第2章 4 课时1 一元二次方程的应用(一)-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测配套课件PPT（北师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦九年级上册“一元二次方程的应用”，通过矩形铁皮制作工具箱、古代勾股问题等实例导入，衔接方程解法知识，搭建从理论到实际应用的学习支架，涵盖几何图形、动态问题等应用类型。 其亮点是分层设计基础巩固与能力提升练习，融入《九章算术》古算题、种植园小路设计等情境，以数学眼光观察现实，用数学思维推理建模，借数学语言表达关系。助力学生发展应用意识，教师可实施分层教学，提升教学效果。

九年级数学 （上册）北师版 第二章 一元二次方程 4 一元二次方程的应用 课时1　一元二次方程的应用(一) C A 8 m 120 A D A C (1，4)或(2，2) INCLUDEPICTURE "学升·同步练测·数学·北师版·九年级上册（教用书版）/知识点1.tif" \* MERGEFORMAT 几何图形问题　　 (湖北武汉期中)小国同学从市场上买了一块长为80 cm，宽为70 cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长为x cm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3 000 cm2的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为( ) A．(80－x)(70－x)＝3 000 B．80×70－4x2＝3 000 C．(80－2x)(70－2x)＝3 000 D.80×70－4x2－(70＋80)x＝3 000 1题图 我国古代著作《九章算术》“勾股”章有一题“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高几何？”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈(1丈＝10尺，1尺＝10寸)，那么门的高为( ) A．96寸 B．86寸 C．62寸 D．28寸 某农场计划建造一个等腰梯形的菜园ABCD.如图所示，梯形ABCD的面积为50 m2，梯形菜园的下底DC比上底AB长4 m，高AE比上底AB短3 m，则AB＝______． 3题图 一个直角三角形的两条直角边长之比为5∶12，斜边长为26，则这个直角三角形的面积为______． (威海中考)如图，某校有一块长20 m、宽14 m的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路(图中阴影部分).小路把种植园分成面积均为24 m2的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 5题图 解：设小路的宽度为x m，则9块矩形地块可合成长为(20－4x)m，宽为(14－4x)m的矩形． 根据题意，得(20－4x)(14－4x)＝24×9， 整理，得2x2－17x＋8＝0， 解得x1＝ eq \f(1,2)，x2＝8(不合题意，舍去). 答：小路的宽度为 eq \f(1,2) m． INCLUDEPICTURE "学升·同步练测·数学·北师版·九年级上册（教用书版）/知识点2.tif" \* MERGEFORMAT 动态问题　　 如图，某海关缉私艇在点O处发现在正北方向相距18 n mile的点A处有一艘可疑船只，测得它正以24 n mile/h的速度向正东方向航行．该缉私艇随即调整方向，以30 n mile/h的速度航行，准备在点B处将其拦截．经过多长时间能拦截住该可疑船只？ 6题图 解：设经过x h能拦截住该可疑船只，则AB＝24x n mile，OB＝30x n mile. 在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2＋AB2＝OB2， 即182＋(24x)2＝(30x)2， 解得x1＝1，x2＝－1(不合题意，舍去). 答：经过1 h能拦截住该可疑船只． 如图，在菱形ABCD中，AC，BD交于点O，AC＝8 cm，BD＝6 cm，动点M从点A出发，沿AC的方向以2 cm/s的速度运动到点C，动点N从点B出发，沿BO的方向以1 cm/s的速度运动到点O，当其中一点停止运动时，另一点也随即停止运动．若点M，N同时出发，则出发几秒时，△MCN的面积为2 cm2? 7题图 解：设出发x s时，△MCN的面积为 2 cm2，且x<3. 根据题意，得 eq \f((8－2x)(3－x),2)＝2， 解得x1＝2，x2＝5(舍去). 答：出发2 s时，△MCN的面积为2 cm2. 如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙(墙足够长)和24 m长的围栏围成一个面积为40 m2的矩形场地．设矩形的宽为x m，根据题意可列方程( ) A．x(24－2x)＝40 B．x(24－x)＝40 C．2x(24－2x)＝40 D．2x(24－x)＝40 1题图 (河南开封期末)某小区决定对小区内一块长为30 m，宽为20 m的矩形空地进行改造，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为x m，则可列方程为( ) A．(30－x)(20－x)＝ eq \f(3,4)×20×30 B．(30－2x)(20－x)＝ eq \f(1,4)×20×30 C．30x＋2×20x＝ eq \f(1,4)×20×30 D．(30－2x)(20－x)＝ eq \f(3,4)×20×30 2题图 [传统文化]有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步．经过计算，你的结论是：长比宽多( ) A．12步 B．24步 C．36步 D．48步 如图，在长为32 m，宽为20 m的长方形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540 m2，则道路的宽为( ) A．1 m B．1.5 m C．2 m D．2.5 m 4题图 如图，一次函数y＝－2x＋6的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段AB上(不与点A，B重合)，过点P分别作OA和OB的垂线，垂足为C，D.当矩形OCPD的面积为4时，点P的坐标为______________________． 5题图 如图，小岛D在码头A正东方向的80 n mile处．已知当轮船甲从码头A出发以40 n mile/h的速度向正南方向行驶时，轮船乙同时从小岛D出发以50 n mile/h的速度向码头A行驶． 6题图 (1)两艘轮船出发多久后，它们之间的直线距离为50 n mile? (2)若轮船甲给正南方向的小岛B运送物资，当轮船甲到达小岛B后，发现运送物资不足，此时行驶到C处的轮船乙接到轮船甲发出的补充物资指令后，沿CB方向前往小岛B进行物资补充．若两艘轮船在上午7时出发，轮船乙在上午9时到达小岛B，试通过计算说明轮船甲何时向轮船乙发出需要补充物资的指令？ 解：(1)设轮船出发t h后，两艘轮船之间的直线距离为50 n mile，则轮船甲与码头A的距离为40t n mile，轮船乙与码头A的距离为(80－50t)n mile.根据题意，得(80－50t)2＋(40t)2＝502，解得t1＝1，t2＝ eq \f(39,41).答：两艘轮船出发1 h或 eq \f(39,41) h后，两艘轮船之间的直线距离为50 n mile. (2)设轮船甲出发x h后向轮船乙发出需要补充物资的指令，则CD＝50x n mile，AC＝AD－CD＝(80－50x)n mile，AB＝40x n mile，BC＝50(9－7－x)n mile.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2＋AC2＝BC2，即(40x)2＋(80－50x)2＝[50(9－7－x)]2，整理，得4x2＋5x－9＝0，解得x1＝1，x2＝－ eq \f(9,4)(不合题意，舍去)，∴7＋1＝8，∴轮船甲上午8时向轮船乙发出需要补充物资的指令． 如图，四边形ABCD为矩形，AB＝6 cm，AD＝4 cm.已知点Q从点A出发，沿AD以1 cm/s的速度向点D运动，点P从点B出发，沿BA以2 cm/s的速度向点A运动，已知P，Q两点分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也停止．设运动的时间为t s. 7题图 (1)当t为何值时，△PDQ的面积为6 cm2? (2)是否存在实数t，使得△PDQ为等腰三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 解：(1)根据题意，得AQ＝t cm，BP＝2t cm，0≤t≤3.∵四边形ABCD为矩形，AB＝6 cm，AD＝4 cm，∴DQ＝(4－t)cm，AP＝(6－2t)cm，∠A＝90°，∴S△PDQ＝ eq \f(1,2)DQ·AP＝ eq \f(1,2)(4－t)(6－2t)＝6.整理，得t2－7t＋6＝0，解得t1＝1，t2＝6.∵0≤t≤3，∴t＝1，∴当t＝1时，△PDQ的面积为6 cm2. (2)不存在实数t，使得△PDQ为等腰三角形．理由如下： 由(1)知DQ＝(4－t)cm，AP＝(6－2t)cm，AQ＝t cm，∴PQ2＝AQ2＋AP2＝t2＋(6－2t)2.∵△PDQ为钝角三角形，且为等腰三角形，∴DQ＝PQ，∴DQ2＝PQ2，即(4－t)2＝t2＋(6－2t)2， ∴t2－4t＋5＝0.∵Δ＝(－4)2－4×1×5＝－4<0，∴原方程没有实数根，∴不存在实数t，使得△PDQ为等腰三角形． $