1.3 矩形在坐标系中的坐标、斜边的中线等于斜边的一半、矩形与折叠问题讲义-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

本讲义聚焦矩形在坐标系中的坐标特征（边与坐标轴平行时横纵坐标关系、对角线中点性质）、斜边中线定理（直角三角形斜边中线等于斜边一半及衍生结论）、矩形折叠问题（折叠本质、模型及勾股方程应用），构建从坐标表示到性质应用再到动态变换的递进学习支架。 资料精选各地期末及阶段检测真题，通过“知识点解析+解题思路+例题变式”设计，培养几何直观与抽象能力（数学眼光），强化推理意识与运算能力（数学思维），提升用坐标和方程表达几何关系的能力（数学语言）。课中辅助分层教学，课后助力学生通过变式训练查漏补缺，巩固知识体系。

矩形在坐标系中的坐标、斜边的中线等于斜边的一半、矩形与折叠问题讲义 矩形在坐标系中的坐标、斜边的中线等于斜边的一半、矩形与折叠问题讲义 考点目录 矩形在坐标系中的坐标问题 斜边的中线等于斜边的一半 矩形与折叠问题 考点一 矩形在坐标系中的坐标问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 边与坐标轴平行的坐标特征 矩形的边平行于坐标轴时，同一条竖边上所有点的横坐标相同，同一条横边上所有点的纵坐标相同；边长等于对应坐标差的绝对值。 例如：若 、、，则 长 ， 长 。 1. 对角线中点性质 矩形对角线互相平分且相等，因此两条对角线的中点坐标完全相同。 若矩形对角顶点为 、，则对角线中点坐标为： 已知三个顶点坐标时，可利用中点重合直接推导第四个顶点坐标。 1. 分类讨论前提 当顶点顺序、边的方向未明确时，同一条线段可作为边或对角线，对应多种矩形构造方式，需分类讨论。 二、解题思路 1. 定方向：先判断矩形的边是否平行于坐标轴，若平行，直接利用横/纵坐标相等的特征简化计算。 1. 用中点：已知对角顶点时，优先用中点坐标公式，结合已知顶点坐标推导未知顶点坐标。 1. 验性质：利用坐标差计算边长，验证对边相等、邻边垂直（斜率乘积为 ），确保符合矩形定义。 1. 补全解：顶点顺序不确定时，分别以不同线段为邻边、为对角线，分情况求解，最后验证合理性。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·吉林长春·期末）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知顶点A的坐标为，顶点B的坐标为，且，则顶点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质以及相似三角形的判定和性质，准确添加辅助线是解题的关键． 过点作轴交轴于点，通过角度关系证明，由对应边成比例，计算得出、的长度，最终得出点的坐标． 【详解】解：过点作轴并交轴于点，如下图所示： ∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ， ， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故点的坐标为， 故选：C． 例2．（2026·湖南岳阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，轴于点，以为圆心、的长为半径画弧，交于点；再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意确定点、的坐标，利用尺规作图的性质得出平分，结合角平分线的性质及全等三角形判定得出，设点坐标构建方程求解即可． 【详解】解：连接， 点的坐标为，轴，轴，， ，，，．四边形是矩形 以为圆心、的长为半径画弧交于点， ． 在中，， 点的坐标为． 由作图可知，平分，即． 点在上，轴， 点的横坐标为， 设，则． 平分， ∴ 又∵ ， ，． ∴． 在： ， 解得． 点的坐标为． 例3．（25-26九年级上·河南郑州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的边OA 在x轴上，OC在y轴上，OA=1，OC=2，对角线 AC的垂直平分线交AB 于点E，交AC于点D．若y轴上有一点P（不与点C重合），能使△AEP是以为 AE 为腰的等腰三角形，则点 P的坐标为____． 【答案】，或 【分析】设AE=m，根据勾股定理求出m的值，得到点E（1，），设点P坐标为（0，y），根据勾股定理列出方程，即可得到答案． 【详解】∵对角线 AC的垂直平分线交AB 于点E， ∴AE=CE， ∵OA=1，OC=2， ∴AB=OC=2，BC=OA=1， ∴设AE=m，则BE=2-m，CE=m， ∴在Rt∆BCE中，BE2+ BC2=CE2，即：（2-m）2+12=m2， 解得：m=， ∴E（1，）， 设点P坐标为（0，y）， ∵△AEP是以为 AE 为腰的等腰三角形， 当AP=AE，则(1-0)2+(0-y)2= (1-1)2+(0-)2，解得：y=， 当EP=AE，则(1-0)2+(-y)2= (1-1)2+(0-)2，解得：y=， ∴点 P的坐标为，，， 故答案是：，，． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，勾股定理，矩形的性质，垂直平分线的性质，掌握勾股定理，列出方程，是解题的关键． 例4．（25-26八年级下·江苏南通·期末）如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，点在第一象限． (1)求，两点的坐标； (2)若的面积与的面积相等，求的值； (3)在平面直角坐标系中存在一点，使得以，，，四个点为顶点的四边形为矩形，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）轴上点纵坐标为0，轴上点横坐标为0，代入函数解析式求解即可； （2）先求出的面积，可得的面积，再用点的坐标表示的面积，代入计算即可； （3）根据矩形互相平分且相等的性质，列中点公式求的坐标，再验证对角线相等即可． 【详解】（1）令，代入一次函数解析式得， 解得， ∴； 令，代入一次函数解析式得， ∴； （2）过作轴于，过作，交于， ∵轴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ， ∵的面积与的面积相等， ∴， ∵且在第一象限， ∴， ∴ ， ∴, ∴ ， ​ 令， 解得； （3）由(2)得 ，四个点构成矩形，根据矩形对角线互相平分且相等，分三种情况讨论： ① 若为矩形的对角线： 中点坐标为 ，， 设， ∴由中点重合： 解得 ∴ ， ∵矩形的对角线相等，则, ∴， 整理的：, 解得：，， ∴（不符合题意，舍去）或； ② 若为矩形的对角线： 中点坐标为 ， 同理得： 解得 ， 此时,即， ∴ 整理得， 解得（舍去） ③ 若为矩形的对角线： 中点坐标为 ， 同理得： ​ 解得 ， ∴， ∵， ∴ 整理得， ∴， ∴; ∴ 存在或使得以，，，四个点为顶点的四边形为矩形． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·山东济南·阶段检测）如图，在直角坐标系中，矩形的对角线轴，若，，与的交点为E，则C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不妨设，，利用中点坐标公式，建立等式，根据矩形的对角线相等，利用两点间距离公式建立新等式，解答即可． 本题考查了坐标的特点，中点坐标公式，两点间距离公式，矩形的性质，熟练掌握公式和性质是解题的关键． 【详解】解：由轴，，， 不妨设，， 由矩形， 故点E是与的中点，且， 故，或， 同一点的坐标是相同的， 故， 故， 故 故， 解得， 故， 故选：A． 变式2．（25-26九年级上·江西九江·阶段检测）如图，矩形的三个顶点的坐标分别为．若直线平分矩形的周长，则b的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接相交于点E，根据四边形是矩形，可得点E是的中点，即可求出，再将代入即可求出b的值． 【详解】解：连接相交于点E，如下图所示，    ∵， ∴轴， ∵四边形是矩形，相交于点E， ∴，点E是的中点， ∴，即， ∵直线平分矩形的周长， ∴直线经过点， ∴，解得， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和一次函数，求出点E的坐标是解题的关键． 变式3．（25-26九年级上·湖北荆州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标分别为，，，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】分别过点作轴的垂线，垂足分别为，利用矩形的性质证得求得的长度，再利用等量代换求得的长度，根据点所在象限求得点坐标． 【详解】解：分别过点作轴的垂线，垂足分别为， ， ∵四边形是矩形，是矩形的对角线， ∴，， 在和中，， ∴， ∴， ∵顶点的坐标分别为，，， ∴, ∴， ∴， ∵点在第四象限， ∴点的坐标为． 变式4．（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）如图①，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C，以为边在第一象限内作矩形．        (1)点A的坐标为______，点B的坐标为______； (2)如图②，将对折，使得点A与点C重合，折痕交AC于点，交于点D，折痕，求线段的长度和直线的解析式； (3)在第（2）的条件下，在坐标平面内，是否存在点P（点B除外），使得与全等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)存在，或或 【分析】（1）根据直线与x轴、y轴分别交于点A、C，得到，，结合四边形是矩形，得到，继而得到． （2）根据，确定，折叠的性质，得到，利用勾股定理求解，确定点D的坐标，设直线解析式为，代入计算即可． （3）根据全等三角形的判定方法，分类证明，计算即可． 【详解】（1）∵直线与x轴、y轴分别交于点A、C， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． （2）∵，对折，使得点A与点C重合， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， 故， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴直线解析式为． （3）存在，且或或．理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 故当P与O重合时，满足条件，此时； 如图，过点B作,交的延长线于点P， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，符合题意， ∵, 设直线的解析式为， ∴， 解得， 故直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故点； 如图，设与交于点G， 则四边形是菱形， ∴，， 故, 点O作,交的延长线于点，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，符合题意， ∵, 故直线的解析式为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， 故直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故点； ∴或或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，待定系数法求解析式，平行线的性质，勾股定理，熟练掌握三角形全等的判定和性质，待定系数法求解析式，平行线的性质，勾股定理是解题的关键． 考点二 斜边的中线等于斜边的一半 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 定理内容 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。 几何语言：在 中，，若 为斜边 的中点，则 。 1. 定理本质 该定理是矩形对角线性质的推论：将直角三角形补全为矩形，斜边为矩形的对角线，斜边中线对应矩形另一条对角线的一半，由矩形对角线相等可直接推出结论。 1. 衍生结论 · 斜边中线将直角三角形分成两个等腰三角形：、 均为等腰三角形，可结合“等边对等角”推导角度关系； · 若斜边中线等于某条直角边，则该直角边所对的锐角为 。 1. 应用场景 直角三角形中出现斜边中点、求线段倍分关系、求角度、证明线段相等。 二、解题思路 1. 识别模型：题目同时出现“直角三角形”+“斜边中点”，优先考虑斜边中线定理。 1. 连辅助线：连接直角顶点与斜边中点，得到等于斜边一半的中线。 1. 转化关系：将斜边的长度关系转化为中线的长度关系，或利用等腰三角形的等角性质推导角度。 1. 逆用拓展：若三角形一边上的中线等于这边的一半，可直接判定该三角形为直角三角形。 【例题分析】 例1．（2026·内蒙古赤峰·三模）如图，O是矩形的对角线的中点，M是边的中点，若，则四边形的周长为（     ） A．20 B．34 C．17 D．22 【答案】A 【分析】由矩形可求得，，然后由勾股定理求得，再由三角形中位线的性质求得的长，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得的长，继而求得四边形的周长． 【详解】解：∵O是矩形的对角线的中点，， ∴，，，， ∴， ∴， ∵M是边的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴四边形的周长为：． 例2．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，在中，，为的中线，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵在中，，为的中线， ∴． 例3．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，已知点和，点是的中点，则的长为________． 【答案】 【分析】根据点A和点B的坐标得到的长，再利用勾股定理求出的长，最后根据直角三角形的性质可得答案 ． 【详解】解：∵点，， ∴， 又∵， ∴， ∵点是的中点， ∴ ． 例4．（2026·江苏徐州·模拟预测）如图，在中，，E，F分别是边的中点，若，则________． 【答案】4 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案 ． 【详解】解：∵，点E为的中点， ∴ ． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）如图，，，，，是的中点．则的长是（     ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，利用勾股定理可得，证明，，，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴． 变式2．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）如图，在中，，分别是，边上的中点，在上，，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形中位线定理求出的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，最后利用求解． 【详解】解：，分别是，边上的中点， 是的中位线， ， ， 是直角三角形， 是的中点， ， ． 变式3．（25-26九年级上·甘肃陇南·阶段检测）如图，菱形的面积为30，对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则的长为_____________． 【答案】 【分析】由菱形的对角线互相平分得到，，再由菱形的面积等于其对角线乘积的一半可得的长，最后根据直角三角形的性质可得答案． 【详解】解：∵菱形的对角线，相交于点O， ∴，， ∵菱形的面积为30， ∴， ∴， ∵， ∴． 变式4．（25-26九年级上·云南昆明·阶段检测）如图，矩形中，O，E分别为的中点，，，则四边形的周长为__________． 【答案】9 【分析】利用矩形的性质和勾股定理求出，再利用三角形的中位线定理、中点的定义、直角三角形的性质求出，即可求出四边形的周长． 【详解】解：在矩形中，，，， ∴ ∵O，E分别为的中点， ∴，，， ∴四边形的周长． 考点三 矩形与折叠问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 折叠本质 折叠属于轴对称变换，折痕所在直线为对称轴；折叠前后对应边相等、对应角相等，对应点的连线被折痕垂直平分。折叠不改变线段长度和角的大小，只改变图形位置。 1. 矩形折叠的核心优势 矩形自带直角，折叠后直角保留，结合边的等量关系，天然形成可列勾股方程的直角三角形，是方程思想在几何中的典型应用。 1. 高频折叠模型 · 顶点折到对边上：折痕过一个顶点，将另一顶点折叠到对边，形成单个直角三角形，设未知数列勾股方程； · 沿对角线折叠：折叠后重叠部分为等腰三角形（角平分线+平行线→等腰），结合勾股定理计算边长； · 顶点折到对角线上：折痕过顶点，将顶点折叠到对角线上，利用边长差构造直角三角形求解。 二、解题思路 1. 标对应量：根据折痕找准对应点、对应边、对应角，标注相等的边与角，明确已知边长。 1. 设未知数：通常设所求线段长为 ，利用边的和差关系、折叠相等关系，将直角三角形的三边用含 的代数式表示。 1. 列方程：锁定直角三角形，代入勾股定理列出一元方程，求解未知数。 1. 验合理性：验证解为正、且不超过矩形边长范围，舍去不符合几何意义的解。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）如图，点E是矩形的边上一点，将沿着对折，点D恰好折叠到边上的点F处，若，，那么的长为（     ） A．2 B．4 C．5 D．8 【答案】C 【分析】由矩形性质得，，．由折叠得，．由勾股定理求，故．设，则，由勾股定理列方程，解得，即． 【详解】解： ∵四边形是矩形， ∴，，． 由折叠的性质可知：，． 在中，由勾股定理得： ， ， 设，则，． 在中，由勾股定理得：， 代入得：，解得， 即． 例2．（25-26九年级上·江西上饶·阶段检测）如图，矩形纸片沿折叠，，两点分别与点，对应，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】矩形，，可以得出，由为直线，，得，算出，故．折叠后，因此． 【详解】解：， ， 由折叠的性质得出， ， ， ， ， 解得． . 由折叠的性质：折叠前后对应角相等，， ． 例3．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，将矩形纸片沿对角线折叠，使得点B落在点E处，交于点F，若平分，，则的长为________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质和轴对称的性质，求出，然后根据等腰三角形的判定，求出，再根据直角三角形的性质求得，所以，，即可得到答案． 【详解】解：矩形纸片沿对角线折叠， ，，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 例4．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，矩形中，，，E是上一点，且，F是上一动点，若将沿对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距离为______． 【答案】13 【分析】连接，，易得，，由翻折可得，由可知，当，，三点共线时，最小，进而可得出答案． 【详解】解：连接，， 四边形为矩形， ， ，， ， ， ， 由翻折可得， ， ， 当，，三点共线时，最小， ． 例5．（26-27九年级上·广东广州·开学考试）综合与实践 【回归教材】 人教版八年级下册教材中，利用矩形的性质研究得到直角三角形的一个性质，如图1． 【知识运用】 (1)在矩形中，，，点E为中点，连接． ①如图2，若点F在上，，求的长； ②如图3，若将沿翻折，点B的对应点为点F，连接并延长，交于点G，求的长； 【思维拓展】 (2)如图4，在（1）的条件下，点E变为边上一动点，仍将沿翻折，点B的对应点为点F，连接，．当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】（1）①根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，求出，根据勾股定理求出，最后求出结果即可； ②连接，交于点H，证明四边形为平行四边形，得出，最后求出结果即可； （2）分两种情况：当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴为直角三角形， ∵点E为中点， ∴， ∵在矩形中，，， ∴， ∴； ②连接，交于点H，如图所示： ∵将沿翻折，点B的对应点为点F， ∴，， ∴， ∵点E为中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵矩形中，，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴； （2）解：当时，过点F作于点G，作于点H，连接 ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∵矩形中，，， ∴四边形为矩形， ∴， 根据折叠可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即； 当时，过点F作于点G，延长，交于点H，如图所示： 根据折叠可得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即； 综上，的长为或． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级下·重庆万州·期末）矩形中，是边一点，是边的中点，将沿折叠，点的对应点恰好落在上，连接，若，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由矩形的性质，结合直角三角形的两个锐角互余，可得，根据矩形和折叠的性质得，，可证明平分，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：，， ∵是边的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴平分， ∴． 变式2．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A落在点P处，折痕为．已知，，则的长为（     ）． A．5 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】过点作于点，则四边形和四边形是矩形，则，根据折叠和等角对等边的性质，得出，设，利用勾股定理，求得，，即可得解． 【详解】解：如图，过点作于点， 矩形纸片，， ，，，， ， ， ，， 四边形和四边形是矩形， ，，， ， 在中，， 折叠， ，，， ，， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， 在中，， ， ． 变式3．（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则到的距离为________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质得到，，由折叠的性质得到，，证明，得到，，设，在中利用勾股定理求出的值，进而得到的长，最后利用等面积法求出点到的距离． 【详解】解：四边形为矩形， ，，， 由折叠可得，，， ，， 又， ， ，， 设，则，， 在中， ，即， 解得， ，， 过点作于点，则即为点到的距离， 在中，， 由三角形面积公式可得， 即， 解得． 变式4．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，将矩形沿着它的对角线翻折，若点恰好落在的中垂线上，那么的值为________． 【答案】 【分析】连接，由折叠的性质可得，，证明为等边三角形，求出，再结合直角三角形的性质以及勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图：连接． 由折叠的性质可得，， ∵在中垂线上，四边形是矩形． ∴在中垂线上，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ， 即． 变式5．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，在矩形纸片中，，，点，F分别在边，上，且．将该纸片沿折叠，点A，B分别落在点G，H处，与边相交于点M，连接． (1)_________（选填“”，“”，“”） (2)面积的最小值为_________； (3)求证：； (4)若是以为腰的等腰三角形，求的长． 【答案】(1) (2)8 (3)证明：由（1）知：，， 由折叠的性质可知， ， ， 又 ， ， ； (4)或3 【分析】（1）根据矩形的性质得出，，，根据折叠得出，最后根据等腰三角形的判定得出结论即可； （2）过点 作 于点 ，证明四边形 为矩形，得出 ，求出，从而说明当最小时，的面积最小，根据垂线段最短，得出当时，的面积最小，即可得出答案； （3）由（1）知，，，由折叠的性质可知， ，结合线段的和差关系，即可解题； （4）根据是以 为腰的等腰三角形，分两种情况：当 时，当 时，结合等腰三角形性质，矩形性质和判定求解，即可解题． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， 根据折叠可得：， ∴， ∴； （2）解：过点 作 于点 ， ， 矩形纸片 中， ， 四边形 为矩形， ， ∴， ∵， ∴， ∴当最小时，的面积最小， ∵垂线段最短， ∴当时，的面积最小， 即 ， 时，的面积最小值为； （3）略 （4）解：①当 时， ， 由（1）知， ， 重合， 由折叠的性质可知， ， 则 ， ， ， 重合， 设 ，则 ， ， ， ， 解得： ； ②当 时， 由折叠的性质可知， ， ， 过点 作 于点 ， ， 四边形 为矩形， ， ， ； 综上所述， 的长为或3． 2 学科网（北京）股份有限公司 $矩形在坐标系中的坐标、斜边的中线等于斜边的一半、矩形与折叠问题讲义 矩形在坐标系中的坐标、斜边的中线等于斜边的一半、矩形与折叠问题讲义 考点目录 矩形在坐标系中的坐标问题 斜边的中线等于斜边的一半 矩形与折叠问题 考点一 矩形在坐标系中的坐标问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 边与坐标轴平行的坐标特征 矩形的边平行于坐标轴时，同一条竖边上所有点的横坐标相同，同一条横边上所有点的纵坐标相同；边长等于对应坐标差的绝对值。 例如：若 、、，则 长 ， 长 。 1. 对角线中点性质 矩形对角线互相平分且相等，因此两条对角线的中点坐标完全相同。 若矩形对角顶点为 、，则对角线中点坐标为： 已知三个顶点坐标时，可利用中点重合直接推导第四个顶点坐标。 1. 分类讨论前提 当顶点顺序、边的方向未明确时，同一条线段可作为边或对角线，对应多种矩形构造方式，需分类讨论。 二、解题思路 1. 定方向：先判断矩形的边是否平行于坐标轴，若平行，直接利用横/纵坐标相等的特征简化计算。 1. 用中点：已知对角顶点时，优先用中点坐标公式，结合已知顶点坐标推导未知顶点坐标。 1. 验性质：利用坐标差计算边长，验证对边相等、邻边垂直（斜率乘积为 ），确保符合矩形定义。 1. 补全解：顶点顺序不确定时，分别以不同线段为邻边、为对角线，分情况求解，最后验证合理性。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·吉林长春·期末）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知顶点A的坐标为，顶点B的坐标为，且，则顶点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 例2．（2026·湖南岳阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，轴于点，以为圆心、的长为半径画弧，交于点；再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·河南郑州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的边OA 在x轴上，OC在y轴上，OA=1，OC=2，对角线 AC的垂直平分线交AB 于点E，交AC于点D．若y轴上有一点P（不与点C重合），能使△AEP是以为 AE 为腰的等腰三角形，则点 P的坐标为____． 例4．（25-26八年级下·江苏南通·期末）如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，点在第一象限． (1)求，两点的坐标； (2)若的面积与的面积相等，求的值； (3)在平面直角坐标系中存在一点，使得以，，，四个点为顶点的四边形为矩形，求点的坐标． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·山东济南·阶段检测）如图，在直角坐标系中，矩形的对角线轴，若，，与的交点为E，则C的坐标为（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·江西九江·阶段检测）如图，矩形的三个顶点的坐标分别为．若直线平分矩形的周长，则b的值为（    ）    A． B． C． D． 变式3．（25-26九年级上·湖北荆州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标分别为，，，则点的坐标为________． 变式4．（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）如图①，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C，以为边在第一象限内作矩形．        (1)点A的坐标为______，点B的坐标为______； (2)如图②，将对折，使得点A与点C重合，折痕交AC于点，交于点D，折痕，求线段的长度和直线的解析式； (3)在第（2）的条件下，在坐标平面内，是否存在点P（点B除外），使得与全等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 考点二 斜边的中线等于斜边的一半 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 定理内容 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。 几何语言：在 中，，若 为斜边 的中点，则 。 1. 定理本质 该定理是矩形对角线性质的推论：将直角三角形补全为矩形，斜边为矩形的对角线，斜边中线对应矩形另一条对角线的一半，由矩形对角线相等可直接推出结论。 1. 衍生结论 · 斜边中线将直角三角形分成两个等腰三角形：、 均为等腰三角形，可结合“等边对等角”推导角度关系； · 若斜边中线等于某条直角边，则该直角边所对的锐角为 。 1. 应用场景 直角三角形中出现斜边中点、求线段倍分关系、求角度、证明线段相等。 二、解题思路 1. 识别模型：题目同时出现“直角三角形”+“斜边中点”，优先考虑斜边中线定理。 1. 连辅助线：连接直角顶点与斜边中点，得到等于斜边一半的中线。 1. 转化关系：将斜边的长度关系转化为中线的长度关系，或利用等腰三角形的等角性质推导角度。 1. 逆用拓展：若三角形一边上的中线等于这边的一半，可直接判定该三角形为直角三角形。 【例题分析】 例1．（2026·内蒙古赤峰·三模）如图，O是矩形的对角线的中点，M是边的中点，若，则四边形的周长为（     ） A．20 B．34 C．17 D．22 例2．