苏科版2026-2027学年九年级数学上学期第一次月考模拟卷培优卷（江苏省南京市专用）

**基本信息** 聚焦一元二次方程与反比例函数，以生活应用（如超市销售增长、药物抗体浓度）和图像综合（如一次函数与反比例函数交点、分段函数）为特色，梯度设计适配培优需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/12|一元二次方程定义、反比例函数性质|结合图像解不等式（第6题），考查几何直观| |填空题|10/20|根与系数关系、反比例函数k值（第12题矩形面积）|创新设计弯折小道面积问题（第13题），体现应用意识| |解答题|11/88|方程应用（第20题增长率）、函数综合（第21题面积计算）、分段函数（第24题抗体浓度）|27题矩形与反比例函数综合证明，考查推理能力与创新意识|

苏科版2026-2027学年九年级数学上学期第一次月考模拟卷培优卷（江苏省南京市专用） 测试范围：第1章一元二次方程、第2章反比例函数 说明: 1. 答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡定的位置上，并将条形码粘贴好. 2. 全卷满分120分，考试时间120分钟。 3.选择题不分，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.非选择题部分，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案(含作辅助线)写在答题卡指定区域内.写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效。 4.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题(本大题共6小题，每小题2分，共12分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，多选、错选、不选均不给分。) 1．下列方程中，关于x的一元二次方程的是（   ）． A． B． C． D． 2．已知反比例函数的图像经过点，则下列结论正确的是（     ） A． B．图像在第一、三象限 C．当时，y随x的增大而增大 D．点不在该图像上 3．某品牌衬衣为了促进消费，拟对该品牌衬衣进行降价处理，决定将原价为元每件的该衬衣经过两次降价降为每件元，且两次降价的百分比相同．若设每次降价的百分比为x，则下列所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 4．已知关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围是 A．且 B．且 C． D． 5．若反比例函数的图象经过点，则一次函数与在同一坐标系中的大致图象是（     ） A． B．C．D． 6．如图，一次函数的图象与反比例函数（m为常数且）的图象都经过，，结合图象，则不等式的解集是（     ） A． B． C．或 D．或 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分） 7．一元二次方程的根是______． 8．将方程化为的形式是______． 9．设，是关于x的方程的两个根，，则_____． 10．已知反比例函数，当时，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是____． 11．已知与是反比例函数图象上的两个点，则的值_________． 12．如图，反比例函数的图象经过矩形的边的中点D，若矩形的面积为6，则k的值为______． 13．如图，某单位准备在院内一块长、宽的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的部分种植花草．如图，要使种植花草的面积为，则小道进出口的宽度为____m． 14．如果一元二次方程有一个根为0，则的值为_________． 15．若实数a、b满足，则_____． 16．如图，正比例函数的图象与反比例函数，的图象分别交于点A，B，过点A，B分别向轴、轴作垂线，两垂线交于点，则的面积为_________________． 三、解答题（本大题共11小题，共计88分，解答题要有必要的文字说明） 17．（7分）解方程：； 18．（7分）已知点是反比例函数图象上一点． (1)求该反比例函数的解析式； (2)点是否在这个函数的图象上? 19．（8分）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)若为等腰三角形，，另外两条边是方程的根，求的周长． 20．（7分）某超市今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售128件．二、三月该商品销售量持续走高，在售价不变的前提下，三月份的销售量达到200件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率． (2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利1250元？ 21．（8分）如图，直线（k，b为常数）与双曲线（m为常数）相交于，两点． (1)求双曲线与直线的解析式； (2)请直接写出关于x的不等式的解集； (3)连结，，试求的面积． 22．（7分）如果关于x的一元二次方程满足，那么称这样的方程为“美好方程”．例如，方程，，则这个方程就是“美好方程”． (1)下列方程是“美好方程”的是 ； ①   ②   ③   ④ (2)求证：“美好方程”总有两个实数根； (3)若美好方程有两个相等的实数根，求证：． 23．（8分）已知反比例函数y=的图象经过点． (1)求的值； (2)当时，求的值； (3)当时，求的取值范围． 24．（8分）某研究团队测得成人注射一针某种药物后体内抗体浓度y（微克/）与注射时间x天之间的函数关系如图所示（当时，y与x是正比例函数关系；当时，y与x是反比例函数关系）． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，体内抗体浓度不高于140微克/时是从注射药物第多少天开始？ 25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数相交于点和点B． (1)求k的值 (2)点C是x轴上的一点，若的面积为3，求点C的坐标． (3)若点在正比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上．根据图象直接写出时a的取值范围． 26．（9分）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质．列表： x … 0 1 2 3 … y … 1 2 1 0 1 2 … 描点：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出了部分相应点， (1)如图，请你描出余下的点，并作出函数图象； (2)研究函数并结合图象与表格，回答下列问题： ①点，， ，在函数图象上，则______，_____；（填“”，“”或“”） ②当函数值时，自变量的取值范围是______； ③在直线的右侧的函数图象上有两个不同的点，，且，求的值为______； ④若直线与函数图象有三个不同的交点，的取值范围是______． 27．（11分）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数图像上，将点先向下平移至点，再向右平移至图像上另外一点，以、为一组邻边作矩形，连接、，点在轴正半轴上． (1)如果，且，求点的坐标； (2)求证：点在直线上； (3)如果，求证：． 参考答案 1．C 2．C 3．D 4．A 5．D 6．C 7．或 8． 9． 10． 11． 12．3 13．1 14． 15．2 16． 17．【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：． 18．【详解】（1）解：设该反比例函数的解析式为， ∵点是该反比例函数图象上一点， ∴， ∴， ∴该反比例函数的解析式为； （2）解：在中，当时，， 当时，， ∴点在这个函数的图象上，点不在这个函数的图象上． 19．(1)证明：由题意得，， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：， ， 解得，， 当时，解得，， 此时等腰三角形三边分别为1，3，3， ， ∴此时能构成三角形， ， ∴的周长为； 当时，解得，， 此时等腰三角形三边分别为3，3，5， ， ∴此时能构成三角形， ， ∴的周长为； 综上可知，的周长为或． 20．【详解】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：二、三这两个月的月平均增长率为； （2）解：设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：当商品降价10元时，商场获利1250元． 21．【详解】（1）解：将点代入双曲线解析式， ∴， ∴双曲线为， 又∵在双曲线上， ∴， ∴， 将A、B代入一次函数解析式得， ∴． ∴直线的解析式为． （2）解：依据图象，即一次函数值大于反比例函数值， ∵，， ∴不等式的解集为：或． （3）解：设一次函数与y轴交于C点， ∴，， ∵可以看成由底均为的、组成， ∴． 22．(1)①④ (2) 证明：∵一元二次方程， ∴， ∴， ∴， ∴美好方程总有两个实数根． (3) 证明：方法1  ∵美好方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故， 故． 方法2 将代入美好方程，得 左边，右边 ∵美好方程有两个相等的实数根， ∴， ∴是美好方程的一个根， ∴方程的另一个根也是， ∴， ∴， ∴． 23.【详解】（1）解：将点代入得， 解得， ∴的值为； （2）解：由（）得，， ∴反比例函数解析式为， 当时，； （3）解：当时，；当时，， ∵在每个象限内，随增大而减小， ∴． 24．【详解】（1）解：设时，与之间的函数关系式是， 图象过，则，解得， 所以， 当时，与之间的函数关系式是， 图象过，则，解得， 综上，y与之间的函数关系式是； （2）当时，，解得：， 体内抗体浓度不高于140微克/是从注射药物第40天开始． 25．【详解】（1）解：正比例函数经过点， ， ， 点在反比例函数图象上， ； （2）解：点是轴上的一点，的面积为3， ，即， ， 点的坐标为或； （3）解：正比例函数与反比例函数相交于点和点， ， 点在正比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上， 轴， 由图象可知，当时，的取值范围或． 26．(1) （2）解：①观察图象可知，点，在上， 当时，随的增大而增大， ∵， ∴； 观察图象可知，点 ，在上，且当时，有， ∵，， ∴，， 当时，随的增大而增大， ∵， ∴； ②观察图象可得，当函数值时，自变量的取值范围是； ③观察图象可得，当时，函数图象关于直线对称， ∵在直线的右侧的函数图象上有两个不同的点，，且， ∴点，关于直线对称， ∴， ∴； ④∵直线与函数图象有三个不同的交点， ∴观察图象可得，的取值范围是． 27．【详解】（1）解：延长交x轴于点G，如图所示： ∵将点先向下平移至点，再向右平移至图像上另外一点，以、为一组邻边作矩形， ∴轴，轴， ∴轴， ∵， ∴， ∴， 设点坐标为，它在反比例函数图像上， ∴， 解得（负数舍去）， ∴点的坐标为； (2)根据题意设点坐标为，点坐标为， ∵矩形， ∴坐标为，点坐标为， 设直线的函数表达式为，点在直线上， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式为， 当时，， ∴点在直线上 (3)连接交于点， ∵矩形 ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 由题意得， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $