专题04 菱形、矩形、正方形中折叠问题的三类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 聚焦菱形、矩形、正方形折叠问题，构建“通法+题型+挑战”三阶训练体系，以方程思想为核心，融合特殊四边形性质与轴对称性质，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1核心总结|折叠性质（对应边/角相等）+勾股定理/全等列方程|从折叠本质（轴对称）到方程思想，建立普适解法| |题型归纳|3题型（各含1典例+3变式）|菱形：边相等+对角线垂直列方程；矩形：直角+对边相等列方程；正方形：四边相等+直角列方程|按特殊四边形性质差异分类，实现性质与折叠的精准结合| |压轴挑战|10道综合题（选择/填空/解答）|多性质综合应用+动态折叠分类讨论|从基础计算到复杂推理，提升知识迁移与问题解决能力|

专题04 菱形、矩形、正方形中折叠问题的三类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、菱形中的折叠问题 题型二、矩形中的折叠问题 题型三、正方形中的折叠问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：将特殊平行四边形沿某直线折叠，使边或点重合，求线段长、角度或面积，常与勾股定理、全等结合。 - 解题方法：找对应边、角相等，设所求量为x，用含x的式子表示相关边，在直角三角形中勾股定理列方程求解；或利用全等三角形导边导角。 - 易错提醒：找错对应点或对应边；折叠后点落在特殊位置（如对角线交点）时未利用其性质；忽略折叠前后图形全等这一核心条件；方程解出后未检验是否符合折叠后图形位置。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、菱形中的折叠问题 典例1（25-26八年级下·河南许昌·期末）如图，在菱形中，，，是的中点，是边上一动点．将沿折叠，得到．若与菱形的对角线平行，则的长为________． 【答案】6或 【分析】分两种情况：连接，若；连接，若；分别利用菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及直角三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接，若， ∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 过点作于，则， ∴，， ∴， ∴； 如图，连接，若， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴点落在上， ∵是的中点， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴； 综上所述，的长为6或． 题型模版 1.特征：将菱形沿某条直线折叠，利用折叠前后对应边角相等，求折痕长或角度。 2.方法：设未知数表示折叠后的线段，利用菱形边相等、对角线垂直平分及勾股定理列方程求解。 变式1-1（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，将菱形纸片折叠，使得点恰好落在边的中点处，折痕为．若菱形的边长为，，则_____． 【答案】 【分析】连接，根据菱形性质和证明是等边三角形，利用等腰三角形三线合一性质得出，结合平行线性质得出，设，利用折叠性质和勾股定理列方程求解． 【详解】解：连接、， 四边形是菱形，， ，，， 是等边三角形， 点是边的中点， ，， 在中，， ， ，即， 设 ，则， 由折叠的性质可知，， 在中，由勾股定理得， 即， 整理得， 解得， ∴． 变式1-2（25-26八年级下·陕西延安·期末）如图，在菱形中，点是边上的一点，连接，于点，将沿所在直线折叠得到，与相交于点，恰好垂直平分，若，则的长为________． 【答案】 【分析】连接，由四边形是菱形，则，又垂直平分，所以，，则有，故是等边三角形，是等边三角形，得，再由直角三角形性质可得，由勾股定理得，由折叠性质可知，所以，最后通过勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴是等边三角形，是等边三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠性质可知，， ∴， ∴． 变式1-3（25-26八年级下·广西南宁·期末）【问题情境】在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的折叠”为主题开展小组数学活动． 已知菱形纸片，． 【成果展示】 (1)第一小组：如图1，连接，折叠菱形纸片，使点落在对角线上的点处，折痕分别交，于点，．判断四边形的形状，并加以证明． (2)第二小组：将菱形纸片沿过点的直线折叠到如图2所示的位置，点的对应点为点，折痕交于点，交于点． ①判断和的数量关系，并加以证明． ②将菱形纸片沿过点的直线折叠到如图3所示的位置，其中交于点．若恰好是的中点，且，求线段的长． 【答案】(1)解：四边形是菱形， 证明如下：设与交于点， ∵菱形纸片， ， ∵折叠菱形纸片，使点落在对角线上的点处， ∴垂直平分， ， ， ， ， ， ∴四边形是菱形； (2)①， 证明：如图，连接， ∵菱形， ， ∴， ∴是等边三角形， ， ∵折叠， ， ， ， ， ， ； ② 【分析】（1）设与交于点，先由菱形纸片得到，再由折叠得到，，即可证明，得到，推出，则四边形是菱形； （2）①连接，由菱形，得到，由折叠得到，，则，根据，得到，利用等角对等边得到； ②由恰好是的中点，得到，则，则，根据，求出，则，最后根据求解即可； 【详解】（1）略 （2）①略 ②解：如图，连接，， ∵， ， ∵恰好是的中点， ， ， ∵， ， ， 根据①可得， ∴， ， 解得：， ， ， ， ， ． 类型二、矩形中的折叠问题 典例2（25-26八年级下·河南洛阳·期末）如图，在矩形中，，，是边上的一点，连接，将沿折叠，使点落在点处．当为直角三角形时，的长为__________． 【答案】 或 【分析】根据题意，分类讨论：当时，可证四边形是正方形，则，得到；当时，可得点A，，C共线，由勾股定理得到，设，则，在中由勾股定理列式求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 如图所示，当时，为直角三角形， ∴， ∴四边形是矩形， ∵折叠， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， ∴； 如图所示，当时，为直角三角形， ∵折叠， ∴，，， ∴，即点A，，C共线， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，的长为2或5 ． 题型模版 1.特征：将矩形沿某条直线折叠，使顶点落在边或对角线上，利用对应边角相等求长度。 2.方法：设未知数表示折叠后的线段，利用矩形对边相等、四个直角及勾股定理列方程求解。 变式2-1（2026·江苏连云港·中考真题）取一张矩形纸片（图1），按如图2所示方式折叠，使点A落在上，折痕为，再按如图3所示方式折叠，点与点恰好重合，则____． 【答案】 【分析】设，根据折叠的性质、矩形的性质可判断是等腰直角三角形，则可得，根据折叠的性质得出，即可求解． 【详解】解：设， ∵四边形是矩形， ∴， 根据图2可得， ∴是等腰直角三角形， ∴， 根据图3可得， ∴. 变式2-2（25-26八年级下·江西宜春·期末）如图，在矩形纸片中，，点、分别是和的中点，为上的一点，现将沿折叠，使点落在直线上的点．当为等腰三角形时，______． 【答案】或或 【分析】分类考虑为等腰三角形,当时，利用矩形性质可得，根据折叠性质可得，结合勾股定理可求； 当时利用折叠性质；当时； 由勾股定理，设，可得，再利用勾股定理，构造方程，可求即可． 【详解】解：①， 作， 为中点，， 点、分别是和的中点，， 在矩形中， ， 即， 四边形为矩形， ， 由沿折叠而成， ， ， ， ②， ， ③， ， 设， ， 连接， ∵， ∴， 解得， ， 综上所述，的长为或或． 变式2-3（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）【综合与探究】数学兴趣小组在学习矩形的过程中，对其中一个问题作如下探究： (1)【问题背景】教材79页8题 如图1，将矩形纸片沿着直线折叠，使点C落在处，，相交于点E，则与的数量关系是_____________． (2)【变式思考】如图2，矩形纸片，，，折叠纸片使点B的对应点E落在对角线上，求折痕的长； (3)【探究延伸】如图3，矩形纸片，，，点E为射线上一个动点，把沿着直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长． 【答案】(1) (2) (3)5或20 【分析】（1）根据折叠的性质和矩形的性质解题； （2）设，则，根据矩形的性质和勾股定理计算； （3）分类讨论当点在矩形内部和外部时，根据勾股定理列方程计算即可． 【详解】（1）解：由折叠的性质知，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质知，，，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴； （3）解：∵垂直平分， ∴，， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，， ①如图，当点在矩形内部时， 由折叠的性质知，，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴； ②如图，当点在矩形外部时， 同理可得，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴； 综上所述，或． 题型三、正方形中的折叠问题 典例3（25-26八年级下·北京平谷·期末）如图，正方形中，将边折叠至，连接，，若，，则的长为_______． 【答案】 【分析】过点D作于点F，则，根据正方形的性质与同角的余角相等可证明，得到，由折叠得到，根据“三线合一”得到，从而在中根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过点D作于点F，则 ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵边折叠至， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴． 题型模版 1.特征：正方形沿某直线折叠，顶点落在边或对角线上，利用折叠前后边角相等求折痕或边长。 2.方法：设未知数表示折叠后线段，利用正方形四边相等、四角为90°及勾股定理，列方程求解。 变式3-1（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，将正方形沿折叠，点A落在上的处．若，则折痕的长为________． 【答案】 【分析】如图，过点作于点，连接，则四边形是矩形，接着根据正方形和折叠的性质，可利用证明，从而得到，设，然后根据线段的和差推出，，，进而在中，利用勾股定理建立方程求得，即可求得答案． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， 则，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在中，，即， 解得 ∴，， ∴在中，． 变式3-2（25-26八年级下·广西贵港·期末）如图，已知正方形边长为4，E是边上一点，将沿直线折叠，使点C恰好落在对角线上，则的长等于________． 【答案】 【分析】由正方形的性质可得，，，由折叠的性质可得，，则为等腰直角三角形，从而可得，求出，再由计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，，， 由折叠的性质可得，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 变式3-3（25-26八年级下·湖北襄阳·期末）【实践操作】 第一步：如图1，将正方形纸片沿，分别折叠，然后展平，得到折痕，．折痕，相交于点． 第二步：如图2，将正方形再次折叠，使点的对应点恰好落在上，然后展平，得到折痕（折痕交边于点），与相交于点，连接，． 第三步：如图3，将正方形三次折叠，使点与点重合，然后展平，点为点的对应点，折痕分别与，相交于点，，连接，． 【问题解决】 (1)如图2， 的度数是 ； 请判断四边形的形状，并说明理由； 【探索发现】 (2)如图3，若，求的值． 【答案】(1)； 四边形是菱形．理由如下： 四边形是正方形， ，， 由折叠可知，，． ． ． ， ， ， ， ， ． ， ， 四边形是平行四边形． 又， 四边形是菱形． (2) 【分析】（1）由正方形的性质，折叠的性质在中利用三角形内角和即可求出答案；由正方形的性质，折叠的性质得出，且，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得出四边形是平行四边形，又，一组邻边相等的平行四边形是菱形，就可判断得出答案； （2）作辅助线过点作于点，交于点，由正方形的性质，折叠的性质得出条件证明，全等三角形对应边相等，故，由等角对等边得出的长，最后根据勾股定理求出，即可求出答案． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，，， 由折叠的性质得， 在中，． 略； （2）解：如图，过点作于点，交于点， 则． 四边形是正方形， ，． 四边形为矩形． ． 由折叠，得． ． 又， ． 在和中， ， ． ． ， ． ，， ． ． ， ． 在中，由勾股定理，得． ． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）如图，在菱形中，，点E在上，将沿着折叠，使点B的对应点F正好落在边上，对角线交折痕于点G，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质和折叠的性质解题． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 由折叠的性质知，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·云南昆明·期末）如图，将正方形沿折叠，点落在对角线上的点处，已知，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正方形的性质及折叠的性质可知：，，设，则，可求出，列方程即可求出的长． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， 由折叠的性质可知：，，， ，， 设，则， ， ， ， ， ． 3．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）数学兴趣小组在进行折纸活动时，使用了一张矩形纸片，其中，，他们进行了如下操作： 第一步：如图①，将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平． 第二步：如图②，再次折叠纸片，把沿折叠得到，交折痕于点．则线段的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由折叠可得垂直平分，四边形为矩形，得出，，由折叠的性质结合平行线的性质可得，从而得出，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：∵将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕， ∴点与点关于直线对称， ∴垂直平分， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵把沿折叠得到，交折痕于点E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，即线段的长为． 二、填空题 4．（2025·湖北·模拟预测）在菱形中，边长为，，点是的中点，连接是上一动点，把沿折叠，使点恰好落在边上的处，且，则______． 【答案】 【分析】本题考查菱形中的折叠，解直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握菱形的性质及折叠的性质，用勾股定理列方程解决问题． 过作于，由四边形是菱形，可得是等边三角形，又，即得，在中，，，从而，设，则，，在中，由勾股定理即可得答案． 【详解】解：过作于，如图： 四边形是菱形，边长为， ， ， 是等边三角形， ，， ， 在中， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得， 故答案为：． 5．（25-26八年级下·天津河东·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，为边上一点，、分别是边和的中点，沿折叠正方形，折叠后点的对应点是，且点落在线段上，则点的坐标是________． 【答案】/ 【分析】由正方形的性质得出，，，由线段中点的定义得出点D，E在直线上，，，，则可得出的横坐标为2，由折叠的性质可知：，由勾股定理得出，即可求出点的纵坐标． 【详解】解：∵四边形是正方形，点的坐标是， ∴，，， ∵、分别是边和的中点， ∴点D，E在直线上，，，， ∵点落在线段上， ∴的横坐标为2， 由折叠的性质可知：， ∴在中 ， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴ 则点的坐标是． 6．（2026·四川凉山·中考真题）如图，在矩形中，厘米，厘米．动点E从点B出发以2厘米/秒的速度在线段上运动，运动到点C处停止．动点E运动t秒时，连接，将沿着直线折叠，顶点B的对应点是点F，连接．当是直角三角形时，则t为_______秒． 【答案】1.5或3/或3 【分析】根据折叠的性质可得，，，分 ， 和三种情况讨论，利用勾股定理或等腰直角三角形的性质建立方程求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可知，，，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵点在线段上， ∴； 当是直角三角形时，分三种情况讨论： ①当时，∵， ∴， ∴，，三点共线， ∴， 在 中，由勾股定理得 即， 解得； ②当时， ∴， ∴， 由折叠可知， ∴， 在 中，， ∴， ∴， ∴， 解得； ③当时， 此时，即点在边上， 在 中，斜边，直角边 ， ∵， ∴此种情况不存在． 综上所述，的值为或． 三、解答题 7．（25-26八年级下·广东广州·期末）数学活动课上，同学们以菱形纸片开展“折纸”活动．已知． (1)如图，折叠后，使点落在对角线上的点处，得到折痕，连接．证明：； (2)如图，折叠后，使点落在边上的点处，折痕与对角线交于点处，连接，，． ①求的度数； ②若菱形的边长为，则的周长是否存在最小值？若存在，求最小值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明：在菱形中，，平分，， ∴，， 又由翻折可知， 在四边形中， (2)①；②存在，理由如下： 由，， 得， 过点N作于点K， ，， 在中，由勾股定理得， ， ． 故当最小时，的周长最小， 即时，的周长最小， 此时，在中，， ， 【分析】（1）根据菱形性质求出，根据折叠性质得，再由四边形内角和即可求出； （2）①过点N作于点P，作于点Q，先根据角平分线性质得到，从而证明，得到，通过角的转化得到，再由四边形内角和即可求出；②过点N作于点K，得到是一个顶角为的等腰三角形，通过勾股定理求出，从而表示出，故时，最小，最小． 【详解】（1）略 （2）解：①如图，过点N作于点P，作于点Q， ∴ 在菱形中，，平分 ， 又由翻折可知，， 在和中， 由， ， ， ， 即， 又∵在四边形中， ， 即． ②略 8．（25-26八年级下·吉林长春·期末）折叠问题的实质是图形的轴对称变换，找出对应相等的元素是解题的关键．如图1，在矩形中，，，F为射线上一动点，连接，将沿折叠得到，点B的对应点为E． (1)当点E落在边上时，四边形的形状为__________． (2)如图2当点E落在对角线上时，求线段的长． (3)当平分时，过点E作于G，则_______． (4)在点F运动的过程中，当F，E，D三点共线时，请直接写出线段的长_______． 【答案】(1)正方形 (2) (3) (4)或 【分析】（1）由折叠性质得：，，由四边形为矩形且点E落在边上，得，即可得证； （2）先由勾股定理得，再由折叠知，，，设，则，在Rt中，，即可得； （3）由平分，得，可证，从而有，即可； （4）分点F在线段上时和点F在射线上时2种情况，用勾股定理构造方程求解即可． 【详解】（1）解：由折叠性质得：，， 又四边形为矩形且点E落在边上， ， 四边形为矩形， 又， 四边形为正方形； （2）解：∵在矩形中，，， 在中，由勾股定理得， 由折叠知，，， ，且， 设，则， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ； （3）解：如图， 四边形为矩形， ， 又平分， ， 由折叠知，， 在中，， ， 在中，，即， ； （4）解：①当点F在线段上时，如图， 在矩形中，，， 由折叠得，， ∴， 在中，， 设，则， 在中，，即， 解得， ； ②当点F在射线上时，如图， 同理可得， ， 在中，，即， 解得， ， 综上所述，的长为或． 9．（25-26八年级下·北京通州·期末）某班级同学开展以“折叠矩形纸片”为主题的数学节活动． (1)操作观察： 如图所示，将矩形纸片沿折叠后，使得点与点重合，点是点的对应点，则__________（填“”，“”或“”）； (2)判断与证明： 如图所示，将矩形纸片沿折叠后，使得点与点重合，点是点的对应点，连接，求证：四边形是菱形． (3)迁移应用： 如图所示，将矩形纸片沿对角线折叠后，点是点的对应点，与相交于点，连接，若，，求的长． 【答案】(1) (2)证明：如图，连接，与交于点． ∵点与点重合， ∴垂直平分， ∴，． ∵矩形， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． (3) 【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质进行等量代换即可求解； （2）根据折叠的性质推出垂直平分，结合矩形的性质证明，即可证明四边形是菱形； （3）根据矩形的性质推出，根据折叠的性质推出，再进一步推出，根据三角形内角和定理分别求出，即可求解． 【详解】（1）∵将矩形纸片沿折叠后，使得点与点重合， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）∵矩形，， ∴，，，， ∴， ∵矩形纸片沿对角线折叠后，点是点对应点， ∴，，， ∴，， ∴，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．（25-26八年级下·广东佛山·期末）综合与实践 【问题情境】在综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题展开数学活动． 【动手操作】 第一步：如图①，四边形是正方形纸片，将该纸片对折，使与重合，折痕为，展开铺平，如图②； 第二步：沿直线折叠，使点落在处，交于点，如图③； 第三步：延长交于点，连接交于点，如图④． 【解决问题】 (1)线段与的数量关系是________； (2)若正方形的边长为．①求的长；②求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由正方形的性质可得，，由折叠的性质可得，，从而得出，，再证明，即可得解； （2）①由正方形的性质可得，，则，由折叠的性质可得，由（1）可得，设，则，，再结合勾股定理计算即可得出结果； ②连接，由折叠的性质可得垂直平分，则，，证明为的中位线，得出，由折叠的性质可得，，，证明，由勾股定理计算可得，从而得出，即可得解． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形， ∴，， 由折叠的性质可得，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：①∵四边形为正方形， ∴，， ∵四边形是正方形纸片，将该纸片对折，使与重合，折痕为，展开铺平， ∴， 由折叠的性质可得， 由（1）可得， 设，则，， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； ②如图，连接， 由折叠的性质可得垂直平分， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴为的中位线， ∴， 由折叠的性质可得，，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04菱形、矩形、正方形中折叠问题的三类综合题型 目 录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、 菱形中的折叠问题 题型二、矩形中的折叠问题 题型三、正方形中的折叠问题 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 夙解题通法 明晰核心解法，助力能力迁移 题型特征：将特殊平行四边形沿某直线折叠，使边或点重合，求线段长、角度或面积，常与勾股定理、 全等结合。 -解题方法：找对应边、角相等，设所求量为x,用含x的式子表示相关边，在直角三角形中勾股定理列方 程求解：或利用全等三角形导边导角。 -易错提醒：找错对应点或对应边，折叠后点落在特殊位置（如对角线交点）时未利用其性质，忽略折叠 前后图形全等这一核心条件；方程解出后未检验是否符合折叠后图形位置。 夙题型归纳精讲典型题法，奔失解题根墨 题型一、菱形中的折叠问题 典例1(25-26八年级下河南许昌·期末)如图，在菱形ABCD中，AB=8,∠A=60°，E是AB的中点， F是边AD上一动点.将△AEF沿EF折叠，得到△A'EF.若A'E与菱形ABCD的对角线平行，则DF的长 冷 1/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E B 题型模版 1.特征：将菱形沿某条直线折叠，利用折叠前后对应边角相等，求折痕长或角度。 2方法：设未知数表示折叠后的线段，利用菱形边相等、对角线垂直平分及勾股定理列方程求解。 变式1-1(25-26八年级下山东济南期末)如图，将菱形纸片ABCD折叠，使得点B恰好落在边AD的中 点B'处，折痕为EF.若菱形ABCD的边长为lCm,∠A=l20°，则CF=cm】 B 变式1-2(25-26八年级下·陕西延安期末)如图，在菱形ABCD中，点E是BC边上的一点，连接AE, EH⊥AB于点H,将△ABE沿AE所在直线折叠得到△AFE，AF与CD相交于点G,AG恰好垂直平分 CD,若BE=4,则AE的长为 变式1-3(25-26八年级下·广西南宁·期末)【问题情境】在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片 的折叠”为主题开展小组数学活动、 己知菱形纸片ABCD,∠BCD=60° B B B A A N G D 图1 图2 图3 2/10 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【成果展示】 ()第一小组：如图1，连接AC,折叠菱形纸片ABCD,使点A落在对角线AC上的点P处，折痕分别交 AB,AD于点F,E.判断四边形AFPE的形状，并加以证明， (2)第二小组：将菱形纸片ABCD沿过点B的直线折叠到如图2所示的位置，点A的对应点为点P,折痕交 AD于点E,EP交CD于点G. ①判断DG和PG的数量关系，并加以证明. ②将菱形纸片ABCD沿过点B的直线折叠到如图3所示的位置，其中BP交CD于点M.若M恰好是CD 的中点，且AB=4,求线段AE的长， 类型二、矩形中的折叠问题 典例2(25-26八年级下·河南洛阳·期末)如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8，,E是边BC上的一点， 连接AE,将△ABE沿AE折叠，使点B落在点B处.当ACEB为直角三角形时，CE的长为 D 题型模版 1.特征：将矩形沿某条直线折叠，使项点落在边或对角线上，利用对应边角相等求长度。 2方法：设未知数表示折叠后的线段，利用矩形对边相等、四个直角及勾股定理列方程求解。 变式2-1(2026江苏连云港·中考真题)取一张矩形纸片ABCD(图1)，按如图2所示方式折叠，使点A AB 落在CD上，折痕为DE,再按如图3所示方式折叠，点C与点E恰好重合，则BC一· 图1 图2 图3 变式2-2(25-26八年级下江西宜春期末)如图，在矩形纸片4BCD中，4B=5 点EF 分别是AB 3/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 和CD的中点，H为BC上的一点，现将△ABH沿AH折叠，使点B落在直线EF上的点G.当△ADG为 等腰三角形时，AD= D F 变式23(25-26八年级下·黑龙江哈尔滨期末)【综合与探究】数学兴趣小组在学习矩形的过程中，对其 中一个问题作如下探究： C D A M 'M B W W (图1) (图2) (图3) (备用图) (1)【问题背景】教材79页8题 如图I,将矩形纸片ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C处，BC',AD相交于点E,则BE与DE的 数量关系是 (②)【变式思考】如图2，矩形纸片ABCD,AB=6,BC=8,折叠纸片使点B的对应点E落在对角线AC 上，求折痕AF的长： (3)【探究延伸】如图3，矩形纸片ABCD,AB=10,BC=16,点E为射线AD上一个动点，把△ABE沿 着直线BE折叠，当点A的对应点F刚好落在线段BC的垂直平分线MN上时，求AE的长. 题型三、正方形中的折叠问题 典例3(25-26八年级下·北京平谷·期末)如图，正方形ABCD中，将边CD折叠至DE,连接CE,BE, 若CB=1,∠CEB=90°，则BE的长为 4/10 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 题型模版 1特征：正方形沿某直线折叠，顶点落在边或对角线上，利用折叠前后边角相等求折痕或边长。 2方法：设未知数表示折叠后线段，利用正方形四边相等、四角为90°及勾股定理，列方程求解。 变式31(25-26八年级下·江苏南京期末)如图，将正方形ABCD沿EF折叠，点A落在CD上的A处.若 BF=2,AC=6,则折痕EF的长为 变式3-2(25-26八年级下广西贵港期末)如图，己知正方形ABCD边长为4，E是BC边上一点，将 △DCE沿直线DE折叠，使点C恰好落在对角线BD上，则BE的长等于一 C E 变式3-3(25-26八年级下湖北襄阳期末)【实践操作】 第一步：如图1，将正方形纸片ABCD沿AC,BD分别折叠，然后展平，得到折痕AC,BD.折痕AC, BD相交于点O. 第二步：如图2，将正方形ABCD再次折叠，使点B的对应点E恰好落在AC上，然后展平，得到折痕AF (折痕交边BC于点F),AF与BD相交于点G,连接GE,EF. 第三步：如图3，将正方形ABCD三次折叠，使点A与点F重合，然后展平，点H为点D的对应点，折痕 分别与AB,CD相交于点M,N,连接MF,NH. 5/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A D D 【问题解决】 B 图1 图2 图3 (1)如图2， ①LAGD的度数是_°： ②请判断四边形BGEF的形状，并说明理由； 【探索发现】 AB=2+1 MN2 (2)如图3，若 ,求 的值. 同压轴挑战一攻克高难压轴，突政思维上 一、单选题 1.(25-26八年级下·江苏泰州期末)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=70°，点E在BC上，将△ABE沿 着AE折叠，使点B的对应点F正好落在边CD上，对角线BD交折痕AE于点G,则∠AGD=() D A.65° B.70° C.75 D.80 2.(25-26八年级下·云南昆明期末)如图，将正方形ABCD沿AM折叠，点B落在对角线AC上的点E处， 已知MC=25,则BM 的长为（) 6/10 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E B.v② C:2 D.22 3.(25-26八年级下浙江杭州期末)数学兴趣小组在进行折纸活动时，使用了一张矩形纸片ABCD,其 中AD=9cm,CD=6cm,他们进行了如下操作： 第一步：如图①，将矩形纸片对折，使AD与BC重合，得到折痕MN,将纸片展平. 第二步：如图②，再次折叠纸片，把△ADN沿AN折叠得到△AD'N,AD'交折痕MN于点E.则线段AE 的长是() A D M--- M ① ② A.4cm B.5cm C.6cm D.4.5cm 二、填空题 4.(2025湖北模拟预测)在菱形ABCD中，边长为6，∠B=60°，点M是AB的中点，连接AC.N是 BC上一动点，把△ABC沿MN折叠，使点B恰好落在AC边上的B处，且AB':B'C=2:L,则BN=, M 5.(25-26八年级下·天津河东期末)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A的坐标 是4,0).P为边4B上一点，D、E分别是边BC和04的中点，沿C折叠正方形0MBC,折叠后点8的 对应点是B',且点B落在线段DE上，则点B的坐标是 7/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B E A 6.(2026四川凉山中考真题)如图，在矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=8厘米.动点E从点B出发以 2厘米/秒的速度在线段BC上运动，运动到点C处停止.动点E运动t秒时，连接AE,将△ABE沿着直线 AE折叠，顶点B的对应点是点F,连接CF.当△EFC是直角三角形时，则t为」 秒 B 三、解答题 7.(25-26八年级下广东广州期末)数学活动课上，同学们以菱形ABCD纸片开展“折纸”活动.已知 ∠ABC=60° A D M D E B B 图1 图2 ()如图1，折叠后，使点C落在对角线BD上的点E处，得到折痕BF,连接EF.证明：∠EFC=9O°： (②)如图2，折叠后，使点C落在边AD上的点M处，折痕与对角线BD交于点N处，连接CM,CN, MN ①求∠MWC的度数： ②若菱形ABCD的边长为6，则△CMN的周长是否存在最小值？若存在，求最小值；若不存在，说明理由. 8.(25-26八年级下·吉林长春·期末)折叠问题的实质是图形的轴对称变换，找出对应相等的元素是解题 的关键.如图1，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,F为射线BC上一动点，连接AF,将△ABF沿AF 8/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 折叠得到△AEF,点B的对应点为E L 备用图 备用图 备用图 (I)当点E落在边AD上时，四边形ABFE的形状为 (2)如图2当点E落在对角线AC上时，求线段BF的长 (3)当AE平分∠BAD时，过点E作EG⊥AD于G,则EG= (4)在点F运动的过程中，当F,E,D三点共线时，请直接写出线段EF的长 9.(25-26八年级下·北京通州期末)某班级同学开展以“折叠矩形纸片”为主题的数学节活动. 图1 图2 图3 (1)操作观察： 如图I所示，将矩形纸片ABCD沿EF折叠后，使得点C与点A重合，点G是点D的对应点，则∠AFE ∠AEF(填“>”，“<”或“=”)； (2)判断与证明： 如图2所示，将矩形纸片ABCD沿EF折叠后，使得点C与点A重合，点G是点D的对应点，连接CE,求 证：四边形AFCE是菱形 (3)迁移应用： 如图3所示，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠后，点E是点C的对应点，BE与AD相交于点F,连接 AE,若∠CBD=30°，CD=3,求AE的长。 10.(25-26八年级下·广东佛山期末)综合与实践 【问题情境】在综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题展开数学活动， 9/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A R H D D G G\M D C 图① 图② 图③ 图④ 【动手操作】 第一步：如图①，四边形ABCD是正方形纸片，将该纸片对折，使DC与AB重合，折痕为EF,展开铺平， 如图②： 第二步：沿直线CE折叠，使点D落在D'处，CD'交EF于点G,如图③： 第三步：延长ED'交AB于点H,连接CH交EF于点M,如图④. 【解决问题】 (I)线段BH与DH的数量关系是一： GF (②)若正方形ABCD的边长为4：①求BH的长，②求GE的值. 10/10