第2章 2 课时4 用因式分解法求解一元二次方程-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测配套课件PPT（北师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦九年级上册“用因式分解法解一元二次方程”，从基础例题（如\(x(x-4)=0\)）入手，通过变式练习（如已知根写方程）衔接已学解法，搭建从概念到应用的学习支架，帮助学生构建完整解法体系。 其亮点在于分层设计（基础巩固与能力提升）和核心素养融入，如换元法解方程体现模型意识，十字相乘法专题强化推理意识。实例有结合几何的直角三角形边长问题，助力学生提升运算能力与应用意识，教师可利用分层资源实现精准教学。

九年级数学 （上册）北师版 第二章 一元二次方程 2 一元二次方程的解法 课时4　用因式分解法求解一元二次方程 C A x＋3＝0 C B D C D D 0 －4或2 INCLUDEPICTURE "学升·同步练测·数学·北师版·九年级上册（教用书版）/知识点1.tif" \* MERGEFORMAT 用因式分解法解一元二次方程　　 一元二次方程x(x－4)＝0的根是( ) A．x1＝1，x2＝4 B．x1＝1，x2＝－4 C．x1＝0，x2＝4 D．x1＝0，x2＝－4 (天津南开区期中)已知一元二次方程的两根分别为x1＝3，x2＝－4，则这个方程为( ) A．(x－3)(x＋4)＝0 B．(x＋3)(x－4)＝0 C．(x＋3)(x＋4)＝0 D．(x－3)(x－4)＝0 (山西大同期末)用因式分解法解一元二次方程(4x－1)(x＋3)＝0时，可将原方程转化为两个一元一次方程，其中一个方程是4x－1＝0，则另一个方程是__________． 用因式分解法解下列方程： (1)x(x＋4)＝3x＋12； 解：原方程可化为x(x＋4)＝3(x＋4). 移项，得x(x＋4)－3(x＋4)＝0. 因式分解，得(x＋4)(x－3)＝0. 于是得x＋4＝0或x－3＝0， ∴x1＝－4，x2＝3. (2)x2－4－2(2－x)＝0； 解：原方程可化为(x＋2)(x－2)＋2(x－2)＝0. 因式分解，得(x－2)(x＋2＋2)＝0， 即(x－2)(x＋4)＝0. 于是得x－2＝0或x＋4＝0， ∴x1＝2，x2＝－4. (3)9(x＋1)2－(2x－5)2＝0. 解：因式分解，得[3(x＋1)＋(2x－5)][3(x＋1)－(2x－5)]＝0， 即(5x－2)(x＋8)＝0. 于是得5x－2＝0或x＋8＝0， ∴x1＝ eq \f(2,5)，x2＝－8. INCLUDEPICTURE "学升·同步练测·数学·北师版·九年级上册（教用书版）/知识点2.tif" \* MERGEFORMAT 用合适的方法解一元二次方程　　 (贵州贵阳期末)解一元二次方程(x－1)2＝2(x－1)最适宜的方法是( ) A．直接开平方法 B．公式法 C．因式分解法 D．配方法 下列一元二次方程中，最适合用因式分解法来解的是( ) A．(x＋2)(x＋1)＝5 B．(x－6)2＝6－x C．x2＋5x－1＝0 D．18(4－x)2＝2 解下列方程：①3x2－27＝0；②2x2－3x－1＝0；③2x2－5x＋2＝0；④2(3x－1)2＝3x－1.较简便的方法是( ) A．①公式法，②配方法，③直接开平方法，④因式分解法 B．①因式分解法，②公式法，③配方法，④直接开平方法 C．①②直接开平方法，③公式法，④因式分解法 D．①直接开平方法，②公式法，③④因式分解法 (山东泰安期末)按照指定方法解下列方程： (1)x(x－2 eq \r(3))＋3＝0；(自选方法) 解：整理，得x2－2 eq \r(3)x＋3＝0. 配方，得(x－ eq \r(3))2＝0. 两边开平方，得x－ eq \r(3)＝0，解得x1＝x2＝ eq \r(3). (2)3x2－6x－2＝0；(配方法) 解：整理，得x2－2x＝ eq \f(2,3). 配方，得x2－2x＋1＝ eq \f(5,3)，即(x－1)2＝ eq \f(5,3). 两边开平方，得x－1＝± eq \f(\r(15),3)， 解得x1＝1＋ eq \f(\r(15),3)，x2＝1－ eq \f(\r(15),3). (3)x2－9＝2x＋6.