1.3矩形的性质与判定 讲义 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦“矩形的性质与判定”核心知识点，以直角三角形斜边上中线的性质与判定定理为基础，衔接矩形的定义、性质（四角直角、对角线相等、对称性等）及判定方法（定义、三直角、对角线相等的平行四边形），构建从基础到综合的学习支架。 资料通过实际情境例题（如公路距离计算）培养数学眼光，几何推理题（矩形对角线角度计算）发展数学思维，结合详细解析辅助课中教学，课后可帮助学生巩固知识、查漏补缺，强化应用意识与实践能力。

北师大版（2024）九年级上册1.3矩形的性质与判定 【知识点1】直角三角形斜边上的中线 （1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） （2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形． 该定理可以用来判定直角三角形． 1.（2025春•海淀区校级期中）如图两段公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为2千米，则M、C两点间的距离为（　　）千米． A．2 B．1 C．0.5 D． 2.（2025春•荔湾区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，AB=20，则CD的长是（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 3.（2025春•道外区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB是直角，CD是斜边AB上的中线，若∠A=40°，则∠BCD的度数为 ______． 4.（2025•思明区校级模拟）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，点E为边CB中点，若∠A=52°，则∠EDB= ______°． 【知识点2】矩形的性质 （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）矩形的性质     ①平行四边形的性质矩形都具有；     ②角：矩形的四个角都是直角；     ③边：邻边垂直；     ④对角线：矩形的对角线相等；     ⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． （3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 1.（2025•新安县模拟）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的点，且AE=2BE，BF=2CF，连接EC，FD，M，N分别是EC，FD的中点，连接MN，若AB=6，BC=9，则MN的长为（　　） A． B． C． D．2 2.（2025春•曲沃县期末）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠ADB=40°，则∠AOB的度数是（　　） A．70° B．75° C．80° D．85° 3.（2024秋•云州区期末）给出下列表述：①路程一定，汽车行驶的平均速度v与行驶时间t；②长方形面积一定，长方形的长a与宽b；③钱数一定，所买苹果的数量x与苹果单价y.其中两个量之间成反比例关系的是 ______．（填序号） 【知识点3】矩形的判定 （1）矩形的判定： ①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”） （2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等． ②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形． 1.（2024春•思明区校级期中）要判断一个四边形门框是否为矩形，在下面四个初拟的方案中，可行的是（　　） A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否相等 C．测量对角线是否相等 D．测量其中三个角是否为直角 2.（2024春•泗阳县校级期中）平行四边形内角平分线能够围成的四边形是（　　） A．梯形 B．矩形 C．正方形 D．不是平行四边形 3.（2018秋•沈河区校级期末）木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm,宽为60cm,对角线为100cm,则这个桌面 ______（填“合格”或“不合格”）． 4.（2014•黑龙江）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O，不添加任何辅助线，平行四边形满足______条件时，平行四边形ABCD是矩形．（填一个即可） 【知识点4】矩形的判定与性质 （1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有． 在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题． （2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB=∠OBA，∠OCB=∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等． 1.（2018春•乐亭县期末）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（　　） A．2 B．2.2 C．2.4 D．2.5 2.（2013•河北区二模）已知下列命题中：（1）矩形是轴对称图形，且有两条对称轴；（2）两条对角线相等的四边形是矩形；（3）有两个角相等的平行四边形是矩形；（4）两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形．其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 北师大版（2024）九年级上册1.3矩形的性质与判定 (参考答案) 【知识点1】直角三角形斜边上的中线 （1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） （2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形． 该定理可以用来判定直角三角形． 1.（2025春•海淀区校级期中）如图两段公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为2千米，则M、C两点间的距离为（　　）千米． A．2 B．1 C．0.5 D． 【答案】B 【分析】根据题意可得∠ACB=90°，然后利用直角三角形斜边上的中线性质，进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：AC⊥BC， ∴∠ACB=90°， ∵AB=2千米，点M是AB的中点， ∴CM=AB=1（千米）， 故选：B． 2.（2025春•荔湾区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，AB=20，则CD的长是（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，由此即可计算． 【解答】解：∵∠ACB=90°，点D是AB的中点， ∴CD=AB， ∵AB=20， ∴CD=10． 故选：D． 3.（2025春•道外区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB是直角，CD是斜边AB上的中线，若∠A=40°，则∠BCD的度数为 ______． 【答案】50°． 【分析】先根据直角三角形斜边上的中线性质可得CD=AD，从而可得∠A=∠ACD=40°，然后利用角的和差关系进行计算即可解答． 【解答】解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线， ∴CD=AD=AB， ∴∠A=∠ACD=40°， ∵∠ACB=90°， ∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=50°， 故答案为：50°． 4.（2025•思明区校级模拟）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，点E为边CB中点，若∠A=52°，则∠EDB= ______°． 【答案】38． 【分析】根据三角形内角和定理求出∠B=38°，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求出DE=BC=BE，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【解答】解：∵∠ACB=90°，∠A=52°， ∴∠B=180°-∠ACB-∠A=38°， ∵CD⊥AB，点E为边CB中点， ∴DE=BC=BE， ∴∠EDB=∠B=38°， 故答案为：38． 【知识点2】矩形的性质 （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）矩形的性质     ①平行四边形的性质矩形都具有；     ②角：矩形的四个角都是直角；     ③边：邻边垂直；     ④对角线：矩形的对角线相等；     ⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． （3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 1.（2025•新安县模拟）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的点，且AE=2BE，BF=2CF，连接EC，FD，M，N分别是EC，FD的中点，连接MN，若AB=6，BC=9，则MN的长为（　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】连接CN并延长交AD于点G，连接EG，根据中点定义，矩形的性质得到∠A=90°，AD∥BC，再证△GND≌△CNF，得到GN=CN，根据三角形的中位线定理和勾股定理即可得到结论． 【解答】解：在矩形ABCD中，M，N分别是EC，FD的中点，如图，连接CN并延长交AD于点G，连接EG， ∴AD∥BC，AB=BC，BC=AD，∠A=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，DN=FN， ∴∠GDN=∠CFN， 在△GND和△CNF中， ， ∴△GND≌△CNF（ASA）， ∴GN=CN，即N是CG的中点． ∴MN是△CEG的中位线． ∴． ∵AE=2BE，BF=2CF，AB=6，BC=9， ∴，，AG=AD-DG=6． 在Rt△AEG中 AE2+AG2=EG2 ∴． ∴， 故选：A． 2.（2025春•曲沃县期末）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠ADB=40°，则∠AOB的度数是（　　） A．70° B．75° C．80° D．85° 【答案】C 【分析】根据矩形的性质，证出OA=OB，得出∠OAB=∠ABO，再由三角形内角和定理即可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，∠BAD=90°， ∴OA=OB， ∴∠OAB=∠ABO， ∵∠ADB=40°， ∴∠ABO=50°， ∴∠AOB=180°-2×50°=80°， 故选：C． 3.（2024秋•云州区期末）给出下列表述：①路程一定，汽车行驶的平均速度v与行驶时间t；②长方形面积一定，长方形的长a与宽b；③钱数一定，所买苹果的数量x与苹果单价y.其中两个量之间成反比例关系的是 ______．（填序号） 【答案】①②③． 【分析】、可先根据题意列出各个量的关系式，再根据反比例关系的定义进行判断即可． 【解答】解：①∵当路程一定，汽车行驶的平均速度v与行驶时间t的关系式为：v=，所以是反比例关系； ②当长方形面积一定，长方形的长a与宽b的关系式为：a=，所以是反比例关系； ③（s是钱数）是反比例关系． 故答案为：①②③． 【知识点3】矩形的判定 （1）矩形的判定： ①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”） （2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等． ②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形． 1.（2024春•思明区校级期中）要判断一个四边形门框是否为矩形，在下面四个初拟的方案中，可行的是（　　） A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否相等 C．测量对角线是否相等 D．测量其中三个角是否为直角 【答案】D 【分析】由矩形的判定即可得出结论． 【解答】解：对角线相互平分的四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； 两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； 对角线相等的四边形不一定是矩形，故选项C不符合题意； 三个角是直角的四边形是矩形，故选项D符合题意； ∴在这四个拟定方案中，正确的方案是D， 故选：D． 2.（2024春•泗阳县校级期中）平行四边形内角平分线能够围成的四边形是（　　） A．梯形 B．矩形 C．正方形 D．不是平行四边形 【答案】B 【分析】作出图形，根据平行四边形的邻角互补以及角平分线的定义求出∠AEB=90°，同理可求∠F、∠FGH、∠H都是90°，再根据四个角都是直角的四边形是矩形解答． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD+∠ABC=180°， ∵AE、BE分别是∠BAD、∠ABC的平分线， ∴∠BAE+∠ABE=∠BAD+∠ABC=×180°=90°， ∴∠AEB=90°， ∴∠FEH=90°， 同理可求∠F=90°，∠FGH=90°，∠H=90°， ∴四边形EFGH是矩形． 故选：B． 3.（2018秋•沈河区校级期末）木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm,宽为60cm,对角线为100cm,则这个桌面 ______（填“合格”或“不合格”）． 【答案】合格 【分析】只要算出桌面的长与宽的平方和是否等于对角线的平方，如果相等可得长、宽、对角线构成的是直角三角形，由此可得到每个角都是直角，根据矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形，可得此桌面合格． 【解答】解：∵802+602=10000=1002， 即：AD2+DC2=AC2， ∴∠D=90°， 同理：∠B=∠BCD=90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴这个桌面合格． 故答案为：合格． 4.（2014•黑龙江）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O，不添加任何辅助线，平行四边形满足______条件时，平行四边形ABCD是矩形．（填一个即可） 【答案】AC=BD或∠ABC=90° 【分析】矩形是特殊的平行四边形，矩形有而平行四边形不具有的性质是：矩形的对角线相等，矩形的四个内角是直角；可针对这些特点来添加条件． 【解答】解：若使▱ABCD变为矩形，可添加的条件是： AC=BD；（对角线相等的平行四边形是矩形），∠ABC=90°等（有一个角是直角的平行四边形是矩形）， 故答案为：AC=BD或∠ABC=90°． 【知识点4】矩形的判定与性质 （1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有． 在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题． （2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB=∠OBA，∠OCB=∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等． 1.（2018春•乐亭县期末）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（　　） A．2 B．2.2 C．2.4 D．2.5 【答案】C 【分析】根据已知得出四边形AEPF是矩形，得出EF=AP，要使EF最小，只要AP最小即可，根据垂线段最短得出即可． 【解答】解：连接AP， ∵∠A=90°，PE⊥AB，PF⊥AC， ∴∠A=∠AEP=∠AFP=90°， ∴四边形AFPE是矩形， ∴EF=AP， 要使EF最小，只要AP最小即可， 过A作AP⊥BC于P，此时AP最小， 在Rt△BAC中，∠A=90°，AC=4，AB=3，由勾股定理得：BC=5， 由三角形面积公式得：×4×3=×5×AP， ∴AP=2.4， 即EF=2.4， 故选：C． 2.（2013•河北区二模）已知下列命题中：（1）矩形是轴对称图形，且有两条对称轴；（2）两条对角线相等的四边形是矩形；（3）有两个角相等的平行四边形是矩形；（4）两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形．其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】根据矩形的轴对称性、矩形的判定和矩形的性质逐项分析即可得到正确命题的个数． 【解答】解：已知如图： （1）矩形是轴对称图形，对边中点连线所在的直线是它的对称轴，并且有两条，故该选项正确； （2）只有两条对角线相等的平行四边形是矩形；故该选项错误； （3）所有的平行四边形对角都相等，但不一定是矩形，故该选项错误； （4）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，再加对角线相等则为矩形，故该选项正确； 所以其中正确的有（1）和（4）． 故选：C． 学科网（北京）股份有限公司 $