学易金卷：九年级数学上学期9月学情自测卷（江苏徐州专用，测试范围：新教材苏科版九上第1～2章）

**基本信息** 2026-2027学年九年级数学9月学情卷（苏科版九上1-2章），聚焦一元二次方程与反比例函数，融入AI数据扩容、二胡振动等时代与生活情境，及欧几里得几何解法、赵爽勾股图等文化素材，体现数学眼光、思维与语言的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|方程定义、根的判别式，函数图象性质|第6题以AI模型数据扩容考增长率（时代性），第8题借二胡振动频率考反比例应用（生活联系）| |填空题|8/24|方程解法、根与系数关系，函数点坐标|第14题长方形菜园面积（劳动实践），第16题函数与几何图形规律（推理能力）| |解答题|9/52|方程综合、函数建模、几何代数综合|第22题金属煅烧锻造考一次与反比例函数综合（模型意识），第25题欧几里得与赵爽几何解法（文化传承与创新意识）|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：90分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材苏科版九年级上册第1~2章。 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1．下列哪个方程是一元二次方程（     ） A． B． C． D． 2．已知方程的一个根是2，则的值为（     ） A．2 B．1 C．3 D．−3 3．下列各点，不在函数图象上的是（     ） A． B． C． D． 4．用配方法解一元二次方程，以下变形正确的是（     ） A． B． C． D． 5．k为实数，则关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．必有实根 B．有两个不相等的实根 C．无实根 D．不能确定根的情况 6．模型的能力与其训练数据量密切相关．假设在某研发阶段，模型的初始训练数据量为325万亿个标记．研发团队通过两次数据扩容，使最终的训练数据量达到468万亿个标记，求这两次数据扩容的平均增长率（     ） A． B． C． D． 7．关于反比例函数，下列说法错误的是（     ） A．函数图象在第一、三象限 B．当时，y的值随x的增大而减小 C．当时， D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上 8．在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率（单位：）与振动弦长（单位：）近似成反比例函数关系，其图象如图所示．若振动弦长为时，测得振动频率为，振动频率低于时，振动弦长应该（    ） A．大于 B．小于 C．大于 D．小于 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9．方程的解是_________________． 10．已知点在反比例函数的图象上，则的值为_________． 11．若关于x的方程有两个相等的实数根，则a的值是______． 12．一元二次方程的两根为和，则________． 13．若点，都在反比例函数的图象上，则________（填“”或“”）． 14．如图，某中学建立了一个长方形菜园，作为劳动实践基地，旨在培养学生的劳动意识、劳动技能和实践能力．已知菜园的一面靠墙，墙长为，另外三边用长为的栅栏围成．若要使菜园的面积达到，则的长为______． 第14题 第16题 15．直线与双曲线交于、两点，则的值为______． 16．如图，点，，…在反比例函数（）的图象上，点，，，…，在y轴上，且，直线与双曲线交于点，，，，…，则的坐标是______． 三、解答题：本题共9小题，共52分。 17．(本题6分) 解一元二次方程 (1) (2) 18．(本题6分) 已知关于x的方程． (1)求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根． (2)若关于x的方程根均为正整数，求整数m的值． 19．(本题4分) 已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)判断点是否在这个反比例函数的图象上． 20．(本题5分) 已知关于x的方程．若，是方程的两根． （1）当时，求m的值； （2）直接写出代数式的最小值． 21．(本题5分) 在“精准扶贫”工作中，某单位建议贫困户借助家里长的墙建造面积为的矩形区域来养鹌鹑，该单位准备修建长为的篱笆，并提供以下两种方案： (1)如图1，若选取墙的一部分作矩形的边，其他三边用篱笆围成，则在墙上借用的的长度为多少? (2)如图2，若全部借用的长度，并在的延长线上拓展，构成矩形，篱笆由、、和构成，求的长． 22．(本题6分) 工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料煅烧到，然后停止煅烧进行锻造操作，经过时，材料温度降为．煅烧时温度与时间成一次函数关系；锻造时，温度与时间成反比例函数关系（如图）．已知该材料初始温度是． (1)求材料煅烧和锻造时与的函数关系式； (2)根据工艺要求，锻造过程中，当材料温度低于时，须停止操作，那么锻造的操作时间有多长？ 23．(本题6分) 如果方程满足两个实数解都为整数解，我们就称所有这样的一元二次方程为同族方程，并规定，例如有整数解3和4，所以属于同族方程，所以． (1)以下一元二次方程中是同族方程的是________(填写序号) ①；②；③；④． (2)如果同族方程中有两个相等的解，我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对任意一个完美方程，总有； (3)关于x的一元二次方程属于同族方程，求正整数k的值． 24．(本题6分) 在平面直角坐标系中，为双曲线上一点． (1)求的值； (2)在（1）的条件下： ①点和在双曲线上，比较与的大小； ②点在双曲线上，点的坐标为．若的面积为8，求点的坐标． 25．(本题8分) 综合与实践． (1)【初步探索】欧几里得的《几何原本》记载，对于形如的方程，可用如图1的几何解法：作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，则该方程的其中一个正根是哪段线段的长？说明你的理由． (2)【再次探索】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中也记载了关于一元二次方程的几何解法：以方程为例，因为，所以有．如图2，用4个长都是，宽都是x的相同矩形，拼成如图所示的正方形，图2中，大正方形的面积可以表示为_____________（用含x的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即等于，故可得原方程的一个正根是____________________． (3)【类比运用】请选用上述两种几何方法中的一种求方程的正根（请在下面画出图形，注意在图中标注出相关线段的长度）． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：90分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材苏科版九年级上册第1~2章。 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1．下列哪个方程是一元二次方程（     ） A． B． C． D． 2．已知方程的一个根是2，则的值为（     ） A．2 B．1 C．3 D．−3 3．下列各点，不在函数图象上的是（     ） A． B． C． D． 4．用配方法解一元二次方程，以下变形正确的是（     ） A． B． C． D． 5．k为实数，则关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．必有实根 B．有两个不相等的实根 C．无实根 D．不能确定根的情况 6．模型的能力与其训练数据量密切相关．假设在某研发阶段，模型的初始训练数据量为325万亿个标记．研发团队通过两次数据扩容，使最终的训练数据量达到468万亿个标记，求这两次数据扩容的平均增长率（     ） A． B． C． D． 7．关于反比例函数，下列说法错误的是（     ） A．函数图象在第一、三象限 B．当时，y的值随x的增大而减小 C．当时， D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上 8．在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率（单位：）与振动弦长（单位：）近似成反比例函数关系，其图象如图所示．若振动弦长为时，测得振动频率为，振动频率低于时，振动弦长应该（    ） A．大于 B．小于 C．大于 D．小于 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9．方程的解是_________________． 10．已知点在反比例函数的图象上，则的值为_________． 11．若关于x的方程有两个相等的实数根，则a的值是______． 12．一元二次方程的两根为和，则________． 13．若点，都在反比例函数的图象上，则________（填“”或“”）． 14．如图，某中学建立了一个长方形菜园，作为劳动实践基地，旨在培养学生的劳动意识、劳动技能和实践能力．已知菜园的一面靠墙，墙长为，另外三边用长为的栅栏围成．若要使菜园的面积达到，则的长为______． 第14题 第16题 15．直线与双曲线交于、两点，则的值为______． 16．如图，点，，…在反比例函数（）的图象上，点，，，…，在y轴上，且，直线与双曲线交于点，，，，…，则的坐标是______． 三、解答题：本题共9小题，共52分。 17．(本题6分) 解一元二次方程 (1) (2) 18．(本题6分) 已知关于x的方程． (1)求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根． (2)若关于x的方程根均为正整数，求整数m的值． 19．(本题4分) 已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)判断点是否在这个反比例函数的图象上． 20．(本题5分) 已知关于x的方程．若，是方程的两根． （1）当时，求m的值； （2）直接写出代数式的最小值． 21．(本题5分) 在“精准扶贫”工作中，某单位建议贫困户借助家里长的墙建造面积为的矩形区域来养鹌鹑，该单位准备修建长为的篱笆，并提供以下两种方案： (1)如图1，若选取墙的一部分作矩形的边，其他三边用篱笆围成，则在墙上借用的的长度为多少? (2)如图2，若全部借用的长度，并在的延长线上拓展，构成矩形，篱笆由、、和构成，求的长． 22．(本题6分) 工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料煅烧到，然后停止煅烧进行锻造操作，经过时，材料温度降为．煅烧时温度与时间成一次函数关系；锻造时，温度与时间成反比例函数关系（如图）．已知该材料初始温度是． (1)求材料煅烧和锻造时与的函数关系式； (2)根据工艺要求，锻造过程中，当材料温度低于时，须停止操作，那么锻造的操作时间有多长？ 23．(本题6分) 如果方程满足两个实数解都为整数解，我们就称所有这样的一元二次方程为同族方程，并规定，例如有整数解3和4，所以属于同族方程，所以． (1)以下一元二次方程中是同族方程的是________(填写序号) ①；②；③；④． (2)如果同族方程中有两个相等的解，我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对任意一个完美方程，总有； (3)关于x的一元二次方程属于同族方程，求正整数k的值． 24．(本题6分) 在平面直角坐标系中，为双曲线上一点． (1)求的值； (2)在（1）的条件下： ①点和在双曲线上，比较与的大小； ②点在双曲线上，点的坐标为．若的面积为8，求点的坐标． 25．(本题8分) 综合与实践． (1)【初步探索】欧几里得的《几何原本》记载，对于形如的方程，可用如图1的几何解法：作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，则该方程的其中一个正根是哪段线段的长？说明你的理由． (2)【再次探索】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中也记载了关于一元二次方程的几何解法：以方程为例，因为，所以有．如图2，用4个长都是，宽都是x的相同矩形，拼成如图所示的正方形，图2中，大正方形的面积可以表示为_____________（用含x的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即等于，故可得原方程的一个正根是____________________． (3)【类比运用】请选用上述两种几何方法中的一种求方程的正根（请在下面画出图形，注意在图中标注出相关线段的长度）． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：90分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材苏科版九年级上册第1~2章。 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1．下列哪个方程是一元二次方程（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需同时满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，据此逐个分析选项即可． 【详解】解：A、方程含有2个未知数，是二元一次方程，不符合一元二次方程定义，∴ A错误； B、方程含有2个未知数，是二元二次方程，不符合一元二次方程定义，∴ B错误； C、方程分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，不符合一元二次方程定义，∴ C错误； D、方程整理为，只含1个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程定义，∴ D正确． 2．已知方程的一个根是2，则的值为（     ） A．2 B．1 C．3 D．−3 【答案】B 【分析】根据方程根的定义，方程的根可使方程左右两边相等将已知根代入原方程，解关于的一元一次方程即可得到结果． 【详解】∵ 是方程的一个根， ∴ 将代入原方程得， ， 整理得 ，即 ， 解得 ． 3．下列各点，不在函数图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知，横纵坐标的乘积为的点才在该反比例函数的图象上，且横坐标不为0，据此逐个验证选项即可． 【详解】解：由题意得，反比例函数图象上的任意点满足，且． A选项：，满足条件，点在图象上． B选项：，满足条件，点在图象上． C选项：，满足条件，点在图象上． D选项：，此时函数无意义，且，不满足条件，点不在图象上． 4．用配方法解一元二次方程，以下变形正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，将左边整理为完全平方式即可得到正确结果． 【详解】解：∵ ， 移项，得 ， ∵ 一次项系数为，其一半的平方为， ∴ 等式两边同时加，得 ， 整理得 ． 5．k为实数，则关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．必有实根 B．有两个不相等的实根 C．无实根 D．不能确定根的情况 【答案】A 【分析】计算根的判别式，配方后判断其取值范围，即可确定方程根的情况． 【详解】解：一元二次方程为， ，，， ． 为实数， ，即． 方程必有实根． 6．模型的能力与其训练数据量密切相关．假设在某研发阶段，模型的初始训练数据量为325万亿个标记．研发团队通过两次数据扩容，使最终的训练数据量达到468万亿个标记，求这两次数据扩容的平均增长率（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设两次数据扩容的平均增长率为，再根据初始数据量、平均增长率及两次扩容后的最终数据量，利用增长率的增长规律列方程即可． 【详解】解：设两次数据扩容的平均增长率为， 由题意得， 整理得， ∵， ∴， 解得， ∴这两次数据扩容的平均增长率为． 7．关于反比例函数，下列说法错误的是（     ） A．函数图象在第一、三象限 B．当时，y的值随x的增大而减小 C．当时， D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数图象位于第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小，故A正确，不符合题意； 当时，图象在第一象限，随的增大而减小，故B正确，不符合题意； 当时，， ∵当时，图象在第三象限，随的增大而减小， ∴当时，， 又∵当时，， ∴当时，的取值范围是或，故C错误，符合题意； 若点在函数图象上，则，即， ∴，即点也在函数图象上，故D正确，不符合题意． 8．在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率（单位：）与振动弦长（单位：）近似成反比例函数关系，其图象如图所示．若振动弦长为时，测得振动频率为，振动频率低于时，振动弦长应该（    ） A．大于 B．小于 C．大于 D．小于 【答案】C 【分析】先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再根据振动频率低于列出不等式，结合求解即可． 【详解】解：设与的函数关系式为， ∵当时，， ∴， ∴， ∵振动频率低于， ∴， ∵为弦长，， ∴， 即． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9．方程的解是_________________． 【答案】， 【详解】解：由方程可得， 解得， ． 10．已知点在反比例函数的图象上，则的值为_________． 【答案】4 【分析】若点在反比例函数图象上，则点的坐标满足反比例函数解析式，将点坐标代入解析式即可求出的值． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， 将，代入得：， 则． 11．若关于x的方程有两个相等的实数根，则a的值是______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的判别式可得，再求出解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 12．一元二次方程的两根为和，则________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求式子降次，再结合根与系数的关系得到两根之和，代入化简计算即可得到结果． 【详解】解：是一元二次方程的根， ， 整理得 ， 将代入得： 的两根为和， ， 原式． 13．若点，都在反比例函数的图象上，则________（填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了求反比例函数的自变量的值，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．将点代入反比例函数的解析式求出的值，由此即可得． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．如图，某中学建立了一个长方形菜园，作为劳动实践基地，旨在培养学生的劳动意识、劳动技能和实践能力．已知菜园的一面靠墙，墙长为，另外三边用长为的栅栏围成．若要使菜园的面积达到，则的长为______． 【答案】/10米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设的长应是，则的长为，根据饲养室的面积达到．列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设的长应是，则的长为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 故答案为：． 15．直线与双曲线交于、两点，则的值为______． 【答案】16 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是把两个函数关系式联立成方程组并能正确求解．由题意得出，，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵、在双曲线上， ∴，且A和B关于原点对称． ∴，， ∴， 故答案为：16． 16．如图，点，，…在反比例函数（）的图象上，点，，，…，在y轴上，且，直线与双曲线交于点，，，，…，则的坐标是______． 【答案】 【分析】先求出的坐标，由题意容易得到是等腰直角三角形，想办法求出，，,…，探究规律， 利用规律解决问题即可得出结论. 【详解】解：联立， 解得， ∴，， 由题意可知， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 过作交轴于， 同理可证为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， 解得，（舍去）， ∴，， ∴， 同理可得， 则， 即， ∴. 三、解答题：本题共9小题，共52分。 17．(本题6分) 解一元二次方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 移项得， 开方得， 解得； （2）解：， 因式分解得， ∴或， 解得． 18．(本题6分) 已知关于x的方程． (1)求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根． (2)若关于x的方程根均为正整数，求整数m的值． 【答案】(1)证明：当时，原方程为，解得，原方程有实数根； 当时， ∴此方程有两个不相等的实数根， ∴无论m取任何实数时，方程恒有实数根； (2)整数的值为或或 【分析】（1）分为和两种情况，结合一元一次方程的根和一元二次方程根与判别式的关系可得结论； （2）分为和两种情况，解方程得到方程的解，根据题中条件即可求得m的值． 【详解】（1）略 （2）解：当时，由（1）知为正整数，符合题意； 当时，解方程，得，， ∵原方程的根均为正整数，m为整数， ∴或2，对应的或均符合题意， 综上，整数的值为或或． 19．(本题4分) 已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)判断点是否在这个反比例函数的图象上． 【答案】(1) (2)点不在这个反比例函数的图象上 【分析】（1）将点代入即可求出反比例函数表达式； （2）将点的横坐标代入解析式，解出纵坐标看是否与点一致即可． 【详解】（1）将点代入，解得： ， ， 所以反比例函数解析式是：． （2）将点的横坐标代入，解得： ， ， 所以点不在这个反比例函数的图象上． 20．(本题5分) 已知关于x的方程．若，是方程的两根． （1）当时，求m的值； （2）直接写出代数式的最小值． 【答案】(1)；(2)0 【分析】（1）把代入方程，即可求解；（2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入，即可求解． 【详解】 （1）解：把代入方程，得， ． （2）将，整理得 ∵，是方程的两根， ，， ∴， 所以代数式的最小值为0． 21．(本题5分) 在“精准扶贫”工作中，某单位建议贫困户借助家里长的墙建造面积为的矩形区域来养鹌鹑，该单位准备修建长为的篱笆，并提供以下两种方案： (1)如图1，若选取墙的一部分作矩形的边，其他三边用篱笆围成，则在墙上借用的的长度为多少? (2)如图2，若全部借用的长度，并在的延长线上拓展，构成矩形，篱笆由、、和构成，求的长． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）设的长为，则，由矩形，得，解方程即可； （2）设长为，则，由矩形，得，,由题意，得，解方程即可； 【详解】（1）解：设的长为，则， 由矩形，得， 整理，得， 解得， ， 舍去； ， ． （2）解：设长为，则， 由矩形，得， 由题意，得， 整理，得， 解得， 由长度不能为负数， 故舍去， 故， 故的长为． 22．(本题6分) 工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料煅烧到，然后停止煅烧进行锻造操作，经过时，材料温度降为．煅烧时温度与时间成一次函数关系；锻造时，温度与时间成反比例函数关系（如图）．已知该材料初始温度是． (1)求材料煅烧和锻造时与的函数关系式； (2)根据工艺要求，锻造过程中，当材料温度低于时，须停止操作，那么锻造的操作时间有多长？ 【答案】(1)材料加热时，与的函数关系式为；停止加热进行锻造时与的函数关系式为： (2) 【分析】考查了反比例函数和一次函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． （1）根据题意，材料煅烧时，温度与时间成一次函数关系，煅烧结束时，温度与时间成反比例函数关系，将题中数据代入，用待定系数法可得两个函数的关系式； （2）把代入中，求解，进而得出答案即可． 【详解】（1）解：停止加热时，设， 由题意得， 解得：， 当时，， 解得， ∴点B的坐标为； 材料加热时，设， 由题意得， 解得． ∴材料加热时，与的函数关系式为：， 停止加热进行锻造时与的函数关系式为：． （2）解：把代入中， 得， ． 答：锻造的操作时间为． 23．(本题6分) 如果方程满足两个实数解都为整数解，我们就称所有这样的一元二次方程为同族方程，并规定，例如有整数解3和4，所以属于同族方程，所以． (1)以下一元二次方程中是同族方程的是________(填写序号) ①；②；③；④． (2)如果同族方程中有两个相等的解，我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对任意一个完美方程，总有； (3)关于x的一元二次方程属于同族方程，求正整数k的值． 【答案】(1)①④ (2) 见详解 (3)正整数的值为1或3 【分析】（1）分别解四个方程即可得解； （2）由题意可知根的判别式，从而求出； （3）求解这个一元二次方程，再根据同族方程定义即可得解． 【详解】（1）解方程得：，满足两个实数解都为整数解， 故①是同族方程； 解方程得：，不满足两个实数解都为整数解， 故②不是同族方程； 解方程得：，不满足两个实数解都为整数解， 故③不是同族方程； 解方程得：，满足两个实数解都为整数解， 故④是同族方程； 故是同族方程的是①④； （2）证明：∵ 完美方程是有两个相等解的同族方程，即有两个相等的实数解， ∴ ，即． ∵ 有意义， ∴ ． ∴ ． 故对任意一个完美方程，总有 （3）由一元二次方程得：，， 解得：， ∵一元二次方程属于同族方程， ∴是整数， ∴正整数k的值为1或3． 24．(本题6分) 在平面直角坐标系中，为双曲线上一点． (1)求的值； (2)在（1）的条件下： ①点和在双曲线上，比较与的大小； ②点在双曲线上，点的坐标为．若的面积为8，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或者 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数上点的特征，求函数值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）①将点代入函数解析式，求得，再比较大小即可；②利用，求得或，然后再代入求出横坐标即可． 【详解】（1）解：为双曲线上一点， ， ； （2）解：①点和在双曲线上， ， ， ； ②不妨设， 点的坐标为， ， ， ， 或， 当代入，得到； 当代入，得到； 或者． 25．(本题8分) 综合与实践． (1)【初步探索】欧几里得的《几何原本》记载，对于形如的方程，可用如图1的几何解法：作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，则该方程的其中一个正根是哪段线段的长？