(因式分解法) 解：整理，得x2－2x－15＝0. 因式分解，得(x－5)(x＋3)＝0， ∴x－5＝0或x＋3＝0，解得x1＝5，x2＝－3. (北京朝阳区期中)一元二次方程(x＋2)(x－4)＝x－4的解是( ) A．－2 B．－1 C．－1和4 D．－2和4 已知关于x的方程x2＋px＋q＝0有两个根6和－2，则二次三项式x2＋px＋q可分解因式为( ) A．(x＋6)(x＋2) B．(x＋6)(x－2) C．(x－6)(x－2) D．(x－6)(x＋2) 若直角三角形的两边长分别是方程x2－7x＋12＝0的两根，则该直角三角形的面积是( ) A．6 B．12 C．12或 eq \f(3\r(7),2) D．6或 eq \f(3\r(7),2) 若关于x的一元二次方程(2k－1)x2＋x－4k2＝0的一个根为1，则k的值为__． (山东东营期中)根据图中的程序，当输入一元二次方程x2－2x＝0的根x时，输出结果y的值为________． 5题图 解下列方程： (1)2(x－3)2＝x2－9; 　　 (2)x2－ eq \r(3)x－ eq \f(1,4)＝0. 解：(1)整理，得2(x－3)2－(x＋3)(x－3)＝0.因式分解，得(x－3)(x－9)＝0.于是有x－3＝0或x－9＝0，∴x1＝3，x2＝9. (2)∵a＝1，b＝－ eq \r(3)，c＝－ eq \f(1,4)，∴Δ＝(－ eq \r(3))2－4×1× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))＝4>0，则x＝ eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a)＝ eq \f(\r(3)±2,2)，∴x1＝ eq \f(\r(3)＋2,2)，x2＝ eq \f(\r(3)－2,2). [核心素养]为解方程x4－5x2＋4＝0，我们可以将x2视为一个整体，然后设x2＝y，则x4＝y2，将原方程化为y2－5y＋4＝0，解这个方程得y1＝1，y2＝4，所以原方程的解为x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2. 利用上述方法解方程： (1)(x2－2x)2＋x2－2x－6＝0； 解：设x2－2x＝t，原方程可化为t2＋t－6＝0，解得t1＝－3，t2＝2.当t＝－3时，x2－2x＝－3，即x2－2x＋3＝0，此方程没有实数根；当t＝2时，x2－2x＝2，此方程可化为x2－2x＋1＝3，即(x－1)2＝3.两边开平方，得x－1＝± eq \r(3)，所以x1＝1＋ eq \r(3)，x2＝1－ eq \r(3)，所以原方程的解为x1＝1＋ eq \r(3)，x2＝1－ eq \r(3). (2) eq \f(1,2)(x2＋4x)2－x2－4x－ eq \f(15,2)＝0. 解：令x2＋4x＝y，原方程可化为y2－2y－15＝0，解得y1＝－3，y2＝5.当y＝－3时，x2＋4x＝－3，解得x＝－1或－3；当y＝5时，x2＋4x＝5，解得x＝－5或1，所以原方程的解为x1＝－1，x2＝－3，x3＝－5，x4＝1. 　运用“十字相乘法”分解因式解一元二次方程 方法指导： “十字相乘法”适用于形如x2＋(p＋q)x＋pq＝0的方程：x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q). 例：用“十字相乘法”解方程x2＋2x－35＝0. 策略一：竖分二次项系数和常数项：1＝1×1，－35＝(－5)×(＋7)； 策略二：交叉相乘，验中项系数： 策略三：横向写出两因式：x2＋2x－35＝(x－5)(x＋7)＝0，解得x1＝5，x2＝－7. 依照上面的方法和原理，解下列方程： (1)x2＋4x＋3＝0；　 (2)x2－7x＋10＝0； 解：(1)(x＋1)(x＋3)＝0，x＋1＝0或x＋3＝0， ∴x1＝－1，x2＝－3. (2)(x－5)(x－2)＝0，x－5＝0或x－2＝0， ∴x1＝5，x2＝2. (3)x2－4x－12＝0；　 (4)2x2＋x－6＝0. 解：(3)(x－6)(x＋2)＝0，x－6＝0或x＋2＝0， ∴x1＝6，x2＝－2. (4)(2x－3)(x＋2)＝0，2x－3＝0或x＋2＝0， ∴x1＝ eq \f(3,2)，x2＝－2. $