专题01 与三角形有关的线段—重难点培优训练 2026--2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 以“概念-性质-应用”逻辑链构建三角形线段专项训练，通过表格对比与分层题型实现方法迁移与思维进阶。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角形三边关系|1知识点+6应用+题型1(例1+变式1)|两短边和大于第三边；取值范围公式；等腰三角形分类讨论|从三边关系定义到6类应用场景，形成“判断-计算-证明”完整解题链| |三角形主要线段|3知识点(角平分线/中线/高线)+4对比表格+题型2-6(每题型例1+变式1)|中线面积平分模型；三线交点性质；不同三角形高的位置规律|通过定义对比→性质归纳→模型构建→综合应用，培养几何直观与推理意识|

专题01 与三角形有关的线段 必备知识 知识点1：三角形的三边关系（重难点） 1、三角形三边的关系：三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边． 2、三角形三边关系的常见应用 应用方式 方法解读 判断三条线段能否构成三角形 把较短的两条线段相加，所得的和与第三条线段比较 已知两条线段，求第三条线段的取值范围 已知线段，第三条线段x的取值范围是： 解决等腰三角形腰、底边和周长问题 两腰之和大于底边 化简绝对值 利用三角形三条线段的不等关系判断绝对值里面的正负符号，再利用绝对值法则化简 证明线段间的不等关系 利用三角形三边的关系，结合等线段的代换和不等式的性质，证明线段间的不等关系 求线段之和的最小值或线段之差的最大值 构造三角形，利用三边关系求解 知识点2：三角形的主要线段（重难点） 1、三角形的角平分线、中线、高线比较 线段名称 定义 端点名称 三条线段交点名称 示图 主要性质 角平分线 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线 顶点交点 内心 中线 在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线 顶点中点 重心 ，且平分三角形的面积 高 从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高） 顶点垂足 垂心 构造两个直角三角形，利于计算三角形的面积 2、角平分线与三角形的角平分线的比较 比较项目 角平分线 三角形的角平分线 定义 从角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做角的平分线 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线 图示 性质 区别 射线 线段 3、中线平分面积的常见模型 中线数量 图形 数量关系 一条中线 二条中线 三条中线 四条中线 4、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的高比较 比较项目 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图示三条高 三条高 垂心位置 三角形内部 斜边上 三角形外部 面积公式 目录 题型1：三角形三边关系的应用 题型2：利用三角形的中线求长度 题型3：利用三角形的中线求面积 题型4：利用三角形的高求解 题型5：利用三角形的角平分线求解 题型6：三角形的高、中线、角平分线综合 题型7 A组 基础巩固 题型8 B组 拔高提升 题型9 C组 思维拓展 典例精析 【题型1：三角形三边关系的应用】 【例1】以下列各组线段为边，能组成三角形的是（   ） A．，, B．,, C．，, D．,, 【变式1-1】从长度分别为的四条线段中随机取出三条，则能够成三角形的概率为 ． 【题型2：利用三角形的中线求长度】 【例1】在中，边上的中线把的周长分成24和12的两部分，则的长是（   ） A．16 B．8 C．16或8 D．8或4 【变式1-1】如图，是的中线，，分别是，的中点，，则的长为 ． 【题型3：利用三角形的中线求面积】 【例1】如图，在中，G是边上任意一点，D、E、F分别是、、的中点，，则的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式1-1】如图，中，点D是的中点，，且的面积为8．则阴影部分的面积是 ． 【题型4：利用三角形的高求解】 【例1】如图，三角形中，，于点，若，，，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】在中，，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 【题型5：利用三角形的角平分线求解】 【例1】如图，已知，平分，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在中，是边上的高，平分交边于点E，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【题型6：三角形的高、中线、角平分线综合】 【例1】如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于G，交于H，下面说法： ①；②；③；④．其中正确的是(　  　) A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①③④ 【变式1-2】如图，在中，和的平分线相交于点G，过点G作交于E，交于F，过点G作于D，下列四个结论：①；②；③点G到各边的距离相等；④设， ，则．其中正确的结论是 ． 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的腰长为（     ） A． B． C． D．或 3．若一个三角形的两条边的长分别是和，则它的第三边的长可能是（     ） A． B． C． D． 4．三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示，若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（    ） A．3 B．3或4 C．4或5 D．6 5．现有长度为、、的三根木条，三根木条首尾相接，能组成三角形．的大小可以是（     ） A．1 B．4 C．5 D．6 6．已知三角形的三边长分别为，若为奇数，则这样的三角形有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．今年8月17日，“一县一品”第四届环湖自行车赛在国家5A级旅游景区松原查干湖盛大启幕．如图，自行车的车架上常常会焊接一横梁，运用的数学原理是______． 8．晋阳古城考古博物馆举办“墨韵清明·伞绘春光”油纸伞手绘活动，油纸伞的伞骨设计蕴含着巧妙的数学智慧．艺人通过伞骨的拼接，使伞柄、伞骨和支撑条共同构成稳定的三角形结构，让油纸伞坚固耐用．这一设计利用的数学原理是__________． 9．已知等腰的周长为24，一边长为6，求另两边的长． 10．（1）已知三条线段长度分别为、、，判断能否组成三角形． （2）在中，，，，请比较三角形三个内角的大小． 11．长为的四根木条，选其中三根组成三角形，有几种选法？为什么？ 12．已知的三边分别为．若满足． (1)___________，___________； (2)若为整数，求的周长． 13．如图，，，分别是的中线、角平分线、高，下列线段中，长度最短的是（     ） A． B． C． D． 14．下列语句： ①三条线段组成的图形叫三角形； ②三角形的角平分线是射线； ③三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外； ④三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内． 其中正确的有________个．（   ） A．3 B．2 C．0 D．1 15．下列结论正确的是（   ） A．直角三角形三条角平分线的交点在三角形的外部 B．三角形的重心是三角形三条中线的交点 C．锐角三角形的三条中线的交点在三角形的外部 D．直角三角形的三条高的交点在斜边上 16．如图，作的边上的高，正确的是（    ） A．B．C． D． 17．如图，在中，，，，，点是线段上的一个动点，则线段的最小值为（     ） A．3 B．4 C．5 D． 18．如图，已知直线，则__________．（填“>”“<”或“=”） 19．如图，在中，分别是的中点，连接交于点．若四边形的面积为6，则的面积为______． 20．如图，在中，是边上的中线，若和的周长之差为4，与的和为14，求和的长． 21．如图，已知，分别是的边上的高和中线，若，，． (1)求的长度； (2)求的面积； (3)求和的周长之差． 22．在中，作边上的高，正确的是（    ） A．   B．  C．   D．   23．如图，在中，，点是上一点，，垂足为，点是上一点，连接，且，下列说法中不正确的是（     ） A．线段是中边上的高 B．线段是中边上的高 C．线段是中边上的高 D．线段是中边上的高 24．如图，，为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（    ） A．4 B．5 C． D． 25．如图，中，，点是边上任意一点，于点，于点，且的面积是，则（    ）    A． B． C． D． 26．在中，，为上任意一点，，，，垂足分别为、、，连接．已知，，则的长为__________． 27．如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到的位置，，平移距离为4，则阴影部分的面积为______． 28．等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法． (1)如图1，在中，，，，，，垂足为点，则的长是_______； (2)如图2，在中，，，则的高与的比是________； (3)如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，，求的值． 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 与三角形有关的线段 必备知识 知识点1：三角形的三边关系（重难点） 1、三角形三边的关系：三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边． 