第13章三角形【三角形倒角常用模型】训练 2026--2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦几何角度计算，通过判断、填空、选择多题型训练，强化三角形内角和、外角性质及多边形内角和的综合应用，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何角度计算|多题|含零件合格判断、角度求解、图形剪拼问题|以三角形内角和为基础，推导外角性质，拓展至多边形内角和，形成"概念-推导-应用"逻辑链|

1. 一个零件的形状如图，按规定应等于，、应分别是和，现测量得 ，你认为这个零件合格吗？为什么？ 零件不合格． 延长 与 相交于点 ． ∵ ∴ ∵实际量得的 ， ∴这个零件不合格． ， ， ， 【知识点】燕尾形（飞镖型） 2. 如图所示，，，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. C 10 学科网（北京）股份有限公司 延长 交 ∴ 于点 ，由外角性质， ，即 ， ， ． 【知识点】三角形内角和的应用 3. 如图，点是内一点，已知， ，，则 度．在 ∵ ∴在 延长 中， 交 于点 ， ， ， ， 中， ． 【知识点】燕尾形（飞镖型） 4. 如图，求 度． ， ， ∴ 故答案为： ． ． 【知识点】不规则图形的多角求和；判断能否构成三角形 5. 如图， ． A EB C D 如图 ，连接 ，应用“ 字模型”， ， ， ． 如图 ，应用飞镖模型，∵ ∵ ∴ 如图 ，应用外角定理，∵ ， ， ； ， ， 又∵ ∴ 故答案为： ， ． ． 【知识点】三角形的外角定义及性质 6. 如图，在中，是高、的交点，若，求的度数． ． 直角 中利用三角形的内角和定理求得 的度数，然后在直角 中利用 外角的性质：三角形的外角等于不相邻的两个内角的和即可求解． ∵直角 ∴在直角 中， 中， ， ． 【知识点】三角形内角和的应用 7. 如图，于点 ，，，则 ． ∵ ， ∴ 又∵ ∴在 ， ， 中， ， ∴ ． ∴ ． 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 8. 如图，则 ． 同理 所以 利用两次飞镖模型，根据飞镖模型的角度关系 ， ． ， 故答案为： ． 【知识点】燕尾形（飞镖型） 1. 如图，的度数为多少度？ ． 略． 【知识点】三角形内角和的应用 2. 如图是由线段，，，，组成的平面图形，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. C 方法一：∵如图可知 ， ， 又∵ ∴ ， ， 方法二：在 中， ， 在中， ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， 在中， ， ， ∴ ， ∴ ． 故选 ． 3. 如图，直线、、相交于点，则的度数为 ．又∵ ∴ 又∵ ∴ 故选 ， ， ， ， ． 【知识点】蝴蝶型（8字倒角） 方法一：∵ ， ， ， ∴ ， ∵ ， ， ， ∴ ． 方法二：连接 ∴原式 后可得 “8”字 ， ． 【知识点】三角形内角和的应用 4. 如图所示，（ ）度． A. B. C. D. D 刚好可构成 所在四边形的内角和，所以答案选 ． 故选 ． 【知识点】求多边形的内角和 1. 如图，已知为直角三角形， ，若沿图中虚线剪去，则等于（ ）． A. B. C. D. C ． 【知识点】三角形内角和的应用 2. 如图，已知为直角三角形， ，若沿图中虚线剪去，则（ ）． A. B. C. D. C 在 ∴ ∵ ∴ 故选 中， ， ， ， ． ． 【知识点】三角形内角和的应用 3. 如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则 ． 略 【知识点】三角形内角和的应用 4. 如图，中， ，若沿图中虚线截去，则（ ）． A. B. C. D. B ∵ 中， ， ∴ ∴ 故答案为 ． ． ． 【知识点】三角形内角和的应用 $ 1. 一个零件的形状如图，按规定应等于，、应分别是和，现测量得 ，你认为这个零件合格吗？为什么？ 2. 如图所示，，，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 3. 如图，点是内一点，已知， ，，则 度． 4. 如图，求 度． 1 学科网（北京）股份有限公司 5. 如图， ． A EB C D 6. 如图，在中，是高、的交点，若，求的度数． 7. 如图，于点 ，，，则 ． 8. 如图，则 ． 1. 如图，的度数为多少度？ 2. 如图是由线段，，，，组成的平面图形，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 3. 如图，直线、、相交于点，则的度数为 ． 4. 如图所示，（ ）度． A. B. C. D. 1. 如图，已知为直角三角形， ，若沿图中虚线剪去，则等于（ ）． A. B. C. D. 2. 如图，已知为直角三角形， ，若沿图中虚线剪去，则（ ）． A. B. C. D. 3. 如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则 ． 4. 如图，中， ，若沿图中虚线截去，则（ ）． A. B. C. D. $ 1. 如图是一个六角星，其中， ． 方法一：如图，连接 和 ． 