2.4-2.5 有理数的加法与减法、有理数的乘法与除法 讲义 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

该初中数学讲义围绕有理数的加减乘除及四则运算，通过知识梳理列表呈现法则与运算律，构建“基础法则-运算技巧-实际应用”的知识框架，清晰展现重难点及加减、乘除的转化联系。 讲义以“题型分类+例题变式”设计练习，涵盖基础运算、新定义问题（如“#”运算）和实际应用（如成绩记录分析），培养运算能力与应用意识。不同层次题目满足学生需求，助力教师精准复习教学。

第2章 有理数 2.4有理数的加法与减法—2.5有理数的乘法与除法 【新教材苏科版】 【题型1有理数的加减法】 1 【题型2有理数的乘除法】 7 【题型3有理数的四则运算】 8 【题型4有理数的实际应用】 13 【举一反三】 14 【题型1有理数的加减法】 知识梳理 1. 有理数的加法法则： 同号两数相加，取相等的符号，并把绝对值相加 异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 一个数与0相加，仍得这个数. 2. 如果，那么,互为相反数. 3. 有理数的减法法则： 减去一个数，等于加上这个数的相反数. 【例1】计算： 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 【变式1-1】计算 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 【变式1-2】计算： 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 【例2】若非零数,满足，则（ ） A. 、均为正数 B. 、均为负数 C. 、异号 D. 、同号 【变式2-1】定义一种新的运算“#”，其规则为#=+，如#=+=，那么（）#2的值是____. 【变式2-2】定义一种新的运算“*”，其规则为=，如，那么（）*3的值是_____. 【变式2-3】下列说法： （1）两个负数相加，和一定为负； （2）两个正数相减，差不是正数就是负数； （3）正数减负数，差不一定是正数； （4）负数减负数，差不一定是负数． 其中正确的是（ ） A. (1)(3) B. (1)(4) C. (1)(2)(4) D. (2)(4) 【变式2-4】若=3，=2，-x＞y，求x+y的值． 【变式2-5】一只电子跳蚤从数轴上的原点出发，第一次向右跳1个单位，第二次向左跳2个单位，第三次向右跳3个单位，第四次向左跳4个单位……按这样的规律跳100次，跳蚤到原点的距离是多少? 【题型2有理数的乘除法】 1. 有理数乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 0与任何数相乘都得0. 2. 乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律，在有理数范围内同样适用. 交换律： 结合律： 分配律： 3. 一般地，如果，那么和互为倒数关系，其中一个数叫做另一个数的. 0没有倒数. 4. 有理数除法法则： 除以一个数，等于乘这个数的倒数. 两个不等于0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 0除以一个不等于0的数，都得0. 【例3】 计算： 【变式3-1】 计算结果正确的是（ ） A. 25 B. C. D. 1 【变式3-2】 （1） (2) （3） 【变式3-3】 形如 的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示为 =ad－bc，依此法则计算： 【题型3有理数的四则运算】 【例4】计算，能简算的要简算 (1)； (2)． 【变式4-1】计算： (1) (2) 【变式4-3】计算： (1) (2) 【变式4-4】计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【变式4-5】计算 (1)； (2)． (3)； (4)． 【题型4有理数的实际应用】 【例5】小华计划每天做10道有理数运算. 将超过的个数记作正数，不足的个数记作负数，某一周连续进行运算练习的记录如下：+3，0，+7，-5，+1，则这5天他一共完成了（ ）道有理数运算 A. 52 B. 54 C. 56 D. 58 【变式5-1】绝对值小于2026的所有整数的和为________ 【变式5-2】在一次考试中，某班的10名同学考试成绩如下（单位：分）：78，85，97，94，88，87，98，67，85，91. （1） 以85分为标准，成绩高于85分的记为整数，低于85分的记为负数. 如78分记为-7分，91分记为+6分. 请你按上述要求表示出这10名同学的成绩 （2） 用（1）中的成绩求他们的平均成绩 【举一反三】 1. 如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则圆周上表示数字___的点与数轴上表示2023的点重合． 2. 为任何非零有理数，则的可能取值是（    ） A．或1 B．3或1或 C．1或3 D．或3 3. 阅读下列材料：计算． 解法一：原式＝＝550． 解法二：原式＝＝50÷＝50×6＝300． 解法三：原式的倒数为 ＝． 故原式＝300． 上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法______是错误的．请你选择合适的解法解答下列问题： 计算： 4. 一辆货车从超市出发，向东走了3km，到达小刚家，继续向东走了4km到达小红家，又向西走了11km到达小英家，最后回到超市． （1）请以超市为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示1km，画出数轴．并在数轴上表示出小刚家、小红家、小英家的位置； （2）小英家距小刚家有多远？ （3）货车一共行驶了多少千米？ 5. 如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为25，则第2022次输出的结果为_____． 6. 新华书店开业期间推出售书优惠方案：①一次性购书不超过100元，不享受优惠；②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折；③一次性购书200元律打八折．如李明明同学一次性购书付款162元，那么李明明所购书的原价一定为（　　） A．180元 B．200 元 C．200元或202.5元 D．180元或202.5元 7. 笑笑超市对顾客实行优惠购物，优惠规定如下： （1）如果一次性购物在500元以内，按标价给予九折优惠； （2）如果一次性购物超过500元，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠． A．王叔叔在该超市购买了一台标价750元的吸尘器，他应付多少元？ B．李阿姨先后两次去该超市购物，分别付款216和486元，如果李阿姨一次性购买，只需要付款多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 有理数 2.4有理数的加法与减法—2.5有理数的乘法与除法 【新教材苏科版】 【题型1有理数的加减法】 1 【题型2有理数的乘除法】 7 【题型3有理数的四则运算】 8 【题型4有理数的实际应用】 13 【举一反三】 14 【题型1有理数的加减法】 知识梳理 1. 有理数的加法法则： 同号两数相加，取相等的符号，并把绝对值相加 异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 一个数与0相加，仍得这个数. 2. 如果，那么,互为相反数. 3. 有理数的减法法则： 减去一个数，等于加上这个数的相反数. 【例1】计算： 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 【答案】 1. -12 2. 20 3. -6 4. -5 5. 8 6. 2.4 7. -9 8. 14 9. 3 10. 11. 12. 【变式1-1】计算 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 【答案】 1. -1 2. 6 3. 0.1 4. -10 5. 0 6. 0 7. 1 8. -0.5 9. -2 10. 0 11. 1 12. -4.5 【变式1-2】计算： 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 【答案】 1. 0.5 2. 0.5 3. 4. 5. 6. 7. 2 8. 【例2】若非零数,满足，则（ ） A. 、均为正数 B. 、均为负数 C. 、异号 D. 、同号 【答案】D 【分析】 本题主要考查绝对值的性质，尤其关注绝对值三角不等式的等号成立条件。对于任意有理数、，有，当且仅当a、b同号（或其中至少一个为0）时等号成立。题干强调非零数，故、同号。 【详解】 因为，根据绝对值三角不等式，等号成立的条件是、同号。由于、均为非零数，所以、同为正数或同为负数，即“同号”。 所以选D。 【点睛】 绝对值三角不等式是判断此类问题的关键。等号成立条件为（同号或至少一个为0）。本题强调非零，故排除了含有0的情况，确保答案唯一为“同号”。 【变式2-1】定义一种新的运算“#”，其规则为#=+，如#=+=，那么（）#2的值是____. 【答案】 【分析】 本题是一种新定义运算，只需严格按照给定的运算规则代入计算即可。注意符号，运算顺序为先算分子再除以分母。 【详解】 由定义，将，代入： 。 故答案为。 【点睛】 新定义运算题，切记“照章办事”，数值代入时注意括号和符号，避免计算错误。 【变式2-2】定义一种新的运算“*”，其规则为=，如，那么（）*3的值是_____. 【答案】 【分析】 本题同样为新定义运算，按规则代入计算即可，注意减法中减数的分数处理。 【详解】 由定义，将，代入： 。 故答案为。 【点睛】 新定义运算的难点在于理解规则，代入时注意运算顺序和符号。必要时可将结果化为最简分数或带分数。 【变式2-3】下列说法： （1）两个负数相加，和一定为负； （2）两个正数相减，差不是正数就是负数； （3）正数减负数，差不一定是正数； （4）负数减负数，差不一定是负数． 其中正确的是（ ） A. (1)(3) B. (1)(4) C. (1)(2)(4) D. (2)(4) 【答案】B 【解析】该题考察的是正负数的相关概念及计算。 （1）根据同号两数相加的法则，得到两个负数相加，和一定为负。本选项正确； （2）两个正数相减，差有可能是正数也有可能负数，还可能为0。本选项错误； （3）正数减负数，差一定是正数。本选项错误； （4）负数减负数，差不一定是负数，有可能为0还有可能是正数。本选项正确，则正确的选项有：（1）（4）。 故答案是B。 【变式2-4】若=3，=2，-x＞y，求x+y的值． 【答案】∵=3，=2，∴x=±3，y=±2，∵－x>y，∴x=－3，y=±2，∴当x=－3，y=2时，x + y=－1；当x=－3，y=－2时，x +y=－5. 【变式2-5】一只电子跳蚤从数轴上的原点出发，第一次向右跳1个单位，第二次向左跳2个单位，第三次向右跳3个单位，第四次向左跳4个单位……按这样的规律跳100次，跳蚤到原点的距离是多少? 【答案】50 【题型2有理数的乘除法】 1. 有理数乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 0与任何数相乘都得0. 2. 乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律，在有理数范围内同样适用. 交换律： 结合律： 分配律： 3. 一般地，如果，那么和互为倒数关系，其中一个数叫做另一个数的倒数. 0没有倒数. 4. 有理数除法法则： 除以一个数，等于乘这个数的倒数. 两个不等于0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 0除以一个不等于0的数，都得0. 【例3】 计算： 【答案】 5 【解析】 该题考查有理数的除法． 【变式3-1】 计算结果正确的是（ ） A. 25 B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 该题考查的是混合运算． ，所以该题的答案是A． 【变式3-2】 （1） (2) （3） 【答案】 （1） = = （2） = = （3） = 【变式3-3】 形如 的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示为 =ad－bc，依此法则计算： 【答案】 13 【解析】本题考查新定义题型，有理数的四则运算 【题型3有理数的四则运算】 【例4】计算，能简算的要简算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数运算，熟练掌握相关运算法则和运算律是解题关键． （1）根据乘法运算律将原式整理为，再进行有理数乘法运算，然后相加减即可； （2）首先进行乘方运算以及括号内的运算，再进行乘除运算，然后相加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式4-1】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算的顺序和各运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的乘法以及加减进行计算； （2）根据有理数的混合运算先计算乘方，化简绝对值，再计算乘除法，最后计算加减法即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式4-3】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键； （1）原式先计算乘方和括号内的，最后计算加减法即可； （2）先计算乘方和乘法运算，最后计算加减法即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【变式4-4】计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的加减混合运算、加法运算律等知识点，掌握相关运算法则和运算定律是解题的关键． （1）根据有理数的加减运算法则进行计算即可； （2）根据加法交换律和结合律进行简便计算即可； （3）先进行绝对值运算，再运用有理数加减法运算法则求解即可； （4）根据加法交换律和结合律进行简便计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【变式4-5】计算 (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）利用乘法分配律展开，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先计算乘方和括号内减法，再计算乘法和绝对值，最后计算加减法即可； （3）先计算乘方和绝对值，再计算乘法，最后计算加减法即可； （4）先将除法化为乘法，并将带分数化为假分数，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 【题型4有理数的实际应用】 【例5】小华计划每天做10道有理数运算. 将超过的个数记作正数，不足的个数记作负数，某一周连续进行运算练习的记录如下：+3，0，+7，-5，+1，则这5天他一共完成了（ ）道有理数运算 A. 52 B. 54 C. 56 D. 58 【答案】C 【解析】 该题考查有理数的四则运算． 总题目数=，故答案选C 【变式5-1】绝对值小于2026的所有整数的和为________ 【答案】0 【解析】 该题考查有理数的加减运算与绝对值的定义. 绝对值小于2026的整数和 由于与互为相反数，相加为0，所以利用加法交换律，可以得到 上式 【变式5-2】在一次考试中，某班的10名同学考试成绩如下（单位：分）：78，85，97，94，88，87，98，67，85，91. （1） 以85分为标准，成绩高于85分的记为整数，低于85分的记为负数. 如78分记为-7分，91分记为+6分. 请你按上述要求表示出这10名同学的成绩 （2） 用（1）中的成绩求他们的平均成绩 【答案】 （1） 这10名同学的成绩可以表示为： （2） 平均成绩 【举一反三】 1. 如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则圆周上表示数字___的点与数轴上表示2023的点重合． 【答案】0 【分析】圆周上的0点与重合，滚动到2023，圆滚动了2024个单位长度，用2024除以4，余数即为重合点． 【详解】解：圆周上的0点与重合， ， ， 圆滚动了506 周到2023， 圆周上的0与数轴上的2023重合， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了数轴，找出圆运动的规律与数轴上的数字的对应关系是解决此类题目的关键． 2. 为任何非零有理数，则的可能取值是（    ） A．或1 B．3或1或 C．1或3 D．或3 【答案】B 【分析】按照a，b的正负性分类讨论即可． 【详解】解：当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； ∴的取值不可能是1， 故选：B． 【点睛】本题考查了化简绝对值，有理数的减法和除法，分类讨论是解题的关键． 3. 阅读下列材料：计算． 解法一：原式＝＝550． 解法二：原式＝＝50÷＝50×6＝300． 解法三：原式的倒数为 ＝． 故原式＝300． 上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法______是错误的．请你选择合适的解法解答下列问题： 计算：． 【答案】一； 【分析】根据有理数的除法，可转化成有理数的乘法，可得答案； 根据有理数的运算顺序，先算括号里面的，再算有理数的除法，可得答案． 【详解】解：没有除法分配律，故解法一错误； 故答案为：一． 原式＝ ＝ ＝． 【点睛】本题考查了有理数的除法，先算括号里面的，再算有理数的除法，注意没有除法分配律． 4. 一辆货车从超市出发，向东走了3km，到达小刚家，继续向东走了4km到达小红家，又向西走了11km到达小英家，最后回到超市． （1）请以超市为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示1km，画出数轴．并在数轴上表示出小刚家、小红家、小英家的位置； （2）小英家距小刚家有多远？ （3）货车一共行驶了多少千米？ 【答案】（1）见解析；（2）7千米；（3）22千米； 【分析】(1)以超市为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示1km，依此画出数轴，并在数轴上表示出小刚家、小红家、小英家的位置； (2)根据已知图象可得； (3)注意用绝对值来表示所走的总路程，再乘以耗油量可得答案. 【详解】(1)如图所示： (2)由图知小英家距小刚家的距离为7km； (3)货车一共行驶了3+4+11+4=22(km). 【点睛】此题考查数轴，解题关键在于根据题意画出数轴. 5. 如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为25，则第2022次输出的结果为_____． 【答案】1 【分析】由题意利用程序图进行运算，可以发现从第一次开始输出的结果以5，1为循环节循环，由此可得结论． 【详解】解：由题意得： 第一次输入25，输出结果为：5； 第二次输入5，输出结果为：1； 第三次输入1，输出结果为：5； 第四次输入5，输出结果为：1； 第五次输入1，输出结果为：5； 第六次输入5，输出结果为：1； ∴从第一次开始输出的结果以5，1为循环节循环， ∵2022÷2＝1011， ∴第2022次输出的结果为：1． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了求代数式的值，有理数的混合运算，本题是操作型题目，理解并正确操作程序是解题的关键． 6. 新华书店开业期间推出售书优惠方案：①一次性购书不超过100元，不享受优惠；②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折；③一次性购书200元律打八折．如李明明同学一次性购书付款162元，那么李明明所购书的原价一定为（　　） A．180元 B．200 元 C．200元或202.5元 D．180元或202.5元 【答案】D 【分析】不享受优惠即原价，打九折即原价×0.9，打八折即原价×0.8． 【详解】解：∵200×0.9＝180，200×0.8＝160，160＜162＜180， ∴一次性购书付款162元，可能有两种情况． 162÷0.9＝180元；162÷0.8＝202.5元． 故王明所购书的原价一定为180元或202.5元． 故选：D． 【点睛】本题考查有理数的运算在实际生活中的应用．注意售书有三种优惠方案． 7. 笑笑超市对顾客实行优惠购物，优惠规定如下： （1）如果一次性购物在500元以内，按标价给予九折优惠； （2）如果一次性购物超过500元，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠． A．王叔叔在该超市购买了一台标价750元的吸尘器，他应付多少元？ B．李阿姨先后两次去该超市购物，分别付款216和486元，如果李阿姨一次性购买，只需要付款多少元？ 【答案】王叔叔应付650元；李阿姨一次性购买，只需要付款678元 【分析】A．根据题意，可以列出算式500×90%+（750﹣500）×80%，然后计算即可得到王叔叔应付的钱数； B．先判断486元的实际付款与原价500的商品打折后的钱数的大小关系，然后即可计算出李阿姨一次性购买，只需要付款的钱数． 【详解】解：A．由题意可得， 500×90%+（750﹣500）×80% ＝450+250×80% ＝450+200 ＝650（元）， 答：王叔叔应付650元； B．∵500×90%＝450＜486， ∴李阿姨第二次购物的商品原价大于500元， ∴李阿姨购买的商品的原价为：216÷90%+[500+（486﹣500×90%）÷80%] ＝240+[500+（486﹣450）÷0.8] ＝240+（500+36÷0.8） ＝240+（500+45） ＝240+545 ＝785（元）， 如果一次购买785元的商品实际付款为：500×90%+（785﹣500）×80% ＝450+285×0.8 ＝450+228 ＝678（元）， 答：李阿姨一次性购买，只需要付款678元． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，列出相应的算式． 学科网（北京）股份有限公司 $