说明你的理由． (2)【再次探索】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中也记载了关于一元二次方程的几何解法：以方程为例，因为，所以有．如图2，用4个长都是，宽都是x的相同矩形，拼成如图所示的正方形，图2中，大正方形的面积可以表示为_____________（用含x的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即等于，故可得原方程的一个正根是____________________． (3)【类比运用】请选用上述两种几何方法中的一种求方程的正根（请在下面画出图形，注意在图中标注出相关线段的长度）． 【答案】(1)见详解 (2)； (3)； 【分析】（1）在直角三角形中，根据勾股定理得，即可证明结论； （2）根据大正方形的面积可以表示为，再列方程得到．解方程即可求出原方程的一个正根； （3）由题意可得，作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，在中，求出，即可得到答案． 【详解】（1）该方程的其中一个正根是线段的长，理由如下： ∵在直角三角形中，根据勾股定理得，， ， 整理得，， ∴对于形如的方程中一个正根是线段的长； （2）解：观察图2，大正方形的边长为矩形的长与宽之和，即， 那么大正方形的面积可以表示为， 因为，即，且大正方形面积等于个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即． 化简可得， 进一步变形为． ∴ ∴或， 因为为正数， 所以， 即原方程的一个正根是 （3）解：， ， 作直角三角形，其中，，， 在斜边上截取， 在中，， 则该方程的其中一个正根为的长即． 18 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9._______________ 13. ________________ 10. ___________ 14. _______________ 11. _________________ 15.________________ 12. __________________ 16. ________________ 三、解答题：本题共9小题，共52分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17.（6分） （1） （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（6分） （1） （2） 19．（4分） （1） （2） 20．（5分） （1） （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（5分） （1） （2） 22．（6分） （1） （2） 23.（6分） （1） ； （2） （3） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（6分） （1） （2）① ② 25．（8分） （1） （2） 、 ； （3） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ☐ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[1【][/] 一、 单项选择题：本题共8小题， 每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.MA][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 2.LA][B][C][D] 6.[A][B][CI[D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 10. 11. 13 14. 15. 6 三、解答题：本题共9小题，共52分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 17.(6分) (1) (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(6分) (1) (2) 19.(4分) (1) (2) 20. (5分) (1) (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(5分) (1) (2) 22.（6分) (1) /C 800 600 32￥A 8 x/min (2) 23.(6分) (1) (2) (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(6分) (1) (2)① ② 25.(8分) (1) (2) (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！: 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 (考试时间：90分钟，分值：100分) 注意事项： : 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， .: 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 O 3.测试范围：新教材苏科版九年级上册第1~2章。 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 : 1.下列哪个方程是一元二次方程() A.x+y=11 B.2x2+1=2.xy c.x2+1=2 D.x2=3x-2 2.已知方程x2+-6=0的一个根是2，则k的值为() A.2 B.1 C.3 D.-3 3. 下列各点，不在函数y=6图象上的是() ○ O A.（-1,6) B.(2,-3) C.(-3,2) D.(0,0) : 4.用配方法解一元二次方程x2-4x-6=0,以下变形正确的是（) : A.(x-2)}3=4 B.(x-4)2=6 C.(x-2)2=10 D.(x-2)2=2 : 5.k为实数，则关于x的一元二次方程x2-(k+1)x+k=0的根的情况是() A.必有实根 B.有两个不相等的实根 : : C.无实根 D.不能确定根的情况 .: 6.DeepSeek模型的能力与其训练数据量密切相关.假设在某研发阶段，DeepSeek模型的初始训练数据量 为325万亿个标记.研发团队通过两次数据扩容，使最终的训练数据量达到468万亿个标记，求这两次数 : 据扩容的平均增长率() : A.10% B.20% C.15% D.25% 7.关于反比例函数)-是，下列说法错误的是〈 ) : : A.函数图象在第一、三象限 B.当>0时，y的值随x的增大而减小 C.当x>-1时，y<-3 D.若点(a,b)在它的图象上，则点(b,a)也在它的图象上 8.在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率∫（单位：Hz)与振动弦长1（单 试题第1页（共6页） .: .: 可学科网·学易金卷做好费：就限景是普 位：m)近似成反比例函数关系，其图象如图所示.若振动弦长1为0.5时，测得振动频率∫为240Hz, 振动频率∫低于400Hz时，振动弦长1应该（) 240 0.5 I/m A.大于0.6m B.小于0.6m C.大于0.3m D.小于0.3m 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.方程x2-x=0的解是 4 10.已知点(m,)在反比例函数y=-的图象上，则n的值为 11.若关于x的方程x2+x+a=0有两个相等的实数根，则a的值是 12.一元二次方程x2-3x+1=0的两根为，1和x2,则x+3x2+2018= 13.若点4(-3)，8%6)都在反比例函数y=一的图象上，则-3—与（填>或<） 14.如图，某中学建立了一个长方形菜园ABCD,作为劳动实践基地，旨在培养学生的劳动意识、劳动技 能和实践能力.己知菜园的一面靠墙，墙长为l5m,另外三边用长为32m的栅栏围成.若要使菜园的面积 达到120m,则AB的长为 y '// A A3 B A 第14题 第16题 15.直线y=与双曲线y=4交于A(飞，y）、B(3,,)两点，则3xy-7xy的值为一· 16.如图，点4，，4在反比例函数y=1（x>0)的图象上，点B,B,B,,Bn在y轴上， 且∠B,O4=∠B,B,4=∠B,B,4=,直线y=x与双曲线y=1交于点4，B4104，B,41B,4, BA⊥B24,,则B26的坐标是 试题第2页（共6页） ©学科网·学易金卷做好德：就限彩是普 三、解答题：本题共9小题，共52分。 17.(本题6分)解一元二次方程 (1)(x+2)2-4=0 (2)2x2-3x+1=0 18.(本题6分)己知关于x的方程x2-(2+2)x+m+2=0. (1)求证：无论取任何实数时，方程恒有实数根 (2)若关于x的方程x2-(2+2)x++2=0根均为正整数，求整数m的值. 19.(体题4分)已知反比例函数y=的图象经过点(2，-3). (1)求这个反比例函数的表达式. (2)判断点(1,6)是否在这个反比例函数的图象上. 20.(本题5分)已知关于x的方程(x-1)(x-2)=m2.若x1,x2是方程的两根. (1)当x1=-1时，求的值： (2)直接写出代数式(x-1)1-x2)的最小值. 试题第3页（共6页） 21.(本题5分)在“精准扶贫'工作中，某单位建议贫困户借助家里长25m的墙AB建造面积为450m的矩 : O 形区域来养鹌鹑，该单位准备修建长为65m的篱笆，并提供以下两种方案： : ALL业B F A B : : 习 : : 图1 图2 兵 : (I)如图1，若选取墙AB的一部分作矩形的边，其他三边用篱笆围成，则在墙AB上借用的CF的长度为多 : : 少？ (2)如图2，若全部借用AB的长度，并在AB的延长线上拓展BF,构成矩形ADEF,篱笆由BF、EF、DE 和AD构成，求BF的长. 游 游 O 22.(本题6分)工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料煅烧到800℃，然 后停止煅烧进行锻造操作，经过8min时，材料温度降为600℃.煅烧时温度y(℃)与时间x(min)成一次函 : 数关系；锻造时，温度y(C)与时间x(min)成反比例函数关系（如图）.已知该材料初始温度是32℃. 800 世 600 : .: 32￥A 8 x/min (1)求材料煅烧和锻造时y与x的函数关系式： : (2)根据工艺要求，锻造过程中，当材料温度低于480℃时，须停止操作，那么锻造的操作时间有多长？ : 试题第4页（共6页) : 23.(本题6分)如果方程x2+px+q=0满足两个实数解都为整数解，我们就称所有这样的一元二次方程为 o 同族方程，并规定G= -,例如x2-7x+12=0有整数解3和4，所以x2-7x+12=0属于同族方程，所以 ·: G=7)49 12-12 舒 (1)以下一元二次方程中是同族方程的是 (填写序号) ①x2-5x+6=0;②x2-3x+1=0;③2x2-3x-2=0;④x2-4x+4=0. (2)如果同族方程x2+px+q=0中有两个相等的解，我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对任 意一个完美方程，总有G=4: : (3)关于x的一元二次方程2-(k-3)x-3=0属于同族方程，求正整数k的值. .: .: O 24.(体题6分)在平面直角坐标系0中，M(2,-3)为双曲线y=上一点. (1)求k的值： (2)在(1)的条件下： ①点P3,四和Q(-1,b)在双曲线y=上，比较a与b的大小： : : 在双曲线y《上，点B的坐标为4,0.若△A0B的面积为8，求点A : : : O : : o : 试题第5页（共6页） ©学科网·学易金卷做好機：就限？是器 25.(本题8分)综合与实践. xx+10 B 0 x+10 x+10 x+10x 图1 图2 (1)【初步探索】欧几里得的《几何原本》记载，对于形如x+=b的方程，可用如图1的几何解法：作 直角三角形ABC,其中∠C=90P,AC=b,nC=号在斜边A2上截取BD=BC,则该方程的其中一个 正根是哪段线段的长？说明你的理由， (2)【再次探索】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中也记载了关于一元二次方程的几何解法： 以方程x2+10x=36为例，因为x2+10x=36,所以有x(x+10)=36.如图2，用4个长都是(x+10),宽都 是x的相同矩形，拼成如图所示的正方形，图2中，大正方形的面积可以表示为 (用含x的 代数式表示)：另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即等于4×36+100，故可 得原方程的一个正根是 (3)【类比运用】请选用上述两种几何方法中的一种求方程x+2x-4=0的正根（请在下面画出图形，注意 在图中标注出相关线段的长度). 试题第6页（共6页） 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1 2 3 4 5 6 7 8 D B D C A B C C 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9．， 10.4 11. 12．2026 13．< 14．/10米 15．16 16． 三、解答题：本题共9小题，共52分。 17．(本题6分) 【详解】（1）解：， 移项得， 开方得，…………………………2分 解得；…………………………3分 （2）解：， 因式分解得， ∴或， 解得．…………………………6分 注：本题也可以用公式法或配方法解 18．(本题6分) 【详解】（1）(1)证明：当时，原方程为，解得，原方程有实数根； 当时， ∴此方程有两个不相等的实数根， ∴无论m取任何实数时，方程恒有实数根；…………………………3分 （2）解：当时，由（1）知为正整数，符合题意； 当时，解方程，得，， ∵原方程的根均为正整数，m为整数， ∴或2，对应的或均符合题意， 综上，整数的值为或或．…………………………6分 19．(本题4分) 【详解】（1）将点代入，解得： ， ， 所以反比例函数解析式是：．…………………………2分 （2）将点的横坐标代入，解得： ， ， 所以点不在这个反比例函数的图象上．…………………………4分 20．(本题5分) 【详解】 （1）解：把代入方程，得， ．…………………………2分 （2）将，整理得 ∵，是方程的两根， ，， ∴， 所以代数式的最小值为0．…………………………5分 21．(本题5分) 【详解】（1）解：设的长为，则， 由矩形，得， 整理，得， 解得， ， 舍去； ， ．…………………………2分 （2）解：设长为，则， 由矩形，得， 由题意，得， 整理，得， 解得， 由长度不能为负数， 故舍去， 故， 故的长为．…………………………5分 22．(本题6分) 【详解】（1）解：停止加热时，设， 由题意得， 解得：， 当时，， 解得， ∴点B的坐标为； 材料加热时，设， 由题意得， 解得． ∴材料加热时，与的函数关系式为：， 停止加热进行锻造时与的函数关系式为：．…………………………4分 （2）解：把代入中， 得， ． 答：锻造的操作时间为．…………………………6分 23．(本题6分) 【详解】（1）解方程得：，满足两个实数解都为整数解， 故①是同族方程； 解方程得：，不满足两个实数解都为整数解， 故②不是同族方程； 解方程得：，不满足两个实数解都为整数解， 故③不是同族方程； 解方程得：，满足两个实数解都为整数解， 故④是同族方程； 故是同族方程的是①④；…………………………2分 （2）证明：∵ 完美方程是有两个相等解的同族方程，即有两个相等的实数解， ∴ ，即． ∵ 有意义， ∴ ． ∴ ． 故对任意一个完美方程，总有…………………………4分 （3）由一元二次方程得：，， 解得：， ∵一元二次方程属于同族方程， ∴是整数， ∴正整数k的值为1或3．…………………………6分 24．(本题6分) 【详解】（1）解：为双曲线上一点， ， ；…………………………2分 （2）解：①点和在双曲线上， ， ， ；…………………………4分 ②不妨设， 点的坐标为， ， ， ， 或， 当代入，得到； 当代入，得到； 或者．…………………………6分 25．(本题8分) 【详解】（1）该方程的其中一个正根是线段的长，理由如下： ∵在直角三角形中，根据勾股定理得，， ， 整理得，， ∴对于形如的方程中一个正根是线段的长；…………………………2分 （2）解：观察图2，大正方形的边长为矩形的长与宽之和，即， 那么大正方形的面积可以表示为， 因为，即，且大正方形面积等于个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即． 化简可得， 进一步变形为． ∴ ∴或， 因为为正数， 所以， 即原方程的一个正根是…………………………6分 （3）解：， ， 作直角三角形，其中，，， 在斜边上截取， 在中，， 则该方程的其中一个正根为的长即．…………………………8分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $