专题02 勾股定理相关【重难点培优：知识梳理+7大题型+压轴真题】2025-2026学年人教版八年级下册数学重难点培优专题专练

**基本信息** 以蚂蚁爬行最短路径模型为切入点，通过展开图转化与口诀提炼构建勾股定理应用体系，覆盖证明、面积、折叠等7类核心题型，实现从空间观念到逻辑推理的能力递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |蚂蚁爬行模型|圆柱+长方体|展开图转化，“同侧全周长/异侧半周长”口诀|从立体到平面的转化思想，建立空间图形与直角三角形的关联| |7类核心题型|30+典例|面积法证明、折叠轴对称性质、动点轨迹分析、最值路径构造|从基础证明到综合应用，形成“概念-模型-变式”的逻辑链条，强化几何直观与推理意识|

专题02 勾股定理相关知识梳理 蚂蚁爬行最短路径经典模型： 1、基础模型——圆柱 已知：在底面半径为r，高为h圆柱中，求蚂蚁从点P沿圆柱外表面螺旋爬行到点Q的最短路径。 爬行路线 侧面展开图 口诀 同侧全周长 异侧半周长 结论 最短路径PQ= 最短路径PQ= 2、基础模型——长方体 已知：在一个长、宽、高分别为a、b、c的长方体中，一只蚂蚁沿着长方体的表面爬行，求蚂蚁从点P到点Q的最短路径。 爬行路线 侧面展开图 结论 PQ= = PQ= = PQ= = 总结 长方体中最短路径PQ= 正方体中最短路径PQ== 重难点题型分类 【题型1：勾股定理的证明 2】 【题型2：勾股定理中的面积问题 4】 【题型3：勾股定理与折叠问题 5】 【题型4：勾股定理中动点问题 8】 【题型5：勾股定理的最值问题 10】 【题型6：勾股定理与逆定理的综合 15】 【题型7：压轴真题 18】 勾股定理的证明题型1 1. 勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题最重要的工具之一．下列图形中可以证明勾股定理的有（    ）    A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 2．如图所示，意大利著名画家达▪芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，证明了勾股定理．若设图1中空白部分（两个正方形和两个直角三角形组成）的面积为，经过以下裁剪，翻转，拼出图2，其中空白部分的面积为，嘉琪同学得出了以下四个结论：①；②；③；④．则其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是证明了勾股定理和对勾股算术算法进行了推广．书中的证明方法是将4个三边长分别为，，的全等直角三角形拼成如图1所示的五边形，然后通过添加辅助线，用面积法证明勾股定理．下面是小华给出的相关证明： 如图2，延长交_____①_____于点． 用两种不同的方法表示五边形的面积： 方法一：将五边形看成是由正方形与，拼成，则_____②_____． 方法二：将五边形看成是由_____③_____，正方形，，拼成，则． 根据面积相等可以得到_____④_____，即．         　 则下列说法错误的是（    ） A．①代表 B．②代表 C．③代表正方形 D．④代表 4．【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第117页的部分内容． 把两个全等的直角三角形拼成如图所示的形状，使点、、在同一条直线上，利用此图的面积表示式证明勾股定理． 请结合图①，写出完整的证明过程； 勾股定理中的面积问题题型2 1．如图，在中，，，，以三角形各边为直径作半圆，其中两半圆交于点，阴影部分面积分别记作和，则，之间应满足的等式是 ． 2．如图，以的三边为直径，分别向外作半圆，构成的两个月牙形面积分别为、，的面积，若，，则的值为 ． 3．如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，若，则图中阴影部分的面积为 ． 4．如图，在中，，以，和为边向上作正方形和正方形和正方形，点落在上，若，空白部分面积为，则图中阴影部分的面积是 ． 5．如图，已知在中，，，，分别以，、为直径作半圆，则阴影部分的面积等于 ． 勾股定理与折叠问题题型3 1．如图，在中，，，点为线段上的一个动点，将沿直线折叠，使点的对应点落在射线上，连接，若的某一直角边等于斜边长度的一半时，则的长为 ． 2．如图，在，，，，，点是边上一动点． 连接，将沿折叠，得到，其中点落在处，交于点，当为直角三角形时，的长度是 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为 ． 4．如图，在中，，点D是上一点，连接，将沿折叠至．连接，若，，平分交于点E，且，则的长为 ． 5．如图，在中，，，点在边上运动，点在边上运动．将沿折叠，当点的对应点恰好落在边的三等分点处，此时 ． 6．如图，在中，，，，将折叠，使点与重合，得折痕，则的长等于 ． 7．如图，在中，，，，点D在边上，把沿直线折叠，使得点B的对应点落在的延长线上，则 ． 8．如图，直角三角形纸片中，，将，分别沿着，折叠，使点B，C恰好都落在F点，且D，F，G三点共线．已知，，则 ． 9．如图，在直角三角形纸片中，，，，沿将纸片折叠，使点落在边上的点处，再折叠纸片，使点与点重合，折痕分别与，交于点，，连接，则的长为 ． 10．如图，在长方形ABCD中，AB = 5，AD = 3，点E是BC边上一点，沿AE将△ABE折叠，点B的对称点恰好落在CD边上的点F处，再作∠DAF的平分线交CD边于点H，连接EH，则△EFH的面积是 11．一数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用，如图，将一张长方形纸片放在平面直角坐标系中，点A与原点O重合，顶点B、D分别在x轴、y轴上，P为边上一动点，连接，将沿折叠，点C落在点处． (1)若，，如图1，连接，当点在线段上时，求点P的坐标． (2)在（1）的条件下如图2，当点P与点D重合时，沿将折叠得，与x轴交于E点，求的面积． (3)若，，当为等腰三角形时，求点P的坐标． 勾股定理中动点问题题型4 1．如图，在中，，点M在上，，过点A作射线（与在同侧），若动点P从点A出发，沿射线匀速运动，运动速度为，设点P的运动时间为， (1)当_______时，． (2)在（1）的条件下，求证：． (3)连接，是否存在某个t的值，使得是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 2．如图，在中，是的角平分线．动点P从点A出发，以的速度沿折线向终点B运动．过点P作，交于Q．以为边作等边三角形，且点C、E在的同侧．设点P的运动时间为与重合部分的图形面积为． (1)当点P在线段上运动时，判断的形状（不必证明），并直接写出的长（用含t的代数式表示）； (2)当点E与点C重合时，求t的值； (3)求S关于t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围． 3．如图，中，，，，若动点M从点C出发，沿着的三条边顺时针走一圈回到C点，且速度为每秒，设出发的时间为t秒． (1)当t＝ 时，平分； (2)求t为何值时，为等腰三角形？ (3)另有一点N，从点C开始，沿着的三条边逆时针走方向运动，且速度为每秒，若M、N两点同时出发，当M、N中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当 s时，直线把的周长分成相等的两部分？ 4．如图，已知△ABC中，，，，P，Q分别是边上的两动点，点P从点B开始沿方向运动，速度为每秒，到达A点后停止；点Q从A开始沿的方向运动，速度为每秒，到达B点后停止，它们同时出发，设出发时间为秒． (1)__________，边上的高__________，当点Q在边上运动时，用含t的代数式表示的长度为__________． (2)当t为何值时，点P恰好在边的垂直平分线上？并求出此时的长度． (3)当点Q在边上运动时，直接写出为等腰三角形时t的值． 勾股定理的最值问题题型5 1．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和4的的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的最小值，运用此方法，请你解决问题：已知，均为正数，且．则的最小值是（） A． B． C． D．6 2．如图，是边长为的等边三角形，为的角平分线，点E在边上，且，点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．如图由边长为正方形组成的的方格阵，点、、、都在格点上〔即行和列的交点处），、分别是、上的动点，则周长的最小值是（　　） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，，M是延长线上一点，，P是边上一动点，连接，作与关于对称（点D与点B对应），连结，则长的最小值是（   ） A．0.5 B．0.6 C． D． 5. 2024年9月22日是第七个中国农民丰收节，小彬用3D打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱粮仓模型，如图，现要在此模型的侧面贴彩色装饰带，使装饰带从柱底沿圆柱表面均匀地缠绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），则装饰带的长度最短为（    ）    A． B． C． D． 6. 如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为（     ）（杯壁厚度不计）． A． B． C． D． 7. 如图是一个房间的立体图形，其中，，，点M在棱上，且，N是的中点，已知壁虎要沿着墙壁，地面从点M爬行到N，则它需要爬行的最短路程为（   ）． A． B． C． D．10 8．如图是某个楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在B处发现E处有一块碎面包，则这只蚂蚁吃到这块碎面包所走的最短路程为（   ） A． B． C． D． 9．如图，四边形是长方形地面，长，宽，中间竖有一堵砖墙高，一只蚂蚱从点A爬到点C，则它至少要走（  ） A． B． C． D． 10．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是 ． 11．如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间长而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，已知，，一只蚂蚁从点爬到点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走 的路程． 12．如图，在平面直角坐标系中，依已知，，． (1)作出关于轴对称的； (2)求的面积； (3)若点在轴上，求的最小值． 13．一只蚂蚁在立方体的表面积爬行． (1)如图1，当蚂蚁从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？说出你的理由． (2)如图1，如果蚂蚁要从边长为的正方体的顶点A沿最短路线爬行到顶点C，那么爬行的最短距离d的长度应是下面选项中的 　　 （A）（B） （C） （D） 这样的最短路径有 　　条． (3)如果将正方体换成长，宽，高的长方体（如图2所示），蚂蚁仍需从顶点A沿表面爬行到顶点E的位置，请你说明这只蚂蚁沿怎样路线爬行距离最短？为什么？（可通过画图来说明） 14．【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20．宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为___________，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，则蚂蚁爬行的最短距离为___________．- 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行计算） 勾股定理与逆定理的综合题型6 1. 如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形面积为4，若用，表示直角三角形的两条直角边长（），下列四个说法： ①；②；③；④，其中正确的说法是（　　）    A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 2．如图，在中，，，为中点，，分别是，两边上的动点，且，下列结论：①；②的周长不变；③；④，分别表示和的面积，则．其中正确的结论有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 3．如图，在中，，以点A为圆心，以的长为半径作弧交于点D，连接，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，连接．有下列结论①，②垂直平分，③，④平分，⑤．则下列结论正确的个数有（    ） A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②④⑤ D．②③④⑤ 4. 综合与实践：小嵊与小州两个同学在学习了“直角三角形全等的判定”后，对数学中重要的学习方法“构造法”，展开了课后探究． 【情景再现】 已知，如图1，在和中，，，． 下面是用“构造法”证明两个直角三角形全等的部分过程． 证明：如图1，延长至D，使，连接． 因为（已知），， 所以 所以（全等三角形的对应边相等）． … 所以 所以 【实践解决】 (1)请结合“情景再现”的证明过程，把“…”的部分补充完整； (2)小嵊进行了如下的思考：如图2，和都是等腰直角三角形，且．连接，若，，，求的长； (3)小州结合“构造法“进行进一步探究：如图3，是等腰直角三角形，，P是外一点，，，，求线段的长． 5. 如图，在中，，作的中点，过作，分别交、于、，我们称为等腰的“内接直角三角形”．设，． (1)如图①，当时，若，时，求内接直角三角形的斜边的长； (2)如图②，当时，若、分别在、的延长线上，则内接直角三角形的斜边满足：　 ；（用含a，b的式子表示） (3)拓展延伸：如图③，当时，与a，b还满足（2）的关系式吗？若满足，证明你的结论；若不满足，请探索与a，b满足的数量关系式，并证明你的结论． 压轴真题题型7 一、选择题 1．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，是边上的高，，两点分别在，上，连接，．若，，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，以直角三角形的每一条边为边向上作三个正方形，其中阴影部分的各个几何图形面积与相等的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的 “赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点P．如图所示，若，，则正方形的面积为（    ） A．28 B．29 C．30 D．24 4．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，三棱柱每个侧面都是长方形，其高为，底面为直角三角形，其直角边长分别为，，围绕三棱柱的侧面，从顶点A到顶点镶有一圈金属丝，则这圈金属丝的长度至少为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，，是边上的一个动点，连结，将沿折叠得到，点的对应点为．当为直角三角形时，的长为 ． 6．（25-26九年级上·甘肃武威·期末）如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“三角形”．在中，，若是“三角形”，则的长等于 ． 7．（25-26八年级上·江苏苏州·期末）如图，数轴上点所表示的数为，点、、是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于点，．点表示的数记为，点表示的数记为，则的值为 ． 8．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术注》中指出：“勾、股幂合为弦幂，明矣．”也就是说，图1中直角三角形的三边a、b、c存在的关系．他在书中构造了一些基本图形来解决问题，如图2，将以a为边长的正方形和b为边长的正方形置于以c为边长的大正方形的左下角和右上角，若，则 ． 三、解答题 9．（25-26八年级上·广东揭阳·期中）如图，点，点分别为轴正半轴、轴负半轴上的点，以点为直角顶点在第二象限作等腰． (1)如图1，若、满足，求点的坐标 (2)在x轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点M在上，点N在的延长线上，，请证明：． 10．（25-26八年级上·上海青浦·期末）如图，在直角三角形纸片中，，，，点是射线上的动点（点不与点重合）． 【数学活动】 将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片使点与点重合，然后展开铺平，得到折痕；第二步：连接，然后将沿直线翻折得到，点的对应点分别是点，直线与边所在直线交于点． 【数学思考】 （1）沿直线翻折至图1的位置时，试判断与的数量关系，并证明你的结论： 【数学探究】 （2）①将翻折至图2所示位置时，若直线，求的长； ②翻折至与的某条边平行时，的长为_____． 11．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）【问题背景】 勾股定理的验证方法有几百种，常见的是用两种方式表示同一图形的面积，得到等量关系．如图1，将两张全等的直角三角形纸片（△△），按照图1的方式摆放，点与点重合，点，，，在一条直线上，连接，则可利用梯形面积的两种表示方式建立关于，，之间的等量关系，从而验证勾股定理． 【变式探究】 （1）智慧小组受此启发，将上述两张纸片按如图2的方式摆放，点与点重合，点在边上，连接，，线段与交于点． ①图2中线段与的位置关系为　　 ； ②智慧小组发现四边形的面积可以表示为以或为公共底边的两个三角形的面积之和，也可表示为梯形与△的面积之差．请按照这样的思路利用四边形的面积验证勾股定理； 【拓展应用】 通过图形的分割和重组，利用图形的面积不仅可以证明线段之间的关系，还可以计算线段的长度． （2）如图3，在△中，，于点，，．取边上的点，连接，使得．点是边上的一个动点，过点作和的垂线，垂足分别为点，．若，求的长． 12．（25-26八年级上·山西临汾·期末）阅读与思考 美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为，较短直角边为，斜边长，用面积法得到直角三角形三边长、、之间的一个重要结论：． (1)已知：，，，．求证． 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：∵四个直角三角形全等，且，， ∴正方形的边长为__________， ∵，且（等面积法）， ∴__________＋__________， ∴． (2)如图2，四边形是直角梯形，，，，， 其中，． ①求证：； ②仿照（1）用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：． (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，则这个风车图案的面积为__________． 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图①，，两单位分别位于一条封闭街道的两旁，直线，是街道两边沿，现规划修建一座过街人行天桥． (1)天桥应建在何处才能使由单位经过天桥走到单位的路程最短？在图②中作出此时桥的位置，简要叙述作法并保留作图痕迹（注：桥的宽度忽略不计，桥必须与街道垂直）． (2)根据图①中提供的数据计算由单位经过天桥走到单位的最短路线的长（单位：）． 14．（25-26八年级上·广东清远·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点，，点C在y轴的负半轴上．若将沿直线折叠，使点B恰好落在x轴正半轴上的点D处．直线与直线相交于点E． (1)判断直线与直线的位置关系，说明理由； (2)若点P是x轴上一动点，且的面积是的面积的，求出点P的坐标； (3)点Q在第一象限内，当为等腰直角三角形时，求出点Q的坐标． 15．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）小星学习了最短路径问题后，做了一个高为，底面圆的周长为的圆柱（如图①），他在圆柱下底面的点处放了一只蚂蚁，请结合以上描述完成下列任务． 任务一：蚂蚁想吃到圆柱侧面上与点相对的中点处的食物，则它沿圆柱侧面爬行的最短路程是___________ 任务二：小星把圆柱的高变为，底面圆的周长不变（如图②），他把蚂蚁放在底部处，帮蚂蚁设计了一条沿圆柱侧面爬行的最短路径去吃上底面上与点相对的点处的食物，吃完后再设计另一条与前一条不一样的最短路径回到点处（此时两点重合）小星沿着竖直方向将圆柱剪开，得到长方形（如图③，当他分别画出这两条路径时，猜想平分，请根据题意，在图③中补全图形，并判断他的猜想对吗？请说明理由． 任务三；小星准备了一张边长为的正方形纸片（如图④），点为中点，他将沿对折到正方形内部的位置，并把线段抹上了蜂蜜，他把蚂蚁放在点处，不计蜂蜜的宽度，你能帮小星计算出蚂蚁能吃到蜂蜜的最短路程吗？请写出解答过程． 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 勾股定理相关重难点题型分类 【题型1：勾股定理的证明 1】 【题型2：勾股定理中的面积问题 4】 【题型3：勾股定理与折叠问题 8】 【题型4：勾股定理中动点问题 19】 【题型5：勾股定理的最值问题29】 【题型6：勾股定理与逆定理的综合 43】 【题型7：压轴真题 52】 勾股定理的证明题型1 1. 勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题最重要的工具之一．下列图形中可以证明勾股定理的有（    ）    A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 【详解】解：①，， ∴， 整理得， 故①满足题意； ④或， ∴， ∴， 故④满足题意； ②没有体现直角三角形斜边的长度，故②不符合题意； ③无法证明直角三角三边关系，故③不符合题意；故选：D 2．如图所示，意大利著名画家达▪芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，证明了勾股定理．若设图1中空白部分（两个正方形和两个直角三角形组成）的面积为，经过以下裁剪，翻转，拼出图2，其中空白部分的面积为，嘉琪同学得出了以下四个结论：①；②；③；④．则其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【详解】解：由勾股定理得：， 由题意得：， 故①，②，③，④正确， 故选：D． 3．《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是证明了勾股定理和对勾股算术算法进行了推广．书中的证明方法是将4个三边长分别为，，的全等直角三角形拼成如图1所示的五边形，然后通过添加辅助线，用面积法证明勾股定理．下面是小华给出的相关证明： 如图2，延长交_____①_____于点． 用两种不同的方法表示五边形的面积： 方法一：将五边形看成是由正方形与，拼成，则_____②_____． 方法二：将五边形看成是由_____③_____，正方形，，拼成，则． 根据面积相等可以得到_____④_____，即．         　 则下列说法错误的是（    ） A．①代表 B．②代表 C．③代表正方形 D．④代表 【详解】解：如图所示，延长交于G， 方法一：将五边形看成是由正方形与，拼成，则； 方法二：将五边形看成是由正方形，正方形，，拼成，则 ， 根据面积相等可以得到，即， 故选：C． 4．【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第117页的部分内容． 把两个全等的直角三角形拼成如图所示的形状，使点、、在同一条直线上，利用此图的面积表示式证明勾股定理． 请结合图①，写出完整的证明过程； 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴=， ∴． 勾股定理中的面积问题题型2 1．如图，在中，，，，以三角形各边为直径作半圆，其中两半圆交于点，阴影部分面积分别记作和，则，之间应满足的等式是 ． 【详解】解：中，， ， ， ， 故答案为：． 2．如图，以的三边为直径，分别向外作半圆，构成的两个月牙形面积分别为、，的面积，若，，则的值为 ． 【详解】解：设的三边分别为，则， 观察图形可得：， 即， ， ， ， 故答案为：8． 3．如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，若，则图中阴影部分的面积为 ． 【详解】解：在中，，， ∴， 则阴影部分的面积 ， 故答案为：12． 4．如图，在中，，以，和为边向上作正方形和正方形和正方形，点落在上，若，空白部分面积为，则图中阴影部分的面积是 ． 