在 在 ∵ ∴ ∴ 中， 中， ． ， ， ， ． 同理可得， ∴原图中 方法二：由飞镖模型得： ． ． ， ． 10 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ． 【知识点】燕尾形（飞镖型） 2. 下图所示是一个星型角度的求和问题，试计算 的度数之和是 ． 图中存在两个“飞镖”模型，可得 ． 也可连接 ， ，利用“ ”字模型 【知识点】燕尾形（飞镖型） 3. 如图，，的角平分线交于点，若， ，则的度数为（ ）． A. B. C. D. C 根据 字模型易得 ． ∴ 即 ∵ ∴ ∴ ∴ ， ． ． ． ． ． 【知识点】三角形内角和的应用 4. 如图，七星形中（ ）． A. B. C. D. A 由三角形的外角性质得， ， ， 由三角形的内角和定理得： ∴ ， ， 故答案为 ，选 ． 【知识点】三角形内角和的应用 5. 如图，和中，，又有 ． A （ 1 ）求的度数． （ 2 ）判断与的位置关系，并对你的结论加以证明． （ 1 ） ． （ 2 ） ． （ 1 ）∵ ∴ ， 又∵ ∴ （ 2 ）由飞镖模型可知：又由⑴知 ． ， ， ∴ ， ∴ ． 【知识点】燕尾形（飞镖型） 1. 如图，已知中， ，若沿图中的直线剪去，则 ． ∵在 中， ， ∴ ， 又∵ ∴ ， 分别为 和 的补角， ， 故答案为 ． 【知识点】三角形内角和的应用 2. 如图，将一个正方形剪去一个角后，等于（ ）． A. B. C. D. D ∵ ． ∴ ∴ ． ． 【知识点】三角形内角和的应用 3. 如图，在中， ，若沿图中虚线截去，则（ ）． A. B. C. D. C 如图， ∵ ∴即 故选 ， 是 的外角， ， ， ． ． 【知识点】三角形内角和的应用 4. 如图所示，已知为直角三角形， ，若沿图中虚线剪去，则 ．． 【知识点】三角形内角和的应用 1. 如图， ． 如图，连接 、 ， ∵ 边形 ∴即 ∵ ∴ ∴ 的内角和 ， ， ， ， ， ， ， ∴ 故答案为： ． ． 【知识点】不规则图形的多角求和 2. 如图所示，的值等于（ ） ． A. B. C. D. A 方法一：如图，连接 、 ， 由“ ”字模型知 ， 故 ． 故选 ． 方法二：如图，连接 ， 由飞镖模型知 ， ． 【知识点】蝴蝶型（8字倒角） 3. 如图所示，求的度数 ． 如图， ， ， ， ∴ ， 又 ∴ ， ． 【知识点】三角形内角和的应用 4. 如图，，则（ ）． A. B. C. D. A ∵ ， ， ， ∴ ∵ ∴ ， ， ． 【知识点】三角形内角和的应用 图（ ） （ 3 ）图（）中的度数等于 ． 图（ ） （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） （ 1 ）如图（ ），连接 ， 图（ ） 则有 ∴ 故答案为： ， ． ． （ 2 ）同理，图（ ）中 ． 故答案为： ． （ 3 ）图（4）中 故答案为： ． ． 【知识点】三角形内角和的应用 6. 回答下列问题： （ 1 ）在图中，求的度数． （ 2 ）在图中，求的度数． （ 3 ）在图中，求的度数． （ 4 ）猜想， ． （ 1 ） ． （ 2 ） ． （ 3 ） ． （ 4 ） （ 1 ）方法一：如图，连接 后可以看出， 等于一个三角形的内角和． 方法二：用 个三角形的内角和减去两组五边形的外角和． （ 2 ）方法一：如图，连接 和 后可以看出，原式等于一个三角形与一个四边形的内角和之和． 方法二：用 个三角形的内角和减去两组七边形的外角和． （ 3 ）方法一：如图，连接 、 、 后，原式等于一个三角形与两个四边形内角和之和． 方法二：用 个三角形内角和减去两组九边形的外角和． （ 4 ）方法一： 每增加两个角，相当于在上一个图形的基础上增加一个四边形的内角和，故原式 ； 方法二： 观察图形中内部的 边形，原式相当于 个三角形的内角和减去两组 边形的外角和， ． 【知识点】不规则图形的多角求和 $ 1. 如图是一个六角星，其中， ． 2. 下图所示是一个星型角度的求和问题，试计算 的度数之和是 ． 3. 如图，，的角平分线交于点，若， ，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 4. 如图，七星形中（ ）． 1 学科网（北京）股份有限公司 A. B. C. D. 5. 如图，和中，，又有 ． A （ 1 ）求的度数． （ 2 ）判断与的位置关系，并对你的结论加以证明． 1. 如图，已知中， ，若沿图中的直线剪去，则 ． 2. 如图，将一个正方形剪去一个角后，等于（ ）． A. B. C. D. 3. 如图，在中， ，若沿图中虚线截去，则（ ）． A. B. C. D. 4. 如图所示，已知为直角三角形， ，若沿图中虚线剪去，则 ． 1. 如图， ． 2. 如图所示，的值等于（ ） ． A. B. C. D. 3. 如图所示，求的度数 ． 4. 如图，，则（ ）． A. B. C. D. 5. 在数学学习中，整体思想与转化思想是我们常用到的数学思想．如图（ ）中，求 的度数等于多少时，我们可以连接，利用三角形的内角和则有 ，这样、、、、的和就转化到同一个 中，即． 图（ ） （ 1 ）图（）中的度数等于 ． （ 2 ）图（）中的度数等于 ． （ 3 ）图（）中的度数等于 ． 图（ ） 图（ ） 图（ ） 6. 回答下列问题： （ 1 ）在图中，求的度数． （ 2 ）在图中，求的度数． （ 3 ）在图中，求的度数． （ 4 ）猜想， ． $