广东省湛江市第二十一中学2026-2027学年高三上学期开学考试数学试卷

《湛江市第二十一中学2026一2027学年第一学期高三开学考数学》参 考答案 1.B2.B3.C4.D 5.A6.D7.A8.C 9.BCD 10.ACD 11.BD 12.1 13.210 1 14.-2或2 15.【详解】(1)因为b2+c2-a2=2 becosA,又b2+c2-a2=bc, 所以2 bc cos A=bc,得 Cos 4=1 …4分 Aπ 又0<A<π，所以3. 。。。。。。。。。。。。。。。。。。 …6分 Asπ 1 )由)得3 S uc-besin.1P 2 2 ,得bc=4. …8分 又b=2C,解得b=2V2,c=√2， …10分 所以a2=b2+c2-bc=8+2-2V2×V2=6,故Q=V6 12分 所以△ABC的周长为a+b+c=V6+3V2】 …13分 n(AB）_n(AB）_4 16.【详解】(1)由题可知，n(A)=100.P(BA) 5,所以n(4) 1005 ,得 n(AB)802 n(4B)=80,又P(4B)= 6.所以nBn(B3,得(B)2D 结合已知可得2×2列联表： 有固定阅读习惯 无固定阅读习惯 合计 成绩优良 80 20 100 成绩一般 40 60 100 合计 120 80 200 2分 零假设H:阅读习惯与学业成绩水平没有关系 …3分 200(80×60-20×40)210 >10.828 因为 120×80×100×100 3 ,…6分 所以，依据小概率值α=0.001的独立性检验，没有充足的证据证明假设成立，即阅读习惯与学业成绩水 平有关系，且该结论犯错误的概率不超过0.001.… …7分 (2)有固定阅读习惯中成绩优良的有80人，成绩一般的有40人，所以组建的6人宣传小组中，成绩优良 80 40 的有80+40二4人，成绩一般的有80+402. 6× 6× 人， …8分 则X的可能取值为：1,2,3，… …9分 Px=1)-cC=41 C205 r-2g品Px--瓷- C205 所以X的分布列为： X 1 2 3 P 1 5 5 5 …l2分 E(X)=1x+2x3+3x=2 3 期 5 5 5 …13分 17.【详解】(1)~E,F分别是AC,AC的中点，EFCC, CC1平面ABC,EF⊥平面ABC,… …1分 又ACC平面ABC,.EF⊥AC, 2分 AB=BC,E是AC的中点，.BE⊥AC, 3分 又BE∩EF=E,BEc平面BEF,EFc平面BEF, …4分 .AC⊥平面BEF；. …5分 (2)由(1)可知，EF⊥AC,BE⊥AC,EF⊥平面ABC,又BEC平面ABC,:EF⊥BE, 以E为原点，EB,EC,EF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示6分 则E(0,00).BV5,00.C(0,10).D(0,-11).C(0,12) BC=(-2,10.CD=(0,-2,1),C℃=(0,0,2)， …7分 BC=0 -V2x+y=0 设平面BCD的法向量为万=(x,y2),则元-CD=0,即-2y+z=0 令x=1,可得i=(V2,2V) …8分 422W22 设平面BCD与直线CC所成角为B,则 0=ka(C引-22 2√22 故直线CC与平面BCD所成角正弦值为11. …10分 c3)因为F(00,2),G5,01 FG=(N2,0-.FG-元=V2+0-22=-2≠0， …11分 FG与i不垂直，… …12分 .FG与平面BCD不平行，… 13分 又FG寸平面BCD, …14分 ∴.FG与平面BCD相交. …15分 c-3 31 a 4621 a2=b2+c2 18.【详解】(1)由题意得： ,解得a=2,b=1,C=V5,…3分 x2 +y2=1 所以椭圆C的标准方程为4 …4分 (2设点P(,）,则41 ，即 …5分 由题意可知：4(-2,0)，4(2,0），则 469h0发 4)1 x0+2x0-26-4x-4 4 所以直线PA,PA的斜率之积为定值，该定值为4.9分 (3)由题意可知：直线P不垂直于坐标轴，且过点B(-3,0), 设P:x=my-3,m≠0，P(x,).(x,2) …10分 y= 4 联立方程x=my-3， 消去x可得(4+m2)少2-6my+5=0 …11分 则A=36m-204+m）>0,解得m>5， 6m 5 可得+%4+m,4什m, …12分 36m2 则-46+⅓=5-40 20 4Vm2-5 4+m2 4+m2 ,…13分 因为4(2,0).则4，=5. 5e方听-小5x生 4Wm2-5_10Wm2-5 可得△APQ的面积 4+m2 4+m2.…14分 设1=Vm2-5>0,则m2=2+5, 10t10 t2+9 91O5 93 9 所以 子2X?,当且仅当7，即=3，m=士4时，等号成立16分 t 5 所以△4，P的面积的最大值为3. …17分 B A2 19.【详解】(1)设等差数列{a,}的公差为d,由于3a,+24,=S,+6, 所以3(a+d)+2(a+2d)=5a+10d+6,解得d=-2. …3分 .=a,+n0-d=-r2+(a+ln (2)由(1)可得 2 …4分 若数列，}为单调递减数列，则S-S,<0对于n∈N恒成立， 所S-5.=[-a+旷+a+a+]-[+a+n]-a-2n<0在neN上恒成立，6分 则4<2n,所以4<(2m）m, 又数列2m}为递增数列，所以(2m）m=2×1=2,即4<2 故4的取值范围为(0,2) …8分 (3)若4=1，则a,=1+(n-1)×(-2)=-2n+3 …9分 根据题意数列也，}为： 第一组为：1,2°： 第二组为：-1,2°，2： 第三组为：-3,2°，2,22： … 第k组为：-2k+3,20,2,2,,2；…11分 则前k组一共 2+3+4++(k+1)=《+3h 2项，当k=6时，项数为27.…13分 故了0相当于是前6组的和再加上-11,2°，2这三项，即： I0=[1+(-1)++(-9)]+[2°+(2°+2)+…+(2°+2+…+2）]+(11+2°+2) 设9，=2”-1，则2”+(2°+2)+…+(2°+2++2可看成是数列c,}的前6项和 所，70=1-9)×6+2×（1-2)-6-11+1+2=27-24-2-6-11+3=88 2 1-2 …17分 湛江市第二十一中学2026—2027学年第一学期高三开学考 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．数据12，8，10，15，11的第60百分位数为（ ） A．11 B．11.5 C．12 D．10 2．曲线在处的切线斜率为（ ） A．3 B．1 C．2 D．0 3．若复数，则（ ） A． B． C． D．5 4．设集合，，则（ ） A． B． C． D． 5．已知圆：，直线：与圆相交于，两点．若，则实数（ ） A． B． C． D． 6．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）． A． B． C． D． 7．数列的前项和为，，，，则（ ） A． B． C． D． 8．一位飞镖运动员向一个目标投掷三次，记事件“第次命中目标”（）．已知，，，则的值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，，下列选项正确的是（ ） A． B．向量在向量上的投影向量是 C． D．与向量方向相同的单位向量是 10．在三棱锥中，平面，，，，则（ ） A．异面直线与所成的角为 B．点到平面的距离为 C．二面角的正弦值为 D．三棱锥各顶点均在半径为3的球的球面上 11．已知抛物线：，过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，则（ ） A．抛物线的准线方程为 B．若，则 C．的最大值为16 D．为钝角 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．由样本数据（1，2，3，…，10），求得回归直线方程为，且，，则相应于样本点的残差值为___________． 13．的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，则该展开式中的常数项为___________． 14．已知三个互不相同的实数，，经过适当排序后可成等差数列，再经过适当排序后也可成等比数列，则该等比数列的公比为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足． （1）求角； （2）若的面积为，且，求的周长． 16．（15分）在推进文化强国建设与中国式现代化的时代背景下，全民阅读已确立为国家文化战略，纳入法治保障体系，成为提升国民素养、厚植民族精神的基础性、战略性工程．为探究中学生阅读习惯与学业成绩是否存在关联，某校抽取成绩优良、成绩一般的同学各100名进行调查统计．记事件“成绩优良”，“有固定阅读习惯”，据统计，． （1）补全列联表，依据小概率值的独立性检验，能否推断阅读习惯与学业成绩水平有关？ 有固定阅读习惯 无固定阅读习惯 合计 成绩优良 100 成绩一般 100 合计 （2）为宣传全民阅读，从上述“有固定阅读习惯”的同学中以学业成绩水平按比例分层抽样，组建6人宣传小组．每次宣传时，需从宣传小组中选3人进行分享，记参与分享的同学中成绩优良的人数为，求的分布列与期望． 参考公式与数据：，其中． 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17．（15分）如图，在三棱柱中，平面，、、、分别为、、、的中点，，． （1）求证：平面； （2）求平面与直线所成角的正弦值； （3）证明：直线与平面相交． 18．（17分）已知椭圆：（）经过点，其右焦点为，左、右顶点分别为，． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点为椭圆上任意一点（不与左、右顶点，重合），求证：直线，的斜率之积为定值，并求出该定值； （3）若过点的直线与椭圆交于，两点，求的面积的最大值． 19．（17分）已知等差数列的前项和记为，满足． （1）求等差数列的公差； （2）若数列为单调递减数列，求的取值范围； （3）若，在数列的第项与第项之间插入首项为1，公比为2的等比数列的前项，形成新数列，记数列的前项和为，求． 学科网（北京）股份有限公司 $