【详解】解：如图， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ∵，即， ， 在中，， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积和三个正方形面积三角形面积倍空白部分面积 ． 故答案为：． 5．如图，已知在中，，，，分别以，、为直径作半圆，则阴影部分的面积等于 ． 【详解】解：∵， ∴， ∴直径为的半圆的面积直径为的半圆的面积直径为的半圆的面积 ， 故答案为：24． 勾股定理与折叠问题题型3 1．如图，在中，，，点为线段上的一个动点，将沿直线折叠，使点的对应点落在射线上，连接，若的某一直角边等于斜边长度的一半时，则的长为 ． 【详解】解：由翻折得，，分三种情况： ①当点在边上，且（即）时， ， 由勾股定理得，， 即， ， ， ； ②当点在的延长线上，且（即）时，同理得， ， ； ③当点在的延长线上，且（即）时， 由勾股定理得，， 即， ， ， ， ， ，此时点不在边上，不符合题意，舍去， 综上，当的某一直角边等于斜边长度的一半时，的长度为，． 故答案为：，． 2．如图，在，，，，，点是边上一动点． 连接，将沿折叠，得到，其中点落在处，交于点，当为直角三角形时，的长度是 ． 【详解】解：在，，，，， ∴，， ∴， 如图所示，时，是直角三角形， ∵折叠， ∴，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 如图所示，，是直角三角形， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长度为或， 故答案为：或 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为 ． 【详解】解：，，， ，， ， 由折叠得，， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 4．如图，在中，，点D是上一点，连接，将沿折叠至．连接，若，，平分交于点E，且，则的长为 ． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∴在中，；在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．如图，在中，，，点在边上运动，点在边上运动．将沿折叠，当点的对应点恰好落在边的三等分点处，此时 ． 【详解】解：如图，当时， 设， ∴， ∵， ∴， 解得：，即， 如图，当时， 设， ∴， ∵， ∴， 解得：，即， 综上：为或， 故答案为：或． 6．如图，在中，，，，将折叠，使点与重合，得折痕，则的长等于 ． 【详解】解：设，则， 由折叠可得：， ∵， ∴，则， 解得：， ∴． 故答案为：． 7．如图，在中，，，，点D在边上，把沿直线折叠，使得点B的对应点落在的延长线上，则 ． 【详解】解：在中，，，， ∴ 由折叠得，，， ∴ 设，则， 在中，， ∴，解得， ∴． 故答案为：3． 8．如图，直角三角形纸片中，，将，分别沿着，折叠，使点B，C恰好都落在F点，且D，F，G三点共线．已知，，则 ． 【详解】解：，分别沿着，折叠，使点B，C恰好都落在F点， ，，，， ， ， ， ， 设，则， 在中，， 解得， 即的长为 故答案为： 9．如图，在直角三角形纸片中，，，，沿将纸片折叠，使点落在边上的点处，再折叠纸片，使点与点重合，折痕分别与，交于点，，连接，则的长为 ． 【详解】解析：解：沿将纸片折叠，使点落在边上的点处， ，． 折叠纸片，使点与点重合， ，． ， ， ， ， ， 设，则． ， 解得， ， 故答案为：． 10．如图，在长方形ABCD中，AB = 5，AD = 3，点E是BC边上一点，沿AE将△ABE折叠，点B的对称点恰好落在CD边上的点F处，再作∠DAF的平分线交CD边于点H，连接EH，则△EFH的面积是 【详解】解： 长方形ABCD，折叠， 设 则 即 如图，过作于 而平分 经检验符合题意； 故答案为：． 11．一数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用，如图，将一张长方形纸片放在平面直角坐标系中，点A与原点O重合，顶点B、D分别在x轴、y轴上，P为边上一动点，连接，将沿折叠，点C落在点处． (1)若，，如图1，连接，当点在线段上时，求点P的坐标． (2)在（1）的条件下如图2，当点P与点D重合时，沿将折叠得，与x轴交于E点，求的面积． (3)若，，当为等腰三角形时，求点P的坐标． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵将沿折叠，点C落在点处， ∴，，， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； （2）解：∵， ∴， ∵沿将折叠得， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得， ∴， ∴的面积； （3）解：①如图，当时，连接，则点在线段垂直平分线上，也在线段垂直平分线上，    ∴， 由折叠得，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∴， ∴点P的坐标为； ②如图，当时，连接， 由折叠得，，， ∴， 在中，， ∴（不合题意）， 故这种情况不存在； ③如图，当时，    由折叠得，，， ∴， ∴点落在上的中点处， 此时，， ∴， ∴ ∴， ∴点P的坐标为； 综上所述，当为等腰三角形时，点P的坐标为或． 故答案为：或． 勾股定理中动点问题题型4 1．如图，在中，，点M在上，，过点A作射线（与在同侧），若动点P从点A出发，沿射线匀速运动，运动速度为，设点P的运动时间为， (1)当_______时，． (2)在（1）的条件下，求证：． (3)连接，是否存在某个t的值，使得是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵， ∴当时， ∵ ∴根据题意 ∴； （2）证明：， ， 而， ， ， ． （3）解：存在． 在中，， ， ． 过点作于点H，则． ①当时，是等腰三角形， ∴； ②当时，是等腰三角形， 则， ， ③当时，是等腰三角形， 则， ， 在中， ， ， 解得． 综上所述，当t为10s或12s或时，是等腰三角形． 2．如图，在中，是的角平分线．动点P从点A出发，以的速度沿折线向终点B运动．过点P作，交于Q．以为边作等边三角形，且点C、E在的同侧．设点P的运动时间为与重合部分的图形面积为． (1)当点P在线段上运动时，判断的形状（不必证明），并直接写出的长（用含t的代数式表示）； (2)当点E与点C重合时，求t的值； (3)求S关于t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围． 【详解】（1）解：过点作于点，如图： 由题意得：， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∵在中，， ∴，， ∴； ∴； （2）解：如图： ∵为等边三角形， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：当点在上，点在上，重合部分为，过点作于点， 如图： ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 由（2）知，当点E与点C重合时，， ∴ ； 当点在上，点在延长线上时，记与交于点，此时重合部分为四边形，如图： ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 当点与点重合时，在中，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，； 当点在上，重合部分为，如图： ∵，， 即可得， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当点与点重合时，， 解得：， ∴ ， 综上所述：． 3．如图，中，，，，若动点M从点C出发，沿着的三条边顺时针走一圈回到C点，且速度为每秒，设出发的时间为t秒． (1)当t＝ 时，平分； (2)求t为何值时，为等腰三角形？ (3)另有一点N，从点C开始，沿着的三条边逆时针走方向运动，且速度为每秒，若M、N两点同时出发，当M、N中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当 s时，直线把的周长分成相等的两部分？ 【详解】（1）解：过点M作于D， 则， 平分， ， ，，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 设，则， 在中， ， 解得：， ， 即当t为3时，平分； （2）解:①当点M在上，如图，时，， 则； ②当点M在上，时，过点C作于D， ， ， 在中，， ，为边上的高， ， ， ， 则， 当时，， ， ， 当时， ，， ， ， ， ③当点M在边上时，不能构成三角形； 综上所述，当或或12或13时，为等腰三角形； （3）解：分两种情况： ①M、N相遇前，当M点在上，N在上，如图所示： 则， ； ②在M、N相遇后，当M点在上，N在上，如图所示： 则， ； 为4或12时，直线把的周长分成相等的两部分．故答案为：4或12． 4．如图，已知△ABC中，，，，P，Q分别是边上的两动点，点P从点B开始沿方向运动，速度为每秒，到达A点后停止；点Q从A开始沿的方向运动，速度为每秒，到达B点后停止，它们同时出发，设出发时间为秒． (1)__________，边上的高__________，当点Q在边上运动时，用含t的代数式表示的长度为__________． (2)当t为何值时，点P恰好在边的垂直平分线上？并求出此时的长度． (3)当点Q在边上运动时，直接写出为等腰三角形时t的值． 【详解】（1）解：，，， ． ∵，或， ∴，即， ∴． 当点Q在边上运动时，． 故答案为：，， （2）解：∵点在边的垂直平分线上，取的中点，作，交于，连接， ∴，，， ∵， ∴在中，，即， 解得：． 此时，此时走了； ， ∴点在边上， ． （3）解：分三种情况讨论： ①当时， ，解得； ②当时， ， ， ， ， ， ∴，解得； ③当时， 由（1）可知边上的高， ∴在中，． ， ∴，解得； 综上所述：当为6秒或秒或秒时，为等腰三角形． 勾股定理的最值问题题型5 1．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和4的的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的最小值，运用此方法，请你解决问题：已知，均为正数，且．则的最小值是（） A． B． C． D．6 【详解】解：如图： 可以看作两直角边分别是和的的斜边长，可以看作两直角边分别是和的的斜边长，故问题转化为求的最小值， 连接，当， ，共线时，的最小值为， ∵， ∴的最小值为 故选：C． 2．如图，是边长为的等边三角形，为的角平分线，点E在边上，且，点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：连接，，取的中点，连接， ∵是边长为12的等边三角形，是边上的高，点是边的中点， ∴垂直平分，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当，，三点共线时最小，最小值即为的长， 在中，， 在中，， ∴的最小值为， 故选：D． 3．如图由边长为正方形组成的的方格阵，点、、、都在格点上〔即行和列的交点处），、分别是、上的动点，则周长的最小值是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：如图，分别作点关于、的对称点、，连接交于，交于， ， 则，， ∵周长， ∴周长的最小值 ∴周长的最小值为， 故选：B． 4．如图，在中，，，，M是延长线上一点，，P是边上一动点，连接，作与关于对称（点D与点B对应），连结，则长的最小值是（   ） A．0.5 B．0.6 C． D． 【详解】解：如图，过点A作于点E，连接， ∵ 当点A在上时的值最小，如图， ∵，， ∴， 由折叠得：， ∵， ∴∠， 又∵， ∴， 在中中， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 故选C． 5. 2024年9月22日是第七个中国农民丰收节，小彬用3D打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱粮仓模型，如图，现要在此模型的侧面贴彩色装饰带，使装饰带从柱底沿圆柱表面均匀地缠绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），则装饰带的长度最短为（    ）    A． B． C． D． 【详解】解：根据题意，该圆柱的侧面展开图如图所示：    可转化为下图求解：    则，， ∴， ∴装饰带的最短长度为， 故选：D． 6. 如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为（     ）（杯壁厚度不计）． A． B． C． D． 【详解】解：如图： 将杯子侧面展开，作关于的对称点， 连接，交于点F，此时点、 、在同一条直线上， 则为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离，即的长度， 依题意，， 此时． 蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为， 故选：C． 7. 如图是一个房间的立体图形，其中，，，点M在棱上，且，N是的中点，已知壁虎要沿着墙壁，地面从点M爬行到N，则它需要爬行的最短路程为（   ）． A． B． C． D．10 【详解】解：将长方体侧面展开如图所示， ，， ， 是中点， ， ， ； 如图，过点作于点， 则，， ， ， ， 它需要爬行的最短路程为， 故选：D． 8．如图是某个楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在B处发现E处有一块碎面包，则这只蚂蚁吃到这块碎面包所走的最短路程为（   ） A． B． C． D． 【详解】解：将台阶展开，如图， ∵，， ∴根据勾股定理可得：， ∴， 故选：C． 9．如图，四边形是长方形地面，长，宽，中间竖有一堵砖墙高，一只蚂蚱从点A爬到点C，则它至少要走（  ） A． B． C． D． 【详解】解：如图所示： 将图展开，图形长度增加， 原图长度增加2米，则， 如图：连接， ∵四边形是长方形，，宽， ∴， ∴蚂蚱从A点爬到C点，它至少要走的路程． 故选：A． 10．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是 ． 【详解】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ，， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； 只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ，， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； 只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； ， 蚂蚁爬行的最短距离是25，故答案为：25. 11．如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间长而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，已知，，一只蚂蚁从点爬到点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走 的路程． 【详解】解：如图，将中间半圆柱的凸起展平，图形长度增加半圆周长， 原图长度增加， 则， 连接， ， 故答案为：． 12．如图，在平面直角坐标系中，依已知，，． (1)作出关于轴对称的； (2)求的面积； (3)若点在轴上，求的最小值． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）的面积为：； （3）解：如图，连接， ∴的最小值即为的长， 由勾股定理得，， ∴的最小值为． 13．一只蚂蚁在立方体的表面积爬行． (1)如图1，当蚂蚁从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？说出你的理由． (2)如图1，如果蚂蚁要从边长为的正方体的顶点A沿最短路线爬行到顶点C，那么爬行的最短距离d的长度应是下面选项中的 　　 （A）（B） （C） （D） 这样的最短路径有 　　条． (3)如果将正方体换成长，宽，高的长方体（如图2所示），蚂蚁仍需从顶点A沿表面爬行到顶点E的位置，请你说明这只蚂蚁沿怎样路线爬行距离最短？为什么？（可通过画图来说明） 【详解】（1）解：沿线段爬行；理由如下： 如图所示，根据两点之间线段最短，沿线段爬行即可； （2）解：如图所示： 最短路径的长度为， ，即， 如图所示： ∴路线有6条， 故选：D；6； （3）解：蚂蚁爬行的最短路线是沿面和面展开后所连接的线段；理由如下： 如图2.1和图2.2所示作图，分别连接， 图2.1中； 图2.2中； ， 图2.2中的路径最短． 14．【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20．宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为___________，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，则蚂蚁爬行的最短距离为___________．- 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行计算） 【详解】解：（1）由题意得， 故答案为：； （2）将圆柱体展开，由题意得 ， 故答案为：； （3）如图， 从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作交延长线于点，连接交于点， ，, ， ， ， 蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是． 勾股定理与逆定理的综合题型6 1. 如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形面积为4，若用，表示直角三角形的两条直角边长（），下列四个说法： ①；②；③；④，其中正确的说法是（　　）    A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【详解】解：如图所示， ∵正方形的面积为49， ∴，    ∵是直角三角形， ∴根据勾股定理得：，故①正确； ∵正方形的面积为4， ∴， ∴，故②正确； 由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积， 列出等式为， 即，故③错误； 由，得， 又∵， 两式相加得：， 整理得：， ，故④错误； 故正确的是①②． 故选：A． 2．如图，在中，，，为中点，，分别是，两边上的动点，且，下列结论：①；②的周长不变；③；④，分别表示和的面积，则．其中正确的结论有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【详解】解：∵，，为中点，， ∴， ，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故结论①正确； ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵点是边上的动点， ∴的长度是变化的， ∴的值是变化， ∴的周长是变化的，故结论②错误； ∵， ， ∴，故结论③正确； ∵的面积， 当时，的值最小， 此时，， 当点与或重合时，最大为， ∴，故结论④正确； ∴正确的结论有①③④． 故选：C． 3．如图，在中，，以点A为圆心，以的长为半径作弧交于点D，连接，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，连接．有下列结论①，②垂直平分，③，④平分，⑤．则下列结论正确的个数有（    ） A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②④⑤ D．②③④⑤ 【详解】解：由作图过程可知， 射线平分， 平分， 故④正确； 在中，， ， ， ，， ， ，， 故①正确； ， ， ， ， 垂直平分， 故②错误； ， 故③正确； ， ， ， ， ， 故⑤正确； 综上所述，结论正确的个数有①③④⑤， 故选：B． 4. 综合与实践：小嵊与小州两个同学在学习了“直角三角形全等的判定”后，对数学中重要的学习方法“构造法”，展开了课后探究． 【情景再现】 已知，如图1，在和中，，，． 下面是用“构造法”证明两个直角三角形全等的部分过程． 证明：如图1，延长至D，使，连接． 因为（已知），， 所以 所以（全等三角形的对应边相等）． … 所以 所以 【实践解决】 (1)请结合“情景再现”的证明过程，把“…”的部分补充完整； (2)小嵊进行了如下的思考：如图2，和都是等腰直角三角形，且．连接，若，，，求的长； (3)小州结合“构造法“进行进一步探究：如图3，是等腰直角三角形，，P是外一点，，，，求线段的长． 【详解】（1）证明：如图，延长至D，使，连接． ∵（已知），， ∴ ∴（全等三角形的对应边相等）． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 所以； （2）解：和都是等腰直角三角形，， ，，， 即， 在和中， ， ， ， 是等腰直角三角形，， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ∴的长为3； （3）解：如图，以为直角边在的下面作等腰直角三角形，使，，连接交于点， ，， ，， ，， ， ， ， 即， 同理， ，， ， ， ， 又， ， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 线段的长为． 5. 如图，在中，，作的中点，过作，分别交、于、，我们称为等腰的“内接直角三角形”．设，． (1)如图①，当时，若，时，求内接直角三角形的斜边的长； (2)如图②，当时，若、分别在、的延长线上，则内接直角三角形的斜边满足：　 ；（用含a，b的式子表示） (3)拓展延伸：如图③，当时，与a，b还满足（2）的关系式吗？若满足，证明你的结论；若不满足，请探索与a，b满足的数量关系式，并证明你的结论． 【详解】（1）解：如图，过点作的垂线交的延长线于点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴； （2）解：如图，过点作的垂线交的延长线于点，连接， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，， 即， 故答案为：； （3）解：与a，b不满足（2）的关系式，存在新的数量关系式为：， 证明：如图，过点作的平行线交的延长线于点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点， ∵，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，，， ∴，， ∴， 在中，， 即． 压轴真题题型7 一、选择题 1．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，是边上的高，，两点分别在，上，连接，．若，，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，将最小值转化为的长是解题的关键． 连接，由等腰三角形的性质可知得，在中，由勾股定理得，当，，三点共线时，的最小值是的长，利用等面积法求出的长即可． 【详解】解：，，， ， 在中，， 当，，三点共线时，的最小值是的长， 如图，连接， 当时，最短， ，即的最小值是． 故选：B． 2．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，以直角三角形的每一条边为边向上作三个正方形，其中阴影部分的各个几何图形面积与相等的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握手拉手的全等模型是解题的关键． 如图连接，证，得到，证，得到三点共线且，再证，由勾股定理，得，结合全等，得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 根据题意，可知四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， 又， ， 是直角三角形， ， 三点共线， ； ，， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 根据勾股定理，可知正方形的面积等于正方形面积之和， ， 又，， ， ； 综上所述，可知图形①、②的面积与的面积相等． 故选：A． 3．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的 “赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点P．如图所示，若，，则正方形的面积为（    ） A．28 B．29 C．30 D．24 【分析】首先证明出，得到，然后证明出，得到，，推出，得到，然后由得到，相加求出，进而求解即可． 【详解】解：如图所示，设，交于点M ∵，，， ∴， ∴， ∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴得， ∴ ∴正方形的面积． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了“赵爽弦图”，全等三角形的性质和判定，完全平方公式的变形应用，勾股定理等知识点，正确理解题意，利用勾股定理和三角形全等的性质是解题的关键． 4．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，三棱柱每个侧面都是长方形，其高为，底面为直角三角形，其直角边长分别为，，围绕三棱柱的侧面，从顶点A到顶点镶有一圈金属丝，则这圈金属丝的长度至少为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了三棱柱的侧面展开图，两点之间线段最短，勾股定理．将三棱柱侧面展开得出矩形，求出矩形对角线的长度即可． 【详解】解：如图为三棱柱的侧面展开图， ∵底面为直角三角形，其直角边长分别为，， ∴斜边长为， ∴，，， ∴， 故选：B． 二、填空题 5．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，，是边上的一个动点，连结，将沿折叠得到，点的对应点为．当为直角三角形时，的长为 ． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及折叠的性质． 先通过等腰三角形三线合一求出相关线段的长度，再根据折叠的性质得到，，．由于当为直角三角形，且，因此只能，分点在上方或者下方来讨论即可． 【详解】解：过点作于点，延长交于点． ，， ， ， 由折叠可得，，． 当为直角三角形时，只能， ∴， 当点在上方时： ，， ， ， ， ； 当点在下方时： ，， ， ， ， ； 综上所述，的长为1或7， 故答案为：1或7．　 6．（25-26九年级上·甘肃武威·期末）如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“三角形”．在中，，若是“三角形”，则的长等于 ． 【分析】本题考查勾股定理的应用，需分两种情况讨论：边上的中线等于、边上的中线等于，结合勾股定理计算的长度，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，不可能等于斜边，故无需考虑斜边的情况． 【详解】解：分两种情况计算： 当边上的中线等于时，如图1，， ∵，为边上的中线且， ∴， 在中，根据勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）， 可得， 当边上的中线等于时，如图2， 设的长为x，则边上的中线，， 在中，根据勾股定理， ， 代入，，， 得， 解得（边长为正，舍去负根）． 综上所述，的长为或． 7．（25-26八年级上·江苏苏州·期末）如图，数轴上点所表示的数为，点、、是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于点，．点表示的数记为，点表示的数记为，则的值为 ． 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，整式的运算，正确数形结合分析是解题关键． 根据图形，由勾股定理得出的长度，再得出、的值，即可求出的值． 【详解】解：观察图像可得， ∴， 故，， ∵， ∵， ， ∴， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术注》中指出：“勾、股幂合为弦幂，明矣．”也就是说，图1中直角三角形的三边a、b、c存在的关系．他在书中构造了一些基本图形来解决问题，如图2，将以a为边长的正方形和b为边长的正方形置于以c为边长的大正方形的左下角和右上角，若，则 ． 【分析】此题考查了勾股定理，多项式乘以多项式，求算术平方根，根据阴影面积等于边长为c的正方形面积减去边长为b的正方形面积即可表示；先求出，再根据得到，再根据，即可求出答案． 【详解】解：图中阴影部分的面积为， 如图所示：    ， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵，即， ∴， 故答案为：． 三、解答题 9．（25-26八年级上·广东揭阳·期中）如图，点，点分别为轴正半轴、轴负半轴上的点，以点为直角顶点在第二象限作等腰． (1)如图1，若、满足，求点的坐标 (2)在x轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点M在上，点N在的延长线上，，请证明：． 【分析】此题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、坐标与图形等知识， （1）过点作轴于．求出，，证明， 则，，求出，即可得到答案； （2）设点P的坐标为，则，，求出，分两种情况分别进行解答即可； （3）过点作，使，连接、．证明， 则，，证明， 则，得到，则， 由勾股定理得到，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图：过点作轴于． ∵， ∴， ，， ，， ，， ∵是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ，，， ， ，， ， ； （2）存在； 设点P的坐标为，则， ∵，， ∴， 当时，则，得到，解得或（不合题意，舍去） ∴此时点P的坐标为； 当时，得到，解得或 ∴此时点P的坐标为或； 综上可知，点P的坐标为或或； （3）过点作，使，连接、． ， ， 在和中， ，，， ， ，， ， ， 在和中， ，，， ， ，， ， ， ． 10．（25-26八年级上·上海青浦·期末）如图，在直角三角形纸片中，，，，点是射线上的动点（点不与点重合）． 【数学活动】 将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片使点与点重合，然后展开铺平，得到折痕；第二步：连接，然后将沿直线翻折得到，点的对应点分别是点，直线与边所在直线交于点． 【数学思考】 （1）沿直线翻折至图1的位置时，试判断与的数量关系，并证明你的结论： 【数学探究】 （2）①将翻折至图2所示位置时，若直线，求的长； ②翻折至与的某条边平行时，的长为_____． 【分析】（1）根据折叠性质得到，从而证明． （2）①当时，利用平行线性质和折叠性质推导出，再结合求出，进而得到的长． ②当与的边平行时，分和两种情况讨论：时，利用三点共线和勾股定理列方程求解；时，通过角的等量关系推导线段相等，进而求出． 【详解】解：（1），理由如下： 折叠性质，，，， （直角三角形全等的判定定理）， ； （2）解：①设与的交点为， 由折叠可知： ，， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ，， 由折叠性质：，， ，， ，， ， ， ， ， ②当时， ， ∵，，， ，， ∵，， ， ， ，， ， 、、三点共线， 设，则，， 在中，， ∴， 解得：， ， 当时， 设与的交点为， ， ，， 由折叠性质：， ，， ，， 同（1）可得， ∵， ， ， ， 综上，的长为或． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质，熟练掌握折叠变换的性质以及分类讨论思想是解题的关键． 11．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）【问题背景】 勾股定理的验证方法有几百种，常见的是用两种方式表示同一图形的面积，得到等量关系．如图1，将两张全等的直角三角形纸片（△△），按照图1的方式摆放，点与点重合，点，，，在一条直线上，连接，则可利用梯形面积的两种表示方式建立关于，，之间的等量关系，从而验证勾股定理． 【变式探究】 （1）智慧小组受此启发，将上述两张纸片按如图2的方式摆放，点与点重合，点在边上，连接，，线段与交于点． ①图2中线段与的位置关系为　　 ； ②智慧小组发现四边形的面积可以表示为以或为公共底边的两个三角形的面积之和，也可表示为梯形与△的面积之差．请按照这样的思路利用四边形的面积验证勾股定理； 【拓展应用】 通过图形的分割和重组，利用图形的面积不仅可以证明线段之间的关系，还可以计算线段的长度． （2）如图3，在△中，，于点，，．取边上的点，连接，使得．点是边上的一个动点，过点作和的垂线，垂足分别为点，．若，求的长． 【分析】本题主要考查了面积法验证勾股定理．熟练掌握全等三角形性质，三角形外角性质，勾股定理，面积法求三角形高，三角形中线性质，三角形、梯形、对角线互相垂直的四边形面积公式，是解题的关键． （1）①根据，得，由三角形外角性质得，即得；②根据，得，根据 ，即得； （2）根据，得，推出，得，得，连接，得 ，结合，求得 【详解】解：（1）①∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． ②∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴． （2）∵在中，，，． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴． 12．（25-26八年级上·山西临汾·期末）阅读与思考 美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为，较短直角边为，斜边长，用面积法得到直角三角形三边长、、之间的一个重要结论：． (1)已知：，，，．求证． 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：∵四个直角三角形全等，且，， ∴正方形的边长为__________， ∵，且（等面积法）， ∴__________＋__________， ∴． (2)如图2，四边形是直角梯形，，，，， 其中，． ①求证：； ②仿照（1）用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：． (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，则这个风车图案的面积为__________． 【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，理解勾股定理解决问题的关键． （1）依据题意得，再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，然后用两种方法表示正方形的面积，即可解题； （2）①先根据角度关系，证出，随后根据“”证明即可；②由①中的全等，可得出，，再分别根据梯形面积公式以及等面积法将梯形转换为三个三角形的面积，得出两种表达方式，也可证出； （3）根据题意，先得出，设，则，根据勾股定理得，代入求出的值，最终可求出风车图案的面积． 【详解】（1）解：证明：∵四个直角三角形全等，且，， ∴正方形的边长为， ∵，且（等面积法）， ∴， ∴， 故答案为：、、． （2）解：①∵， ∴， ， ∴， 又∵，， ∴ ． ②∵， ∴，， ∴， ， 故， 化简得． （3）解：由题意，如下图： ∵外围轮廓的总长度为， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 将，代入可得， ， 解得， ∴小正方形的边长为， ∴风车的面积为：， 故答案为：． 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图①，，两单位分别位于一条封闭街道的两旁，直线，是街道两边沿，现规划修建一座过街人行天桥． (1)天桥应建在何处才能使由单位经过天桥走到单位的路程最短？在图②中作出此时桥的位置，简要叙述作法并保留作图痕迹（注：桥的宽度忽略不计，桥必须与街道垂直）． (2)根据图①中提供的数据计算由单位经过天桥走到单位的最短路线的长（单位：）． 【分析】（1）由经过天桥走到的最短路程为，由于是定值，因此只需要考虑使最短．因为它们是分散的两条线段，故先将其中一条平移，如图平移到，此时连接交于，即可得桥的位置； （2）过点作的垂线，垂足为，则由经过天桥走到的最短路线的长：，在中，运用勾股定理求出的长，即可求出最短路线的长． 【详解】（1）解：作法：①将点竖直向下平移到点，使（长度如题图①）， ②连接，与交于点， ③过点作于点， ④连接，． 天桥建在处能使由单位经过天桥走到单位的路程最短，如图①． （2）解：过点作的垂线，垂足为，如图②． 由（1）得，，， 连接， ， 在和中 ， ， ． 在中，，， ， 则， ． 故由单位经过天桥走到单位的最短路线的长为． 【点睛】本题主要考查了平移最短路线问题，全等三角形的判定与性质，勾股定理，有一定难度，根据“两点之间，线段最短”找到桥址的位置是解题的关键． 14．（25-26八年级上·广东清远·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点，，点C在y轴的负半轴上．若将沿直线折叠，使点B恰好落在x轴正半轴上的点D处．直线与直线相交于点E． (1)判断直线与直线的位置关系，说明理由； (2)若点P是x轴上一动点，且的面积是的面积的，求出点P的坐标； (3)点Q在第一象限内，当为等腰直角三角形时，求出点Q的坐标． 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质． （1）由折叠的性质得到，结合，，即可得到，进而证明； （2）由勾股定理得到，由折叠的性质可知，，进而得到，可得点D的坐标，设，由折叠的性质可知，，再根据勾股定理，求出的值，即可得到点C的坐标，求出的面积，根据“的面积是的面积的”得到，设点的坐标为，进而根据三角形面积公式计算即可； （3）分三种情况讨论：①当，；②当，；③当，，根据全等三角形的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：垂直，理由如下： 由折叠的性质得到， ，， ， ， 故直线与直线的位置关系是垂直； （2）解：在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，， ，， 在中，由勾股定理得：， 由折叠的性质可知，， ， 点的坐标是， 设，则， 由折叠的性质可知，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：，即， 点的坐标为， ∴， ∵的面积是的面积的， ∴， 设点的坐标为， ∴， 即， ∴， 解得：或． 即点P的坐标为或； （3）解：在第一象限内存在点Q，使为等腰直角三角形；理由如下： ①当，，则为等腰直角三角形， 如图，过点Q作轴于点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点Q的坐标为； ②当，，则为等腰直角三角形， 如图，过点作轴于点， 同理可证，， ，， ， 点Q的坐标为； ③当，，则为等腰直角三角形， 如图，过点Q作轴于点，轴于点， ， ， ， ， ， 在和中，，，， ， ，， 设点的坐标为， ， ，， ， 解得：， 则点的坐标为， 综上可知，第一象限内存在点，使为等腰直角三角形，点的坐标或或． 15．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）小星学习了最短路径问题后，做了一个高为，底面圆的周长为的圆柱（如图①），他在圆柱下底面的点处放了一只蚂蚁，请结合以上描述完成下列任务． 任务一：蚂蚁想吃到圆柱侧面上与点相对的中点处的食物，则它沿圆柱侧面爬行的最短路程是___________ 任务二：小星把圆柱的高变为，底面圆的周长不变（如图②），他把蚂蚁放在底部处，帮蚂蚁设计了一条沿圆柱侧面爬行的最短路径去吃上底面上与点相对的点处的食物，吃完后再设计另一条与前一条不一样的最短路径回到点处（此时两点重合）小星沿着竖直方向将圆柱剪开，得到长方形（如图③，当他分别画出这两条路径时，猜想平分，请根据题意，在图③中补全图形，并判断他的猜想对吗？请说明理由． 任务三；小星准备了一张边长为的正方形纸片（如图④），点为中点，他将沿对折到正方形内部的位置，并把线段抹上了蜂蜜，他把蚂蚁放在点处，不计蜂蜜的宽度，你能帮小星计算出蚂蚁能吃到蜂蜜的最短路程吗？请写出解答过程． 【分析】本题考查了勾股定理求线段的最短距离，等边三角形的性质与判定，折叠的性质； 任务一：根据题意画出圆柱的展开图，然后根据勾股定理，即可求解； 任务二：根据题意画出图形，证明是等边三角形，进而即可得出平分，即可求解； 任务三：连接，过点作于点，依题意，将沿对折到正方形内部的位置，则垂直平分，，进而根据等面积法求得，设，则，在中，，在中，，进而建立方程，求得的长，再根据勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：任务一，如图 依题意， ∴； 任务二：小星的猜想对，理由如下， 如图，取的中点，连接，取的中点，连接， ∵， ∴ 依题意， 在中，， 在中， ∴ ∴是等边三角形 ∴ 又∵ ∴， ∴ 即平分， 任务三： 如图，连接，过点作于点， ∵， ∴ 依题意，将沿对折到正方形内部的位置，则垂直平分，， ∴ ∴ 设，则， 在中，，在中， ∴ ∴ 解得：，即 ∴ ∴蚂蚁能吃到蜂蜜的最短路程为． 1 / 79 学科网（北京）股份有限公司 $