精品解析：四川省泸县第五中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

高2022级高三上期开学考试 数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷1至2页，第II卷3至4页.共150分.考试时间120分钟. 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，<0}，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出集合，由交集的定义即可求解. 【详解】由题可得，所以， 故选：A 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由命题否定的定义即可求解. 【详解】由命题否定的定义可知，命题“”的否定是. 故选：A. 3. 是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由，解得或，结合充分、必要条件即可判断. 【详解】因为，解得或，所以若，则，则或， 所以是的充分不必要条件. 故选：A 4. 若，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由诱导公式化简条件即可求解. 【详解】因为，所以， 故选：B 5. 在等差数列中，若，则（ ） A. 10 B. 20 C. 5 D. 45 【答案】D 【解析】 【分析】由，结合等差数列的性质即可求解. 【详解】因为 所以 故选：D 6. 已知分段函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过分段函数的单调性，结合区间，转化求解的取值范围即可. 【详解】分段函数的图象如下： 函数的单调增区间为：，， 所以分段函数在区间上单调递增， 则或，解得：或， 故选：D 7. 已知定义在上的函数的图象关于y轴对称，且满足，又，，则的值是（ ） A. 2 B. C. 2024 D. 2025 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得，得到的周期为3，进而求得的值，结合周期性，即可求解. 【详解】因为定义在上的函数满足， 可得，所以，所以函数的周期为3， 又因为函数的图象关于 轴对称，且， 可得， 所以， 则. 故选：A. 8. 函数的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象过点，则函数的图象的对称轴方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由相邻两个交点之间的距离为得，再由求解，然后根据图象经过点求解，最后根据函数解析式求对称轴方程即可. 【详解】由题意，因为函数图象与轴交点中相邻两个交点之间的距离为， 所以，则，即， 又图象过点，所以，即或， 因为，所以. 所以. 由，解得， 所以函数的图象的对称轴为. 故选：A. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为虚数单位，复数，则下列命题为真命题的是（ ） A. 的共轭复数为 B. 的虚部为 C. D. 在复平面内对应的点在第四象限 【答案】AD 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，再根据共轭复数的定义判断A，根据复数的概念判断B，根据复数的模判断C，根据复数的几何意义判断D. 【详解】因为， 所以的共轭复数为，故A正确； 复数的虚部为，故B错误； ，故C错误； 复数在复平面内对应的点为，位于第四象限，故D正确； 故选：AD 10. 已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的有（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为或 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意可知，故A正确；由韦达定理可知，，结合即可求解不等式，从而验证B；由B选项分析可知，故C错误；由B选项分析可知不等式等价于，解不等式即可验证D. 【详解】因为关于的不等式的解集为或， 所以，故A正确； 由题意，方程的根为，4， 则，， 所以，，所以，故C错误； 不等式，等价于，解得， 所以不等式的解集为，故B正确； 不等式等价于， 即为，解得或， 所以不等式的解集为或，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数的极大值为2 B. 曲线在点处的切线方程为 C. 函数在处取得极小值 D. 函数的单调递减区间为 【答案】AC 【解析】 【分析】求出，利用导数的几何意义即可求出切线方程，结合导数与函数单调性、极值的关系即可求解. 【详解】由题可得，令，解得：或; 令，解得：或; 令，解得：， 所以函数的单调增区间为和，减区间为,故D错误； 当时，取极大值为,函数在时取极小值，故AC正确 因为，所以在点的切线方程为：，故B错误. 故选：AC 第II卷（非选择题共92分） 注意事项： （1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效. （2）本部分共8个小题，共92分. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知角的终边与单位圆交于点，则______ 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的定义，求得，结合，即可求解. 【详解】由角的终边与单位圆交于点，可得， 又由. 故答案为：. 13. 已知函数，则函数在区间上的最大值与最小值之差为______ 【答案】4 【解析】 【分析】利用导数讨论函数的单调性，即可求出函数在上的最大值与最小值，进而得解. 【详解】因为， 所以， 令或， 所以在上单调递减，在、上单调递增， 且， 所以在上的最大值为3，最小值为， 则在上的最大值与最小值之差为4. 故答案为：4 14. 若函数存在极大值点，且，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】由函数存在极大值点，可得，又，令，结合导数分析其单调性，进而得到，由，可得，令，结合导数分析其单调性，进而得到，进而求解. 【详解】由， 所以， 由函数存在极大值点， 所以， 即， 所以， 令， 则， 令，即；令，即， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 且，，当时，， 所以由，得， 由，可得，即， 令， 所以， 所以函数在上单调递减， 所以， 所以. 即实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的图象相邻两最高点的距离为，且有一个对称中心为． （1）求和的值； （2）若，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的最小正周期，可求得的值，由函数的对称性结合的取值范围可求得的值，即可得出函数的解析式； （2）由已知条件可得出，利用同角三角函数的基本关系以及两角和的正弦公式可求得的值. 【小问1详解】 解：由题意可知，函数的最小正周期为，，则， 因为函数有一个对称中心为，则， 所以，，因为，则，故，. 【小问2详解】 解：由（1）可得， ， 因为，则，所以，， 因此，. 16. 已知等差数列的公差，首项，且分别是等比数列的第二项、第三项、第四项. （1）求数列和的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前n项和 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由构成等比数列，列方程求得公差，即可求解； （2）由等差、等比数列前项和公式即可求解. 【小问1详解】 因为， 成等比数列，所以 得： 即： ，因为，所以， 所以， 因为， 所以等比数列的公比，， 所以. 【小问2详解】 . . . . 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. （1）求角A的大小； （2）若，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理以及两角和的正弦公式得的值即可进一步求解； （2）由余弦定理求出，结合三角形面积公式即可进一步求解. 【小问1详解】 根据正弦定理可得, 由于,故， 所以. 【小问2详解】 由余弦定理有，即， 解得，所以的面积为. 18. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若对于任意的，都有恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1） 当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为． （2） 【解析】 【分析】（1）对求导，可得，再分类讨论的取值，得出导数的正负即可得出单调区间； （2）对进行分类讨论，根据导数的正负求得的最小值，判断是否满足，即可求解． 【小问1详解】 对求导，可得， 令，即，即， 当时，恒成立，在上单调递增； 当时，， 当时，在上单调递减； 当时， ，在上单调递增； 综上，当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为． 【小问2详解】 因为对于任意的，都有恒成立， 对求导，可得， 令，即，即， ①当时，，则在单调递增，，符合题意； ②当时，，则， 则，在单调递增，，符合题意； ③当时，，则， 当时，，则在单调递减， 当时，，则在单调递增， 所以， 令，则， 所以在上单调递减，所以，不合题意； 综上所述，． 19. 已知函数． （1）若在上是减函数，求实数a的最小值； （2）若恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）1； （2）． 【解析】 【分析】(1)根据题意可知在恒成立，参变分离可求a的最小值； (2)等价于，∵不等式在x≥－1时恒成立，故当x＝0时也恒成立，据此即可求得a≥1﹒然后在证明当时，不等式恒成立即可．证明不等式恒成立时，可利用当时，对不等式进行放缩化简． 【小问1详解】 ∵， 若在上是减函数，则在恒成立， 即，即对恒成立， ∵，∴，因此实数的最小值为1； 【小问2详解】 ∵，∴等价于 ∵时，，∴， 下面证明当时，不等式恒成立， 先证明当时，， 由(1)知，当时，在上单增，在上单减， ∴，∴当时，， 要证明，只需证明对任意的，恒成立， 令，则， 令，得， 当，即时，，∴单调递增， 于是， 当，即时，在上单减，在单调递增， ∴， 令，则， ∴在单调递增， 于是，即， ∴恒成立， ∴，不等式恒成立， 因此当时，不等式恒成立， 即取的值范围是． 【点睛】本题第二问的关键点是注意到x＝0时可直接求出a的范围，再去证明这个范围是成立的即可﹒证明不等式恒成立时，需用当时，对不等式进行放缩． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2022级高三上期开学考试 数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷1至2页，第II卷3至4页.共150分.考试时间120分钟. 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，<0}，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若，则=（ ） A. B. C. D. 5. 在等差数列中，若，则（ ） A. 10 B. 20 C. 5 D. 45 6. 已知分段函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在上的函数的图象关于y轴对称，且满足，又，，则的值是（ ） A. 2 B. C. 2024 D. 2025 8. 函数的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象过点，则函数的图象的对称轴方程为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为虚数单位，复数，则下列命题为真命题的是（ ） A. 的共轭复数为 B. 的虚部为 C. D. 在复平面内对应的点在第四象限 10. 已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的有（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为或 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数的极大值为2 B. 曲线在点处的切线方程为 C. 函数在处取得极小值 D. 函数的单调递减区间为 第II卷（非选择题共92分） 注意事项： （1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效. （2）本部分共8个小题，共92分. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知角的终边与单位圆交于点，则______ 13. 已知函数，则函数在区间上的最大值与最小值之差为______ 14. 若函数存在极大值点，且，则实数的取值范围为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的图象相邻两最高点的距离为，且有一个对称中心为． （1）求和的值； （2）若，且，求的值． 16. 已知等差数列的公差，首项，且分别是等比数列的第二项、第三项、第四项. （1）求数列和的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前n项和 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. （1）求角A的大小； （2）若，，求的面积. 18. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若对于任意的，都有恒成立，求a的取值范围． 19. 已知函数． （1）若在上是减函数，求实数a的最小值； （2）若恒成立，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $