1.4 正方形的性质与判定（第2课时）教学设计 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦正方形的判定方法及中点四边形规律，通过复习平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质与判定关系导入，构建从一般到特殊的知识支架，引导学生梳理前后知识脉络。 此资料以探究式教学为特色，通过中点四边形从正方形到矩形、菱形等的探究，培养学生抽象能力与推理意识，动手连接中点发现规律并证明，提升创新意识。帮助学生深化几何直观，为教师提供清晰教学流程与难点突破策略。

第一章 特殊平行四边形 1.4 正方形的性质与判定（第2课时） 一 教学目标 1. 基础知识与基本技能：掌握正方形的判定方法（有一组邻边相等的矩形、对角线互相垂直的矩形、有一个角是直角的菱形、对角线相等的菱形），能运用判定条件进行证明。 2. 基本思想与基本活动经验：通过中点四边形规律的探究，体会从特殊到一般的归纳思想，积累探究图形变化规律的经验。 3. 发现问题与提出问题能力：能从中点四边形的探究中提出新的问题和猜想。 4. 分析与解决问题能力：能运用正方形的判定定理进行证明，能解决中点四边形的形状判断问题。 二 教学重点与难点 教学重点：正方形的判定方法，中点四边形形状与原四边形对角线的关系。 教学难点：中点四边形规律的发现与证明，正方形判定方法的选择。 学情分析：学生已掌握正方形和菱形、矩形的判定，具备综合运用知识的能力，但归纳推理能力需引导。 突破策略：通过动手操作（连接各边中点）发现规律，再用三角形中位线定理严格证明。 三 教学过程 （一）复习引入 问题 1：请梳理总结平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质。 问题 2：请从判定的角度梳理平行四边形及特殊平行四边形的关系。 思 考 怎样判定一个四边形是正方形呢？ （三）新知探究 1. 正方形的定义是什么？ 定义 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 几何语言：如图，在 □ABCD 中， ∵∠A＝90°，AB＝BC， ∴ □ABCD 是正方形。 2. 正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，那么满足什么条件的矩形是正方形？满足什么条件的菱形是正方形？请证明你的结论，并与同伴进行交流。 定理 有一组邻边相等的矩形是正方形。 几何语言：如图，在 矩形ABCD 中， ∵AB＝BC， ∴ 矩形ABCD 是正方形。 定理 对角线互相垂直的矩形是正方形。 几何语言：如图，在 矩形ABCD 中， ∵AC⊥BD， ∴ 矩形ABCD 是正方形。 定理 有一个角是直角的菱形是正方形。 几何语言：如图，在 菱形ABCD 中， ∵∠BAD=90°， ∴ 菱形ABCD 是正方形。 定理 对角线相等的菱形是正方形。 几何语言：如图，在菱形ABCD 中， ∵ AC＝BD ， ∴ 菱形ABCD 是正方形。 归纳总结 平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系和判定： （五）巩固练习 1. 判断下列命题是否正确，并说明理由。 （1）有一组邻边相等的矩形是正方形。（ √ ） （2）对角线相等的菱形是正方形。（ √ ） （3）四条边相等，且有一个角是直角的四边形是正方形。（ √ ） （4）矩形一定是正方形。（ × ） （5）正方形、矩形、菱形都是平行四边形。（ √ ） （6）正方形是轴对称图形，一共有2条对称轴。（ × ） 2. 已知，四边形 ABCD 是平行四边形，下列说法不正确的是（ ）。 A. 当 AB＝BC 时，四边形 ABCD 是菱形 B. 当 AC⊥BD 时，四边形 ABCD 是菱形 C. 当∠ABC＝90°时，四边形 ABCD 是矩形 D. 当 AC＝BD 时，四边形 ABCD 是正方形 D 3. 已知，四边形 ABCD 是平行四边形，从条件①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD 中选择两个作为补充条件，使得四边形 ABCD 是正方形。其中错误的是 。 ①④或②③ 4. 如图，将矩形纸片 ABCD 折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 F 处，折痕为 BE，若沿 EF 剪下，则折叠部分展开是一个正方形，其数学原理是（　　）。 A．邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．两个全等的直角三角形构成正方形 D．轴对称图形是正方形 A 实践新知 例 1 已知：如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，BF∥CE, CF∥BE。 求证：四边形 BECF 是正方形。 证明：∵BF∥CE，CF∥BE， ∴四边形 BECF 是平行四边形。 ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ABC＝90°，∠DCB＝90°。 又∵BE 平分∠ABC，CE平分∠DCB， ∴∠EBC＝∠ABC＝45°，∠ECB＝∠BCD＝45°。 ∴∠EBC＝∠ECB。∴EB＝ EC。 ∴ □ BECF 是菱形。 在△EBC中， ∵∠EBC＝45°，∠ECB＝45° ， ∴∠BEC＝180°－∠EBC－∠ECB＝180°－45°－45°＝90°。 ∴菱形 BECF 是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）。 尝试•思考 （1）如图，四边形 ABCD 是正方形，以它四边的中点为顶点的四边形，是一个怎样的四边形？先猜一猜，再证明你的猜想。如果四边形 ABCD 是矩形呢？先独立思考，再以小组为单位，交流讨论，得出结论，并证明结论的正确性。 问题中的关键信息： （1）四边形 ABCD 是正方形；（2）四边的中点。 相关的知识点有：（1）特殊平行四边形的性质和判定； （2）三角形的中位线定理； （3）正方形的一条对角线把正方形分成两个等腰直角三角形，四边形的问题可以转化成三角形的问题来解决…… 解：如图，以正方形 ABCD四边的中点E，F，G，H为顶点作四边形，连接 AC，BD， 相交于点 O，AC交 EH 于点 M，BD交 EF 于点 N。 ∵在△ABD 中，点 E，H 分别是 AB、DA 的中点， ∴EH∥BD 且 EH＝BD。 同理可证FG∥BD 且 FG＝BD，EF∥AC且EF＝AC。 ∴EH∥FG，且 EH＝FG。 ∴四边形 EFGH 是平行四边形。 ∵在正方形 ABCD 中，AC＝BD ， ∴EH＝EF。 ∴□ EFGH 是菱形。 ∵在正方形 ABCD 中，AC⊥BD， ∴∠AOB＝90°。 ∵EH∥BD， ∴AC⊥EH。 ∴∠EMO＝90°。 同理可证∠ENO＝90°。 ∴∠AOB＝∠EMO＝∠ENO＝90°。 ∴四边形 EMON 是矩形。 ∴∠MEN＝90°。 ∴菱形 EFGH 是正方形。 如图，若四边形 ABCD 变为矩形，则四边形 EFGH 是菱形。 解：连接 AC，BD。 ∵在△ABD 中，点 E，H 分别是 AB，DA 的中点， ∴EH∥BD 且 EH＝BD。 同理可证FG∥BD 且 FG＝BD；EF∥AC 且 EF＝AC。 ∴EH∥FG且 EH＝FG。 ∴四边形 EFGH 是平行四边形。 ∵在矩形 ABCD 中，AC＝BD , ∴EH＝EF。 ∴□ EFGH 是菱形。 尝试•思考 （2）类比上述问题，你还能提出什么问题？你能解决它们吗？ 问题1：若四边形 ABCD 是菱形，连接它各边的中点，可以得到一个怎样的四边形？ 问题2：若四边形 ABCD 是平行四边形，连接它各边的中点，可以得到一个怎样的四边形？ 问题3：若四边形 ABCD 是任意四边形，连接它各边的中点，可以得到一个怎样的四边形？ 问题4：连接四边形 ABCD 各边的中点，得到的四边形的形状与原四边形的什么要素有关？你能得出结论吗？你是怎么思考得出这个结论的？ …… （3）在上述问题的解决过程中，你发现了什么规律？请说明理由。 发现：四边形的中点四边形都是平行四边形，中点四边形的形状取决于原四方形两条对角线的位置关系和数量关系。 当原四边形的两条对角线互相垂直时，中点四边形是矩形； 当原四边形的两条对角线相等时，中点四边形是菱形； 当原四边形的两条对角线互相垂直且相等时，中点四边形是正方形。 四 板书设计 1.4 正方形的性质与判定（第2课时） 判定方法1 有一组邻边相等的矩形是正方形 判定方法2 对角线互相垂直的矩形是正方形 判定方法3 有一个角是直角的菱形是正方形 判定方法4 对角线相等的菱形是正方形 中点四边形 对角线垂直→矩形；相等→菱形；垂直且相等→正方形 五 知识总结 核心知识点： 有一组邻边相等的矩形是正方形 对角线互相垂直的矩形是正方形 有一个角是直角的菱形是正方形 对角线相等的菱形是正方形 中点四边形规律：取决于原四边形对角线的位置和数量关系 数学思想方法：综合判定、归纳推理、类比迁移、逆向思维 知识网络图：矩形──四种条件之一──→正方形 菱形──四种条件之一──→正方形 中点四边形形状←原四边形对角线 易错易混警示：①正方形判定须同时满足菱形和矩形的条件；②中点四边形规律取决于对角线关系，不是边的关系；③不要混淆四种判定方法的使用条件。 六 课后作业 1. 教科书 习题 1.4 第 4 ，8，9 题。 2. 教科书 章复习题第17题。 7 学科网（北京）股份有限公司 $