专题10 导数的运算及几何意义专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以导数定义与几何意义为核心，构建“概念-公式-法则-应用”四层方法体系，通过分级题型实现从基础运算到含参相切问题的逻辑迁移。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |导数概念与运算|2例+2变式|定义法求导、公式法运算|从瞬时变化率抽象定义到基本初等函数导数公式的生成| |切线方程|3例+3变式|“在点”型直接求斜率，“过点”型设切点列方程|几何意义为桥梁，连接导数与切线斜率的逻辑推导| |含参相切拓展|5例+5变式|参数方程构建、方程思想求范围|从具体切线到含参问题的模型化拓展，培养逻辑推理能力|

专题10 导数的运算及几何意义 精华提炼 1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 (1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ＝为函数 y＝f(x)在x＝x0处的导数. 记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝. (2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率. 即切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0). 2.基本初等函数的导数公式如表 ，为正整数 为有理数 3.导数的运算法则（和、差、积、商） 设均可导，则 （1）（2） （3）（4） 4.复合函数的导数 复合函数，则， 5.曲线的切线方程 （1） “在点”型 求函数y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).切点P在f(x)上 （2） “过点”型 求函数y＝f(x)在点Q(m,n)处的切线方程，点Q不在f(x)上 第1步 设切点P(x0，f(x0)),k＝f′(x0) 第2步 写切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0) ① 第3步 切点在切线上y－n＝f′(x0)(x－m). ② 第4步 切点在曲线上y0＝f(x0) ③ 第5步 由 ②③解得x0，代入①中解得切线方程 6.直线y=kx+b或函数y=f(x)含参的相切问题: (1)直线y=kx+b或函数y=f(x)中含参，求切点坐标或者参数值; (2)直线y=kx+b和函数y=f(x)都含参，求参数范围. 【典型例题】 题型一 导数的概念与运算 【例1】（填空题）(2020·全国卷Ⅲ)设函数.若＝，则a＝________. 【答案】1　 【解析】f ′(x)＝，则f ′(1)＝＝，解得a＝1. 【变式1】（填空题） 设函数 f(x)＝ln .，则f ′(x)= 【答案】 【解析】注意多次复合求导学生可能算错 因为y＝ln ＝ln， 所以y′＝··(1＋2x)′＝. 题型二 在点处的切线方程问题 【例2】（2026·上海·春季高考真题第19题节选）已知函数.当，，求函数在处的切线方程. 【答案】 【解析】当时，则， 由可得，故，故， 由于，故，故， ，则，又， 所以函数在处的切线方程为，即. 【变式2】（填空题）（2026·全国I卷·高考真题第4题改编）曲线在点处的切线方程为________ 【答案】 【解析】因为切点为，又，则，当时，， 曲线在点处的切线方程为，所以在点处的切线方程 【例3】（2026·全国II卷·高考真题第19题节选）已知函数，曲线在点处的切线为.求，. 【答案】 【解析】， 由切点在直线上，也在函数图象上， 可知且，可得； 由，则切线的斜率为，解得；故. 【变式3】（填空题）（2025·全国I卷·高考真题第12题）若直线是曲线的一条切线，则_________. 【答案】 【解析】对于，其导数为， 假设与的切点为，则，解得 题型三 过点处的切线方程问题 【例4】（填空题）（2022·新高考II 卷·第16题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________． 【答案】 【解析】注意计算错误 ∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, 切线方程为：, ∵切线过原点，∴, 整理得：, ∵切线有两条，∴,解得或, ∴的取值范围是, 【变式4】若直线l与曲线和都相切，则l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设直线在曲线上的切点为，则， 函数的导数为，则直线的斜率， 设直线的方程为，即， 由于直线与圆相切，则， 两边平方并整理得，解得，（舍）， 则直线的方程为，即.注意综合问题中计算易错. 题型四 含参相切的拓展 【例5】（单选题）将曲线绕坐标原点顺时针旋转后第一次与x轴相切，则（    ）． A．e B． C．3e D． 【答案】C 【解析】曲线绕坐标原点顺时针旋转后第一次与x轴相切， 等价于直线与曲线相切， 设切点为，则切线斜率， 又，则， 因为切点在切线上，切点在曲线上 故，解得，切点为，则. 【变式5】（单选题）若直线与曲线相切，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【解析】设直线与曲线的切点为， 对求导，得，直线的斜率为1， 导数的几何意义知，在切点处，即． 又切点既在直线上又在曲线上， 且，即． 将代入，得：，即．故选：A 【例6】（单选题）（2026高三·全国·一轮复习）直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则的最大值是（    ） A． B． C．2e D．4e 【答案】B 【解析】令，， 设切点分别为和，则， 由，可得，则， 由同理，则，所以， 可得，即，此时，所以，所以.故选：B 【变式6】（单选题）（2025湖南长沙四大名校猜题卷）若曲线与有公共的切线，则的最大值为（   ） A．-2 B．2 C．-1 D．1 【答案】D 【解析】设直线与相切于，则直线：， 直线与相切于， 则直线：， 因为曲线与有公共的切线，则两条切线方程的斜率、截距相同， 故，则. 令，， 则在单调递增，且，所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，于是有，即.故选：D. 【例7】（单选题）（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题第7题）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在曲线上任取一点，对函数求导得， 所以，曲线在点处的切线方程为，即， 由题意可知，点在直线上，可得， 令，则. 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减，所以，， 由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则， 当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：    由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.故选：D. 解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.    故选：D. 【变式7】（单选题）（2026高二下·河北沧州·期末考试）已知函数，若过点可作曲线的3条不同切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数，设切点坐标为，求导得， 则切线方程为，由切线过点， 得，化简得， “过点可作曲线的3条不同切线”等价于“关于的方程有3个不同的实根”， 即函数的图象与直线有3个不同的交点， 求导得，当或时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，， 所以当时，直线与函数的图象有3个交点，对应3条不同的切线． 【例8】（解答题）（2022·全国甲卷文科数学·高考真题第20题）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线． (1)若，求a；(2)求a的取值范围． 【解析】（1）由题意知，，，，则在点处的切线方程为， 即，设该切线与切于点，，则，解得，则，解得； （2），则在点处的切线方程为，整理得， 设该切线与切于点，，则，则切线方程为，整理得，则，整理得， 令，则，令，解得或， 令，解得或，则变化时，的变化情况如下表： 0 1 0 0 0 则的值域为，故的取值范围为. 【变式8】（2025·北京·高考真题第20题）已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线． (1)求的最大值； (2)当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方； (3)设过点A的直线与直线垂直，，与x轴交点的横坐标分别是，，若，求的取值范围． 【解析】（1）设，， 由可得，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以的最大值为. （2）略； （3）解法一：由题意，直线，直线， 所以，， 当时，，在上单调递增， 所以， 所以 ， 由（1）可得当时，， 所以，所以. 解法二：由可设，又，所以，即， 因为直线的方程为，易知， 所以直线的方程为, ，. 所以 ,由（1）知,当时，，所以, 所以. 【练习】 1.（单选题）（2023·全国甲卷文科数学·高考真题第8题）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设曲线在点处的切线方程为， 因为，所以， 所以 所以 所以曲线在点处的切线方程为. 2. （单选题）已知函数，则（ ） A． B． C．6 D．14 【答案】C 【分析】求导，代入，求得，然后将代入原函数求得函数值. 【解析】，则， 则， 故选：C 3.（填空题）（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题第13题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 【答案】 【分析】公切线核心条件：两条切线斜率相等、截距相等； 【解析】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 4.（填空题）曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________. 【答案】 【解析】对函数求导得，故所求切线斜率为，切点坐标为， 所以，曲线在处的切线方程为， 该切线交轴于点，交轴于点， 因此，曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为. 5.（填空题）（2019·江苏·高考真题第10题）在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线的距离的最小值是_____. 【答案】4. 【解析】当直线平移到与曲线相切位置时，切点Q即为点P到直线的距离最小. 由，得，， 即切点，则切点Q到直线的距离为. 6. （解答题）（2026高三上·云南师范大学附中·适应性考试） 已知函数. (1)当时，求在处的切线与坐标轴围成的三角形面积； (2)若对任意的，恒成立，求的取值范围. 【解析】（1）因为，， 所以， 所以函数的定义域为，，， 所以， 所以函数在处的切线方程为，即， 取，可得，所以直线与轴的交点为， 取，可得，所以直线与轴的交点为， 所以函数在处的切线与坐标轴围成的三角形面积， （2）因为， 不等式，又， 所以不等式， 由已知当时，不等式恒成立，故， 设，，则， 函数在上单调递增，当时，，，， 所以不等式， 所以当时，恒成立， 设，，则，令，可得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以当时，，所以.所以的取值范围为. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 导数的运算及几何意义 精华提炼 1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 (1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ＝为函数 y＝f(x)在x＝x0处的导数. 记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝. (2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率. 即切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0). 2.基本初等函数的导数公式如表 ，为正整数 为有理数 3.导数的运算法则（和、差、积、商） 设均可导，则 （1）（2） （3）（4） 4.复合函数的导数 复合函数，则， 5.曲线的切线方程 （1） “在点”型 求函数y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).切点P在f(x)上 （2） “过点”型 求函数y＝f(x)在点Q(m,n)处的切线方程，点Q不在f(x)上 第1步 设切点P(x0，f(x0)),k＝f′(x0) 第2步 写切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0) ① 第3步 切点在切线上y－n＝f′(x0)(x－m). ② 第4步 切点在曲线上y0＝f(x0) ③ 第5步 由 ②③解得x0，代入①中解得切线方程 6.直线y=kx+b或函数y=f(x)含参的相切问题: (1)直线y=kx+b或函数y=f(x)中含参，求切点坐标或者参数值; (2)直线y=kx+b和函数y=f(x)都含参，求参数范围. 【典型例题】 题型一 导数的概念与运算 【例1】（填空题）(2020·全国卷Ⅲ)设函数.若＝，则a＝________. 【变式1】（填空题） 设函数 f(x)＝ln .，则f ′(x)= 题型二 在点处的切线方程问题 【例2】（2026·上海·春季高考真题第19题节选）已知函数.当，，求函数在处的切线方程. 【变式2】（填空题）（2026·全国I卷·高考真题第4题改编）曲线在点处的切线方程为________ 【例3】（2026·全国II卷·高考真题第19题节选）已知函数，曲线在点处的切线为.求，. 【变式3】（填空题）（2025·全国I卷·高考真题第12题）若直线是曲线的一条切线，则_________. 题型三 过点处的切线方程问题 【例4】（填空题）（2022·新高考II 卷·第16题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________． 【变式4】若直线l与曲线和都相切，则l的方程为（    ） A． B． C． D． 题型四 含参相切的拓展 【例5】（单选题）将曲线绕坐标原点顺时针旋转后第一次与x轴相切，则（    ）． A．e B． C．3e D． 【变式5】（单选题）若直线与曲线相切，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【例6】（单选题）（2026高三·全国·一轮复习）直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则的最大值是（    ） A． B． C．2e D．4e 【变式6】（单选题）（2025湖南长沙四大名校猜题卷）若曲线与有公共的切线，则的最大值为（   ） A．-2 B．2 C．-1 D．1 【例7】（单选题）（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题第7题）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 【变式7】（单选题）（2026高二下·河北沧州·期末考试）已知函数，若过点可作曲线的3条不同切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例8】（解答题）（2022·全国甲卷文科数学·高考真题第20题）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线． (1)若，求a；(2)求a的取值范围． 【变式8】（解答题）（2025·北京·高考真题第20题）已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线． (1)求的最大值； (2)当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方； (3)设过点A的直线与直线垂直，，与x轴交点的横坐标分别是，，若，求的取值范围． 【练习】 1.（单选题）（2023·全国甲卷文科数学·高考真题第8题）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2.（单选题）已知函数，则（ ） A． B． C．6 D．14 3.（填空题）（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题第13题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 4.（填空题）曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________. 5.（填空题）（2019·江苏·高考真题第10题）在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线的距离的最小值是_____. 6.（解答题）（2026高三上·云南师范大学附中·适应性考试） 已知函数. (1)当时，求在处的切线与坐标轴围成的三角形面积； (2)若对任意的，恒成立，求的取值范围. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $