第1章 专题1 与正方形有关的常考模型-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测配套课件PPT（北师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦九年级上册特殊平行四边形专题，系统梳理正方形的十字模型、旋转半角模型、对角互补模型及手拉手模型等常考类型。通过“模型展示—感知探究—应用拓展”的分层设计，衔接正方形性质与综合应用，搭建从基础到培优的学习支架。 其亮点在于以模型化教学为核心，结合几何直观与推理能力，通过具体实例如十字模型中FG与BE关系的探究、旋转半角模型的旋转转化等，培养学生抽象能力与创新意识。采用问题情境引导与详细解答示范，助力学生深化逻辑推理与模型应用能力，也为教师提供系统的分层教学资源，提升课堂效率。

九年级数学 （上册）北师版 第一章 特殊平行四边形 专题1　与正方形有关的常考模型 2 9 MN＝DM＋BN INCLUDEPICTURE "学升·同步练测·数学·北师版·九年级上册（教用书版）/类型1.tif" \* MERGEFORMAT 十字模型　　 在正方形ABCD中，E是边CD上一点(点E不与点C，D重合)，连接BE. 【感知】如图①，过点A作AF⊥BE交BC于点F.易证△ABF≌△BCE(不需要证明)； 【探究】如图②，取BE的中点M，过点M作FG⊥BE交BC于点F，交AD于点G. (1)求证：BE＝FG； (2)连接CM.若CM＝1，则FG的长为__； 【应用】如图③，取BE的中点M，连接CM.过点C作CG⊥BE交AD于点G，连接EG，MG.若CM＝3，则四边形GMCE的面积为__． 【探究】(1)证明：如答图，将GF平移到AH处，则AH∥GF，AH＝GF.∵GF⊥BE，∴AH⊥BE，∴∠ABE＋∠BAH＝90°.∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABH＝∠BCE＝90°，∴∠ABE＋∠CBE＝90°，∴∠BAH＝∠CBE.在△ABH和△BCE中， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(∠BAH＝∠CBE，,AB＝BC，,∠ABH＝∠BCE，)) ∴△ABH≌△BCE(ASA)，∴AH＝BE，∴BE＝FG. ),\s\do15(1题答图)) eq \o(\s\up17( INCLUDEPICTURE "学升·同步练测·数学·北师版·九年级上册（教用书版）/类型2.tif" \* MERGEFORMAT 旋转半角模型　　 ①△AEF≌△AEG；　　　　②EF＝BE＋DF； ③△CEF的周长为2AB (东营中考)【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形ABCD是正方形，M，N分别在边CD，BC上，且∠MAN＝45°，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． 2题图①　　　　　2题图②　　　　　　2题图③　 【初步尝试】 (1)如图①，将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE，连接MN.用等式写出线段DM，BN，MN的数量关系________________； 【类比探究】 (2)小明改变点的位置后，进一步探究：如图②，点M，N分别在正方形ABCD的边CD，BC的延长线上，∠MAN＝45°，连接MN，用等式写出线段MN，DM，BN的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 (3)其他小组提出新的探究方向：如图③，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＋∠D＝180°，点N，M分别在边BC，CD上，∠MAN＝60°，用等式写出线段BN，DM，MN的数量关系，并说明理由． 解：(2)MN＝BN－DM.理由如下： 如答图①，在BC上取BE＝MD，连接AE.∵AB＝AD，∠B＝∠ADM＝90°，∴△ABE≌△ADM，∴AE＝AM，∠BAE＝∠DAM.∵∠DAM＋∠DAN＝45°，∴∠BAE＋∠DAN＝45°，∴∠EAN＝45°＝∠MAN.在△EAN和△MAN中， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(AE＝AM，,∠EAN＝∠MAN，,AN＝AN，))∴△EAN≌△MAN(SAS)，∴EN＝MN.∵EN＝BN－BE，∴MN＝BN－DM. 2题答图① (3)MN＝DM＋BN.理由如下： 如答图②，将△ABN绕点A逆时针旋转120°得△ADE， ∴∠B＝∠ADE，AN＝AE，BN＝DE.∵∠B＋∠ADC＝180°，∴∠ADE＋∠ADC＝180°，∴E，D，C三点共线．由(1)同理可得△EAM≌△NAM(SAS)，∴MN＝DM＋DE＝DM＋BN. (详细答案见《参考答案及解析》P6) 2题答图② INCLUDEPICTURE "学升·同步练测·数学·北师版·九年级上册（教用书版）/类型3.tif" \* MERGEFORMAT 对角互补模型　　 图示 条件 ∠EOF＝90° 结论 △AOE≌△BOF，△AGO≌△BHO， S四边形OEBF＝ eq \f(1,4)S正方形ABCD 如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点E，OC1交BC于点F. (1)求证：△AOE≌△BOF； (2)如果两个正方形的边长都为a，那么正方形A1B1C1O绕点O转动时，两个正方形重叠部分的面积等于多少？为什么？ 3题图 (1)证明：在正方形ABCD中，AO＝BO，∠AOB＝90°， ∠OAB＝∠OBC＝45°. ∵四边形A1B1C1O是正方形，∴∠A1OC1＝90°， ∴∠AOE＋∠EOB＝90°，∠BOF＋∠EOB＝90°， ∴∠AOE＝∠BOF. 在△AOE和△BOF中， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(∠OAE＝∠OBF，,OA＝OB，,∠AOE＝∠BOF，)) ∴△AOE≌△BOF(ASA). (2)解：两个正方形重叠部分的面积等于 eq \f(1,4)a2. 理由如下：∵由(1)知△AOE≌△BOF，∴S△AOE＝S△BOF， ∴S四边形OEBF＝S△EOB＋S△OBF＝S△EOB＋S△AOE＝S△AOB＝ eq \f(1,4)S正方形ABCD＝ eq \f(1,4)a2. INCLUDEPICTURE "学升·同步练测·数学·北师版·九年级上册（教用书版）/类型4.tif" \* MERGEFORMAT 手拉手模型　　 　①△ABE≌△ADG；　　　　②BE⊥DG (兰州中考)【提出问题】数学讨论课上，小明绘制图①所示的图形，正方形ABCD与正方形BEFG(AB＞BE)，点E，G分别在AB，BC上．根据图形提出问题：如图②，正方形BEFG绕点B顺时针旋转，旋转角为α(0°＜α＜180°)，直线AE与CG相交于点H，连接BH，探究线段AH，BH，CH之间的数量关系． 【解决问题】 (1)小明将上述问题特殊化，如图③，当点G，H重合时，请你写出AH，BH，CH之间的数量关系，并说明理由； (2)小明借鉴(1)中特殊化的解题策略后，再解决图②所示的一般化问题，当点G，H不重合时，请你写出AH，BH，CH之间的数量关系，并说明理由； 【拓展问题】 (3)小明将图②所示问题中的旋转角α的范围再扩大，正方形BEFG绕点B顺时针旋转，旋转角为α(180°＜α＜360°)，直线AE与CG相交于点H，连接BH，请直接写出AH，BH，CH之间的数量关系． 4题图①　　　　4题图②　　　　4题图③　　 解：(1)AH＝CH＋ eq \r(2)BH.理由如下： 当点G，H重合时，∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，∴AB＝BC，BE＝BH，∠ABC＝90°，∠EBH＝90°，∴EH＝ eq \r(2)BH，∠ABE＝90°－∠EBC＝∠CBG，∴△ABE≌△CBG，∴AE＝CG，∴AH＝AE＋EH＝CH＋ eq \r(2)BH. (2)AH＝CH＋ eq \r(2)BH. 理由如下： 由(1)得△ABE≌△CBG，∴∠BCH＝∠MAB.在AE上截取AM＝CH， 4题答图① 如答图①. ∵∠BCH＝∠MAB，AB＝BC，∴△MAB≌△HCB，∴∠MBA＝∠CBH，BM＝BH.∵∠HBG＝90°－∠CBH－∠EBC，∠EBM＝90°－∠MBA－∠EBC，∴∠HBG＝∠EBM，∴∠MBH＝∠EBM＋∠EBC＋∠CBH＝∠HBG＋∠EBC＋∠CBH＝∠EBG＝90°，∴△MBH是等腰直角三角形， ∴MH＝ eq \r(2)BH.∵AH＝AM＋MH， ∴AH＝CH＋ eq \r(2)BH. (3)CH＝AH＋ eq \r(2)BH.理由如下： 由(1)得△ABE≌△CBG，∴AE＝CG，∠BCH＝∠HAB.在CG上截取CM＝AH，如答图②. ∵∠BCH＝∠HAB，BC＝AB，∴△ABH≌△CBM，∴BH＝BM，∠MBC＝∠ABH. 同理，△MBH是等腰直角三角形，∴MH＝ eq \r(2)BH. ∵CH＝CM＋MH，∴CH＝AH＋ eq \r(2)BH. 4题答图② $