2、三角形三边关系的常见应用 应用方式 方法解读 判断三条线段能否构成三角形 把较短的两条线段相加，所得的和与第三条线段比较 已知两条线段，求第三条线段的取值范围 已知线段，第三条线段x的取值范围是： 解决等腰三角形腰、底边和周长问题 两腰之和大于底边 化简绝对值 利用三角形三条线段的不等关系判断绝对值里面的正负符号，再利用绝对值法则化简 证明线段间的不等关系 利用三角形三边的关系，结合等线段的代换和不等式的性质，证明线段间的不等关系 求线段之和的最小值或线段之差的最大值 构造三角形，利用三边关系求解 知识点2：三角形的主要线段（重难点） 1、三角形的角平分线、中线、高线比较 线段名称 定义 端点名称 三条线段交点名称 示图 主要性质 角平分线 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线 顶点交点 内心 中线 在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线 顶点中点 重心 ，且平分三角形的面积 高 从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高） 顶点垂足 垂心 构造两个直角三角形，利于计算三角形的面积 2、角平分线与三角形的角平分线的比较 比较项目 角平分线 三角形的角平分线 定义 从角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做角的平分线 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线 图示 性质 区别 射线 线段 3、中线平分面积的常见模型 中线数量 图形 数量关系 一条中线 二条中线 三条中线 四条中线 4、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的高比较 比较项目 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图示三条高 三条高 垂心位置 三角形内部 斜边上 三角形外部 面积公式 目录 题型1：三角形三边关系的应用 题型2：利用三角形的中线求长度 题型3：利用三角形的中线求面积 题型4：利用三角形的高求解 题型5：利用三角形的角平分线求解 题型6：三角形的高、中线、角平分线综合 题型7 A组 基础巩固 题型8 B组 拔高提升 题型9 C组 思维拓展 典例精析 【题型1：三角形三边关系的应用】 【例1】以下列各组线段为边，能组成三角形的是（   ） A．，, B．,, C．，, D．,, 【分析】本题考查三角形三边关系定理，熟练掌握三角形三边关系定理是解题的关键，根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边进行判断． 【详解】解：A.，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； B.，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； C.，且任意两边之和均大于第三边，能组成等边三角形； D.，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形． 故选：C． 【变式1-1】从长度分别为的四条线段中随机取出三条，则能够成三角形的概率为 ． 【分析】本题考查三角形的三边关系，利用概率公式求概率，根据三角形的三边关系，确定能组成三角形的情况，再除以总的情况，即可得出结果． 【详解】解：从的四条线段中随机取出三条，共有：，，，，共4种等可能的情况，其中能组成三角形的有，，共2种情况， ∴能够成三角形的概率为； 故答案为：． 【题型2：利用三角形的中线求长度】 【例1】在中，边上的中线把的周长分成24和12的两部分，则的长是（   ） A．16 B．8 C．16或8 D．8或4 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、中线的定义、三角形的三边关系等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 设，，则，再分且和且两种情况分别列出一元一次方程求解并运用三角形的三边关系判断即可解答． 【详解】解：设，则， 当且时，即，解得：， ∴，， ∵， ∴能组成三角形，即符合题意； 当且时，即，解得：； ∴，， ∵， ∴三边不能组成三角形，即不符合题意； 综上，的长是16． 故选A． 【变式1-1】如图，是的中线，，分别是，的中点，，则的长为 ． 【分析】此题考查了三角形的中线和中位线，先利用中位线性质求得，再由中线知即可解答，熟练掌握中位线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， 故答案为：． 【题型3：利用三角形的中线求面积】 【例1】如图，在中，G是边上任意一点，D、E、F分别是、、的中点，，则的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵点是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴． 故选：A． 【变式1-1】如图，中，点D是的中点，，且的面积为8．则阴影部分的面积是 ． 【分析】本题考查了三角形的面积和中线的性质：三角形的中线将三角形面积分成相等的两部分． 根据题意可知：是阴影部分的面积的3倍，的面积是的面积的2倍，依此可求解． 【详解】解：点D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为8， ∴，， 故答案为： 【题型4：利用三角形的高求解】 【例1】如图，三角形中，，于点，若，，，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查的是点到直线的距离，等面积法的应用，先求解，结合，从而可得答案. 【详解】解：在中，，根据三角形面积公式高， ． ，， ． ， ． ． 解得． 点到直线的距离是． 故选：A． 【变式1-1】在中，，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 【分析】在直角三角形中，点到斜边的距离可以通过面积法求解；利用两种不同的面积表达式建立方程，解出高即可. 【详解】解：∵ 为直角三角形，直角边，， ∴ ∵设点 到的距离为， ∴ ∴，解得： 故选：C. 【题型5：利用三角形的角平分线求解】 【例1】如图，已知，平分，则（    ） A． B． C． D． 【分析】根据三角形角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵，平分， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线，熟练掌握角平分线的定义是解题关键． 【变式1-1】如图，在中，是边上的高，平分交边于点E，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理．熟练掌握角平分线的定义，三角形内角和定理是解题的关键． 由题意知，，由平分，可得，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【题型6：三角形的高、中线、角平分线综合】 【例1】如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了中线、角平分线和中线的定义，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．分别根据三角形的中线意义可判断A和D；根据三角形高的定义，直角三角形两锐角互余判断B；根据三角形角平分线的性质可判断C． 【详解】解：∵是中线， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵是高， ∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； 过点E作于点G，于点H， ∵是角平分线， ∴， ∵，， ∴，故C正确，不符合题意； ∵是中线， ∴与不一定相等，故D错误，符合题意． 故选：D． 【变式1-1】如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于G，交于H，下面说法： ①；②；③；④．其中正确的是(　  　) A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①③④ 【分析】①无法证明是否同底等高的两个三角形面积相等即可判断；②根据三角形内角和定理求出，根据三角形外角性质即可推出；③根据三角形内角和定理求出，根据角平分线定义即可判断；④根据等腰三角形的判定方法即可判断． 【详解】解：∵无法证明， 故无法证明， 故①错误； 是角平分线， ， 是高， ， ， ，， ， ，， ，故②正确； 是高， ， ， ，， ， 是角平分线， ， ， 即，故③正确； 根据已知条件不能推出， 因此不能证明，故④错误； 综上可知，②③结论正确， 故选C． 【点睛】此题考查了三角形的角平分线、中线和高性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，难度一般，解题的关键是综合运用上述知识． 【变式1-2】如图，在中，和的平分线相交于点G，过点G作交于E，交于F，过点G作于D，下列四个结论：①；②；③点G到各边的距离相等；④设， ，则．其中正确的结论是 ． 【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形内角和定理及三角形内心的性质，掌握定理及性质是解题的关键．①根据角平分线定义及可得出，，由此可得出结论；②先根据角平分线的性质得出，再由三角形内角和定理即可得出结论；③根据角平分线的性质即可得出结论；④连接，根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：①和的平分线相交于点G， ， ， ，， ，， ，， ，故正确； ②和的平分线相交于点G， ， ，故错误； ③和的平分线相交于点G， 点G是的内心， 点G到各边的距离相等，故正确； ④连接， 点G是的内心，，， ，故正确． 故答案为：①③④． 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【知识点】构成三角形的条件 【分析】选取每组中较短的两条线段求和，与最长线段比较，判断能否组成三角形. 【详解】解：A.∵，∴不能组成三角形，故不符合题意； B.∵，∴不能组成三角形，故不符合题意； C.∵，∴能组成三角形，故符合题意； D.∵，∴不能组成三角形，故不符合题意. 2．等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的腰长为（     ） A． B． C． D．或 【答案】B 【知识点】构成三角形的条件、等腰三角形的定义 【分析】分两种情况：①当腰长为时，②当底边长为时，再结合三角形的三边关系解答即可． 【详解】解：①当腰长为时，则底边长为， 三角形的三边长分别为，，，此时，不满足三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意，舍去； ②当底边长为时，则腰长为， 三角形的三边长分别为，，，此时，满足三角形三边关系，能组成三角形，符合题意； 综上，该等腰三角形的腰长为． 3．若一个三角形的两条边的长分别是和，则它的第三边的长可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，求出第三边长的取值范围，再对比选项得到正确结果． 【详解】解：设第三边的长为． ∵三角形的两条边长分别为和． ∴根据三角形三边关系可得 ． 即 ． 对比选项，只有在该范围内． 4．三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示，若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（    ） A．3 B．3或4 C．4或5 D．6 【答案】C 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】设第三根小棒的长度是x，由三角形的三边关系可得，再由图中挡板高度进一步确定，然后结合选项即可解答． 【详解】解：由图可知，一根小棒的长度为10，另一根小棒的长度为7， 设第三根小棒的长度是x， 若三根小棒可以围成三角形，则由三角形三边关系可知，即， 由图中挡板高度为5，则， 结合四个选项可知，第三根小棒的长度可以是4或5，即C选项符合题意． 5．现有长度为、、的三根木条，三根木条首尾相接，能组成三角形．的大小可以是（     ） A．1 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】根据三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边求解即可． 【详解】解：∵已知三角形的两边长分别为和，第三边长为 ∴即 对比选项，只有满足该范围 ． 6．已知三角形的三边长分别为，若为奇数，则这样的三角形有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】利用三角形三边关系求出的取值范围，再结合为正奇数确定符合条件的的个数，即可得到答案． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为，，， 根据三角形三边关系可得，， 整理得， ∵为奇数， ∴满足条件的奇数只有，共个，即这样的三角形有个． 7．今年8月17日，“一县一品”第四届环湖自行车赛在国家5A级旅游景区松原查干湖盛大启幕．如图，自行车的车架上常常会焊接一横梁，运用的数学原理是______． 【答案】三角形的稳定性 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性求解即可． 【详解】解：自行车的车架上常常会焊接一横梁，运用的数学原理是：三角形的稳定性． 故答案为：三角形的稳定性． 8．晋阳古城考古博物馆举办“墨韵清明·伞绘春光”油纸伞手绘活动，油纸伞的伞骨设计蕴含着巧妙的数学智慧．艺人通过伞骨的拼接，使伞柄、伞骨和支撑条共同构成稳定的三角形结构，让油纸伞坚固耐用．这一设计利用的数学原理是__________． 【答案】三角形具有稳定性 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题考查三角形的基本性质，根据题干中三角形结构保持稳定的描述，结合三角形的特性即可作答． 【详解】解：三角形具有稳定性，能够使结构稳固不易变形，因此该设计利用的数学原理是三角形具有稳定性． 9．已知等腰的周长为24，一边长为6，求另两边的长． 【答案】另两边长为9，9 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形三边的关系． 根据等腰三角形的定义，运用三角形三边关系，进行分析求解即可． 【详解】解：当腰长为6时，底边长 ， 三边为6、6、12， 因为，不能组成三角形； 当底边长为6时，腰长 ， 三边为9、9、6，满足三角形三边关系． 故另两边长为9、9． 10．（1）已知三条线段长度分别为、、，判断能否组成三角形． （2）在中，，，，请比较三角形三个内角的大小． 【答案】（1）能组成三角形；（2） 【知识点】构成三角形的条件、三角形的识别与有关概念 【分析】本题考查了构成三角形的条件，三角形的边角关系． （1）根据三角形三边关系判断即可； （2）根据大边对大角判断即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴能组成三角形； （2）解：∵， ∴． 11．长为的四根木条，选其中三根组成三角形，有几种选法？为什么？ 【答案】 解：有两种选法，理由如下： 根据题意分为四种情况：；；；． 在第一种情况中：，能构成三角形； 在第二种情况中：，不能构成三角形； 在第三种情况中：，不能构成三角形； 在第四种情况中：，能构成三角形； 综上，从长为的四根木条，选其中三根组成三角形，有两种选法． 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边是解题的关键．首先得到每三根组合的情况，再根据三角形的三边关系进行判断． 【详解】略 12．已知的三边分别为．若满足． (1)___________，___________； (2)若为整数，求的周长． 【答案】(1)4；1 (2) 【知识点】确定第三边的取值范围、绝对值非负性、有理数的乘方运算 【分析】（1）几个非负数的和为0，则这几个非负数的值都为0，据此可得答案； （2）根据三角形的三边的关系求出b的取值范围，结合b为整数求出b的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∵， ∴，即， 又∵为整数， ∴， ∴的周长． 13．如图，，，分别是的中线、角平分线、高，下列线段中，长度最短的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】垂线段最短、画三角形的高 【分析】本题主要考查的是三角形的角平分线、中线和高等知识点，掌握它们的定义是解题的关键． 根据三角形的高的定义、垂线段最短判断即可． 【详解】解：∵，，分别是的中线、角平分线、高， ∴， 由垂线段最短可知：长度最短的是． 故选：C． 14．下列语句： ①三条线段组成的图形叫三角形； ②三角形的角平分线是射线； ③三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外； ④三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内． 其中正确的有________个．（   ） A．3 B．2 C．0 D．1 【答案】D 【知识点】三角形的识别与有关概念、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了三角形及与三角形有关的概念，掌握这些概念是解题的关键；根据三角形及其相关概念判断即可． 【详解】解：①不在同一直线上的三条线段首尾相接组成的图形叫三角形，故原说法错误； ②三角形的角平分线是一条线段，角的平分线才是射线，故原说法错误； ③三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外，直角三角形的高在三角形的直角顶点处，故原说法错误； ④三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内，原说法正确； 故正确的只有④， 故选：D． 15．下列结论正确的是（   ） A．直角三角形三条角平分线的交点在三角形的外部 B．三角形的重心是三角形三条中线的交点 C．锐角三角形的三条中线的交点在三角形的外部 D．直角三角形的三条高的交点在斜边上 【答案】B 【知识点】根据三角形中线求长度、重心的概念、三角形角平分线的定义、画三角形的高 【分析】本题考查了三角形中线、角平分线、高，根据定义和性质判断各选项即可，掌握相关概念及性质是解题的关键． 【详解】解：、任何三角形的角平分线交点都在三角形内部，原选项结论错误，不符合题意； 、三角形的重心是三角形三条中线的交点，原选项结论正确，符合题意； 、任何三角形的中线交点都在三角形内部，原选项结论错误，不符合题意； 、直角三角形的三条高交于直角顶点，不在斜边上，原选项结论错误，不符合题意； 故选：． 16．如图，作的边上的高，正确的是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【知识点】画三角形的高 【分析】本题考查画三角形的高线，根据三角形的高线的定义，进行判断即可． 【详解】 解：作边上的高，是从顶点C出发，引向对边的垂线段，据此，符合题意的是； 故选D． 17．如图，在中，，，，，点是线段上的一个动点，则线段的最小值为（     ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】D 【知识点】垂线段最短、与三角形的高有关的计算问题 【分析】利用连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短结合三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由题意得当时，线段最短，如图， ， ，，， ， ． 18．如图，已知直线，则__________．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【知识点】利用平行线间距离解决问题 【分析】利用平行线间的距离处处相等和“同底等高”的三角形面积相等进行解答． 【详解】解：∵， ∴边上的高与边上的高相等（平行线间的距离处处相等）， ∴（“同底等高”的三角形面积相等）． 19．如图，在中，分别是的中点，连接交于点．若四边形的面积为6，则的面积为______． 【答案】18 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键．连接，利用D、E是中点的性质，得出多组等面积三角形，通过面积的等量代换，结合四边形的面积，推导出的面积． 【详解】解：如图所示，连接， ∵分别是的中点， ， ，， ，， ， ∵四边形的面积为6， ， ， ， ， 故答案为：18． 20．如图，在中，是边上的中线，若和的周长之差为4，与的和为14，求和的长． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求长度、加减消元法 【分析】本题考查了三角形的中线定义，二元一次方程组的求解，根据周长的差得出边和的差等于4是解题的关键．根据三角形中线的定义，．所以和的周长之差也就是和的差，然后联立关于和的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可． 【详解】解：是边上的中线， ， 的周长的周长， 即①， 又②， 得．， 解得：， 得，， 解得， 和的长分别为：． 21．如图，已知，分别是的边上的高和中线，若，，． (1)求的长度； (2)求的面积； (3)求和的周长之差． 【答案】(1) (2)的面积是 (3)和的周长的差是 【知识点】根据三角形中线求长度、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了三角形中线和高、三角形周长与面积的计算． （1）根据的面积两种求法计算即可； （2）直接用面积公式计算即可； （3）由于是中线，那么，于是可得的周长与的周长差，代入计算即可． 【详解】（1）解：是边上的高， ， ， 即． （2）是边的中线，， ． 由(1)可知， ， 的面积是 （3）为边上的中线， ， 的周长的周， 即和的周长的差是． 22．在中，作边上的高，正确的是（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】D 【知识点】画三角形的高 【分析】本题主要考查了三角形的高线的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．熟练掌握概念是解题的关键．根据三角形的高的定义对各个图形观察后解答即可． 【详解】解：根据三角形高线的定义，边上的高是过点B向作垂线垂足为E， 纵观各图形，D选项符合高线的定义， 故选：D． 23．如图，在中，，点是上一点，，垂足为，点是上一点，连接，且，下列说法中不正确的是（     ） A．线段是中边上的高 B．线段是中边上的高 C．线段是中边上的高 D．线段是中边上的高 【答案】C 【知识点】画三角形的高 【分析】根据三角形高的定义，判断解答即可． 【详解】解：A． 线段是中边上的高，正确，不符合要求； B． 线段是中边上的高，正确，不符合要求； C． 线段是中边上的高，不是中边上的高，原说法错误，符合要求； D． 线段是中边上的高，正确，不符合要求． 24．如图，，为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【知识点】垂线段最短、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题主要考查了垂线段最短的性质以及三角形面积公式的应用，熟练掌握三角形面积的不同表示方法是解题的关键．根据垂线段最短，可知当 时， 最短．此时利用三角形面积的两种不同表示方法来计算 的长度． 【详解】解：根据垂线段最短，可知当 时， 最短， 在 中，，，， ． ∴ ． 将 ，， 代入 ， 解得 ． 故选：D ． 25．如图，中，，点是边上任意一点，于点，于点，且的面积是，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等腰三角形的性质和判定、与三角形的高有关的计算问题 【分析】连接，由图可得：，代入数值，解答出即可． 【详解】解：连接，    由图可得，， ∵于点，于点，，且的面积是， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，解答时注意，将一个三角形的面积转化成两个三角形的面积和；体现了转化思想． 26．在中，，为上任意一点，，，，垂足分别为、、，连接．已知，，则的长为__________． 【答案】3 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】根据，结合三角形面积公式可得，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 27．如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到的位置，，平移距离为4，则阴影部分的面积为______． 【答案】22 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】根据平移的性质分别求出，根据题意求出，根据全等三角形的性质、梯形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：由平移的性质知，， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴ ， 故答案为：22． 【点睛】本题考查平移及全等三角形的性质，掌握平移的性质是解题的关键． 28．等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法． (1)如图1，在中，，，，，，垂足为点，则的长是_______； (2)如图2，在中，，，则的高与的比是________； (3)如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3)5 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题主要考查了求三角形的面积，熟练掌握等面积法求线段的长是解题的关键． （1）根据题意可得，即可求解； （2）根据题意可得，即可求解； （3）根据可得，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，， ， ∴， ∵，，， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：∵， 且， ∴， 又∵， ∴， ∵ ，， ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $