专题三 有理数的运算【（挑战压轴题）导图知识卡片+十八大考点讲练+优选题训练 共53题】-2026-2027学年苏科版数学七年级上册典型题培优系列

本讲义聚焦有理数的运算这一核心知识点，系统梳理从加减混合运算、简便运算到乘除混合运算、乘方及科学记数法等18个考点，通过思维导图构建知识框架，以考点讲练为学习支架，形成从基础运算到实际应用的完整脉络。 资料以“典例精讲+对应练习”为特色，如无人机飞行指令、盲盒销售等实际情境题培养数学眼光，乘方符号规律探究发展推理思维，科学记数法应用提升数学语言表达能力，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺。

null 2026-2027学年苏科版数学七年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题三 有理数的运算 【思维导图+18大考点讲练+优选题训练 共53题〔原卷版〕】 目 录 【压轴考点01】有理数的加减混合运算 3 【压轴考点02】有理数加减中的简便运算 4 【压轴考点03】有理数加减混合运算的应用 4 【压轴考点04】省略加法和括号的形式 5 【压轴考点05】有理数乘除简便运算 7 【压轴考点06】有理数四则混合运算 8 【压轴考点07】有理数四则混合运算的实际应用 8 【压轴考点08】根据点在数轴的位置判断式子的正负 10 【压轴考点09】数轴上的翻折 10 【压轴考点10】有理数的乘方运算 11 【压轴考点11】有理数乘方逆运算 12 【压轴考点12】乘方运算的符号规律 13 【压轴考点13】乘方的应用 14 【压轴考点14】用科学记数法表示绝对值大于1的数 14 【压轴考点15】将用科学记数法表示的数变回原数 15 【压轴考点16】程序流程图与有理数计算 15 【压轴考点17】算 “24”点 16 【压轴考点18】含乘方的有理数混合运算 16 【压轴考点01】有理数的加减混合运算 【典例精讲】（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3) ； (4)． 【对应练习】（26-27七年级上·全国·课后作业）将下列各式写成省略加号的和的形式，并按要求交换加数的位置： (1) ；（使正负号相同的加数结合在一起） (2) ；（使和为整数的加数结合在一起） (3) ；（使分母相同或便于通分的加数结合在一起） (4) ．（使计算简便） 【压轴考点02】有理数加减中的简便运算 【典例精讲】计算 (1) (2) (2) (4) 【对应练习】计算： 【压轴考点03】有理数加减混合运算的应用 【典例精讲】（25-26六年级上·上海·期中）以“点亮上海”为主题的上海国际光影节刚刚落幕，其中的无人机表演令人惊艳．当无人机群到达同一高度的表演点位后，飞行控制员发出飞行指令：上升为正，下降为负（单位：米） A组无人机群的3个飞行指令记为：，，； B组无人机群的2个飞行指令记为：，． 若要求两组无人机群的第三个动作后的飞行高度相同，那么要如何调整B组的第3个飞行指令，上升还是下降？上升或下降多少米？ 【对应练习】佳佳和琪琪用扑克牌做数学游戏，如图，两人手中各有四张扑克牌，并且都不知道对方手中的牌． 游戏规则是：将方块“◆”记为正分，如“”记为分，将梅花“”记为负分，如“”记为分；两人各自同时从对方手中任意抽取一张牌，与手中剩余的牌计算总分，得分高的人获胜． (1)若佳佳从琪琪手中抽到“◆”，同时琪琪从佳佳手中抽到“”，分别计算此时佳佳和琪琪手中牌的总分，并判断谁获胜； (2)若两人互相任意抽取一张牌后，佳佳手中牌的总分最高可能是多少？ (3)在两人互相任意抽取一张牌后，直接写出佳佳手中牌的总分与琪琪手中牌的总分具有什么特征． 【压轴考点04】省略加法和括号的形式 【典例精讲】（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3) ； (4)； (5)； (6)． 【对应练习】（25-26七年级上·河南商丘·阶段检测）平顶山某初中数学小组学完进度章节后，对一道试题展开了讨论，请你仔细阅读并完成任务． 试题：计算：． 小明：对于这道试题我采用直接运算方法，从左到右先写成省略括号和加号的形式，之后…… 小亮：对于这类计算，我发现了一种拆项法．以这道试题为例： 原式               …… 小明：这种方法很有趣，值得推荐． …… 任务： (1)请你帮助小明把原式写成省略括号和加号的形式 ； (2)题干中横线上空缺的计算结果是 ； (3)按小亮的方法计算：． 【压轴考点05】有理数乘除简便运算 【典例精讲】（26-27七年级·上海·暑假作业）该数轴的原点为，向右为正方向．若点A，C所表示的数互为相反数，则该数轴的原点对应直尺上的刻度为______． 【对应练习】（25-26七年级上·江苏苏州·期中）计算 (1) (2) (4) (5) 【对应练习】（25-26七年级上·辽宁鞍山·期中）用运算律简便运算 (1) (2) 【压轴考点06】有理数四则混合运算 【典例精讲】（26-27七年级上·江苏徐州·开学考试）计算下面各题． (1)； (2)； (3)； (4)． 【对应练习】（25-26七年级上·广东揭阳·阶段检测）简便运算： (1) ． (2)； (2) ． 【压轴考点07】有理数四则混合运算的实际应用 【典例精讲】（25-26七年级上·陕西商洛·阶段检测）盲盒是指消费者无法提前得知具体产品款式的包装商品，受到年轻消费者的青睐．某商店购进一批盲盒，进价为每个元；为合理定价，前五天试行机动价格，售出时以每个元为标准价格，超出元的部分记为正，不足元的部分记为负，该店记录的前五天盲盒的售价与标准价的差值和售出数量（共计个）如下表所示： 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 售价相对于标准价（元/个） 售出数量（个） 20 35 10 15 5 (1)该店前五天出售的这批盲盒中，单价最高的是第________天，最高单价为________元/个，最高单价比最低单价多________元/个； (2)以标准价格为准，前五天这个盲盒的售价总计超过或不足多少元？ (3)不考虑其他成本，求出前五天该店出售这批盲盒的总利润． 【对应练习】（26-27七年级上·湖南·开学考试）为鼓励居民节约用水，长沙市自来水公司制定了下面的收费方式：每户每月用水吨以内（含吨），按元/吨收取；超出吨但不超过吨（含吨）的部分，按元/吨收取，超过吨的部分，按元/吨收取． (1)小明家月份用水吨，应缴水费多少元？ (2)小明家月份用了吨水，应缴水费多少元？ (3)小红家月份缴水费元，她家月份用水多少吨？ 【压轴考点08】根据点在数轴的位置判断式子的正负 【典例精讲】（25-26七年级上·山东德州·期中）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【对应练习】（25-26七年级上·四川眉山·期中）有理数在数轴上的位置如图所示． (1) ， ， ， ； （填或） (2)若关于的代数式的值与字母的取值无关，求的值． 【压轴考点09】数轴上的翻折 【典例精讲】如图，、两点在数轴上，表示的数为，表示的数为． (1)、两点间的距离是______． (2)若把点先向右移动个单位，再向左移动个单位，然后又向左移动个单位，此时点表示的数是______； (3)如图，以点为折点，将此数轴向右对折，若点和点之间的距离是，则点表示的数是______． 【对应练习】（24-25七年级上·河北邯郸·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．若数轴上点，分别对应数，．则点，两点之间的距离为． 如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数c；，且 (1) ， ， ； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数 表示的点重合； (3)现有两个动点，同时从点，出发匀速运动，设运动时间为秒． ①若点、点分别以每秒个单位长度的速度和每秒个单位的长度的速度沿数轴均向左匀速运动．为何值时，点追上点． ②若点以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，求为何值时，点，相距个单位长度．并写出此时点，在数轴上表示的数． 【压轴考点10】有理数的乘方运算 【典例精讲】（24-25七年级上·云南昆明·期末）探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： ；； ；； ；． ． (1)______； (2)已知：，其中，a为负数，求a的值； (3)是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 【对应练习】（24-25六年级上·上海·阶段检测）阅读材料，求值：． 解：设①，将等式两边同时乘以2得： ②， ，得：， 所以， 即， 请你仿照此法计算： (1)； (2)（其中为正整数） 【压轴考点11】有理数乘方逆运算 【典例精讲】（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）根据乘方的意义及乘法运算律可知： ； ； (1)根据以上材料可知： ___________， ___________（n为正整数）； (2)根据上面得到的结论，计算： ___________． 【对应练习】（25-26七年级上·重庆万州·期中）已知，，且，则的值为（    ） A．或 B．或3 C．或 D．11或3 【压轴考点12】乘方运算的符号规律 【典例精讲】（25-26七年级上·福建泉州·期中）关于x的代数式，当x取任意一组相反数a与时，若代数式的值相等，则称之为“偶代数式”；若代数式的值互为相反数，则称之为“奇代数式”，例如代数式是“偶代数式”，是“奇代数式”． (1)以下代数式中，是“偶代数式”的有_______，是“奇代数式”的有_______；（将正确选项的序号填写在横线上．①；②；③ (2)某个奇代数式，当x取2时，代数式的值为3，问：当x取时，代数式的值为多少？ (3)对于整式，当x分别取，，，，0，1，2，3，4时，这九个整式的值之和是_______． 【对应练习】（25-26七年级上·山东菏泽·期中）先用数学的眼光观察下列两组算式，然后解答提出的问题． ① 与；② 与   (1)通过计算说明每组两个算式的结果是否相等； (2)根据（1）的结果猜想等于什么？ (3)用（2）的结论计算： 【压轴考点13】乘方的应用 【典例精讲】一种叫水浮莲的水草生长很快，每天增加1倍，10天刚好长满池塘，到第几天刚好长满池塘面积的一半（     ） A．6天 B．5天 C．8天 D．9天 【对应练习】（25-26七年级上·山东青岛·期末）若，，，，则a，b，c，d的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【压轴考点14】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【典例精讲】（24-25七年级下·河北张家口·期中）地球上水的总储量为，但目前能被人们利用的水仅占总储量的，即约为，关于数据“”，下列说法正确的是（     ） A．用科学记数法可以表示为 B．用科学记数法可以表示为 C．该数是一个18位数 D．该数是一个19位数 【对应练习】（25-26七年级上·河南周口·期中）据科学家测算，用1吨废纸造出的再生好纸相当于亩森林木材的造纸量．某市今年大约有名初中毕业生，每个毕业生离校时大约有12千克废纸，若他们都把废纸送到回收站生产再生好纸，那么至少可使多少亩森林免遭砍伐？ 【压轴考点15】将用科学记数法表示的数变回原数 【典例精讲】2025年10月31日神舟二十一号载人飞船采用自主快速交会对接模式，发射后仅用3.5小时与空间站成功对接，其平均速度高达千米/小时，则这个用科学记数法表示的数据原数是（     ）米/小时 A．2764810 B．2764800 C．27648000 D．276480000 【对应练习】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知航天器速度为米/秒，行星与地球距离为千米，下列正确的是（    ） A．航天器速度原数是79000米/秒 B．的原数末尾有8个0 C．航天器飞完这段距离需秒 D．小数点右移2位，结果为 【压轴考点16】程序流程图与有理数计算 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西西安·期末）任意给一个非零数，按如图所示的程序写出输出结果，则与之间的关系式为（   ）． A． B． C． D． 【对应练习】（2026·河北石家庄·模拟预测）图是一个计算程序． (1)按照顺序计算并填写其中的“     ”，并在下面横线上列出综合算式； 综合算式：___________________（仅列算式无需计算）； (2)计算：． 【压轴考点17】算 “24”点 【典例精讲】小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中抽取2张卡片，将2张卡片上的数字分别作为底数和指数，使所得的幂最大，应如何抽取？幂的最大值是多少？ (2)从中抽取3张卡片，使这3张卡片上数字的乘积最小，应如何抽取？积的最小值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，将四个数（四个数都用且只能用一次，可使用括号） “”、“”、“”、“”运算，使其结果等于．（写出一种情况即可） 【对应练习】（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌只能用一次），使得运算结果为或，其中红色扑克代表负数，黑色扑克代表正数，，，分别代表，，如果抽到的是下列四张扑克（一张黑，一张红，一张黑，一张黑），那么凑成所列的算式是______． 【压轴考点18】含乘方的有理数混合运算 【典例精讲】（25-26七年级上·河南郑州·期中）简便运算． (1) (2) (3) (4) 【对应练习】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．约定逢三进一就是三进制，用数字0，1，2记数，三进制数可以转换为十进制数．例如，三进制数1212记为，由，可得是十进制数50． (1)将转换为十进制数，结果是________； (2)对于一个用三进制表示的正整数，现有结论“如果这个数的所有数位上的数字之和能被2整除，那么这个数就能被2整除．”请以四位的三进制数为例： ①将转化为十进制，结果是________． ②请以四位的三进制数为例，说明该结论正确的道理． 1．（26-27七年级上·湖北武汉·开学考试）振大超市出售三种品牌的大米，袋子上分别标有千克，千克，千克．从中任意拿出两袋，这两袋米的质量最多相差（    ）． A．0.8千克 B．0.6千克 C．0.5千克 D．0.4千克 2．（26-27六年级上·上海·开学考试）停车场对小汽车的收费标准是这样的：半小时内（含半小时）免费，半小时以上，每过1小时收费8元，不足1小时按1小时算．一辆小汽车付停车费24元，那么它的停车时间段可能是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）已知a、b是有理数，下列说法错误的是（     ） A．若，则 B．若且a、b均是非零数，则 C．若，则 D．若数轴上a，b在原点的两侧，则 4．（25-26七年级上·福建泉州·开学考试）、表示两个数，规定新运算“”及“”如下，，那么________． 5．我国古代《易经》中记载了“结绳记数”的方法．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录孩子出生后的天数．若从右起第1位打结数为3，第2位为2，第3位为1，则孩子出生后的天数为______天． 6．（25-26七年级下·安徽亳州·期末）将二进制数101转化成十进制数这样进行：，即二进制数101转化成十进制数为5．再如：二进制数1101转化成十进制数这样进行：，即二进制数1101转化成十进制数为13．依此类推． （1）将二进制数10011转化成十进制数为___________； （2）将十进制数23转化成二进制数为___________． 7．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序，第1次计算输出的结果是1，第2次计算输出的结果是,…，这样计算下去，第7次计算输出的结果是_____． 【答案】1 8．某地推出4种特色农产品，每种农产品货源充足，均为独立包装且不可拆分．各农产品每包的重量与价值如下表： 农产品 A B C D 重量（kg） 7 12 8 5 价值（元） 60 100 58 45 在某批农产品的销售中，根据客户需求，助农志愿者使用纸箱装运农产品，且每箱所装农产品的总重量不超过28kg． （1）若每箱只装同一种农产品，则一箱农产品的总价值最大是________元； （2）若每箱中每种农产品最多装包，则一箱农产品的总价值最大是________元． 9．（25-26七年级下·北京·期中）今年3月，某校开展一年一度的“节”数学文化活动，设置了丰富多彩的数学游戏．其中有一个“T字之谜”的游戏，由5位同学组队参加，每位同学每人只能选择五个不同难度级别中的一个级别参加游戏，每个级别的单次游玩时长如下表： 级别 A级 B级 C级 D级 E级 时长（分钟） 1 3 4 5 5 活动当天，该游戏共有3个摊位同时开放．且满足以下规则： ①每个摊位同一时间只能有1位同学游玩，前一位同学游戏结束后，后一位同学才能上场，换场时间忽略不计； ②一组的5位同学全部完成游戏，视为这一组的游戏结束． 引导员将一组的5位同学分配至3个摊位进行游戏（即每个摊位依次安排同学游玩）． 回答下列问题： （1）若某一次分配方案为：选A级和C级的同学到1号摊位，选B级和E级的同学到2号摊位，选D级的同学到3号摊位，进行游戏．则这一方案的总游戏时长为_________分钟． （2）在所有可行的分配方案中，一组游戏总时长最短为_________分钟． 10．（25-26七年级上·安徽亳州·阶段检测）计算下面各题： (1)； (2) 11．（26-27七年级上·全国·课后作业）按要求解答下列问题： (1)一棵生长了年的大树，仅能制成双一次性筷子．假设每人每天用1双一次性筷子，调查你所在地区的人口数，估算一下一年我们要为此砍多少棵这样的大树（用科学记数法表示）．如果是一个万人口的城市呢？ (2)根据（1）中的估算结果，你有何感想？ 12．（25-26七年级上·山东德州·期中）计算 (1) (2) (3) (4) (6) (6) 13．（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）某平台和政府合作推出了“平台政府补贴”优惠政策．为了鼓励消费者购买节能环保产品，这个平台的家电产品政府补贴标准见下表： 能效等级 补贴比例 补充说明 一级能效 产品销售价格的 一级能效产品最高补贴不超过2000元（即超过2000元的，最高只能补贴2000元）；二级能效最高补贴1500元（同前） 二级能效 产品销售价格的 周叔叔家在“平台政府补贴”优惠期内购买了2件家电，一共获得2400元的政府补贴．他购买的电器可能是哪两件？（写出一种情况即可） 14．（26-27六年级上·上海·开学考试）小明的爸爸周日买进某种蔬菜10000斤，每斤2.5元，进入批发市场后共占5个摊位，每个摊位最多能容纳2000斤该品种的蔬菜，每个摊位的市场管理费为每天25元．下表为本周内该蔬菜每天的批发价格比前一天的涨跌情况（购进当日该种蔬菜的批发价格为每斤2.7元，表示比前一天涨0.3元，-0.1表示比前一天跌0.1元）． 星期 一 二 三 四 五 与前一天的价格涨跌情况元 当天的交易量斤 2500 2000 3000 1500 1000 在销售过程中小明的爸爸采用逐天减少摊位个数的方法来降低成本，增加收益，他在本周的买卖中共赚了多少钱？ 15．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）已知数轴上有，，三个点，分别表示有理数，，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右移动，设移动时间为秒．如图，若用，，分别表示点与点，点，点之间的距离，试回答以下问题． (1)运动秒时， ， ， ； (2)当点运动了秒时，请用含的代数式表示点与点，点，点之间的距离： ， ， ； (3)经过几秒后，点到点，点的距离相等此时点表示的数是多少 (4)如图，当动点从点出发以单位秒的速度向右运动，同时点从点出发，以个单位秒速度向左运动，，两点之间为“变速区”，规则为从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的倍，之后立刻恢复原速．是否存在符合条件的，使，两点到点的距离相等．若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null 2026-2027学年苏科版数学七年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题三 有理数的运算 【思维导图+18大考点讲练+优选题训练 共53题〔解析版〕】 目 录 【压轴考点01】有理数的加减混合运算 3 【压轴考点02】有理数加减中的简便运算 4 【压轴考点03】有理数加减混合运算的应用 6 【压轴考点04】省略加法和括号的形式 8 【压轴考点05】有理数乘除简便运算 11 【压轴考点06】有理数四则混合运算 14 【压轴考点07】有理数四则混合运算的实际应用 16 【压轴考点08】根据点在数轴的位置判断式子的正负 18 【压轴考点09】数轴上的翻折 20 【压轴考点10】有理数的乘方运算 22 【压轴考点11】有理数乘方逆运算 24 【压轴考点12】乘方运算的符号规律 25 【压轴考点13】乘方的应用 27 【压轴考点14】用科学记数法表示绝对值大于1的数 28 【压轴考点15】将用科学记数法表示的数变回原数 29 【压轴考点16】程序流程图与有理数计算 30 【压轴考点17】算 “24”点 31 【压轴考点18】含乘方的有理数混合运算 32 【压轴考点01】有理数的加减混合运算 【典例精讲】（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【规范解答】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【对应练习】（26-27七年级上·全国·课后作业）将下列各式写成省略加号的和的形式，并按要求交换加数的位置： (1)；（使正负号相同的加数结合在一起） (2)；（使和为整数的加数结合在一起） (3)；（使分母相同或便于通分的加数结合在一起） (4)．（使计算简便） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【规范解答】（1）解： ； （2）解：     ； （3）解：     ； （4）解： ． 【压轴考点02】有理数加减中的简便运算 【典例精讲】计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)0 (2)9 (3) (4)9 【思路引导】（1）利用有理数的加法运算律求解即可； （2）首先统一成加法，然后利用有理数的加法运算律求解即可； （3）首先化简绝对值，然后利用有理数的加法运算律求解即可； （4）首先化简绝对值，然后利用有理数的加法运算律求解即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． （4）解： ． 【对应练习】计算： 【答案】 【思路引导】运用加法交换律和结合律，将分母相同的带分数分组计算，简化运算过程． 【规范解答】解：原式 ． 【压轴考点03】有理数加减混合运算的应用 【典例精讲】（25-26六年级上·上海·期中）以“点亮上海”为主题的上海国际光影节刚刚落幕，其中的无人机表演令人惊艳．当无人机群到达同一高度的表演点位后，飞行控制员发出飞行指令：上升为正，下降为负（单位：米） A组无人机群的3个飞行指令记为：，，； B组无人机群的2个飞行指令记为：，． 若要求两组无人机群的第三个动作后的飞行高度相同，那么要如何调整B组的第3个飞行指令，上升还是下降？上升或下降多少米？ 【答案】B组的第3个飞行指令是下降，下降米 【思路引导】将A组无人机群的3个飞行指令的数值求和，再减去B组无人机群的2个飞行指令的数值即可． 【规范解答】解：由题意得： （米）， 答：B组的第3个飞行指令是下降，下降米． 【对应练习】佳佳和琪琪用扑克牌做数学游戏，如图，两人手中各有四张扑克牌，并且都不知道对方手中的牌． 游戏规则是：将方块“◆”记为正分，如“”记为分，将梅花“”记为负分，如“”记为分；两人各自同时从对方手中任意抽取一张牌，与手中剩余的牌计算总分，得分高的人获胜． (1)若佳佳从琪琪手中抽到“◆”，同时琪琪从佳佳手中抽到“”，分别计算此时佳佳和琪琪手中牌的总分，并判断谁获胜； (2)若两人互相任意抽取一张牌后，佳佳手中牌的总分最高可能是多少？ (3)在两人互相任意抽取一张牌后，直接写出佳佳手中牌的总分与琪琪手中牌的总分具有什么特征． 【答案】(1)佳佳获胜 (2) (3)佳佳手中牌的总分与琪琪手中牌的总分的绝对值相等 【思路引导】（1）分别计算两人互相抽取后，各人手中牌的总分，比较即可得出答案； （2）根据两人互相任意抽取一张牌后，佳佳手中牌的总分要最高，则佳佳从琪琪手中抽到“◆”，同时琪琪从佳佳手中抽到“7”，再列式计算即可； （3）根据两人手中牌的总分的和为，可得佳佳手中牌的总分与琪琪手中牌的总分的绝对值相等，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：互相抽取后，佳佳手中牌的总分为：， 琪琪手中牌的总分为：． ， 佳佳获胜； （2）解：∵两人互相任意抽取一张牌后，佳佳手中牌的总分最高， ∴佳佳应抽取琪琪手中最大的牌，琪琪应抽取佳佳手中最小的牌， ∴当佳佳从琪琪手中抽取到“◆7”，同时琪琪从佳佳手中抽取到“7”时，佳佳手中牌的总分最高， ∴佳佳手中牌的总分最高为：． （3）解：∵佳佳和琪琪手中的牌互换， ∴佳佳手中牌的总分与琪琪手中牌的总分的和不变， ∵， ∴两人互相任意抽取一张牌后，佳佳手中牌的总分与琪琪手中牌的总分的绝对值相等（或佳佳手中牌的总分与琪琪手中牌的总分互为相反数）． 【压轴考点04】省略加法和括号的形式 【典例精讲】（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)0 (2) (3) (4) (5)4 (6) 【思路引导】本题主要考查了有理数的加减混合运算，有理数的加法的运算律，熟练掌握上述法则与运算律是解题的关键． （1）写成省略加号和括号的和的形式，同号两数先相加，再进行运算； （2）写成省略加号和括号的和的形式，同号两数先相加，再进行运算； （3）写成省略加号和括号的和的形式，分母相同的两数先相加，再进行运算； （4）写成省略加号和括号的和的形式，能凑整两数先相加，再进行运算； （5）写成省略加号和括号的和的形式，分母相同的两数先相加，再进行运算； （6）写成省略加号和括号的和的形式，能凑整两数先相加，再进行运算． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 【对应练习】（25-26七年级上·河南商丘·阶段检测）平顶山某初中数学小组学完进度章节后，对一道试题展开了讨论，请你仔细阅读并完成任务． 试题：计算：． 小明：对于这道试题我采用直接运算方法，从左到右先写成省略括号和加号的形式，之后…… 小亮：对于这类计算，我发现了一种拆项法．以这道试题为例： 原式               …… 小明：这种方法很有趣，值得推荐． …… 任务： (1)请你帮助小明把原式写成省略括号和加号的形式 ； (2)题干中横线上空缺的计算结果是 ； (3)按小亮的方法计算：． 【答案】(1) (2)0 (3) 【思路引导】本题考查有理数的加法运算，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键： （1）根据加法法则，省略掉括号即可； （2）根据有理数的加法法则进行计算即可； （3）将带分数化为整数和真分数的和的形式，利用交换律和结合律进行计算即可． 【规范解答】（1）解：原式； （2）原式 ； 故答案为：0； （3）原式 ． 【压轴考点05】有理数乘除简便运算 【典例精讲】（26-27七年级·上海·暑假作业）该数轴的原点为，向右为正方向．若点A，C所表示的数互为相反数，则该数轴的原点对应直尺上的刻度为______． 【对应练习】（25-26七年级上·江苏苏州·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)499 (2)7 (3)885 (4) 【思路引导】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握乘法分配律及裂项法是解题的关键. （1）把写成，再运用乘法分配律计算即可； （2）把写成，再运用乘法分配律计算即可； （3）根据同分母分数加法运算法则进行计算，再变形，根据同分母分数加法运算法则，进行计算即可； （4）将原式变形为，然后裂项，再根据加法交换律和结合律，结合裂项法，进行计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解：                   ； （3）解： ； （4）解： ． 【对应练习】（25-26七年级上·辽宁鞍山·期中）用运算律简便运算 (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【思路引导】本题考查了有理数的运算，运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据乘法分配律即可求解； （）根据乘法分配律即可求解． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【压轴考点06】有理数四则混合运算 【典例精讲】（26-27七年级上·江苏徐州·开学考试）计算下面各题． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】（1）根据有理数的加减运算法则计算即可得出结果； （2）根据有理数的混合运算法则以及乘法运算律计算即可得出结果； （3）根据有理数的乘法法则计算即可得出结果； （4）根据有理数的混合运算法则计算即可得出结果． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【对应练习】（25-26七年级上·广东揭阳·阶段检测）简便运算： (1)． (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【压轴考点07】有理数四则混合运算的实际应用 【典例精讲】（25-26七年级上·陕西商洛·阶段检测）盲盒是指消费者无法提前得知具体产品款式的包装商品，受到年轻消费者的青睐．某商店购进一批盲盒，进价为每个元；为合理定价，前五天试行机动价格，售出时以每个元为标准价格，超出元的部分记为正，不足元的部分记为负，该店记录的前五天盲盒的售价与标准价的差值和售出数量（共计个）如下表所示： 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 售价相对于标准价（元/个） 售出数量（个） 20 35 10 15 5 (1)该店前五天出售的这批盲盒中，单价最高的是第________天，最高单价为________元/个，最高单价比最低单价多________元/个； (2)以标准价格为准，前五天这个盲盒的售价总计超过或不足多少元？ (3)不考虑其他成本，求出前五天该店出售这批盲盒的总利润． 【答案】(1)；； (2) 前五天这个盲盒的售价总计不足元 (3) 前五天该店出售这批盲盒的总利润为元 【思路引导】（1）根据以每个25元为标准价格，通过表格直接计算每天的商品售价，并比较确定单价最高的天数； （2）计算每天售价偏差带来的总金额变化：每天偏差当天销量，将5天的金额变化相加，结果为负表示不足标准总价； （3）计算总进价：进价总销量，计算总售价：标准价总销量偏差总和，总利润：总售价总进价． 【规范解答】（1）解：第天：（元）， 第天：（元）， 第天：（元）， 第天：（元）， 第天：（元）， ，， 单价最高的是第天，最高单价为元/个，最高单价比最低单价多元/个； （2）解：第天：（元）， 第天：（元）， 第天：（元）， 第天：（元）， 第天：（元）， （元）， 前五天这个盲盒的售价总计不足元． （3）解：总进价：（元）， 总售价：（元）， 总利润：（元）， 前五天该店出售这批盲盒的总利润为元． 【对应练习】（26-27七年级上·湖南·开学考试）为鼓励居民节约用水，长沙市自来水公司制定了下面的收费方式：每户每月用水吨以内（含吨），按元/吨收取；超出吨但不超过吨（含吨）的部分，按元/吨收取，超过吨的部分，按元/吨收取． (1)小明家月份用水吨，应缴水费多少元？ (2)小明家月份用了吨水，应缴水费多少元？ (3)小红家月份缴水费元，她家月份用水多少吨？ 【答案】(1)元 (2)元 (3)吨 【思路引导】（1）根据收费的三个区间分界点，结合缴费的计算求解即可； （2）根据用水量，结合第二阶段收费的计算求解即可； （3）根据缴费情况，判定用水量，即可求解． 【规范解答】（1）解：吨吨， 按第一档计费：（元）； 答：小明家月份用水吨，应缴水费元； （2）解：吨吨吨， 分两档计费：吨费用：（元） ， 超出吨的部分：（吨），费用（元）， 总水费：（元）； 答：月份用了吨水，应缴水费元； （3）解：吨总水费元， 吨总水费： （元） ， ， 用水量在吨之间， 超出吨的费用：（元） ，超出吨的水量：（吨）， 总用水量：（吨）． 答：她家月份用水吨． 【压轴考点08】根据点在数轴的位置判断式子的正负 【典例精讲】（25-26七年级上·山东德州·期中）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据数轴确定，的取值范围及绝对值大小，利用有理数加减法法则判断． 【规范解答】解：由数轴可知，， ∴，，且∴，故选项B正确， ∵，， ∴，故选项A错误， ∵，，故选项C、D错误． 【对应练习】（25-26七年级上·四川眉山·期中）有理数在数轴上的位置如图所示． (1) ， ， ， ； （填或） (2)若关于的代数式的值与字母的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了数轴，绝对值的意义，以及整式的加减等知识，利用绝对值的性质化简是解题关键． ()根据绝对值的性质，可得答案； ()根据绝对值的性质，化简绝对值得，结合整式的加减运算法则，得出，再根据代数式的值与字母的取值无关，得出，最后求出的值即可． 【规范解答】（1）解：从数轴上的位置可知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由图可知：， 故答案为：； （2）∵， ∴， ， ∵代数式的值与字母的取值无关， ∴， 解得：． 【压轴考点09】数轴上的翻折 【典例精讲】如图，、两点在数轴上，表示的数为，表示的数为． (1)、两点间的距离是______． (2)若把点先向右移动个单位，再向左移动个单位，然后又向左移动个单位，此时点表示的数是______； (3)如图，以点为折点，将此数轴向右对折，若点和点之间的距离是，则点表示的数是______． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【思路引导】根据数轴上两点间的距离公式即可求解； 根据题意列出算式，然后通过有理数运算法则即可求解； 分点在点左侧时和点在点右侧时两种情况求解即可． 【规范解答】（1）解：因为表示的数为，表示的数为， 所以、两点间的距离是， 故答案为：； （2）解：因为把点先向右移动个单位，再向左移动个单位，然后又向左移动个单位， 所以此时点表示的数是， 故答案为：； （3）解：当点在点左侧时，则对折后点表示为， 所以折点表示的数为， 当点在点右侧时，则对折后点表示为， 所以折点表示的数为， 故答案为：或． 【对应练习】（24-25七年级上·河北邯郸·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．若数轴上点，分别对应数，．则点，两点之间的距离为． 如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数c；，且 (1) ， ， ； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数 表示的点重合； (3)现有两个动点，同时从点，出发匀速运动，设运动时间为秒． ①若点、点分别以每秒个单位长度的速度和每秒个单位的长度的速度沿数轴均向左匀速运动．为何值时，点追上点． ②若点以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，求为何值时，点，相距个单位长度．并写出此时点，在数轴上表示的数． 【答案】(1)，， (2) (3)①为秒时，点追上点；②此时点、在数轴上表示的数分别为和或和 【思路引导】本题考查了数轴上两点距离，数轴的折叠问题，一元一次方程的应用； （1）根据非负数的性质求得的值，进而根据数轴在点的右侧，，求得点表示的数，即可求得的值，即可求解； （2）先求得折叠中点表示的数为，进而根据折叠的性质得折叠后与点重合的点表示的数，即可求解； （3）①根据题意得出秒后，点，表示的数分别为，根据点追上点，列出一元一次方程，解方程，即可求解； ②根据题意得出秒后，点，表示的数分别为，根据点，相距个单位长度，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵ ∴ ∴， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∵，且在点的右侧， ∴点表示的数为，则， 故答案为：，，． （2）解：∵点表示的数为，点表示的数为， ∴中点为 ∵点表示的数为， ∴折叠后与点重合的点表示的数为 故答案为：． （3）解：①依题意，秒后，点，表示的数分别为， ∴当点追上点时， 解得： ②依题意，秒后，点，表示的数分别为 当点，相距个单位长度时，或 解得：或 当时，点，表示的数分别为和 当时，点，表示的数分别为和 综上所述，点、在数轴上表示的数分别为和或和 【压轴考点10】有理数的乘方运算 【典例精讲】（24-25七年级上·云南昆明·期末）探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： ；； ；； ；． ． (1)______； (2)已知：，其中，a为负数，求a的值； (3)是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)29 (2) (3)存在， 【规范解答】（1）解：由题意得，； （2）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∵a为负数， ∴； （3）解：存在，理由如下， ， ∵，， ∴，， 解得，，． 【对应练习】（24-25六年级上·上海·阶段检测）阅读材料，求值：． 解：设①，将等式两边同时乘以2得： ②， ，得：， 所以， 即， 请你仿照此法计算： (1)； (2)（其中为正整数） 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据材料提示，设，结合题意的计算方法求解即可； （2）设，等式两边同时乘以3，结合题意的计算方法求解即可． 【规范解答】（1）解：设， ∴， ∴， ； （2）解：设， ∴， ∴， ， ∴． 【压轴考点11】有理数乘方逆运算 【典例精讲】（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）根据乘方的意义及乘法运算律可知： ； ； (1)根据以上材料可知： ___________， ___________（n为正整数）； (2)根据上面得到的结论，计算： ___________． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】本题主要考查了有理数的乘方、有理数乘方的逆运算等知识点，掌握有理数乘方的逆运算是解题的关键． （1）根据阅读材料中的运算过程变形即可解答； （2）根据阅读材料，结合根据（1）的结论进行计算即可． 【规范解答】（1）解：； ． 故答案为：，． （2）解：由（1）的结论可得：． 【对应练习】（25-26七年级上·重庆万州·期中）已知，，且，则的值为（    ） A．或 B．或3 C．或 D．11或3 【答案】D 【思路引导】本题考查了绝对值、有理数的乘方、求代数式的值，熟练掌握相关知识点是解题的关键．先根据绝对值和有理数乘方的逆运算求出的值，再结合得到，再分情况讨论即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∵， ∴， ①当，时，满足，； ②当，时，不满足，不符合题意，舍去； ③当，时，满足，； ④当，时，不满足，不符合题意，舍去； ∴综上所述，的值为11或3． 故选：D． 【压轴考点12】乘方运算的符号规律 【典例精讲】（25-26七年级上·福建泉州·期中）关于x的代数式，当x取任意一组相反数a与时，若代数式的值相等，则称之为“偶代数式”；若代数式的值互为相反数，则称之为“奇代数式”，例如代数式是“偶代数式”，是“奇代数式”． (1)以下代数式中，是“偶代数式”的有_______，是“奇代数式”的有_______；（将正确选项的序号填写在横线上．①；②；③ (2)某个奇代数式，当x取2时，代数式的值为3，问：当x取时，代数式的值为多少？ (3)对于整式，当x分别取，，，，0，1，2，3，4时，这九个整式的值之和是_______． 【答案】(1)①③；②； (2) (3) 【思路引导】此题主要考查代数式求值，涉及新定义，解题的关键是理解“偶代数式”、 “奇代数式”的定义并运用． （1）根据定义即可判定； （2）根据“偶代数式”和“奇代数式”的定义即可得到答案； （3）先证明是“奇代数式”，则当x分别取，，，，0，1，2，3，4时，它们的和为0，再证明是“偶代数式”，则当x分别取，，，，0，1，2，3，4时，它们的和是，即可得到对于，当x分别取，，，，0，1，2，3，4时，这九个整式的值之和． 【规范解答】（1）解：∵，，， ∴“偶代数式”有①③，“奇代数式”有② 故答案为：①③；②； （2）∵当x取任意一组相反数a与时，若代数式的值互为相反数，则称之为“奇代数式”， ∴某个奇代数式，当x取2时，代数式的值为3，当x取时，代数式的值为； （3）∵ ∴是“奇代数式”， ∴x分别取，，，，0，1，2，3，4时，它们的和为0， ∵， ∴是“偶代数式” ∴x分别取，，，，0，1，2，3，4时，九个整式的值之和是， ∴对于，当x分别取，，，，0，1，2，3，4时，这九个整式的值之和是， 故答案为：． 【对应练习】（25-26七年级上·山东菏泽·期中）先用数学的眼光观察下列两组算式，然后解答提出的问题． ① 与；② 与   (1)通过计算说明每组两个算式的结果是否相等； (2)根据（1）的结果猜想等于什么？ (3)用（2）的结论计算： 【答案】(1)相等 (2) (3)5 【思路引导】本题考查有理数的乘方， （1）根据乘方的定义分别计算可得； （2）根据（1）中计算结果可得； （3）根据所得结论计算可得． 【规范解答】（1）解：① ，，则； ② ，，则； 即每组两个算式的结果相等 （2）解：； （3）解：． 【压轴考点13】乘方的应用 【典例精讲】一种叫水浮莲的水草生长很快，每天增加1倍，10天刚好长满池塘，到第几天刚好长满池塘面积的一半（     ） A．6天 B．5天 C．8天 D．9天 【答案】D 【思路引导】水浮莲每天面积增加1倍，即后一天面积是前一天面积的2倍，可通过逆推直接得到长满一半池塘的天数． 【规范解答】解：∵水浮莲每天增加1倍， ∴后一天的水草面积为前一天水草面积的倍，即前一天水草面积是后一天水草面积的一半， ∵天刚好长满整个池塘， ∴长满池塘面积一半的时间为天． 【对应练习】（25-26七年级上·山东青岛·期末）若，，，，则a，b，c，d的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了乘方的应用，有理数的大小比较，解题的关键是熟练掌握有理数的大小比较方法． 先根据有理数的乘方运算法则化简各数，再根据有理数的大小比较方法判断即可． 【规范解答】解：，，，， 因为， 所以，即； 因为， 所以， 所以，即， 所以， 故选：D． 【压轴考点14】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【典例精讲】（24-25七年级下·河北张家口·期中）地球上水的总储量为，但目前能被人们利用的水仅占总储量的，即约为，关于数据“”，下列说法正确的是（     ） A．用科学记数法可以表示为 B．用科学记数法可以表示为 C．该数是一个18位数 D．该数是一个19位数 【答案】A 【思路引导】用科学记数法表示绝对值大于的数，其科学记数法的表示形式为，其中，n为整数，且的值为原数的整数位数减，据此求解即可． 【规范解答】解：，故A正确，B错误； 该数是一个位数，故C，D错误． 【对应练习】（25-26七年级上·河南周口·期中）据科学家测算，用1吨废纸造出的再生好纸相当于亩森林木材的造纸量．某市今年大约有名初中毕业生，每个毕业生离校时大约有12千克废纸，若他们都把废纸送到回收站生产再生好纸，那么至少可使多少亩森林免遭砍伐？ 【答案】 【思路引导】此题考查科学记数法的表示方法、有理数乘法运算等知识点，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解题的关键． 先根据毕业生人数和人均废纸量计算废纸总重量，然后将单位换算为吨；最后根据题干“至少”的要求，即乘以系数，从而计算出可使森林免遭砍伐的最小亩数，最后将结果用科学记数法表示即可． 【规范解答】解：所有毕业生共有废纸：（吨）， （亩）． 答：至少可使森林免遭砍伐亩． 【压轴考点15】将用科学记数法表示的数变回原数 【典例精讲】2025年10月31日神舟二十一号载人飞船采用自主快速交会对接模式，发射后仅用3.5小时与空间站成功对接，其平均速度高达千米/小时，则这个用科学记数法表示的数据原数是（     ）米/小时 A．2764810 B．2764800 C．27648000 D．276480000 【答案】C 【规范解答】解：千米/小时米/小时． 【对应练习】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知航天器速度为米/秒，行星与地球距离为千米，下列正确的是（    ） A．航天器速度原数是79000米/秒 B．的原数末尾有8个0 C．航天器飞完这段距离需秒 D．小数点右移2位，结果为 【答案】C 【思路引导】根据科学记数法的意义解答即可． 本题考查了科学记数法，熟练掌握意义是解题的关键． 【规范解答】解：A． 航天器速度原数是（米/秒），故选项错误，不符合题意； B． 的原数为末尾有6个0，故选项错误，不符合题意； C． 根据题意，千米=米，航天器飞完这段距离需秒，故选项正确，符合题意； D． 小数点左移2位，结果为，不是向右，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 【压轴考点16】程序流程图与有理数计算 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西西安·期末）任意给一个非零数，按如图所示的程序写出输出结果，则与之间的关系式为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】按照程序给出运算顺序列出代数式，然后化简式子即可得到与的关系式． 【规范解答】解：根据程序步骤列式： ， ， ． 【对应练习】（2026·河北石家庄·模拟预测）图是一个计算程序． (1)按照顺序计算并填写其中的“     ”，并在下面横线上列出综合算式； 综合算式：___________________（仅列算式无需计算）； (2)计算：． 【答案】(1)，， (2) 【思路引导】（1）根据题意计算即可； （2）先计算乘方和绝对值，再计算乘除，最后计算减法． 【规范解答】（1）解：；；综合算式： （2）解： ． 【压轴考点17】算 “24”点 【典例精讲】小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中抽取2张卡片，将2张卡片上的数字分别作为底数和指数，使所得的幂最大，应如何抽取？幂的最大值是多少？ (2)从中抽取3张卡片，使这3张卡片上数字的乘积最小，应如何抽取？积的最小值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，将四个数（四个数都用且只能用一次，可使用括号） “”、“”、“”、“”运算，使其结果等于．（写出一种情况即可） 【答案】(1)抽取和两张卡片，幂最大，最大为 (2)抽取、、三张卡片，乘积最小，最小为； (3)抽取、、、，（答案不唯一） 【思路引导】（1）如果底数是正数，指数越大，幂越大；如果底数是负数，指数必须是偶数，结果才为正数，且底数的绝对值越大、指数越大，幂越大．指数越大，幂通常越大，据此即可求解； （2）根据同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，计算积，再根据有理数的大小比较解答即可； （3）根据有理数的混合运算解答即可． 【规范解答】（1）解：和两张卡片，幂最大，； （2）解：根据正数大于零，正数大于负数， 故抽取的卡片上的数字之积为负数时，积最小， 抽取、和三张卡片，乘积最小，最小为； （3）解：抽取、、、，（答案不唯一） 【对应练习】（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌只能用一次），使得运算结果为或，其中红色扑克代表负数，黑色扑克代表正数，，，分别代表，，如果抽到的是下列四张扑克（一张黑，一张红，一张黑，一张黑），那么凑成所列的算式是______． 【答案】（本题答案不唯一） 【思路引导】本题考查有理数的混合运算．解答本题的关键是明确题意，列出相应的算式． 根据题意，抽到的四个数为：，，，，然后写出一个结果为的算式即可． 【规范解答】解：由题意可得， 抽到的四个数为：，，，， ， 凑成所列的算式是， 故答案为：本题答案不唯一． 【压轴考点18】含乘方的有理数混合运算 【典例精讲】（25-26七年级上·河南郑州·期中）简便运算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】（1）对于，，分别取，相加即可； （2）把各因数通分相乘得分子是从2开始的连续自然数的平方，分母是从1开始的相差2的两个自然数的积，再相乘并依次约分即可； （3）拆分带分数，利用乘法分配律简便计算； （4）利用乘法分配律展开，再把同分母分数相加减即可． 【规范解答】（1）解：当时，， 则 ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【对应练习】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．约定逢三进一就是三进制，用数字0，1，2记数，三进制数可以转换为十进制数．例如，三进制数1212记为，由，可得是十进制数50． (1)将转换为十进制数，结果是________； (2)对于一个用三进制表示的正整数，现有结论“如果这个数的所有数位上的数字之和能被2整除，那么这个数就能被2整除．”请以四位的三进制数为例： ①将转化为十进制，结果是________． ②请以四位的三进制数为例，说明该结论正确的道理． 【答案】(1)19 (2)①； ②∵ ， 又∵能被2整除，且能被2整除， ∴能被2整除，即四位的三进制数能被2整除， ∴该结论正确． 【思路引导】本题考查了三进制数与十进制数的转换及对整除性质的理解． （1）根据三进制数转换为十进制数的规则，将三进制数的每一位数字乘以3的相应次幂，然后将结果相加； （2）同样根据转换规则将四位三进制数转换为十进制数，再分析其数字之和与该数能否被2整除的关系． 【规范解答】（1）解：由题意知， ， 故答案为：19． （2）解：①， 故答案为：； ②略 1．（26-27七年级上·湖北武汉·开学考试）振大超市出售三种品牌的大米，袋子上分别标有千克，千克，千克．从中任意拿出两袋，这两袋米的质量最多相差（    ）． A．0.8千克 B．0.6千克 C．0.5千克 D．0.4千克 【答案】B 【思路引导】质量最多相差就是质量最重的－质量最轻的．千克的意思是大米的标准重量是25千克，但是或有轻微的误差，即最轻是（千克），最重就是（千克）．则这三种品牌的大米最重比25千克多0.3千克，最轻比25千克少0.3千克．最多相差0.6千克． 【规范解答】解： （千克） 即这两袋米的质量最多相差0.6千克． 2．（26-27六年级上·上海·开学考试）停车场对小汽车的收费标准是这样的：半小时内（含半小时）免费，半小时以上，每过1小时收费8元，不足1小时按1小时算．一辆小汽车付停车费24元，那么它的停车时间段可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】先计算停车时间，根据计费标准，解答即可； 【规范解答】解：∵ 停车费为24元，每小时收费8元， ∴停车时间为：小时. ∵ 半小时内免费，不足1小时按1小时计费， ∴ 实际停车时长满足2小时30分小时30分. A．小时45分，3小时45分小时30分，不符合. B．小时，2小时小时30分，不符合. C．小时20分，2小时30分小时20分小时30分，符合. D． 小时25分，2小时25分小时30分，不符合. 3．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）已知a、b是有理数，下列说法错误的是（     ） A．若，则 B．若且a、b均是非零数，则 C．若，则 D．若数轴上a，b在原点的两侧，则 【答案】A 【思路引导】根据绝对值的性质逐一判断各选项正误． 【规范解答】解：若，则或，例如，时，但，故A错误； ，当异号或至少有一个为零，即时，结论正确；又a、b均为非零有理数，因此，故B正确； 由，根据绝对值的性质可得，即，故C正确； 由a、b在原点两侧可得a、b异号且均不为0，故当时，此时，从而，和为0；当时，此时，从而，和为0，故D正确． 4．（25-26七年级上·福建泉州·开学考试）、表示两个数，规定新运算“”及“”如下，，那么________． 【答案】 324 【思路引导】根据所给定义先计算，再计算即可． 【规范解答】解：由题意得， 则． 5．我国古代《易经》中记载了“结绳记数”的方法．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录孩子出生后的天数．若从右起第1位打结数为3，第2位为2，第3位为1，则孩子出生后的天数为______天． 【答案】38 【思路引导】由题意可知满五进一符合五进制计数规则，将各数位的打结数乘以对应数位的权重，再求和即可得到总天数． 【规范解答】解：根据满五进一的计数规则，从右起第位的权重为，因此总天数为： 天． 6．（25-26七年级下·安徽亳州·期末）将二进制数101转化成十进制数这样进行：，即二进制数101转化成十进制数为5．再如：二进制数1101转化成十进制数这样进行：，即二进制数1101转化成十进制数为13．依此类推． （1）将二进制数10011转化成十进制数为___________； （2）将十进制数23转化成二进制数为___________． 【答案】 19 10111 【思路引导】（1）根据题中给出的示例，二进制数转化为十进制数的方法是将每一位上的数字乘以对应的2的幂次方，然后相加即可； （2）将十进制数转化为二进制数，可采用“除2取余法”，即不断用2去除该数，直到商为0为止，然后将余数倒序排列即可． 【规范解答】解：（1）由题意知，， ∴将二进制数10011转化成十进制数为19； （2）， ， ， ， ， 将余数从下往上排列，得到：10111， 经检验：， ∴将十进制数23转化成二进制数为10111． 7．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序，第1次计算输出的结果是1，第2次计算输出的结果是,…，这样计算下去，第7次计算输出的结果是_____． 【答案】1 【思路引导】分别计算出前几次输出的结果，再根据规律可得答案． 【规范解答】解：当输入时，第1次输出的结果是； 第2次输出的结果是； 第3次输出的结果是； 第4次输出的结果是； 第5次输出的结果是； 第6次输出的结果是； 第7次输出的结果是． 8．某地推出4种特色农产品，每种农产品货源充足，均为独立包装且不可拆分．各农产品每包的重量与价值如下表： 农产品 A B C D 重量（kg） 7 12 8 5 价值（元） 60 100 58 45 在某批农产品的销售中，根据客户需求，助农志愿者使用纸箱装运农产品，且每箱所装农产品的总重量不超过28kg． （1）若每箱只装同一种农产品，则一箱农产品的总价值最大是________元； （2）若每箱中每种农产品最多装包，则一箱农产品的总价值最大是________元． 【答案】 【思路引导】第一问，分别计算只装同一种农产品时，每箱最多可装的包数，计算对应总价值，比较得到最大值；第二问，根据每种农产品最多装2包的限制，列举所有符合总重量要求的组合，计算总价值后比较得到最大值． 【规范解答】解：（1）对于每箱只装同一种农产品的情况： 农产品A：总价值元； 农产品B：总价值元； 农产品C：总价值元； 农产品D：总价值元； 比较可知，一箱农产品的总价值最大为240元； （2）设装A，B，C，D的包数分别为a，b，c，d，满足，，，，a，b，c，d为非负整数， 且， 总价值，计算得： 当，，，时，，； 当，，，时，，； 当，，，时，，； 当，，，时，，； 其余符合重量限制的组合，总价值均小于223，因此第二问最大总价值为223元． 9．（25-26七年级下·北京·期中）今年3月，某校开展一年一度的“节”数学文化活动，设置了丰富多彩的数学游戏．其中有一个“T字之谜”的游戏，由5位同学组队参加，每位同学每人只能选择五个不同难度级别中的一个级别参加游戏，每个级别的单次游玩时长如下表： 级别 A级 B级 C级 D级 E级 时长（分钟） 1 3 4 5 5 活动当天，该游戏共有3个摊位同时开放．且满足以下规则： ①每个摊位同一时间只能有1位同学游玩，前一位同学游戏结束后，后一位同学才能上场，换场时间忽略不计； ②一组的5位同学全部完成游戏，视为这一组的游戏结束． 引导员将一组的5位同学分配至3个摊位进行游戏（即每个摊位依次安排同学游玩）． 回答下列问题： （1）若某一次分配方案为：选A级和C级的同学到1号摊位，选B级和E级的同学到2号摊位，选D级的同学到3号摊位，进行游戏．则这一方案的总游戏时长为_________分钟． （2）在所有可行的分配方案中，一组游戏总时长最短为_________分钟． 【答案】 8 7 【思路引导】根据游戏规则，总游戏时长为三个摊位游玩总时长的最大值． 第一问直接计算给定分配方案各摊位的总时长，取最大值即可． 第二问需要将五个不同时长分组，得到所有分组中最大值的最小值即可． 【规范解答】解：(1) 分别计算三个摊位的游玩总时长∶ 号摊位∶ （分钟）， 号摊位∶ （分钟）， 号摊位∶ （分钟）． 根据规则，五位同学全部完成游戏游戏结束，因此总游戏时长为三个总时长的最大值，即该方案总游戏时长为分钟． (2) 五个时长的总和为 ． 若要总游戏时长最短，需使三个摊位总时长的最大值最小． 若最大值为，则三个摊位总时长之和最大为，恰好等于总时长，要求每个摊位总时长均为． 两个时长为的组都需要搭配才能使和为，但仅有个，无法完成分配，因此最大值不可能为． 当分配为 时，三个摊位的总时长分别为，最大值为，符合分配要求，因此总时长最短为分钟． 10．（25-26七年级上·安徽亳州·阶段检测）计算下面各题： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 11．（26-27七年级上·全国·课后作业）按要求解答下列问题： (1)一棵生长了年的大树，仅能制成双一次性筷子．假设每人每天用1双一次性筷子，调查你所在地区的人口数，估算一下一年我们要为此砍多少棵这样的大树（用科学记数法表示）．如果是一个万人口的城市呢？ (2)根据（1）中的估算结果，你有何感想？ 【答案】(1)假设所在地区人口300万，一年需砍棵这样的大树 1000万人口的城市一年需砍棵这样的大树 (2)解：我们应减少一次性筷子的使用，保护森林资源，践行绿色生活（答案不唯一）． 【思路引导】（1）城市人口数乘以一年的天数分别除以和即可得到一年大约需要多少棵树，科学记数法的形式：，且n为整数； （2）从减少一次性筷子这方面提建议． 【规范解答】（1）解：假设所在地区人口约为万，一年按天计算， ， ， 所在地区一年需砍棵这样的大树； ， ， 1000万人口的城市一年需砍棵这样的大树． （2）略 12．（25-26七年级上·山东德州·期中）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【思路引导】（1）利用加法交换律和结合律简化运算； （2）利用加法交换律和结合律简化运算； （3）先将带分数化为假分数，再按有理数乘除法则计算； （4）先通分计算括号内的运算，再计算乘法； （5）将带分数拆分后简化计算； （6）按先算括号内，再算乘除，最后算加减的顺序计算． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； 13．（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）某平台和政府合作推出了“平台政府补贴”优惠政策．为了鼓励消费者购买节能环保产品，这个平台的家电产品政府补贴标准见下表： 能效等级 补贴比例 补充说明 一级能效 产品销售价格的 一级能效产品最高补贴不超过2000元（即超过2000元的，最高只能补贴2000元）；二级能效最高补贴1500元（同前） 二级能效 产品销售价格的 周叔叔家在“平台政府补贴”优惠期内购买了2件家电，一共获得2400元的政府补贴．他购买的电器可能是哪两件？（写出一种情况即可） 【答案】电冰箱和洗衣机或电视机和空调 【思路引导】求出购买四种电器所获得的政府补贴，即可求解． 【规范解答】解：购买一台电冰箱，， 则购买一台电冰箱的政府补贴为2000元， 购买一台电视机的政府补贴为元， 购买一台洗衣机的政府补贴为元， 购买一台空调的政府补贴为元， 因为周叔叔家在“平台政府补贴”优惠期内购买了2件家电，一共获得2400元的政府补贴，， 所以他购买的电器可能是电冰箱和洗衣机或电视机和空调． 14．（26-27六年级上·上海·开学考试）小明的爸爸周日买进某种蔬菜10000斤，每斤2.5元，进入批发市场后共占5个摊位，每个摊位最多能容纳2000斤该品种的蔬菜，每个摊位的市场管理费为每天25元．下表为本周内该蔬菜每天的批发价格比前一天的涨跌情况（购进当日该种蔬菜的批发价格为每斤2.7元，表示比前一天涨0.3元，-0.1表示比前一天跌0.1元）． 星期 一 二 三 四 五 与前一天的价格涨跌情况元 当天的交易量斤 2500 2000 3000 1500 1000 在销售过程中小明的爸爸采用逐天减少摊位个数的方法来降低成本，增加收益，他在本周的买卖中共赚了多少钱？ 【答案】5250元 【思路引导】根据当天与前一天的价格涨跌情况分别求出每天的蔬菜单价，根据“总价＝单价×数量”求出每天的销售额，用5天的销售总额减去5天的摊位费和蔬菜的进货成本即是本周的盈利． 【规范解答】星期一的价格：（元） 星期二的价格：（元 星期三的价格：（元 星期四的价格：（元 星期五的价格： （元 本周赚的钱： （元 答：小明的爸爸在本周的买卖中共赚了5250元钱． 15．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）已知数轴上有，，三个点，分别表示有理数，，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右移动，设移动时间为秒．如图，若用，，分别表示点与点，点，点之间的距离，试回答以下问题． (1)运动秒时， ， ， ； (2)当点运动了秒时，请用含的代数式表示点与点，点，点之间的距离： ， ， ； (3)经过几秒后，点到点，点的距离相等此时点表示的数是多少 (4)如图，当动点从点出发以单位秒的速度向右运动，同时点从点出发，以个单位秒速度向左运动，，两点之间为“变速区”，规则为从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的倍，之后立刻恢复原速．是否存在符合条件的，使，两点到点的距离相等．若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，11，22 (2)，， (3)，表示的数是 (4)存在，秒或秒 【思路引导】本题主要是考查了数轴上两点间的距离，数轴上点表示有理数，数轴上的动点问题，熟练地通过动点在不同时间段的运动，进行分类讨论，找到等量关系，列出关于时间的方程，并进行求解，这是解决这类问题的主要思路． （1）可立即求得的长度、点P表示的有理数，则可求得的长度； （2）当点P运动了t秒时，可立即求得的长度、点P表示的有理数，则可的长度； （3）设经过t秒后，点P到点A、点C的距离相等，由（2）知，得到关于t的方程，解方程即可； （4）先求出P、Q两点在不同段的运动时间，根据不同时间段，通过讨论P、 Q点的不同位置，利用距离相等关系，列出关于t的方程，进行求解即可． 【规范解答】（1）解：由、、三个点，分别表示有理数、、，动点从出发，以每秒个单位长度的速度向右移动， ∴，， 当时，，，， 故答案为：，，； （2）解：依题意，当点运动了秒时， 则，点表示的数为， ，， 故答案为：；，； （3）解：， ， 即或， 解得：， 点表示的数为； （4）解：点在上的运动时间为秒，在上运动时间为秒，在上运动时间为秒； 点在上运动的时间为秒，在上运动时间为秒，在上运动时间为秒； 当时，点在上，表示的数为，点在上，表示的数是， ， 解得：（不符合题意）； 当时，点在上，表示的数为，点在上，表示的数是， ， 方程无解； 当时，点，都在上，当，两点重合时，它们到的距离相等，表示的数为，表示的数为， ， 解得； 当时，点在上，点在线段上， 此时不存在点，两点到点的距离相等； 当时，在射线上，在射线上，表示的数为，表示的数为， ， 解得， 综上所述，的值为秒或秒． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年苏科版数学七年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题三有理数的运算 【思维导图+18大考点讲练+优选题训练共53题〔原卷版)】 目录 【压轴考向一有理数的加法和减法】 【压轴考点01】有理数的加减混合运算★★★ 二【压拍考点D2】有理数加减中的筒便运算★★女女 .4 出 【压轴考点O3】有理数加减混合运算的应用★★★★ .4 二【乐轴考点04】省略加法和括号的形式★★★ 【压轴考向二有理数的乘法和除法】 ,【压轴考点05】有理数乘除简便运算★★★ .7 二【压轴考点06】有理数四则混合运算★★★女 .8 【压轴考点07】有理数四则混合运算的实际应用★★★ 8 【压轴考点08】根据点在数轴的位置判断式子的正负★★★ 10 【压轴考点09】数轴上的翻折★★★ …10 【压轴考向三有理数的秉方】 【压轴考点10】有理数的乘方运算★★★ .11 ,【压轴考点11】有理数乘方逆运算★★★★ .…12 【压轴考点12】乘方运算的符号规律★★★★ ...13 品【乐鞋考点13】乘方的应用★★女★ .14 【压轴考点14】用科学记数法表示绝对值大于1的数★★★ ....14 【压轴考点15】将用科学记数法表示的数变回原数★★★★ 15 第1页共22页 【压轴考向四有理数的混合运算】 二【乐销考点16】程序流程图与有理数计算★★★★ .15 品【压轴考点17】算“24”点★★★女 .16 。 【压轴考点18】含乘方的有理数混合运算★★★★ 16 【压轴题专项训练优选题15题思维拓展练习】 【专题复习思维导图指引】 一、有理数的加法运算 1,加接法 二、有理数的减法运算 三、有理数的乘法与除法运算 +1,有速数的燥法法测 1,减法法则 减去一个数。等于加上这个数的相反数】 不的数相能先空持号。再把地对值。 即-=a+机 2)当数中有数时。必用括号起 如5与一3的乘。应列为5×（一引，不应写成5×一3 2有理的法注的提产法的法) 【1)几个不等干0的数银，积的号由负因数的个数流定】 -4)+,101=+10-6= 2,有洋数加减湿合运算 当负数有爽个时为 念的锥时值 为正 能用到用。围化运 (2)几个酷相要.如厦有一个因数为0.昭么积欧等于0： +0度 个暂与0相加 一个验写心帮加，仍降这个数 利用加法运精法解决题 2有接数加法摆就步置 ①先确定两个加数的符号《得号破舞号，或一为0)】 镜巧点接 云求绝对值。并确定和的绝对值（加减法）： 心餐现符号法则确定统黑的符号。 于0的数 等于这个数的倒对 二安是花减数登为它的相反数 山1乘方的顺总 即：+6=-（力6≠ -000 (a+)+=+(6+(加法合律 《2)法别2：两数相除。阿号得正。异号碍负，井把绝对值相路 0除以任何一个不等干0的数，忽得0 (3到交晚加慧位置明，不要忘记符号， 底数：在中。：叫管度数 挑战压轴题专题03 六、有理数的运算法则与性质 指数：叫绿指数 1.远算 有理数的运算 ()加法交换律 苏科版酸学七年级上册 2×2×2=2型 有数的除提合运 a+=+6+c 2.特别 +h 有理数的加减集膝理合读真。如无招号，然抗”先率珠，后加减的哪序进行。 2.海方的符号法时 五。科学记数法这是一个小，四常重要的如识 科学记数法的宝 )底数是分数。虚数是分双。底数不是单独的一个数 (1】正的的任何次幕想是正数 (2)角数的而次是身数， 于10的数 2】 西是含有通新的 加减法是第一吸运算，聚非法是第二吸话算，来方是第三绿运前】 个数本身的一次方 2)在合有多里活号的需合运中，一根感按从黑肉外的顺序说行， 负数的偶次幕是正数 物数1通常省路不 转测时蛙也可以从外向里 这种记数法叫做科学记数法 as学2a一an 睫用的可以化计草，镯高正确率 压轴题考点技巧归纳 (1)有理登的桑方运第 彩此这个数的整数悠数少 特别丽 首先请定的符号 1.熟练常握运算法刻、运算律，灵活运用，简化计算，减少错误。 七，倒数的餐念 2.注意符号：先确定符号，再进行绝对值的运算，尤其是乘、乘方运算 有理败运算看似简单， 法计 但题目组合变化多， 到营的题坐，南机是1的两个数正为制数， 3.善用运算律：适当交换 结合、拆分，化絮为简。提开解题效率 仔细南题。规范计镜 4审题要细心：注意括号、运算顺序，特殊值（如0、士1）的处理。 灵活运用法则和运算律 5计算要规范：步寝清晰，书写工整，避免相心错误。 是解决压袖题的关 第2页共22页 【压轴考向一有理数的加法和减法】 二【压轴考点01】有理数的加减混合运算★★★ 【典例精讲】(26-27七年级上·全国·课后作业)计算： (1)0-1+2-3+4-5: (2)-4.2+5.7-8.4+10.2: (3)-30-11-(-10)+(-12)+18: (43-（-2用+()-￥-(+) 【对应练习】(26-27七年级上·全国·课后作业)将下列各式写成省略加号的和的形式，并按要求交换 加数的位置： (1)(+16)+(-29)-(-7)-(+11)+(+9):(使正负号相同的加数结合在一起) (2)（-3.1)-(-4.5)+(+4.4-(+1.3)+(-2.5)；(使和为整数的加数结合在一起) (3)（+1月)-(+5)+()-（+)+(-5)：（使分母相同或便于通分的加数结合在一起） (4)(-2.4)-(-47)-(+0.5)+(+3.4)+(-3.5).(使计算简便) 第3页共22页 品【压轴考点02】有理数加减中的筒便运算★女女女 【典例精讲】计算 (1)(-7)+(+11)+(-13)+9 (2)6.14+(（-2)-(-5.86)-（+) 2)-6.3+（-3)+5+(-2.3) 44+(2+2+引 【对应练习】计算：(3)+(-5)+(-2)+(-32) 【压轴考点O3】有理数加减混合运算的应用★★★★ 【典例精讲】(25-26六年级上·上海·期中)以“点亮上海”为主题的上海国际光影节刚刚落幕，其中 的无人机表演令人惊艳.当无人机群到达同一高度的表演点位后，飞行控制员发出飞行指令：上升为正， 下降为负（单位：米） A组无人机群的3个飞行指令记为：+2.1，-1号+0.5； B组无人机群的2个飞行指令记为：+2圣-1号 若要求两组无人机群的第三个动作后的飞行高度相同，那么要如何调整B组的第3个飞行指令，上升还是 下降？上升或下降多少米？ 第4页共22页 【对应练习】佳佳和琪琪用扑克牌做数学游戏，如图，两人手中各有四张扑克牌，并且都不知道对方手中 的牌。 游戏规则是：将方块“◆”记为正分，如“5”记为+5分，将梅花“”记为负分，如“2”记为-2 分；两人各自同时从对方手中任意抽取一张牌，与手中剩余的牌计算总分，得分高的人获胜， 品品 ◆ 曾 佳佳 3 品 曾 ◆◆i ◆ 9 曾到 琪琪 (1)若佳佳从琪琪手中抽到“◆6”，同时琪琪从佳佳手中抽到“5”，分别计算此时佳佳和琪琪手中牌 的总分，并判断谁获胜； (2)若两人互相任意抽取一张牌后，佳佳手中牌的总分最高可能是多少？ (3)在两人互相任意抽取一张牌后，直接写出佳佳手中牌的总分与琪琪手中牌的总分具有什么特征， ,【压轴考点04】省略加法和括号的形式★★★ 【典例精讲】(2025七年级上·全国·专题练习)计算： (1)9+(-7)+10+(-3)+(-9): (2)12+(-14+6+(-7): 第5页共22页 (3)-3+(-)+(-3)+ (4)-4.2+5.7+（-8.7)+4.2: (⑤)5号+(-5)+4号+(-)： (6)(-18)+(+53)+(-53.6)+(+18)+(-100). 【对应练习】(25-26七年级上·河南商丘·阶段检测)平顶山某初中数学小组学完进度章节后，对一道 试题展开了讨论，请你仔细阅读并完成任务， 试题：计算：-5+(-9)+173+(-3) 小明：对于这道试题我采用直接运算方法，从左到右先写成省略括号和加号的形式，之后… 小亮：对于这类计算，我发现了一种拆项法.以这道试题为例： 原式=[-5)+（别+[-9）+（引+(17+）+[【(-3)+（别 =[(-5)+(-9)+17+(-3+[(-)+(-)++( =一+() 三… 小明：这种方法很有趣，值得推荐. … 任务： (1)请你帮助小明把原式写成省略括号和加号的形式_： (2)题干中横线上空缺的计算结果是_： (3)按小亮的方法计算：(-2025)+4048号+(-2026)+1号 第6页共22页 【压轴考向二有理数的乘法和除法】 二【压轴考点05】有理数乘除筒便运算★女★ 【典例精讲】(26-27七年级·上海·暑假作业)该数轴的原点为0，向右为正方向.若点A,C所表示的 数互为相反数，则该数轴的原点O对应直尺上的刻度为 mwwppmpimpmpunpmppipmpiunpiimpipipm 01234567 89 10 【对应练习】(25-26七年级上·江苏苏州·期中)计算 (1199938×年85 2)(2.8+1+19)÷(品+号+) 4+(+到)+（仔+子+到+…+（后+品+…+） 52++x+… 25 12×13×14 【对应练习】(25-26七年级上·辽宁鞍山·期中)用运算律简便运算 1层*(2)-x品+*3 (②)999×118号+333×()-999×18写 第7页共22页 。【压轴考点06】有理数四则混合运算★女女女 【典例精讲】(26-27七年级上·江苏徐州·开学考试)计算下面各题. (1)14.6-3.73-6.27: (2)品+层×(0.4+： (3)32×1.25×0.25; (4)0.8×38+54×4+80%×8. 【对应练习】(25-26七年级上·广东揭阳·阶段检测)简便运算： (1)(-3.2)+12.5+(-16.8)-(-2.5). ②)(-4+)÷（ (2)-1.25×(-5)×3×(-8). 二【压轴考点7】有理数四则混合运算的实际应用★★女 【典例精讲】(25-26七年级上·陕西商洛·阶段检测)盲盒是指消费者无法提前得知具体产品款式的包 装商品，受到年轻消费者的青睐.某商店购进一批盲盒，进价为每个20元；为合理定价，前五天试行机动 价格，售出时以每个25元为标准价格，超出25元的部分记为正，不足25元的部分记为负，该店记录的前 五天盲盒的售价与标准价的差值和售出数量（共计85个）如下表所示： 第8页共22页 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 售价相对于标 +1 -2 +3 -1 +5 准价（元/个） 售出数量（个） 20 35 10 15 5 (1)该店前五天出售的这批盲盒中，单价最高的是第 天，最高单价为一元/个，最高单价比 最低单价多 元/个： (2)以标准价格为准，前五天这85个盲盒的售价总计超过或不足多少元？ (3)不考虑其他成本，求出前五天该店出售这批盲盒的总利润. 【对应练习】(26-27七年级上·湖南·开学考试)为鼓励居民节约用水，长沙市自来水公司制定了下面 的收费方式：每户每月用水15吨以内（含15吨），按2.88元/吨收取；超出15吨但不超过22吨（含22 吨)的部分，按3.64元/吨收取，超过22吨的部分，按4.39元/吨收取. (1)小明家10月份用水12吨，应缴水费多少元？ (2)小明家11月份用了21吨水，应缴水费多少元？ (3)小红家10月份缴水费57.76元，她家10月份用水多少吨？ 第9页共22页 【压轴考点08】根据点在数轴的位置判断式子的正负★★★ 【典例精讲】(25-26七年级上·山东德州·期中)有理数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示，则 b _1 0 A.a-b<0 B.a+b>0 C.a<0 D.b>0 【对应练习】(25-26七年级上·四川眉山·期中)有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示. → (1)b+c_0,a-b_0,a+c_0,a_0:(填>、<或=) (2)若关于a,b,c的代数式b+cl+la-bl-2la+cl+mla的值与字母a的取值无关，求m的值. 【压轴考点09】数轴上的翻折★★★ 【典例精讲】如图，A、B两点在数轴上，A表示的数为-10，B表示的数为14. A B -10 0 14 (1)A、B两点间的距离是 (2)若把点A先向右移动15个单位，再向左移动12个单位，然后又向左移动1.5个单位，此时点A表示的数 是 (3)如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A和点B之间的距离是1，则C点表示的数是一一- 第10页共22页 【对应练习】(24-25七年级上·河北邯郸·期末)数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数 与形完美结合.若数轴上点A,B分别对应数a,b.则点A,B两点之间的距离为AB=|a一b: 如图，在数轴上A点表示数a,B点表示数b,C点表示数c:BC=4,且Ia+10|+(b-2)2=0 A B 0 (1)a=-,b=-,c=_: (2)若将数轴折叠，使得点A与点C重合，则点B与数表示的点重合； (3)现有两个动点P,Q同时从点A,C出发匀速运动，设运动时间为t(t>0)秒， ①若点P、点Q分别以每秒2个单位长度的速度和每秒4个单位的长度的速度沿数轴均向左匀速运动.t为何 值时，点Q追上点P, ②若点P以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速 运动，求t为何值时，点P,Q相距2个单位长度.并写出此时点P,Q在数轴上表示的数， 【压轴考向三有理数的秉方】 二【压轴考点10】有理数的乘方运算★女★ 【典例精讲】(24-25七年级上·云南昆明·期末)探究规律，完成相关题目. 定义“*”运算： (+2)*(+4)=+(22+42):(-4)*(-7)=+[(-4)2+(-7)2]: (-2)*(+4)=-[(-2)2+(+4)2]:(+5)*(-7)=-[(+5)2+(-7)2]: 0*(-5)=(-5)*0=(-5)2;(+3)*0=0*(+3)=(+3)2. 0*0=02+02=0. (1)(-5)*(-2)=； (2)已知：（+1)*[0*=17，其中，a为负数，求a的值： (3)是否存在有理数m,n,使得(m-1)*(n+2)=0,若存在，求出m,n的值，若不存在，说明理由. 第11页共22页 【对应练习】(24-25六年级上·上海·阶段检测)阅读材料，求值：· 解：设S=1+2+22+23+24+…+22024①，将等式两边同时乘以2得： 2S=2+22+23+24…+22024+22025②， ②-①，得：2S-5=22025-1, 所以5=22025-1， 即1+2+22+23+24+…+22024=22025-1， 请你仿照此法计算： (1)1+2+22+23+24+…+210: (2)1+3+32+33+34+…+3”(其中n为正整数) 品【压轴考点1】有理数乘方逆运算★★★女 【典例精讲】(25-26七年级上·广西崇左·阶段检测)根据乘方的意义及乘法运算律可知： a2.b2=a·a·b·b=(ab).(ab)=(ab)2: a3.b3=a·a·a·b·b·b=(ab)·(ab)·(ab)=(ab)3; (1)根据以上材料可知：α4·b4= an.bn= (n为正整数)： ②根据上面得到的结论，计算：(-8)20u×目1 第12页共22页 【对应练习】(25-26七年级上·重庆万州·期中)已知x-1=4,y2=36,且lx-y川=y-x,则x+y 的值为( A.-9或-11 B.-9或3 C.-1或-9 D.11或3 二【压轴考点12】乘方运算的符号规律★★★★ 【典例精讲】(25-26七年级上·福建泉州·期中)关于x的代数式，当x取任意一组相反数a与-a时， 若代数式的值相等，则称之为“偶代数式”；若代数式的值互为相反数，则称之为“奇代数式”，例如代 数式x2是“偶代数式”，x3是“奇代数式”. (1)以下代数式中，是“偶代数式”的有一一，是“奇代数式”的有 (将正确选项的序号填写 在横线上.①x|+1;②x3-x;③2x2-4 (2)某个奇代数式，当x取2时，代数式的值为3，问：当x取-2时，代数式的值为多少？ (3)对于整式x5-x3+x2+x+1,当x分别取-4，-3，-2，-1,0,1,2,3,4时，这九个整式的值之 和是 【对应练习】(25-26七年级上·山东菏泽·期中)先用数学的眼光观察下列两组算式，然后解答提出的 问题 ①2×32与(2×3)：②()×23与(-到×2 (1)通过计算说明每组两个算式的结果是否相等： (2)根据(1)的结果猜想abm等于什么？ )用(2)的结论计算：（目202×(-5） 第13页共22页 【压轴考点13】乘方的应用★★★★ 【典例精讲】一种叫水浮莲的水草生长很快，每天增加1倍，10天刚好长满池塘，到第几天刚好长满池 塘面积的一半( ) A.6天 B.5天 C.8天 D.9天 【对应练习】(25-25七年级上·山东青岛·期末)若0=()21，b=()22,c=(),d= (（)”24,则a,么Gd的大小关系正确的是( A.a>c>b>d B.a>b>c>d C.d>c>b>a D.b>d>c>a 二【压轴考点14】用科学记数法表示绝对值大于1的数★女★ 【典例精讲】(24-25七年级下·河北张家口·期中)地球上水的总储量为1.39×1018m3,但目前能被 人们利用的水仅占总储量的0.77%，即约为0.0107×1018，关于数据“0.0107×1018”，下列说法正确的 是( ) A.用科学记数法可以表示为1.07×1016 B.用科学记数法可以表示为1.07×1018 C.该数是一个18位数 D.该数是一个19位数 【对应练习】水25-26七年级上河南周口期中)据科学家测算，用1吨废纸造出的再生好纸相当于0.30.4 亩森林木材的造纸量.某市今年大约有6.7×104名初中毕业生，每个毕业生离校时大约有12千克废纸，若 他们都把废纸送到回收站生产再生好纸，那么至少可使多少亩森林免遭砍伐？ 第14页共22页 【压轴考点15】将用科学记数法表示的数变回原数★★★★ 【典例精讲】2025年10月31日神舟二十一号载人飞船采用自主快速交会对接模式，发射后仅用3.5小 时与空间站成功对接，其平均速度高达2.7648×104千米/小时，则这个用科学记数法表示的数据原数是 ( )米/小时 A.2764810 B.2764800 C.27648000 D.276480000 【对应练习】(25-26七年级上·浙江杭州·期中)已知航天器速度为7.9×103米/秒，行星与地球距离 为4.74×108千米，下列正确的是( ) A.航天器速度原数是79000米/秒 B.4.74×108的原数末尾有8个0 C.航天器飞完这段距离需6×107秒 D.4.74×108小数点右移2位，结果为4.74×106 【压轴考向四有理数的混合运算】 【压轴考点16】程序流程图与有理数计算★★★★ 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西西安·期末)任意给一个非零数x,按如图所示的程序写出输出结 果y,则y与x之间的关系式为( 输入x平方+x→÷x 输出y A.y=x2+1 B.y=2x C.y=2x+1 D.y=x+1 【对应练习】(2026·河北石家庄·模拟预测)图是一个计算程序. 32 4 L-6 (1)按照顺序计算并填写其中的“ ”,并在下面横线上列出综合算式： 综合算式： (仅列算式无需计算)； (2)计算：-52-8÷4×-21. 第15页共22页 s 【压轴考点17】算“24”点★★★★ 【典例精讲】小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： -3 -5 +3 +4 (1)从中抽取2张卡片，将2张卡片上的数字分别作为底数和指数，使所得的幂最大，应如何抽取？幂的最 大值是多少？ (②)从中抽取3张卡片，使这3张卡片上数字的乘积最小，应如何抽取？积的最小值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，将四个数（四个数都用且只能用一次，可使用括号）“+”、“一”、“×”、“÷” 运算，使其结果等于24.（写出一种情况即可） 【对应练习】(25-26七年级上·四川成都·阶段检测)从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取4张， 根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌只能用一次），使得运算结果为24或-24，其中红色扑克代表负 数，黑色扑克代表正数，J,Q,K分别代表11,12,13.如果抽到的是下列四张扑克（一张黑9，一张红3， 一张黑3，一张黑4)，那么凑成24所列的算式是一一-· 二【压轴考点18】合乘方的有理数混合运算★★女★ 【典例精讲】(25-26七年级上·河南郑州·期中)简便运算. 瑞+器+告+器+…+ 2)(1+)×(1+2)×(1+)×…×(1+0oo吗） 第16页共22页 (3)970×药+770×+57品×号 ④68×(5-)+25×(g+)-43×(5-》 【对应练习】(25-26七年级上·安徽合肥·期末)进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统.约 定逢三进一就是三进制，用数字0,1,2记数，三进制数可以转换为十进制数.例如，三进制数1212记为 (1212)3,由(1212)3=1×33+2×32+1×31+2×30=50，可得(1212)3是十进制数50. (1)将(201)3转换为十进制数，结果是一一 (②)对于一个用三进制表示的正整数，现有结论“如果这个数的所有数位上的数字之和能被2整除，那么这 个数就能被2整除.”请以四位的三进制数(abcd),为例： ①将(abcd,转化为十进制，结果是一· ②请以四位的三进制数(abcd)3为例，说明该结论正确的道理 【压轴题专项训练优选题15题思维拓展练习】 1.(26-27七年级上·湖北武汉·开学考试)振大超市出售三种品牌的大米，袋子上分别标有(25士0.1) 千克，(25±0.2)千克，(25±0.3)千克.从中任意拿出两袋，这两袋米的质量最多相差( )· 第17页共22页 A.0.8千克 B.0.6千克 C.0.5千克 D.0.4千克 2.(26-27六年级上·上海·开学考试)停车场对小汽车的收费标准是这样的：半小时内（含半小时）免 费，半小时以上，每过1小时收费8元，不足1小时按1小时算.一辆小汽车付停车费24元，那么它的停 车时间段可能是( A.8:15-12:00 B.12:30-14:30 C.11:25-14:45 D.9:55-12:20 3.(25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中)己知ab是有理数，下列说法错误的是( ) A.若a=bl,则a=b B.若|a-bl=|a+|bl且ab均是非零数，则ab<0 c.若la-bl=b-a,则a≤b D.若数轴上ab在原点的两侧，则吗+台=0 4.(25-26七年级上·福建泉州·开学考试)x、y表示两个数，规定新运算“※”及“△”如下x为=6x+5y, x△y=3xy,那么(23)△4=_ 5.我国古代《易经》中记载了“结绳记数”的方法.一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进 一，用来记录孩子出生后的天数.若从右起第1位打结数为3，第2位为2，第3位为1，则孩子出生后的 天数为天 6.(25-26七年级下安徽毫州期末)将二进制数101转化成十进制数这样进行：1×22+0×21+1×2°=5， 即二进制数101转化成十进制数为5.再如：二进制数1101转化成十进制数这样进行：1×23+1×22+0× 21+1×2°=13，即二进制数1101转化成十进制数为13.依此类推. (1)将二进制数10011转化成十进制数为， (2)将十进制数23转化成二进制数为 7.程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，如图所示的程序框图， 当输入x的值是-1时，根据程序，第1次计算输出的结果是1，第2次计算输出的结果是-2，…，这样计算 下去，第7次计算输出的结果是 x为负数 x2 输入x 输出 x为非负数 x-3 【答案】1 第18页共22页 8.某地推出4种特色农产品，每种农产品货源充足，均为独立包装且不可拆分.各农产品每包的重量与价 值如下表： 农产品 B D 重量(kg) 12 8 5 价值（元） 60 100 58 45 在某批农产品的销售中， 根据客户需求，助农志愿者使用纸箱装运农产品，且每箱所装农产品的总重量不 超过28kg. (1)若每箱只装同一种农产品，则一箱农产品的总价值最大是 元： (2)若每箱中每种农产品最多装2包，则一箱农产品的总价值最大是 元 9.(25-26七年级下·北京·期中)今年3月，某校开展一年一度的“π节”数学文化活动，设置了丰富多 彩的数学游戏.其中有一个“T字之谜”的游戏，由5位同学组队参加，每位同学每人只能选择A、B、C、D、E 五个不同难度级别中的一个级别参加游戏，每个级别的单次游玩时长如下表： 级别 A级 B级 C级 D级 E级 时长（分钟） 1 3 4 5 活动当天，该游戏共有3个摊位同时开放.且满足以下规则： ①每个摊位同一时间只能有1位同学游玩，前一位同学游戏结束后，后一位同学才能上场，换场时间忽略 不计： ②一组的5位同学全部完成游戏，视为这一组的游戏结束， 引导员将一组的5位同学分配至3个摊位进行游戏（即每个摊位依次安排同学游玩）， 回答下列问题： (1)若某一次分配方案为：选A级和C级的同学到1号摊位，选B级和E级的同学到2号摊位，选D级的 同学到3号摊位，进行游戏.则这一方案的总游戏时长为 分钟， (2)在所有可行的分配方案中，一组游戏总时长最短为 分钟. 第19页共22页 10.(25-26七年级上·安徽毫州·阶段检测)计算下面各题： (1(后+)×(-64)： 2)(-3)2-(-0.75)×号-19×(-4) 11.（26-27七年级上·全国·课后作业)按要求解答下列问题： (1)一棵生长了20年的大树，仅能制成5000∽8000双一次性筷子.假设每人每天用1双一次性筷子，调 查你所在地区的人口数，估算一下一年我们要为此砍多少棵这样的大树（用科学记数法表示）·如果是一 个1000万人口的城市呢？ (2)根据(1)中的估算结果，你有何感想？ 12.(25-26七年级上·山东德州·期中)计算 (1)3+()-(-)+2 (2-0.8+1.2-0.7-2.1+0.8+3.5-2.5 (3)1×(-1)×(-6)÷(-12) (④(-哥+)×6 6)（-129)÷(-6) (6)6÷(-)-(-2)×5 第20页共22页 13.(26-27七年级上·浙江杭州·开学考试)某平台和政府合作推出了“平台政府补贴”优惠政策.为了 鼓励消费者购买节能环保产品，这个平台的家电产品政府补贴标准见下表： 能效等级 补贴比例 补充说明 级能效 产品销售价格的15% 级能效产品最高补 贴不超过2000元（即 超过2000元的，最高 二级能效 产品销售价格的10% 只能补贴2000元)： 二级能效最高补贴 1500元（同前） 周叔叔家在“平台政府补贴”优惠期内购买了2件家电，一共获得2400元的政府补贴.他购买的电器可能 是哪两件？（写出一种情况即可） 一级能效 二级能效 二级能效 级能效 电冰箱 电视机 洗衣机 空调 原价：15000元 原价：12000元 原价：4000元 原价：6000元 14.（26-27六年级上·上海·开学考试)小明的爸爸周日买进某种蔬菜10000斤，每斤2.5元，进入批发 市场后共占5个摊位，每个摊位最多能容纳2000斤该品种的蔬菜，每个摊位的市场管理费为每天25元.下 表为本周内该蔬菜每天的批发价格比前一天的涨跌情况（购进当日该种蔬菜的批发价格为每斤2.7元，+0.3 表示比前一天涨0.3元，-0.1表示比前一天跌0.1元). 星期 二 四 五 与前一天 +0.3 -0.1 +0.25 +0.2 -0.5 的价格涨 第21页共22页 跌情况/元 当天的交 2500 2000 3000 1500 1000 易量/斤 在销售过程中小明的爸爸采用逐天减少摊位个数的方法来降低成本，增加收益，他在本周的买卖中共赚了 多少钱？ 15.(25-26七年级上·辽宁沈阳·期末)己知数轴上有A,B,C三个点，分别表示有理数-12,9,20， 动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动，设移动时间为t秒.如图1，若用PA,PB,PC分 别表示点P与点A,点B,点C之间的距离，试回答以下问题， 图1 图2 (1)P运动5秒时，PA=-,PB=-,PC=-: (2)当点P运动了t秒时，请用含t的代数式表示点P与点A,点B,点C之间的距离：PA=-,PB=-,PC=-: (3)经过几秒后，点P到点A,点C的距离相等？此时点P表示的数是多少？ (4)如图2，当动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左 运动，O,B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速， 从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速.是否存在符合条件的，使P,Q两点到点B 的距离相等.若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由. 第22页共22页