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，在中，，为的中线，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 例3．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，已知点和，点是的中点，则的长为________． 例4．（2026·江苏徐州·模拟预测）如图，在中，，E，F分别是边的中点，若，则________． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）如图，，，，，是的中点．则的长是（     ） A．4 B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）如图，在中，，分别是，边上的中点，在上，，，，则（     ） A． B． C． D． 变式3．（25-26九年级上·甘肃陇南·阶段检测）如图，菱形的面积为30，对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则的长为_____________． 变式4．（25-26九年级上·云南昆明·阶段检测）如图，矩形中，O，E分别为的中点，，，则四边形的周长为__________． 考点三 矩形与折叠问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 折叠本质 折叠属于轴对称变换，折痕所在直线为对称轴；折叠前后对应边相等、对应角相等，对应点的连线被折痕垂直平分。折叠不改变线段长度和角的大小，只改变图形位置。 1. 矩形折叠的核心优势 矩形自带直角，折叠后直角保留，结合边的等量关系，天然形成可列勾股方程的直角三角形，是方程思想在几何中的典型应用。 1. 高频折叠模型 · 顶点折到对边上：折痕过一个顶点，将另一顶点折叠到对边，形成单个直角三角形，设未知数列勾股方程； · 沿对角线折叠：折叠后重叠部分为等腰三角形（角平分线+平行线→等腰），结合勾股定理计算边长； · 顶点折到对角线上：折痕过顶点，将顶点折叠到对角线上，利用边长差构造直角三角形求解。 二、解题思路 1. 标对应量：根据折痕找准对应点、对应边、对应角，标注相等的边与角，明确已知边长。 1. 设未知数：通常设所求线段长为 ，利用边的和差关系、折叠相等关系，将直角三角形的三边用含 的代数式表示。 1. 列方程：锁定直角三角形，代入勾股定理列出一元方程，求解未知数。 1. 验合理性：验证解为正、且不超过矩形边长范围，舍去不符合几何意义的解。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）如图，点E是矩形的边上一点，将沿着对折，点D恰好折叠到边上的点F处，若，，那么的长为（     ） A．2 B．4 C．5 D．8 例2．（25-26九年级上·江西上饶·阶段检测）如图，矩形纸片沿折叠，，两点分别与点，对应，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，将矩形纸片沿对角线折叠，使得点B落在点E处，交于点F，若平分，，则的长为________． 例4．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，矩形中，，，E是上一点，且，F是上一动点，若将沿对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距离为______． 例5．（26-27九年级上·广东广州·开学考试）综合与实践 【回归教材】 人教版八年级下册教材中，利用矩形的性质研究得到直角三角形的一个性质，如图1． 【知识运用】 (1)在矩形中，，，点E为中点，连接． ①如图2，若点F在上，，求的长； ②如图3，若将沿翻折，点B的对应点为点F，连接并延长，交于点G，求的长； 【思维拓展】 (2)如图4，在（1）的条件下，点E变为边上一动点，仍将沿翻折，点B的对应点为点F，连接，．当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的长． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级下·重庆万州·期末）矩形中，是边一点，是边的中点，将沿折叠，点的对应点恰好落在上，连接，若，则等于（     ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A落在点P处，折痕为．已知，，则的长为（     ）． A．5 B． C．6 D． 变式3．（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则到的距离为________． 变式4．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，将矩形沿着它的对角线翻折，若点恰好落在的中垂线上，那么的值为________． 变式5．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，在矩形纸片中，，，点，F分别在边，上，且．将该纸片沿折叠，点A，B分别落在点G，H处，与边相交于点M，连接． (1)_________（选填“”，“”，“”） (2)面积的最小值为_________； (3)求证：； (4)若是以为腰的等腰三角形，求的长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $