边三角形， ∴∠AEC=60°，CE=AC=4， ∵∠AED=30°， ∴∠CED=∠AEC+∠AED=90°， ∴△CDE是以DE为直角边的直角三角形，此时CE=4； 综上所述：当△CDE是以DE为直角边的直角三角形时，CE的长为4或． 20、（1）解：如图1，设∠DEB=α， ∵2∠DEB=∠BCE， ∴∠BCE=2α， ∵DC=DE， ∴∠DEC=∠BCE=2α， ∴∠CEB=∠DEB+∠DEC=3α， ∴∠ABC=∠CEB+∠BCE=5α， ∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∴5α=45°， ∴α=9°， ∴∠CEB=27°， ∵∠BAC=90°，N为CE中点， ∴AN=EN， ∴∠NAE=∠CEB=27°， ∴∠ANC=∠NAE+∠CEB=54°， ∵DC=DE，N为CE中点， ∴DN⊥CE， ∴∠CND=90°， ∴∠AND=∠CND-∠ANC=90°-54°=36°； （2）证明：过点E作ET⊥BC于T，连接NT，如图2， ∵∠BAC=90°，N为CE中点， ∴AN=EN=CN， ∴∠NAE=∠NEA，∠ACN=∠CAN，即∠ACG=∠CAF， 设∠NAE=∠NEA=β，则∠ANC=2β， ∴∠DNF=∠CND-∠ANC=90°-2β， ∵∠DFN=∠NAE+∠ABC=β+45°， ∴∠FDN=180°-∠DFN-∠DNF=180°-（β+45°）-（90°-2β）=β+45°， ∴∠FDN=∠DFN， ∴∠NDT=∠NFC，DN=FN， ∵∠CTE=90°，N为CE中点， ∴NT=CN， ∴∠NTD=∠NCF， ∴△DNT≌△FNC（AAS）， ∴DT=CF， 在△ACG和△CAF中， ， ∴△ACG≌△CAF（SAS）， ∴AG=CF， ∴DT=AG， 在Rt△BET中，∠EBT=∠ABC=45°， ∴△BET是等腰直角三角形， ∴BT=BE， ∵DT=BD+BT， ∴AG=BD+BE， ∴AG=BD+BE； （3）解：∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠ACB=45°， ∵点P是AD的中点，AD=2， ∴AP=DP=1， 如图3，构造△ADC的外接圆⊙O，连接OA，OD， 则∠AOD=2∠ACD=90°， ∵OA=OD， ∴△AOD是等腰直角三角形， ∴AO=OD==2， ∴AD是定长，⊙O是定圆，点C的轨迹为⊙O上部分， 由点到圆上一点的最长距离可知当H、O、C依次共线时，HC最长，此时点C位置为如图3的点C′， ∵△AOD是等腰直角三角形，AH=DH， ∴AH⊥CH，HO=AH=HD=2， ∴C′H=C′O+HO=2+2， ∴AC′2=AH2+C′H2=22+（2+2）2=16+8，当HC最长时，△ABC位置如图4， ∵将线段AH绕点A旋转得到AP， ∴点P的轨迹为以A为圆心，AH=2为半径的⊙A， ∵将BP绕点B逆时针旋转90°得到BQ， ∴BP=BQ，∠PBQ=90°，如图4，将AB绕点B逆时针旋转90°得到A′B， ∴AB=A′B，∠ABA′=90°，点A′是定点， ∴∠PBQ=∠ABA′=90°， ∴∠A′BQ=∠ABP， ∴△A′BQ≌△ABP， ∴A′Q=AP=2， ∴点Q的轨迹为以A′为圆心，A′Q=2为半径的⊙A′， 如图4，过点Q作QT⊥CH延长线于点T， ∵S△HCQ=HC•QT=×（2+2）QT，∴当QT最大时，△HCQ的面积最大，由圆上一点到定直线的最大距离可知当Q、A′、T依次共线时，QT最大，此时如图5， 连接BH，AA′， ∵QT⊥CH，AH⊥CH，∴QT∥AH，∵A′Q=AH=1，∴四边形AHQA′是平行四边形，∴AA′=HQ，AA′∥HQ，∵∠BAC=∠ABA′=90°，∴BA′∥AC，∵A′B=AB=AC，∴四边形ACBA′是平行四边形，∴AA′=CB，AA′∥CB，∴CB=HQ，CB∥HQ，∴四边形HQBC是平行四边形，∴BQ∥HC，∴S△HCQ=S△HCB，∵点H是AD的中点，∴S△AHC=S△DHC，S△AHB=S△DHB，∴S△HCB=S△DHC+S△DHB=S△DCA+S△DBA=S△ABC，∴S△HCQ=S△HCB=S△ABC=×AC2=×（16+8）=4+2． 学科网（北京）股份有限公司 $