1.3 利用矩形的性质求角度、求线段长、求面积讲义-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

本讲义聚焦矩形性质的三大应用核心知识点，系统梳理矩形角的性质（四个直角、邻角互补）、对角线性质（相等且平分、衍生等腰三角形）、边的性质（对边平行相等）及面积公式，构建从基础性质到特殊模型（如对角线夹角60°等边三角形）再到直角三角形斜边中线定理的递进学习支架。 该资料以“知识点解析+解题思路+例题变式”为框架，通过“找直角定框架”“勾股计算”“割补转化”等方法培养几何直观与推理意识，例题选自多地阶段检测题体现分层教学。课中辅助教师系统授课，课后学生可通过变式训练强化运算能力与空间观念，有效查漏补缺。

利用矩形的性质求角度、求线段长、求面积讲义 利用矩形的性质求角度、求线段长、求面积讲义 考点目录 利用矩形的性质求角度 利用矩形的性质求线段长 利用矩形的性质求面积 考点一 利用矩形的性质求角度 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 角的基础性质 · 继承平行四边形通性：对角相等，邻角互补； · 矩形专属：四个内角均为直角（），因此任意两个邻角既互补又相等。 1. 对角线衍生的角度关系 矩形对角线相等且互相平分，设对角线交点为 ，则 ，因此对角线将矩形分成四个等腰三角形：、、、，可结合“等边对等角”推导角度。 1. 经典特殊模型 若矩形对角线的夹角为 （或 ），则对应的等腰三角形为等边三角形，三边相等，三个内角均为 ，是角度与边长快速转化的核心模型。 1. 推论：直角三角形斜边中线定理 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，该定理由矩形对角线性质推导而来，是直角三角形角度与边长转化的重要工具。 二、解题思路 1. 找直角定框架：利用矩形四个内角为直角的性质，确定直角三角形，得到“两锐角互余”的角度关系。 1. 找等腰定等角：根据对角线相等且平分，识别出等腰三角形，利用“等边对等角”得到相等的底角。 1. 结合定理计算：结合三角形内角和定理、外角定理、对顶角相等、邻补角互补等基础结论，逐步推导目标角的度数。 1. 特殊模型优先：若对角线夹角为 ，先判定等边三角形，直接得到对应角度，简化计算。 【例题分析】 例1．（25-26九年级·浙江温州·阶段检测）如图，在矩形中，，依据尺规作图的痕迹，则的度数为（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级·辽宁盘锦·阶段检测）已知矩形的一条对角线与一边的夹角是，则两条对角线所夹锐角的度数为（     ） A． B． C． D． 例3．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，在矩形中，对角线、交于点．延长至点，，，则的大小是_______度． 例4．（25-26九年级·四川绵阳·阶段检测）如图，点是矩形的对角线的延长线上的一点，连接，若，，则________． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，点在矩形的边的延长线上，连接，，，若，则的度数是（） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级下·陕西商洛·期末）如图，在矩形中，连接、，，延长至点，使得，连接，则的度数为（     ） A． B． C． D． 变式3．（25-26八年级下·河南鹤壁·期末）如图，四边形是矩形，对角线，相交于点，点，分别在边，上，连接交对角线于点．若为的中点，，则_____． 变式4．（25-26九年级·北京昌平·阶段检测）如图，点E是矩形的对角线的延长线上一点，若，，则_____． 考点二 利用矩形的性质求线段长 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 边的性质：矩形对边平行且相等，因此周长 （ 为长， 为宽），已知周长可直接得到长与宽的和。 1. 对角线核心性质 · 对角线相等且互相平分：； · 勾股定理：对角线为直角三角形的斜边，满足 ，是矩形边长与对角线互求的核心公式。 1. 斜边中线定理：直角三角形斜边中线长 = 斜边长的一半，可直接由对角线长度得到中线长度，反之亦然。 二、解题思路 1. 直接勾股计算：已知两邻边求对角线，或已知对角线和一邻边求另一邻边，直接代入直角三角形勾股定理计算。 1. 对角线转化法：所求线段为对角线的一部分时，利用“对角线互相平分且相等”，先求出整条对角线长度，再对应得到一半的长度。 1. 特殊角度简化：若对角线夹角为 ，先判定等边三角形，得到边长与对角线一半的等量关系，快速求解。 1. 方程思想：已知周长、边长比、对角线等条件，设未知数表示边长，利用勾股定理列方程，求解后得到目标线段长。 【例题分析】 例1．（25-26九年级·四川成都·阶段检测）在矩形中，对角线，相交于点O，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级·吉林长春·阶段检测）如图，在矩形中，按以下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交于点，若，，则该矩形的周长（     ） A．32 B．24 C．48 D．50 例3．（25-26九年级·河北沧州·阶段检测）若一个矩形的长和宽分别为和，它的一个内角的平分线把一条长边分为两部分，则这两部分的长度分别为______________和______________． 例4．（26-27九年级上·江苏南京·开学考试）如图，将矩形绕点C顺时针旋转得到矩形，E、F分别是、的中点，若，，则的长为 _____ ． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级·辽宁大连·阶段检测）如图，在矩形中，对角线、相交于点．若，，则长是（     ） A．2 B．3 C． D．4 变式2．（25-26八年级下·云南曲靖·期末）如图，在矩形中，，，点 E 是的中点，连接，则的长度为(     ) A．5 B．4 C．3 D． 变式3．（25-26九年级上·甘肃酒泉·期中）如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，垂足为点E，且平分，则的长为________． 变式4．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在矩形中，交于点，点在边上，连接交于点，且，若，则的长为___________． 考点三 利用矩形的性质求面积 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 基本面积公式 · 本质是平行四边形“底×高”的特殊形式（邻边垂直，高等于邻边长）。 1. 对角线相关面积推导 已知矩形两邻边之和为 ，对角线长为 ，可由完全平方公式推导面积： · 注意：矩形面积 ≠ 对角线乘积的一半，该公式仅适用于对角线垂直的四边形（如菱形、正方形），矩形对角线不垂直，切勿混淆。 1. 面积等分结论 · 两条对角线将矩形分成四个面积相等的三角形，每个三角形的面积为矩形面积的 ； · 矩形内任意一点与四个顶点连线，分成的四个三角形中，相对两个三角形的面积和等于矩形面积的一半。 二、解题思路 1. 直接公式法：已知长和宽，直接代入“长×宽”计算面积。 1. 间接求解法：已知周长、对角线、边长比等条件，先通过方程或勾股定理求出长与宽，再代入面积公式。 1. 割补转化法：组合图形中，通过平移、割补将不规则图形转化为矩形，或分离出矩形部分计算面积。 1. 等积法应用：利用矩形面积的不同表达形式建立方程，求解未知的高、边长等线段。 【例题分析】 例1．（25-26八年级下·天津东丽·期末）如图，在矩形中，，，折叠该矩形，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级·江苏常州·阶段检测）如图所示，在矩形中，是上任一点，连接，是的中点，若的面积为，则矩形的面积为__________． 例4．（25-26九年级·江苏镇江·阶段检测）如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作．分别交、、、于E、F、G、H，连接．若．则图中阴影部分的面积____________． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）如图，矩形的对角线，交于点，若，，则矩形的面积是（    ） A．12 B．18 C． D． 变式2．（25-26九年级·甘肃天水·阶段检测）如图，E，F，G，H分别为矩形各边的中点，若，，则四边形的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．12 变式3．（25-26八年级下·北京门头沟·期末）如图，在矩形中，对角线与交于点，如果，，那么这个矩形的面积是__________． 变式4．（25-26九年级·河北张家口·阶段检测）在矩形中，若，对角线，则矩形的面积是______． 2 学科网（北京）股份有限公司 $利用矩形的性质求角度、求线段长、求面积讲义 利用矩形的性质求角度、求线段长、求面积讲义 考点目录 利用矩形的性质求角度 利用矩形的性质求线段长 利用矩形的性质求面积 考点一 利用矩形的性质求角度 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 角的基础性质 · 继承平行四边形通性：对角相等，邻角互补； · 矩形专属：四个内角均为直角（），因此任意两个邻角既互补又相等。 1. 对角线衍生的角度关系 矩形对角线相等且互相平分，设对角线交点为 ，则 ，因此对角线将矩形分成四个等腰三角形：、、、，可结合“等边对等角”推导角度。 1. 经典特殊模型 若矩形对角线的夹角为 （或 ），则对应的等腰三角形为等边三角形，三边相等，三个内角均为 ，是角度与边长快速转化的核心模型。 1. 推论：直角三角形斜边中线定理 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，该定理由矩形对角线性质推导而来，是直角三角形角度与边长转化的重要工具。 二、解题思路 1. 找直角定框架：利用矩形四个内角为直角的性质，确定直角三角形，得到“两锐角互余”的角度关系。 1. 找等腰定等角：根据对角线相等且平分，识别出等腰三角形，利用“等边对等角”得到相等的底角。 1. 结合定理计算：结合三角形内角和定理、外角定理、对顶角相等、邻补角互补等基础结论，逐步推导目标角的度数。 1. 特殊模型优先：若对角线夹角为 ，先判定等边三角形，直接得到对应角度，简化计算。 【例题分析】 例1．（25-26九年级·浙江温州·阶段检测）如图，在矩形中，，依据尺规作图的痕迹，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的性质可得，由作法得：垂直平分，平分，即可求解． 【详解】解：如图， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， 由作法得：垂直平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴． 例2．（25-26九年级·辽宁盘锦·阶段检测）已知矩形的一条对角线与一边的夹角是，则两条对角线所夹锐角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出相对应的图形，根据矩形对角线相等且互相平分，利用三角形外角的定义求解即可． 【详解】解：设矩形为，对角线与交于点，如图， 已知对角线与边的夹角为，即， ∵四边形是矩形，矩形对角线相等且互相平分， ∴， ∴， ∵是的外角，且是两条对角线所夹的角， ∴， 即两条对角线所夹锐角的度数为． 例3．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，在矩形中，对角线、交于点．延长至点，，，则的大小是_______度． 【答案】 【分析】首先证明四边形是平行四边形，得到，求出，再根据矩形的性质证明，可得，即可求得答案． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ． 例4．（25-26九年级·四川绵阳·阶段检测）如图，点是矩形的对角线的延长线上的一点，连接，若，，则________． 【答案】 【分析】设与的交点为点，先根据矩形对角线的性质求出的值，根据三角形内角和的定理求出，再结合，等量代换推出，求出的值，最后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】设与的交点为点， ∵矩形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∵的内角和为， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，点在矩形的边的延长线上，连接，，，若，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接交于点，由矩形性质得，，结合已知可得，利用等腰三角形性质求出，进而求得． 【详解】解：连接交于点， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 变式2．（25-26八年级下·陕西商洛·期末）如图，在矩形中，连接、，，延长至点，使得，连接，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设矩形两对角线交于点O，由矩形的性质得，再利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：设矩形两对角线交于点O， 在矩形中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 变式3．（25-26八年级下·河南鹤壁·期末）如图，四边形是矩形，对角线，相交于点，点，分别在边，上，连接交对角线于点．若为的中点，，则_____． 【答案】/度 【分析】根据矩形的性质可得，得出，进而根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，则，再根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵ ∴ ∵在中，为的中点， ∴ ∴ ∴ ∴． 变式4．（25-26九年级·北京昌平·阶段检测）如图，点E是矩形的对角线的延长线上一点，若，，则_____． 【答案】 【分析】根据矩形的性质得到，可知，则，根据得到，可知． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 考点二 利用矩形的性质求线段长 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 边的性质：矩形对边平行且相等，因此周长 （ 为长， 为宽），已知周长可直接得到长与宽的和。 1. 对角线核心性质 · 对角线相等且互相平分：； · 勾股定理：对角线为直角三角形的斜边，满足 ，是矩形边长与对角线互求的核心公式。 1. 斜边中线定理：直角三角形斜边中线长 = 斜边长的一半，可直接由对角线长度得到中线长度，反之亦然。 二、解题思路 1. 直接勾股计算：已知两邻边求对角线，或已知对角线和一邻边求另一邻边，直接代入直角三角形勾股定理计算。 1. 对角线转化法：所求线段为对角线的一部分时，利用“对角线互相平分且相等”，先求出整条对角线长度，再对应得到一半的长度。 1. 特殊角度简化：若对角线夹角为 ，先判定等边三角形，得到边长与对角线一半的等量关系，快速求解。 1. 方程思想：已知周长、边长比、对角线等条件，设未知数表示边长，利用勾股定理列方程，求解后得到目标线段长。 【例题分析】 例1．（25-26九年级·四川成都·阶段检测）在矩形中，对角线，相交于点O，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分求解即可． 【详解】解：如图， 四边形是矩形， ，， 又， ． 例2．（25-26九年级·吉林长春·阶段检测）如图，在矩形中，按以下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交于点，若，，则该矩形的周长（     ） A．32 B．24 C．48 D．50 【答案】C 【分析】连接，求出，根据勾股定理求出，即可求出结论． 【详解】解：连接， 由作图知，垂直平分， ， 在矩形中，， ， ， ， 则该矩形的周长． 例3．（25-26九年级·河北沧州·阶段检测）若一个矩形的长和宽分别为和，它的一个内角的平分线把一条长边分为两部分，则这两部分的长度分别为______________和______________． 【答案】 【分析】矩形每个内角为，内角平分线得到角，可推出等腰直角三角形，利用直角边相等即可求出两部分长度 【详解】解：∵矩形的内角为，内角平分线将内角平分为两个的角， ∴内角平分线与矩形的边相交后形成的三角形是等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边长度相等，其中一条直角边等于矩形的宽，即， ∵被分割的是长度为的长边， ∴其中一段长度为，另一段长度为． 例4．（26-27九年级上·江苏南京·开学考试）如图，将矩形绕点C顺时针旋转得到矩形，E、F分别是、的中点，若，，则的长为 _____ ． 【答案】5 【分析】连接，，根据矩形的性质可得，，然后在中，利用勾股定理求出的长，再利用直角三角形斜边上的中线可得，最后根据旋转的性质可得：，，从而利用等腰直角三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：连接，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 由旋转得：，， ∴． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级·辽宁大连·阶段检测）如图，在矩形中，对角线、相交于点．若，，则长是（     ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】先证明是等边三角形，得出，，再根据勾股定理求出结论即可． 【详解】解：在矩形中，， ， ， 是等边三角形， ， ， 在中，． 变式2．（25-26八年级下·云南曲靖·期末）如图，在矩形中，，，点 E 是的中点，连接，则的长度为(     ) A．5 B．4 C．3 D． 【答案】A 【分析】由于点E为中点，故，在中，利用勾股定理求即可． 【详解】解：如图， 四边形为矩形， ， 为中点，， ， 在中，，， ． 变式3．（25-26九年级上·甘肃酒泉·期中）如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，垂足为点E，且平分，则的长为________． 【答案】 【分析】证明，得出，根据矩形性质得出，根据勾股定理得出，求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，，，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：（负值舍去）． 变式4．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在矩形中，交于点，点在边上，连接交于点，且，若，则的长为___________． 【答案】 【分析】连接交于点O，连接，令交于点M，根据三角形中位线定理、平行线的性质、对顶角相等和余角的性质可得，设，，则，、，再利用勾股定理解方程求出x的值，即可求出的长． 【详解】解：如图，连接交于点O，连接，令交于点M， ∵， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，， ∴，， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴，解得：（已舍弃负值）， ∴． 考点三 利用矩形的性质求面积 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 基本面积公式 · 本质是平行四边形“底×高”的特殊形式（邻边垂直，高等于邻边长）。 1. 对角线相关面积推导 已知矩形两邻边之和为 ，对角线长为 ，可由完全平方公式推导面积： · 注意：矩形面积 ≠ 对角线乘积的一半，该公式仅适用于对角线垂直的四边形（如菱形、正方形），矩形对角线不垂直，切勿混淆。 1. 面积等分结论 · 两条对角线将矩形分成四个面积相等的三角形，每个三角形的面积为矩形面积的 ； · 矩形内任意一点与四个顶点连线，分成的四个三角形中，相对两个三角形的面积和等于矩形面积的一半。 二、解题思路 1. 直接公式法：已知长和宽，直接代入“长×宽”计算面积。 1. 间接求解法：已知周长、对角线、边长比等条件，先通过方程或勾股定理求出长与宽，再代入面积公式。 1. 割补转化法：组合图形中，通过平移、割补将不规则图形转化为矩形，或分离出矩形部分计算面积。 1. 等积法应用：利用矩形面积的不同表达形式建立方程，求解未知的高、边长等线段。 【例题分析】 例1．（25-26八年级下·天津东丽·期末）如图，在矩形中，，，折叠该矩形，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠的性质可得，设，则，利用勾股定理可得方程，解方程求出，根据折叠的性质和矩形的性质得出即到的距离为，再利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，则， ∵矩形， ∴，与的距离为，即到的距离为， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， . 例2．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作于，交于，根据矩形的性质可得即可求解. 【详解】解：作于，交于， 则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ，，，，， ， ， ， 故选：C． 例3．（25-26九年级·江苏常州·阶段检测）如图所示，在矩形中，是上任一点，连接，是的中点，若的面积为，则矩形的面积为__________． 【答案】24 【分析】根据矩形的性质和三角形中线的性质，求解即可． 【详解】解：连接， 是的中线，的面积为， ， 又∵矩形与同底等高， 矩形的面积． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和三角形中线的性质，熟练掌握三角形的中线三角形分成面积相等的两个三角形；求三角形或矩形面积充分运用底，高相等的关系解答是解题的关键． 例4．（25-26九年级·江苏镇江·阶段检测）如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作．分别交、、、于E、F、G、H，连接．若．则图中阴影部分的面积____________． 【答案】12 【分析】想办法证明S△PEB=S四边形BEPH=S四边形DFPG解答即可． 【详解】解：由题意可得： 四边形AEPG，四边形DFPG，四边形CFPH，四边形BEPH都是矩形， ∴S△ADC=S△ABC，S△AGP=S△AEP，S△PBE=S△PBH，S△PFC=S△PCH， ∴四边形DFPG的面积=四边形BEPH的面积， ∴S△PBE=S四边形BEPH=S四边形DFPG=AE×PF=×3×8=12， 即阴影部分面积为6， 故答案为：12． 【点睛】此题主要考查矩形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是证明S△PEB=S四边形DFPG． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）如图，矩形的对角线，交于点，若，，则矩形的面积是（    ） A．12 B．18 C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的性质得出，结合求出，判定为等边三角形，从而求出对角线长度，再利用勾股定理求出长，最后计算面积即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴矩形的面积． 变式2．（25-26九年级·甘肃天水·阶段检测）如图，E，F，G，H分别为矩形各边的中点，若，，则四边形的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】根据矩形性质和中点定义求出四个角上直角三角形的直角边长，利用矩形面积减去四个直角三角形面积即可求解． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，， ，，，分别为矩形各边的中点， ，， ， ． 变式3．（25-26八年级下·北京门头沟·期末）如图，在矩形中，对角线与交于点，如果，，那么这个矩形的面积是__________． 【答案】 【分析】由题意易得，则有是等边三角形，然后可得，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积为． 变式4．（25-26九年级·河北张家口·阶段检测）在矩形中，若，对角线，则矩形的面积是______． 【答案】 【分析】根据矩形性质，求得，利用面积公式解答即可． 本题考查了矩形的性质，勾股定理，矩形的面积，熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵，对角线， ∴， ∴矩形的面积为：， 故答案为：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $