专题02 与三角形有关的角—重难点培优训练 2026--2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 以模型化与分类训练构建三角形角问题的解题体系，通过“概念-性质-模型-综合”逻辑链培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |必备知识|2大知识点7模型|内角外角比较、8字/A字/飞镖等模型性质、折叠与平行线综合策略|从定义性质到模型拓展，构建“基础概念→特殊模型→综合应用”递进链条| |典例精析|9类题型+变式|折叠角度计算、角平分线结合、模型应用（A/8字型）等专项解法|题型与模型对应，覆盖内角和证明、内外角综合、跨知识结合（平行线/折叠）等核心考法|

专题02 与三角形有关的角 必备知识 知识点1：三角形的内角和外角（重难点） 1、三角形的内角和外角比较 比较项目 定义 图形 性质 关系 三角形的内角 三角形两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角 同一顶点的一对内外角是邻补角；三角形的外角等于不相邻的两个内角的和； 三角形的外角大于不相邻的内角； 三角形的外角 三角形的一边与另一边的线组成的角，叫做三角形的外角 2、三角形内外角常见模型 模型名称 图示 性质 “8”字模型 “A”字模型 飞镖模型 双内角平分线 双外角平分线 内角平分线＋外角平分线 角平分线与高模型 知识点2：三角形的角与平行线、折叠综合（重难点） 1、常见的三角板与平行线模型 名称 图形 关系 平行线与三角板 三角板与直尺 共顶点的一副三角板 共顶点的一副三角板 不共顶点的一副三角板 不共顶点的一副三角板 2、常见的三角形折叠问题 描述 图形 关系 顶点落在三角形内部 顶点落在三角形的外部 折线过顶点，顶点落在三角形外部 拆线过顶点，顶点落在三角形边上 目录 题型1：三角形折叠中的角度问题 题型2：三角形内角和定理的证明 题型3：三角形内角和与平行线结合 题型4：三角形内角和与角平分线结合 题型5：三角形内外角的定义及性质应用 题型6：三角形内角和与外角的性质综合 题型7：A字型 题型8：8字型 题型9：与三角形有关的折叠 题型10 A组 基础巩固 题型11 B组 拔高提升 题型12 C组 思维拓展 典例精析 题型1：三角形折叠中的角度问题 【例1】如图，把三角形纸片沿折叠，使点A与点重合，且落在四边形的内部，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了轴对称的性质、三角形内角和定理；先求得的值，再根据三角形内角和的性质计算，即可得到答案． 【详解】∵三角形纸片沿折叠，使点与点重合，且落在四边形的内部， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1-1】如图，在中，，点E，F分别为上一点，将沿直线翻折至同一平面内，点A落在点处，，分别交边于点M，N．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了翻折变换，邻补角，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先根据平角定义可得，然后利用折叠的性质可得：，，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，最后利用平角定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 题型2：三角形内角和定理的证明 【例1】小刚同学想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程：在的边上任取一点，过点作交于点，作交于点以下是他的推理过程，请你在横线上补充其推理过程或理由． 因为 所以 ______（理由：两直线平行同位角相等） （理由：______ ） 因为 所以 ______（理由：_______ ） ______（理由：_______ ） 因为 ______ 所以． 【分析】本题考查了平行线的性质，牢记各平行线的性质定理是解题的关键．由，利用平行线的性质，可得出，，由，利用平行线的性质，可得出，，结合，即可得出． 【详解】解：因为 所以理由：两直线平行，同位角相等 理由：两直线平行，内错角相等 因为 所以理由：两直线平行，同位角相等 理由：两直线平行，同位角相等 因为 所以． 故答案为：，两直线平行，内错角相等，，两直线平行，同位角相等，，两直线平行，同位角相等，． 【变式1-1】在学习了“三角形的内角和等于180°”的知识后，老师让同学们用不同的方法说明这个结论是正确的．聪明的小明想到了一个方法，下面是他的思路：如图，在的边上任取一点E，过点E作交于点D，作交于点F．请你帮他完成解题过程吧． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明，在的边上任取一点E，过点E作交于点D，作交于点F．由平行线的性质得出，，，，等量代换可得出，再根据平角的定义得出，等量代换可得出． 【详解】证明：在的边上任取一点E，过点E作交于点D，作交于点F． ∵， ∴，， ∵ ∴，， ∴, ∵， ∴． 题型3：三角形内角和与平行线结合 【例1】如图，在中，，，，，连接，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【分析】延长交于点，根据，利用三角形和为，求得，再根据，可得出，再根据求得． 【详解】解：如图，延长交于点，    ，， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，作出辅助线是解决本题的关键． 【变式1-1】如图，在三角形中，点D，H，E分别是边，，上的点，连接，，F为上一点，连接，若，，．则的度数为 ． 【分析】由，，得到，根据平行线的判定，得到，根据平行线的性质，得到，根据三角形内角和定理，求出的度数，即可求解， 本题考查了，平行线的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 题型4：三角形内角和与角平分线结合 【例1】如图，点O是△ABC的两条角平分线的交点，若∠A＝50°，则∠BOC的度数为（    ） A．75° B．105° C．115° D．130° 【分析】根据角平分线的定义可得∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，根据三角形内角和定理即可得答案． 【详解】∵点O是△ABC的两条角平分线的交点， ∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB， ∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，∠A＝50°， ∴2∠OBC+2∠OCB+50°=180°， ∴∠OBC+∠OCB=65°， ∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=115°， 故选：C． 【点睛】本题考查角平分线的定义及三角形内角和定理，任意三角形的内角和等于180°；熟练掌握三角形内角和定理是解题关键． 【变式1-1】图：∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＞∠D，，∠P＝18°，则∠A的度数为（   ） A．50° B．46° C．48° D．80° 【分析】根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的内角和定理可得，根据，可推出，又因为，即可求出． 【详解】解：如图， ，的角平分线交于点， ，， 由三角形的内角和定理得，， ， 即， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的性质，解题的关键是添加适当的辅助线，由题意找到角之间的关系． 题型5：三角形内外角的定义及性质应用 【例1】如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则的大小是（ ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．由平行线的性质可得，再由三角形的外角性质可求，利用邻补角的定义即可求的度数． 【详解】解：如图， ，， ， ， ， 故选： 【变式1-1】如图是交通直行指示标志，将其抽象成平面图形，，，，则图中的度数是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查平行线的判定与性质，三角形外角的性质，关键是通过作辅助线，由平行线的性质，得到延长交于M，延长交于N，过G作，得到，推出，，得到，由三角形外角的性质得到，，即可求出的度数． 【详解】解：延长交于M，延长交于N，过G作， ， ， ，， ， ， ，， ， 同理：， 故选：B． 题型6：三角形内角和与外角的性质综合 【例1】如图，在中，，点E，F分别在边上，，的角平分线与的角平分线交于点P，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等，熟练掌握这些知识是解题的关键． 根据题意可知，设，表示出，根据角平分线的定义，可得的度数，根据列方程，即可求出的度数． 【详解】解：∵，平分， ∴， 设， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1-1】如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂与操作台的夹角，支撑臂为的平分线．物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点B旋转一定的角度并缩短，此时，增大了，则的变化情况为    （    ） A．增大 B．减小 C．增大 D．减小 【分析】本题考查三角形三角形外角的性质及角平分线的定义，起吊物体前，设，根据题意可得，则，物体被吊起后，可得，增大了，由即可解答． 【详解】解：起吊物体前，设， ，支撑臂为的平分线， ， ； 物体被吊起后， 机械臂的位置不变，，， ， 增大了， ， ， ， 的变化情况为增大． 故选：C． 题型7：A字型 【例1】如图，在中，，三角形两外角的角平分线交于点E，则 ． 【答案】61° 【思路引导】先根据三角形的内角和定理和平角定义求得∠DAC+∠ACF的度数，再根据角平分线的定义求得∠EAC+∠ECA的度数，即可解答． 【规范解答】解：∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠B=58°， ∴∠BAC+∠BCA=180°﹣∠B=180°﹣58°=122°， ∵∠BAC+∠DAC=180°，∠BCA+∠ACF=180°， ∴∠DAC+∠ACF=360°﹣（∠BAC+∠BCA）=360°﹣122°=238°， ∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF， ∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF， ∴∠EAC+∠ECA =（∠DAC+∠ACF）=119°， ∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°， ∴∠AEC=180°﹣（∠EAC+∠ECA）=180°﹣119°=61°， 故答案为：61°． 【变式1-1】如图是某建筑工地上的人字架，若，那么的度数为 ． 【答案】 【思路引导】根据平角的定义求出，再利用三角形的外角的性质即可解决问题． 【规范解答】解：如图 ，， ， ， ， 故答案为：． 题型8：8字型 【例1】在中，，点在直线上（不与重合），点在直线上（不与重合），且． （1）如图①，若，则_____，此时，_____； （2）若点在边上（点除外）运动（图①），试探究与数量关系并说明理由： （3）若点在线段的延长线上，点在线段的延长线上（如图②），其余条件不变，请直接写出与的数量关系：___； （4）若点在线段的延长线上（如图③），点在直线上，，其余条件不变，则_____．（友情提醒：可利用图③画图分析） 【答案】（1）35°，2；（2）∠BAD=2∠CDE，理由见解析；（3）∠BAD=2∠CDE；（4）79°或11° 【思路引导】（1）利用三角形内角和定理以及三角形的外角的性质解决问题即可． （2）结论：∠BAD=2∠CDE．设∠B=∠C=x，∠AED=∠ADE=y，则∠BAC=180°-2x，∠CDE=y-x，∠DAE=180°-2y，推出∠BAD=∠BAC-∠DAE=2y-2x=2（y-x），由此可得结论． （3）如图②中，结论：∠BAD=2∠CDE．解决方法类似（2）． （4）分两种情形：①当点E在CA的延长线上，设∠ABC=∠C=x，∠AED=∠ADE=y，则∠BAC=180°-2x，∠CDE=180°-（y+x），∠DAE=180°-2y，由题意，∠BAD=180°-∠BAC-∠DAE=2x+2y-180°=22°，推出x+y=101°，可得结论．②如图④中，当点E在AC的延长线上时，同法可求． 【规范解答】解：（1）如图①中， ∵∠ABC=∠ACB=40°， ∴∠BAC=180°-40°-40°=100°， ∵∠AED=∠CDE+∠C， ∴∠CDE=75°-40°=35°， ∵∠ADE=∠AED=75°， ∴∠DAE=180°-75°-75°=30°， ∴∠BAD=∠BAC-∠DAE=100°-30°=70°， ∴==2． 故答案为35°，2． （2）结论：∠BAD=2∠CDE． 理由：设∠B=∠C=x，∠AED=∠ADE=y， 则∠BAC=180°-2x，∠CDE=y-x，∠DAE=180°-2y， ∴∠BAD=∠BAC-∠DAE=2y-2x=2（y-x）， ∴∠BAD=2∠CDE． （3）如图②中，结论：∠BAD=2∠CDE． 理由：设∠B=∠ACB=x，∠AED=∠ADE=y， 则∠BAC=180°-2x，∠CDE=180°-（y+x），∠DAE=180°-2y， ∴∠BAD=∠BAC+∠DAE=360°-2（x+y）， ∴∠BAD=2∠CDE． 故答案为∠BAD=2∠CDE． （4）如图③中， 设∠ABC=∠C=x，∠AED=∠ADE=y， 则∠BAC=180°-2x，∠CDE=180°-（y+x），∠DAE=180°-2y， ∴∠BAD=180°-∠BAC-∠DAE=2x+2y-180°=22°， ∴x+y=101° ∴∠CDE=180°-101°=79°． 如图④中，当点E在AC的延长线上时，设∠ABC=∠ACB=x，∠AED=∠ADE=y， 则∠ADB=x-22°，∠CDE=y-（x-22°）， ∵∠ACB=∠CDE+∠AED， ∴x=y+y-（x-22°）， ∴x-y=11°， ∴∠CDE= 故答案为79°或11°． 【变式1-1】下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”） 度． 【答案】 减少 10 【思路引导】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF与∠D、∠E、∠DCE之间的关系，进行计算即可判断． 【规范解答】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°， ∴∠ACB=180°-110°=70°， ∴∠DCE=70°， 如图，连接CF并延长， ∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF， ∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF， ∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°， 要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°， 若只调整∠D的大小， 由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠ D+100°， 因此应将∠D减少10度； 故答案为：①减少；②10． 题型9：与三角形有关的折叠 【例1】如图，三角形纸片中，，将沿翻折，使点C落在外的点处．若，则的度数为 ． 【答案】 【思路引导】根据三角形内角和定理求出，根据折叠的性质求出，根据三角形的外角的性质计算，得到答案． 【规范解答】解：，， ， 由折叠的性质可知，， ， ， 故答案是：． 【变式1-1】如图，在中，，将沿直线折叠，点C落在点D的位置，则的度数是（    ）． A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【思路引导】 由折叠的性质得到，再利用外角性质即可求出所求角的度数． 【规范解答】 解：由折叠的性质得：， 根据外角性质得：，， 则， 则． 故选：B． 1．在中，，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】利用三角形内角和为代入已知角度求解即可． 【详解】解：在中，，，则． 2．在下列条件；①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【知识点】锐角互余的三角形是直角三角形、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的定义，利用三角形的内角和定理求出角的度数，即可分别进行判断． 【详解】解：①由得到，即，是直角三角形； ②由题可得，是直角三角形； ③由得到2，解得，，不是直角三角形； ④由得到，解得，，，是直角三角形； ⑤由得到，解得，不是直角三角形； 故选：C． 3．如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E．、与有什么样的关系（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质 【分析】先求出，再根据角平分线的定义求出，最后根据三角形外角的性质，即可解答． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∴， 即． 4．在中，若，则________． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题利用三角形内角和定理，根据三个角的比例关系设未知数，求解出各角度数后计算角度差即可． 【详解】解：由题意设，则， 根据三角形内角和定理，得 解得 因此， 则． 5．如图，直线，直线，，则的度数为___________． 【答案】/40度 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、根据平行线的性质求角的度数、利用邻补角互补求角度 【分析】此题考查了平行线的性质，邻补角，直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握以上知识点． 首先得出，然后求出的邻补角，然后根据直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】因为，， 所以， 则的邻补角为， 所以． 故答案为：． 6．如图，为的外角，已知，，则_____________． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查三角形外角的性质．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，进行解得，即可． 【详解】解：∵，， ∴． 7．如图，在中，，，平分． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，再利用三角形内角和即可解答； （2）根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴； （2）解：在中，由三角形外角的性质得． 8．如图，已知，当于点，时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】垂线的定义理解、根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】先结合垂线的定义得，再运用三角形内角和性质得，又因为，得出两直线平行，内错角相等，即． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 9．如图，在中，，，D是边上一点，连接，将沿折叠，点B落在点处，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形折叠中的角度问题、根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】首先由折叠得，，然后根据平行线的性质求出，然后利用三角形外角的性质求解． 【详解】解：由折叠得，， ∵ ∴ ∴ ∴． 10．如图，直线，的直角顶点落在直线上，点落在直线上，若，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查直角三角形的性质，平行线的性质等知识，如图，作利用平行线的性质可得，再利用直角三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：如图，作， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 11．如图，点D、E分别在线段、上，连接、，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】首先根据三角形外角的性质求出，然后利用三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∵， ∴． 12．如图，点D是内一点，，，则的度数为______． 【答案】/度 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】此题考查了三角形内角和定理的应用，根据三角形内角和定理得到，再根据等量代换即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 故答案为：． 13．如图，中，，，平分，于点，，则________． 【答案】/74度 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，垂线的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键．先求出，结合角平分线的定义，得出，根据直角三角形两锐角互余，得到，进而得到，即可求出的度数． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 14．如图，已知，，，则的度数为_____． 【答案】/37度 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．延长交于点，根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 15．如图，在中，， (1)求的度数； (2)若平分 ，求 的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形角平分线的定义 【分析】（1）根据三角形内角和为180度可得答案； （2）根据角平分线的定义可得答案． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴； （2）解：由（1）得， ∵平分， ∴． 16．如图，平分，点在的延长线上，于点，，，请用含、的代数式表示．    【答案】 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理．根据三角形内角和定理可得，再由角平分线的定义可得，然后根据三角形内角和定理可得，再根据，即可求解． 【详解】解：因为，， 所以． 因为平分， 所以， 所以 ． 因为， 所以， 所以． 17．如图，在直角中，，于D，平分交于点E，交于点F． (1)试说明． (2)若，求的度数． 【答案】(1)解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． (2) 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）根据余角的性质可得，即可解答； （2）先求出的度数，再结合角平分线的定义可得的度数，再根据三角形外角的性质，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时，则与之间有一种数量关系始终保持不变，请你试着找一找这个规律，你发现的规律是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形折叠中的角度问题、三角形内角和定理的应用 【分析】根据折叠性质可知折叠前后的对应角相等，结合平角定义可得，，再结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：根据折叠的性质可知，折叠前后的对应角相等， ，， ，， 在中，， ， ， ． 19．如图，已知，点在直线上，点在直线上，点在直线上方，点在的延长线上．若，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】延长交于点，交于点，根据，可设设，，，，利用平行线的性质及三角形外角的性质可得出，再由即可得出结论． 【详解】解：如图，延长交于点，交于点， ，， 设，，，， ，， 是的一个外角， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， 即． 20．如图，在中，平分，平分，、交于点O，，若，，则_____________． 【答案】/10度 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要查了三角形内角和定理，三角形外角的性质．根据三角形内角和定理，可得，从而得到，再由三角形外角的性质求得的度数，再利用直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 21．如图，为的一个外角，点，分别在边，上，若，则等于_______． 【答案】140 【知识点】利用邻补角互补求角度、三角形的外角的定义及性质 【分析】先根据，，，求出，再根据三角形外角的性质求出结果即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 22．如图，，分别是的中线和高，平分交于点E． (1)若，，求的度数； (2)若，的面积是42，求的面积． 【答案】(1) (2)24 【知识点】根据三角形中线求面积、与三角形的高有关的计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）先求出的度数，再求出的度数，然后利用三角形的内角和定理求解即可； （2）先求出的面积，再得出，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵是的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵是的中线，的面积是42， ∴， ∵的边上的高与的边上的高相等，且， ∴， 又∵， ∴， 即的面积为24． 23．中，为的平分线，为边上的高． (1)如图1，若，，请求的度数； (2)如图2（），试说明，，的数量关系； (3)如图3，延长到点，和的平分线交于点，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）根据三角形的内角和定理可求得，由角平分线的定义可得的度数，利用三角形的高线可求的度数，进而求解即可得出结论； （2）根据（1）的推理方法可求解，，的数量关系； （3）由三角形外角的性质结合角平分线的定义可求解，根据三角形的高线可求解的度数． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：∵和的角平分线交于点G， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 与三角形有关的角 必备知识 知识点1：三角形的内角和外角（重难点） 1、三角形的内角和外角比较 比较项目 定义 图形 性质 关系 三角形的内角 三角形两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角 同一顶点的一对内外角是邻补角；三角形的外角等于不相邻的两个内角的和； 三角形的外角大于不相邻的内角； 三角形的外角 三角形的一边与另一边的线组成的角，叫做三角形的外角 2、三角形内外角常见模型 模型名称 图示 性质 “8”字模型 “A”字模型 飞镖模型 双内角平分线 双外角平分线 内角平分线＋外角平分线 角平分线与高模型 知识点2：三角形的角与平行线、折叠综合（重难点） 1、常见的三角板与平行线模型 名称 图形 关系 平行线与三角板 三角板与直尺 共顶点的一副三角板 共顶点的一副三角板 不共顶点的一副三角板 不共顶点的一副三角板 2、常见的三角形折叠问题 描述 图形 关系 顶点落在三角形内部 顶点落在三角形的外部 折线过顶点，顶点落在三角形外部 拆线过顶点，顶点落在三角形边上 目录 题型1：三角形折叠中的角度问题 题型2：三角形内角和定理的证明 题型3：三角形内角和与平行线结合 题型4：三角形内角和与角平分线结合 题型5：三角形内外角的定义及性质应用 题型6：三角形内角和与外角的性质综合 题型7：A字型 题型8：8字型 题型9：与三角形有关的折叠 题型10 A组 基础巩固 题型11 B组 拔高提升 题型12 C组 思维拓展 典例精析 题型1：三角形折叠中的角度问题 【例1】如图，把三角形纸片沿折叠，使点A与点重合，且落在四边形的内部，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在中，，点E，F分别为上一点，将沿直线翻折至同一平面内，点A落在点处，，分别交边于点M，N．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型2：三角形内角和定理的证明 【例1】小刚同学想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程：在的边上任取一点，过点作交于点，作交于点以下是他的推理过程，请你在横线上补充其推理过程或理由． 因为 所以 ______（理由：两直线平行同位角相等） （理由：______ ） 因为 所以 ______（理由：_______ ） ______（理由：_______ ） 因为 ______ 所以． 【变式1-1】在学习了“三角形的内角和等于180°”的知识后，老师让同学们用不同的方法说明这个结论是正确的．聪明的小明想到了一个方法，下面是他的思路：如图，在的边上任取一点E，过点E作交于点D，作交于点F．请你帮他完成解题过程吧． 题型3：三角形内角和与平行线结合 【例1】如图，在中，，，，，连接，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在三角形中，点D，H，E分别是边，，上的点，连接，，F为上一点，连接，若，，．则的度数为 ． 题型4：三角形内角和与角平分线结合 【例1】如图，点O是△ABC的两条角平分线的交点，若∠A＝50°，则∠BOC的度数为（    ） A．75° B．105° C．115° D．130° 【变式1-1】图：∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＞∠D，，∠P＝18°，则∠A的度数为（   ） A．50° B．46° C．48° D．80° 题型5：三角形内外角的定义及性质应用 【例1】如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则的大小是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图是交通直行指示标志，将其抽象成平面图形，，，，则图中的度数是（   ） A． B． C． D． 题型6：三角形内角和与外角的性质综合 【例1】如图，在中，，点E，F分别在边上，，的角平分线与的角平分线交于点P，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂与操作台的夹角，支撑臂为的平分线．物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点B旋转一定的角度并缩短，此时，增大了，则的变化情况为    （    ） A．增大 B．减小 C．增大 D．减小 题型7：A字型 【例1】如图，在中，，三角形两外角的角平分线交于点E，则 ． 【变式1-1】如图是某建筑工地上的人字架，若，那么的度数为 ． 题型8：8字型 【例1】在中，，点在直线上（不与重合），点在直线上（不与重合），且． （1）如图①，若，则_____，此时，_____； （2）若点在边上（点除外）运动（图①），试探究与数量关系并说明理由： （3）若点在线段的延长线上，点在线段的延长线上（如图②），其余条件不变，请直接写出与的数量关系：___； （4）若点在线段的延长线上（如图③），点在直线上，，其余条件不变，则_____．（友情提醒：可利用图③画图分析） 【变式1-1】下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”） 度． 题型9：与三角形有关的折叠 【例1】如图，三角形纸片中，，将沿翻折，使点C落在外的点处．若，则的度数为 ． 【变式1-1】如图，在中，，将沿直线折叠，点C落在点D的位置，则的度数是（    ）． 1．在中，，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 2．在下列条件；①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 3．如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E．、与有什么样的关系（     ） A． B． C． D． 4．在中，若，则________． 5．如图，直线，直线，，则的度数为___________． 6．如图，为的外角，已知，，则_____________． 7．如图，在中，，，平分． (1)求的度数； (2)求的度数． 8．如图，已知，当于点，时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，D是边上一点，连接，将沿折叠，点B落在点处，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 10．如图，直线，的直角顶点落在直线上，点落在直线上，若，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 11．如图，点D、E分别在线段、上，连接、，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 12．如图，点D是内一点，，，则的度数为______． 13．如图，中，，，平分，于点，，则________． 14．如图，已知，，，则的度数为_____． 15．如图，在中，， (1)求的度数； (2)若平分 ，求 的度数． 16．如图，平分，点在的延长线上，于点，，，请用含、的代数式表示．    17．如图，在直角中，，于D，平分交于点E，交于点F． (1)试说明． (2)若，求的度数． 18．如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时，则与之间有一种数量关系始终保持不变，请你试着找一找这个规律，你发现的规律是（     ） A． B． C． D． 19．如图，已知，点在直线上，点在直线上，点在直线上方，点在的延长线上．若，，，则（     ） A． B． C． D． 20．如图，在中，平分，平分，、交于点O，，若，，则_____________． 21．如图，为的一个外角，点，分别在边，上，若，则等于_______． 22．如图，，分别是的中线和高，平分交于点E． (1)若，，求的度数； (2)若，的面积是42，求的面积． 23．中，为的平分线，为边上的高． (1)如图1，若，，请求的度数； (2)如图2（），试说明，，的数量关系； (3)如图3，延长到点，和的平分线交于点，请直接写出的度数． 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $