第14章 全等三角形单元练习卷-2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 人教版八年级上册全等三角形单元卷，通过选择、填空、解答题梯度设计，融合几何直观与推理能力，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10小题|三角形高、全等判定（SAS/ASA/AAS）、等腰三角形|结合风筝制作（第6题）体现文化传承，考查HL判定（第13题）强化推理意识| |填空题|6小题|全等性质、角平分线性质、等边三角形计算|网格中角的关系（第12题）培养空间观念，动态问题（第14题）提升几何直观| |解答题|6小题|全等证明、面积计算、动态几何综合|等边三角形动态综合（第21题）考查推理能力，坐标系应用（第22题）发展模型意识|

第14章全等三角形闯关练习卷-2026-2027学年数学八年级上册人教版（2024） 一．选择题（共10小题） 1．（2025秋•喀什地区期末）如图，用三角尺作△ABC的边AB上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2026春•永寿县校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝2∠A，BD是∠ABC的平分线，点D在AC上，则图中等腰三角形的个数一共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 3．（2025秋•龙湖区期末）如图，AB与CD相交于点E，此时E是AB的中点，添加下列条件，不能说明△ACE≌△BDE的是（　　） A．∠C＝∠D B．∠A＝∠B C．CE＝DE D．AC＝BD 4．（2026春•太谷区期末）如图，已知△ABC六个元素，下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的是（　　） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 5．（2026春•埇桥区期中）如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ＝4，AD＝10，则PE的长是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 6．（2025秋•亭湖区期末）山东潍坊是中国风筝之乡，匠人在制作过程中采用了全等的相关知识．在如图所示的风筝“龙骨”图案中，AB＝AD、∠B＝∠D、BC＝DE．则不一定能得到以下哪个结论（　　） A．△ABC≌△ADE B．△ABF≌△ADG C．FC＝GE D．AG＝GC 7．（2026春•锦江区校级月考）如图，已知△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E．若AC＝5，DE＝2，则△ACD的面积为（　　） A．2.5 B．5 C．6 D．10 8．（2026•埇桥区校级模拟）如图，已知∠A＝40°，∠ABC＝70°，根据尺规作图痕迹，EF与CD交于点G，则∠CGE的度数为（　　） A．15° B．18° C．20° D．25° 9．（2026春•秦都区校级期末）如图，在△ABC和△BPE中，AB＝BC，BP＝BE，∠ABC＝∠EBP＝60°，点P在BC的延长线上，EC的延长线交AP于点M，连接BM，则下列结论错误的是（　　） A．∠ACP＝120° B．△ABP≌△CBE C．∠PME＝60° D．点B到AP，CE的距离不相等 10．（2026春•郏县期末）已知AB＝10，AC＝6，BD＝8，其中∠CAB＝∠DBA＝α，点P以每秒2个单位长度的速度，沿着C→A→B路径运动．同时，点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着D→B→A路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为t秒． ①若x＝1．则点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍； ②当P、Q两点同时到达A点时，x＝6； ③若α＝90°，t＝5，x＝1时，△ACP≌△BPQ； ④若△ACP与△BPQ全等，则x＝0.8或． 以上说法正确的选项为（　　） A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 二．填空题（共6小题） 11．（2025秋•广信区期末）已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是 　 　 ． 12．（2025秋•中山市期末）如图是由相同的小正方形组成的网格，点A，B，C均在格点上，连接AB，AC，则∠1+∠2＝　 　 °． 13．（2026•江阳区模拟）如图，已知∠C＝∠D＝90°，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充 　 　 ． 14．（2025秋•广汉市校级月考）如图，等边三角形ABC中，D为AC上一点，E为AB延长线上一点，DE⊥AC交BC于点F，且DF＝EF．若AB＝12，则BF的长为 　 　 ． 15．（2026春•平陆县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC和∠BAC的平分线相交于点O，OD⊥OA交AC于点D，OE⊥OB交BC于E，AC＝7，BC＝24，AB＝25，则△CDE周长为 　 　 ． 16．（2025秋•綦江区期末）如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝ 　 　 ． 三．解答题（共6小题） 17．（2026春•西乡县期末）如图，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，AB＝CD，AE＝CF，求证：△ABE≌△CDF． 18．（2026春•衡水校级期末）如图，在△ABC中，D是AC上一点，连接BD，E是BD的中点，BF⊥AC于点F． （1）若BD平分∠ABC，∠C＝80°，∠BAC＝60°，求∠DBF的度数． （2）若AD＝CD＝2CF＝2DF，且△ABE的面积S△ABE＝m，求S△CBF的值．（用含m的式子表示） 19．（2026春•乐平市期末）如图，△ABD和△AEC都是等腰三角形，AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE．连接BC，DC与BE相交于点O． （1）求证：CD＝BE； （2）试说明：∠DOE与∠CAE的数量关系． 20．（2025秋•寿县期末）如图1，在△ABC中，∠A＝120°，∠C＝20°，BD平分∠ABC，交AC于点D． （1）求证：BD＝CD． （2）如图2，若∠BAC的角平分线AE交BC于点E，求证：AB+BE＝AC． （3）如图3，若∠BAC的外角平分线AE交CB的延长线于点E，则（2）中的结论是否成立？若成立，给出证明，若不成立，写出正确的结论． 21．（2026•阜南县二模）如图，等边△ABC中，点D、E分别在BC、AC上，且BD＝CE，AD交BE于F． （1）求证：△ABD≌△BCE； （2）当S△BDF＝S四边形CEFD时，求的值； （3）连接CF，若CF⊥BF，直接写出AF：BF：CF的值． 22．（2026春•蓝山县期中）定义：若一个点到某条直线和某条坐标轴的距离相等，则称这个点为这条直线和这条坐标轴的“等距点”．如图，在下图的平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的边BC在x轴上，点B的坐标为（﹣6，0），点A在y轴正半轴上，且OB＝2OA，点C在x轴的正半轴上，且AC＝5． （1）点A坐标为　 　 ，点C坐标为　 　 ． （2）若△ABP的面积为6，求点P的坐标． （3）若点P是直线AC和y轴的“等距点”，且点P在x轴上，则点P坐标为　 　 ． 第14章全等三角形闯关练习卷-2026-2027学年数学八年级上册人教版（2024） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2025秋•喀什地区期末）如图，用三角尺作△ABC的边AB上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三角形的高的定义判断即可． 【解答】解：△ABC的边AB上的高经过点C与AB垂直， 故选：D． 【点评】本题考查作图﹣基本作图，三角形的高等知识，解题的关键是理解三角形的高的定义，属于中考常考题型． 2．（2026春•永寿县校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝2∠A，BD是∠ABC的平分线，点D在AC上，则图中等腰三角形的个数一共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【分析】根据等边对等角，得到∠ABC＝∠C＝2∠A，角平分线得到∠ABD＝∠A，三角形的外角得到∠CDB＝2∠A＝∠C，等角对等边得到等腰三角形，进行判断即可． 【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形，∠ABC＝∠C＝2∠A， ∵BD是∠ABC的平分线， ∴， ∴AD＝BD，∠CDB＝∠A+∠ABD＝2∠A， ∴△ABD是等腰三角形，∠CDB＝∠C， ∴BC＝BD， ∴△BCD是等腰三角形； 故共有三个等腰三角形； 故选：C． 【点评】本题考查等腰三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，角平分线的定义等知识，掌握其相关知识点是解题的关键． 3．（2025秋•龙湖区期末）如图，AB与CD相交于点E，此时E是AB的中点，添加下列条件，不能说明△ACE≌△BDE的是（　　） A．∠C＝∠D B．∠A＝∠B C．CE＝DE D．AC＝BD 【分析】已知E是AB中点，可得AE＝BE，且∠AEC＝∠BED（对顶角相等）．根据全等三角形判定定理（AAS、ASA、SAS），逐一分析添加各选项条件后能否判定△ACE≌△BDE． 【解答】解：∵E是AB的中点， ∴AE＝BE， 又∵∠AEC＝∠BED（对顶角相等）． 若添加∠C＝∠D 在△ACE和△BDE中， ， ∴△ACE≌△BDE（AAS），故A项正确，不符合题意． 若添加∠A＝∠B 在△ACE和△BDE中， ， ∴△ACE≌△BDE（ASA），故B项正确，不符合题意． 若添加CE＝DE 在△ACE和△BDE中， ， ∴△ACE≌△BDE（SAS），故C项正确，不符合题意． 若添加AC＝BD 此时是“边边角”的情况，不能判定△ACE≌△BDE，故D项错误，符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理（AAS、ASA、SAS）是解题的关键． 4．（2026春•太谷区期末）如图，已知△ABC六个元素，下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的是（　　） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可． 【解答】解：甲：由SSA不能判断两个三角形全等，故不符合题意； 乙：由SAS能判断两个三角形全等，故符合题意； 丙：∵∠C＝180°﹣∠B﹣∠A＝58°， 而丙图形中第三个角（未知的角）为：180°﹣72°﹣50°＝58°， ∴△ABC与丙图中有两角及其夹边对应相等， 由ASA能判断两个三角形全等，故符合题意； 综上所述，乙和丙符合题意，所以只有选项B正确，符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 5．（2026春•埇桥区期中）如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ＝4，AD＝10，则PE的长是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】先证明三角形全等，得到对应边、对应角相等，推导出∠BPQ＝60°；再利用直角三角形中30°角的性质求出BP，最后通过线段相减算出PE的长度． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝∠C＝60°， 在△ABE和△CAD中， ， ∴△ABE≌△CAD（SAS）， ∴BE＝AD＝10，∠ABE＝∠CAD， ∵∠BPQ＝∠ABE+∠BAP＝∠CAD+∠BAP＝∠BAC＝60°， 又∵BQ⊥AD， ∴∠BQP＝90°，∠PBQ＝30°， ∴BP＝2PQ＝2×4＝8， ∵BE＝10，BE＝BP+PE， ∴PE＝BE﹣BP＝10﹣8＝2． 故选：A． 【点评】题目考查了等边三角形性质、全等三角形判定与性质，解题关键在于相关知识的灵活运用． 6．（2025秋•亭湖区期末）山东潍坊是中国风筝之乡，匠人在制作过程中采用了全等的相关知识．在如图所示的风筝“龙骨”图案中，AB＝AD、∠B＝∠D、BC＝DE．则不一定能得到以下哪个结论（　　） A．△ABC≌△ADE B．△ABF≌△ADG C．FC＝GE D．AG＝GC 【分析】根据已知条件分析△ABC和△ADE易得△ABC≌△ADE（SAS）可判断A选项；由△ABC≌△ADE（SAS）得出∠BAC＝∠DAE，BC＝DE，再由全等三角形的判定和性质即可判定B、C选项即可解答． 【解答】解：在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（SAS），故选项A不符合题意； ∴∠BAC＝∠DAE，BC＝DE， ∴∠BAC﹣∠EAC＝∠DAE﹣∠EAC，即∠BAE＝∠DAG， 在△ABF和△ADG中， ， ∴△ABF≌△ADG（ASA），故选项B不符合题意； ∴BF＝DG， ∴BC﹣BF＝DE﹣DG，即FC＝GE，故选项C不符合题意； 无法证明AG＝GC，故选项D符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定定理证明三角形全等是解题的关键． 7．（2026春•锦江区校级月考）如图，已知△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E．若AC＝5，DE＝2，则△ACD的面积为（　　） A．2.5 B．5 C．6 D．10 【分析】过点D作DF⊥AC，交AC的延长线于点F，先利用角平分线的性质可得DE＝DF＝2，然后利用三角形的面积公式，进行计算即可解答． 【解答】解：过点D作DF⊥AC，交AC的延长线于点F， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝2， ∴DE＝DF＝2， ∵AC＝5， ∴△ACD面积AC•DF 5×2 ＝5， 故选：B． 【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 8．（2026•埇桥区校级模拟）如图，已知∠A＝40°，∠ABC＝70°，根据尺规作图痕迹，EF与CD交于点G，则∠CGE的度数为（　　） A．15° B．18° C．20° D．25° 【分析】根据三角形内角和定理得∠ACB＝70°，由CG是∠ACB的平分线得∠ACG＝35°，根据直角三角形两锐角互余得∠AEF＝50°，再由三角形外角关系可得∠CGE的度数． 【解答】解：由条件可知∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝70°； 由作图得CG是∠ACB的平分线， ∴； 由作图得EF⊥AB于点F， ∴∠AEF＝90°﹣∠A＝50°， 又∠AEF＝∠ACG+∠CGE， ∴∠CGE＝∠AEF﹣∠ACG＝50°﹣35°＝15°． 故选：A． 【点评】本题考查了基本作图、三角形内角和、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是关键． 9．（2026春•秦都区校级期末）如图，在△ABC和△BPE中，AB＝BC，BP＝BE，∠ABC＝∠EBP＝60°，点P在BC的延长线上，EC的延长线交AP于点M，连接BM，则下列结论错误的是（　　） A．∠ACP＝120° B．△ABP≌△CBE C．∠PME＝60° D．点B到AP，CE的距离不相等 【分析】先说明△ABC是等边三角形，可得∠ACB＝60°，即可解答A；再根据“边角边”证明△ABP≌△CBE，解答B，D；然后根据全等三角形的对应角相等得∠APB＝∠BEC，再说明△BEP是等边三角形，可得∠APB+∠MEP＝60°＝∠BPE，然后求出∠PME＝60°说明C即可． 【解答】解：A、∵AB＝BC，∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∴∠ACP＝180°﹣60°＝120°，说法正确，故不符合题意； 在△ABP与△CBE中， ， ∴△ABP≌△CBE（SAS）， ∴点B到AP，CE的距离相等， 故B说法正确，D说法错误； ∵△ABP≌△CBE， ∴∠APB＝∠BEC． ∵BP＝BE，∠EBP＝60°， ∴△BEP是等边三角形， ∴∠BEP＝∠BPE＝60°， ∴∠BEC+∠CEP＝∠APB+∠MEP＝60°＝∠BPE， ∴∠PME＝180°﹣（∠MEP+∠BPE+∠APB）＝60°，故C说法正确． 故选：D． 【点评】此题考查全等三角形的判定，关键是根据全等三角形的判定方法解答． 10．（2026春•郏县期末）已知AB＝10，AC＝6，BD＝8，其中∠CAB＝∠DBA＝α，点P以每秒2个单位长度的速度，沿着C→A→B路径运动．同时，点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着D→B→A路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为t秒． ①若x＝1．则点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍； ②当P、Q两点同时到达A点时，x＝6； ③若α＝90°，t＝5，x＝1时，△ACP≌△BPQ； ④若△ACP与△BPQ全等，则x＝0.8或． 以上说法正确的选项为（　　） A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【分析】①若x＝1，即点P的速度时点Q的2倍，即可求解； ②求出P、Q的运动时间即可求解； ③证明AP≠BQ，即可求解； ④若△ACP与△BPQ全等，则AC＝PB且AP＝BQ或AC＝BQ且AP＝BP，即可求解． 【解答】解：①若x＝1，即点P的速度时点Q的2倍，故点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍，正确，符合题意； ②点P到达A的时间为：6÷2＝3，当x＝6时，点Q到达点A的时间为：（8+10）÷6＝3，故②正确，符合题意； ③若α＝90°，t＝5，x＝1时，如图， 假设AC：AP＝PB：BQ， ∵∠A＝∠B＝α， ∴△APC∽△BQP， ∴∠CPA＝∠PQB， 而∠PQB+∠QPB＝90°， ∴∠CPA+∠QPB＝90°， 即CP⊥PQ， 而此时，AC＝6，则AP＝5×2﹣6＝4，则PB＝AB﹣AP＝6， 而DQ＝1×5＝5，则BQ＝8﹣5＝3， 则AP≠BQ， 故③错误，不符合题意； ④由题意得，AP＝2t﹣6，则PB＝10﹣（2t﹣6）＝16﹣2t，QD＝xt，则BQ＝8﹣xt， 若△ACP与△BPQ全等， 则AC＝PB且AP＝BQ或AC＝BQ且AP＝BP， 即6＝16﹣2t且2t﹣6＝8﹣xt或6＝8﹣xt且2t﹣6＝16﹣2t， 解得：x＝0.8或， 故④正确，符合题意， 故选：C． 【点评】本题为三角形综合题，涉及到三角形全等和相似、动点问题，分类求解是解题的关键． 二．填空题（共6小题） 11．（2025秋•广信区期末）已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是 　50°　 ． 【分析】根据全等三角形对应角相等解答即可． 【解答】解：∵两个三角形全等， ∴α＝50°． 故答案为：50°． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图，确定出对应角是解题的关键． 12．（2025秋•中山市期末）如图是由相同的小正方形组成的网格，点A，B，C均在格点上，连接AB，AC，则∠1+∠2＝　90　 °． 【分析】得到△AEC≌△BDA，利用全等三角形的对应角相等得到答案即可． 【解答】解：根据题意得：△AEC≌△BDA， ∴∠1+∠2＝90°， 故答案为：90． 【点评】本题考查了全等图形的知识，解题的关键是根据题意得到全等的三角形，难度不大． 13．（2026•江阳区模拟）如图，已知∠C＝∠D＝90°，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充 AC＝AD（答案不唯一）　 ． 【分析】斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，由此即可得到答案． 【解答】证明：在Rt△ABC和Rt△ABD中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）， ∴用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充AC＝AD（答案不唯一）． 故答案为：AC＝AD（答案不唯一）． 【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握HL． 14．（2025秋•广汉市校级月考）如图，等边三角形ABC中，D为AC上一点，E为AB延长线上一点，DE⊥AC交BC于点F，且DF＝EF．若AB＝12，则BF的长为 　4　 ． 【分析】过点D作DM∥AB，交CF于点M，证明△CDM是等边三角形，△DMF≌△EBF（ASA），求出∠E＝30°，得到CM＝MF＝BF，即可解答． 【解答】解：如图，过点D作DM∥AB，交CF于点M，则∠MDF＝∠E， ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠C＝60°＝∠CDM＝∠CMD， ∴△CDM是等边三角形， ∴CM＝DM， 在△DMF和△EBF中， ， ∴△DMF≌△EBF（ASA）， ∴MF＝BF， ∵ED⊥AC，∠A＝60°＝∠ABC， ∴∠E＝∠BFE＝∠DFM＝∠FDM＝30°， ∴BE＝BF，DM＝FM， ∴CM＝MF＝BF， ∵AB＝BC＝12， ∴BF＝CM＝MF＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，掌握全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质是解题的关键． 15．（2026春•平陆县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC和∠BAC的平分线相交于点O，OD⊥OA交AC于点D，OE⊥OB交BC于E，AC＝7，BC＝24，AB＝25，则△CDE周长为 　6　 ． 【分析】延长EO交AB于G，延长DO交AB于点F，判定△BOE≌△BOG（ASA），推出BG＝BE，OG＝OE，同理得到AF＝AD，OF＝OD，判定△OFG≌△ODE（SAS），推出FG＝DE，于是得到△CDE的周长＝BC+AC﹣AB＝6cm． 【解答】解：延长EO交AB于G，延长DO交AB于点F， ∵OB平分∠ABC， ∴∠OBE＝∠OBG， ∵OB⊥OE， ∴∠BOE＝∠BOG＝90°， ∵OB＝OB， ∴△BOE≌△BOG（ASA）， ∴BG＝BE，OG＝OE， 同理：△AOF≌△AOD（ASA）， ∴AF＝AD，OF＝OD， ∵OG＝OE，∠FOG＝∠DOE，OF＝OD， ∴△OFG≌△ODE（SAS）， ∴FG＝DE， ∴△CDE的周长＝CD+CE+ED＝CD+CE+FG， ∵CD＝AC﹣AD＝AC﹣AF，CE＝BC﹣BE＝BC﹣BG， ∴CD+CE＝AC+BC﹣（AF+BG）， ∵AF+BG＝AF+FG+BF＝AB+FG， ∴CD+CE＝AC+BC﹣（AB+FG）， ∴△CDE的周长＝AC+BC﹣（AB+FG）+FG＝AC+BC﹣AB， ∵AC＝7，BC＝24，AB＝25， ∴△CDE周长＝7+24﹣25＝6． 故答案为：6． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，关键是判定△BOE≌△BOG（ASA），△AOF≌△AOD（ASA），△OFG≌△ODE（SAS）． 16．（2025秋•綦江区期末）如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝ 　55°　 ． 【分析】求出∠BAD＝∠EAC，证△BAD≌△CAE，推出∠2＝∠ABD＝30°，根据三角形的外角性质求出即可． 【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， ∴∠1＝∠EAC， 在△BAD和△CAE中， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠2＝∠ABD＝30°， ∵∠1＝25°， ∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°， 故答案为：55°． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质的应用，解此题的关键是推出△BAD≌△CAE． 三．解答题（共6小题） 17．（2026春•西乡县期末）如图，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，AB＝CD，AE＝CF，求证：△ABE≌△CDF． 【分析】利用HL即可得证． 【解答】证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴∠CFD＝∠AEB＝90°， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（HL）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，关键是相关判定定理的熟练掌握． 18．（2026春•衡水校级期末）如图，在△ABC中，D是AC上一点，连接BD，E是BD的中点，BF⊥AC于点F． （1）若BD平分∠ABC，∠C＝80°，∠BAC＝60°，求∠DBF的度数． （2）若AD＝CD＝2CF＝2DF，且△ABE的面积S△ABE＝m，求S△CBF的值．（用含m的式子表示） 【分析】（1）根据三角形内角和得到∠ABC＝40°，根据角平分线的定义得到∠CBD＝20°，根据三角形内角和得到∠CBF＝10°，最后根据∠DBF＝∠CBD﹣∠CBF计算即可； （2）根据E是BD的中点得到S△ABD＝2m，根据AD＝CD得到S△ABD＝S△CBD＝2m，最后根据CF＝DF即可得到S△CBF＝m． 【解答】解：（1）∵∠C＝80°，∠BAC＝60°， 由三角形内角和定理可得，∠ABC＝180°﹣80°﹣60°＝40°． ∵BD平分∠ABC， ∴． ∵BF⊥AC， ∴∠BFC＝90°， ∴∠CBF＝90°﹣80°＝10°， ∴∠DBF＝∠CBD﹣∠CBF＝20°﹣10°＝10°； （2）∵E是BD的中点， ∴S△ABE＝S△AED＝m，S△ABD＝2m． ∵AD＝CD， ∴S△ABD＝S△CBD＝2m． ∵CF＝DF， ∴． 【点评】本题考查了三角形内角和，角平分线的定义，三角形中线的性质，关键是根据三角形内角和定理得出∠ABC的度数解答． 19．（2026春•乐平市期末）如图，△ABD和△AEC都是等腰三角形，AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE．连接BC，DC与BE相交于点O． （1）求证：CD＝BE； （2）试说明：∠DOE与∠CAE的数量关系． 【分析】（1）根据SAS证明△ABE≌△ADC，即可证得结论； （2）设AC和OE相交于点F，由△ABE≌△ADC得到对应角相等，继而根据三角形内角和定理得到∠EAF＝∠FOC，从而得到∠DOE+∠CAE＝180°． 【解答】（1）证明：∵∠DAB＝∠CAE， ∴∠DAB+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，即∠DAC＝∠BAE， 在△ABE和△ADC中， ， ∴△ABE≌△ADC（SAS）， ∴CD＝BE； （2）解：∠DOE+∠CAE＝180°，理由如下， 如图，设AC和OE相交于点F， 由（1）可知，△ABE≌△ADC， ∴∠AEF＝∠FCO， 又∵∠AFE＝∠CFO， ∴180°﹣∠AEF﹣∠AFE＝180°﹣∠FCO﹣∠CFO， ∴∠EAF＝∠FOC， ∵∠DOE+∠FOC＝180°， ∴∠DOE+∠CAE＝180°． 【点评】此题考查全等三角形的判定与性质，关键是根据SAS证明△ABE≌△ADC解答． 20．（2025秋•寿县期末）如图1，在△ABC中，∠A＝120°，∠C＝20°，BD平分∠ABC，交AC于点D． （1）求证：BD＝CD． （2）如图2，若∠BAC的角平分线AE交BC于点E，求证：AB+BE＝AC． （3）如图3，若∠BAC的外角平分线AE交CB的延长线于点E，则（2）中的结论是否成立？若成立，给出证明，若不成立，写出正确的结论． 【分析】（1）根据∠A＝120°，∠C＝20°，可得∠ABC的度数，再根据BD平分∠ABC，可得∠DBC＝∠C＝20°，进而可得结论； （2）如图2，过点E作EF∥BD交AC于点F，证明△ABE≌△AFE，可得BE＝EF＝FC，进而可得AB+BE＝AC； （3）如图3，过点A作AF∥BD交BE于点F，结合（1）和AE是∠BAC的外角平分线，可得FE＝AF＝AC，进而可得结论BE﹣AB＝AC． 【解答】（1）证明：∵∠A＝120°，∠C＝20°， ∴∠ABC＝180°﹣120°﹣20°＝40°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBCABC＝20°， ∴∠DBC＝∠C＝20°， ∴BD＝CD； （2）证明：如图2，过点E作EF∥BD交AC于点F， ∴∠FEC＝∠DBC＝20°， ∴∠FEC＝∠C＝20°， ∴∠AFE＝40°，FE＝FC， ∴∠AFE＝∠ABC， ∵AE是∠BAC的平分线， ∴∠BAE＝∠FAE， 在△ABE和△AFE中， ， ∴△ABE≌△AFE（AAS）， ∴BE＝EF， ∴BE＝EF＝FC， ∴AB+BE＝AF+FC＝AC； （3）（2）中的结论不成立，正确的结论是BE﹣AB＝AC．理由如下： 如图3，过点A作AF∥BD交BE于点F， ∴∠AFC＝∠DBC＝20°， ∴∠AFC＝∠C＝20°， ∴AF＝AC， ∵AE是∠BAC的外角平分线， ∴∠EAB（180°﹣∠ABC）＝30°， ∵∠ABC＝40°， ∴∠E＝∠ABC﹣∠EAB＝10°， ∴∠E＝∠FAE＝10°， ∴FE＝AF， ∴FE＝AF＝AC， ∴BE﹣AB＝BE﹣BF＝EF＝AC． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． 21．（2026•阜南县二模）如图，等边△ABC中，点D、E分别在BC、AC上，且BD＝CE，AD交BE于F． （1）求证：△ABD≌△BCE； （2）当S△BDF＝S四边形CEFD时，求的值； （3）连接CF，若CF⊥BF，直接写出AF：BF：CF的值． 【分析】（1）利用SAS可直接证明； （2）作DM∥AC交BE于点M，设BD＝x，BC＝a，可证得F为AD的中点，再利用△BDM∽△BCE，得，代入即可； （3）作BN⊥AD于点N，利用AAS证明△ABN≌△BCF，得CF＝BN，BF＝AN，由（1）知∠BFN＝∠ABE+∠BAF＝∠FAE+∠BAF＝60°，则BF＝2FN，BNFN，从而解决问题． 【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC，∠ABD＝∠BCE＝60°， 在△ABD与△BCE中， ， ∴△ABD≌△BCE（SAS）； （2）解：作DM∥AC交BE于点M， 设BD＝x，BC＝a， ∵S△BDF＝S四边形CEFD，S△BCE＝S△BDA ∴S△BAF＝S四边形CEFD＝S△BDF， ∴AF＝DF， ∴F为AD的中点， ∵DM∥AE，F为AD的中点， ∴△BDM∽△BCE， ∴， ∴， ∴x， ∴； （3）作BN⊥AD于点N， ∵∠BAD＝∠CBF，AB＝BC，∠ANB＝∠BFC， ∴△ABN≌△BCF（AAS）， ∴CF＝BN，BF＝AN， ∴∠ABE＝∠FAE， ∴∠BFN＝∠ABE+∠BAF＝∠FAE+∠BAF＝60°， ∴BF＝2FN，BNFN， ∴AF＝AN﹣FN＝BF﹣FN， CF＝BNFN， ∴AF：BF：CF的值为1：2： 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，证明△BDM∽△BCE是解题的关键． 22．（2026春•蓝山县期中）定义：若一个点到某条直线和某条坐标轴的距离相等，则称这个点为这条直线和这条坐标轴的“等距点”．如图，在下图的平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的边BC在x轴上，点B的坐标为（﹣6，0），点A在y轴正半轴上，且OB＝2OA，点C在x轴的正半轴上，且AC＝5． （1）点A坐标为　（0，3），（4，0）　 ，点C坐标为　（﹣10，0）或（﹣2，0）　 ． （2）若△ABP的面积为6，求点P的坐标． （3）若点P是直线AC和y轴的“等距点”，且点P在x轴上，则点P坐标为　或（﹣6，0）　 ． 【分析】（1）先求出OA＝3即可求得点A的坐标；再利用勾股定理求得OC＝4，即可确定点C的坐标； （2）设点P的坐标为（m，0），则BP＝|﹣6﹣m|＝m+6，再利用△ABP的面积求出6，列绝对值方程求得m的值，即可求出P的坐标； （3）根据坐标距离结合面积公式得出方程求解即可． 【解答】解：（1）在下图的平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的边BC在x轴上，点B的坐标为（﹣6，0），点A在y轴正半轴上，且OB＝2OA， ∵B（﹣6，0）， ∴OB＝6， ∵OB＝2OA， ∴OA＝3， ∵点A在y轴正半轴上， ∴A（0，3）． 在Rt△AOC中，AC＝5， ∴， ∴点C的坐标为（4，0）． （2）设点P的坐标为（m，0），则BP＝|﹣6﹣m|＝m+6， ∵， ∴， ∴m＝﹣10或m＝﹣2， ∴P的坐标为（﹣10，0）或（﹣2，0）． （3）若点P是直线AC和y轴的“等距点”，且点P在x轴上， 设点P的坐标为（x，0），则点P到y轴的距离为|x|，|PC＝|4﹣x|； 设点P到直线AC的距离为h， ∵， ∴， ∵点P到直线AC和y轴的距离相等， ∴，解得：或x＝﹣6， ∴点P的坐标为或（﹣6，0）． 【点评】本题角平分线的性质，正确进行计算解题关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $