第十三章三角形 三边关系与中线 （专项训练）-2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦三角形三边关系与中线性质，通过分类讨论、几何直观与推理意识，系统构建"概念-方法-应用"解题体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三边关系应用|单选1/3/6、填空10/11|分类讨论腰底/高位置，验证两边和差|从基本关系到等腰三角形多解问题| |中线性质应用|单选4/5、填空9/13、解答16|中线平分面积/周长差计算，等高面积比|中线定义→周长差→面积分割逻辑链| |综合应用|解答17/19/20|平移性质结合中点，同高不同底转化|整合三边关系与中线，提升空间观念|

第十三章三角形（专项训练）三边关系与中线-2026-2027学年八年级上册数学人教版 一、单选题 1．若一个等腰三角形的周长是，且其中一边的长为，则这个等腰三角形的腰长是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 2．已知是三角形的高，，，三角形的面积是，则的长为（     ） A． B． C．或 D．或 3．已知等腰三角形的三边长分别为，，，则这个等腰三角形的周长是（     ） A．5 B．5或 C．或14 D．5或或14 4．如图，是的中线，，若的周长比的周长多，则的长为．（     ） A． B． C． D． 5．中，已知点D，E，F分别是，，边上的中点，且，则为（     ） A． B． C． D． 6．在等腰中，，中线将这个三角形的周长分为12和15两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（     ） A．7 B．7或11 C．10 D．8或10 7．如图，在中，点在边上（点不与点、点重合），连接，点是边的中点，连接、．若的面积为，则阴影部分图形的面积和为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 8．若a，b，c是的三边的长，化简______________． 9．在中，D为边的中点，，交于点E，若，______________． 10．当满足____________时，长度为4，9，的三条线段可以围成一个三角形． 11．一个三角形的三边长分别是3，，8，则m的取值范围是________． 12．如图，某校有一四边形空地，空地面积是18，学校计划对这一空地进行美化，取各边中点分别为M，N，P，Q，连接与相交于点O，若图中阴影部分种植花卉，空白部分种植草坪，请计算种植花卉的总面积为__________． 13．如图，在中，是高，是中线，，，则__________． 14．如图，在中，是的中点，连接，点在上，且，连接，．若的面积为36，则的面积为__________． 三、解答题 15．已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，且c为奇数，求的周长； (2)化简：． 16．如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多，与的和为，求的长． 17．如图，已知的三边长分别为，将沿方向平移至的位置，与交于点． (1)若，则的度数为_____； (2)直接写出化简结果：_____； (3)若分别是的中点，，连接，求四边形的面积． 18．如图，、分别是的高和中线，若，，， (1)求的长 (2)求与的周长差 19．如图，是的三等分点，，如果三角形的面积等于6，那么三角形的面积是多少？ 20．如图，为的中线，为的中线． (1)已知，的周长为，求的周长； (2)若的面积为，，则点到边的距离为多少？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第十三章三角形（专项训练）三边关系与中线-2026-2027学年八年级上册数学人教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B D D C A B B 1．B 【分析】未明确的边是腰还是底，需分类讨论并验证三角形三边关系. 【详解】解：当为腰长时，底边长为， ∵，不能构成三角形， ∴此情况不成立； 当为底边长时，腰长为， ∵，能构成三角形， ∴腰长为. 2．D 【分析】先根据面积求出，再分两种情况讨论：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∵，， ∴，解得， 分两种情况： 当点在线段上时，如图所示： 则； 当点在线段的延长线上时，如图所示： ； 综上所述，的长为或． 3．D 【分析】根据等腰三角形两边相等的性质分三种情况讨论，结合三角形三边关系验证后计算周长． 【详解】解：分三种情况讨论： ① 当时， 解得， 此时三边长为，，， ∵，满足三角形三边关系， ∴周长为； ② 当时， 解得， 此时三边长为，，， ∵，满足三角形三边关系， ∴周长为； ③ 当时， 解得，此时三边长为，，， ∵，满足三角形三边关系， ∴周长为； 综上所述，这个等腰三角形的周长是5或或14． 4．C 【分析】根据中线的定义解题． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长多， ∴ ， ∴， 解得． 5．A 【分析】根据三角形的中线平分该三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵，点D是边上的中点， ∴， ∵点E是边上的中点， ∴，， ∴， ∵点F是边上的中点， ∴． 6．B 【分析】分两种情况讨论中线分周长的组合，结合等腰三角形性质列方程组，求解后验证三边关系． 【详解】解：如图，设等腰的腰长，底边长， ∵是边上的中线， ∴， 分两种情况：情况①当时， 解得， ∵， ∴能构成三角形； 情况②当时， 解得， ∵， ∴能构成三角形． 综上，底边长为7或11． 7．B 【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答． 【详解】解：点是边的中点， ，， ， ． 8． 【分析】根据三角形三边关系判断绝对值内代数式的正负，再利用绝对值的性质化简计算即可． 【详解】解：∵a，b，c是的三边， ∴三角形任意两边之和大于第三边，可得 ，， ∴，， ∴． 9．2 【分析】这道题的解题关键在于巧妙地运用“同高不同底”的几何性质来转化面积关系，首先，利用中点 将大三角形 分割成面积相等的两部分，并进一步推导出 与 的面积相等，接着，根据“等高三角形面积比等于底边比”，由 可直接推导：在 中， 与 等高，故 。设 ，则 ，进而 ，同理，对以 为顶点的 ，也有 ，利用面积差 及 ，可推得 ，所以 ，即可解得 ，从而将所有相关面积统一用 表示，最后列方程即可求解． 【详解】解：连接 ， 为 边的中点 设 ， 则 ． 10． 【分析】利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可得到x的取值范围． 【详解】解：根据三角形三边关系，可得 ，即． 11． 【分析】利用三角形三边关系得到关于的不等式，求解不等式得到的取值范围. 【详解】解：∵三角形任意一边的长度大于另外两边之差，小于另外两边之和，已知三角形三边长为，，， ∴， 解得. 12．9 【分析】连接，根据三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分求解即可． 【详解】解：连接，如下图， ∵各边中点分别为M，N，P，Q， ∴， ∴①，②，③，④， 由得，， ∴． 13． 【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据，，求出，根据是中线即可求解． 【详解】解： ∵是中线 14． 12 【分析】先根据D是的中点，得出和面积相等，求出的面积；然后根据，利用等高三角形面积比等于底边比，求出的面积． 【详解】解：∵D是的中点， ， ， ∵点E在上，且， ， 和的高相等，均为点C到的距离， ， ． 15．(1)12 (2) 【分析】（1）根据三角形三边关系确定c的取值范围，再结合c是整数且为奇数确定其值，即可获得答案； （2）根据三角形三边关系可得，进而可得，然后进一步化简即可． 【详解】（1）解：由三角形三边关系定理可得：， ∴， ∵c是整数，且为奇数， ∴， ∴的周长； （2）解：∵的三边长为a，b，c， ∴，，， ∴； 由三角形三边关系定理可得：， ∴， ∴ ． 16． 【分析】根据中线得到，根据三角形周长的计算，结合题意得到，则，再根据与的和为，由此列式求解即可． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵的周长，的周长，的周长比的周长多， ∴，即， ∴， ∵与的和为，即， ∴， 解得，． 17．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平移的性质即可解答； （2）利用三角形三边关系即可解答； （3）根据平移可得四边形的面积等于梯形的面积． 【详解】（1）解：根据平移可得， ； （2）解：根据三角形三边关系可得，， ， ； （3）解：根据平移可得，，， ，即， 分别是的中点， ， ． 18．(1) (2) 【分析】根据三角形的面积公式解答即可； 利用三角形中线的定义可得，即得的周长的周长，代入已知数据即可求解． 【详解】（1）解：∵是的高，， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：∵是的中线， ∴， ∴的周长的周长 ． 19．18 【分析】连接，得，结合是的三等分点，即可解答． 【详解】解：连接， ∵， ∴， 又∵是的三等分点， ∴． 20．(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线，三角形的高，解题的关键是掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形． （1）根据中线的定义可得，然后表示出的周长，进而可得的周长； （2）根据等底等高的三角形的面积相等用的面积表示出的面积，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】（1）解：为的中线， ， ， ， 的周长为：， ， 的周长为：； （2）解：设点到边的距离为， 为的中线，为的中线， ，， ， ， ，即点到边的距离为． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $