3.3.1 垂径定理（第1课时）（教学课件）数学新教材浙教版九年级上册

该初中数学课件聚焦垂径定理，从赵州桥等生活情境导入，通过观察发现环节的问题链（测量桥拱高度、确定圆弧对称轴）连接定理探究，以动手实验（画弦、作垂线、折叠）和观察发现为学习支架，帮助学生从直观到抽象理解定理形成过程。 其亮点在于以数学眼光观察生活，通过动手操作发展几何直观，结合逻辑推理培养推理意识，例题（拱桥半径计算）和练习体现模型意识。采用问题驱动与数形结合策略，小结明确核心思想与解题方法，助力学生掌握知识，方便教师高效教学。

3.3.1垂径定理 （第1课时） 第三章 圆的基本性质 浙教版（新教材）·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3 通过折纸操作、画图观察与逻辑推理，探究并理解垂径定理的形成过程，能准确复述垂径定理内容。 掌握垂径定理的几何证明思路，分清定理的条件：直径（过圆心）、垂直于弦，结论：平分弦、平分弦所对的两条弧，识别弧中点的定义。 能运用垂径定理完成简单几何推理，会利用直尺和圆规作一条已知弧的中点，解决基础线段、弧相等的证明问题。 新课导入 情境引入：生活中的数学 赵州桥的桥拱呈现出完美的圆弧结构，这种几何形态不仅具有力学上的稳定性，更蕴含着丰富的数学原理。今天，我们就从这座古老的桥梁开始，探索圆的奥秘。 ❖ 观察与发现 生活中随处可见圆形结构，如图中的石拱桥，其桥拱是一段优美的圆弧。如何量化这些圆弧的属性，解决实际测量问题？ 思考一： 若要测量桥拱的高度或计算其半径，我们需要找到哪些关键的几何元素？ 思考二： 如何确定圆弧的对称轴，将其精确地平分为两段？这背后隐藏着怎样的规律？ 这些问题的答案，都指向一个核心定理—— 垂径定理 。它揭示了圆的直径与弦之间的特殊位置关系，是解决圆相关问题的关键钥匙。 3 新知探究 新知探索：动手操作 01 动手实验：画一画，折一折 STEP 01 · 画弦 在圆上任取两点A、B，连接AB得到一条弦。这是我们研究圆内线段关系的基础。 STEP 02 · 作垂线 过圆心O作直径CD，使CD垂直于弦AB，垂足为点E。构建垂直的几何关系。 STEP 03 · 折叠观察 沿直径CD对折纸片，观察点与弧的位置变化，直观感受图形的对称性。 02 观察发现：直观的几何对称 点的重合： 点A ⇌ 点B 对折后两点完全重合，说明 AE = BE 优弧重合： 弧AC ⇌ 弧BC 半圆两侧的弧完全重叠，弧度相等 劣弧重合： 弧AD ⇌ 弧BD 直径两侧的弧完全重叠，弧度相等 💡 初步猜想： 垂直于弦的直径，不仅平分弦，还平分弦所对的两条弧。这正是圆的轴对称性在几何关系中的具体体现。 4 新知探究 新知探索：定理证明 如图所示，CD是☉O的直径，CD⊥AB于点E，求证：AE=BE，. 01 猜想的数学化表达 02 核心证明思路 利用圆的轴对称性（沿直径折叠重合），或构造等腰△OAB，借助“三线合一”性质，将线段与弧的等量关系转化为几何图形的性质推导。 03 严谨证明步骤 连接OA、OB，∵OA=OB，OE⊥AB， ∴AE=BE，∠AOC=∠BOC。 依据圆心角定理，圆心角相等则所对弧相等， 故. 5 新知探究 例题解析：尺规作图 01 例题呈现 已知条件：弧AB。求解目标：找到并作出该弧的中点。这是一个典型的利用几何性质解决作图问题的案例。 02 核心思路 根据垂径定理推论：平分弦的直径垂直于弦且平分弧。因此，只需作出弦AB的垂直平分线，该线与弧AB的交点即为所求的弧中点。 03 规范作法 ① 连接弦AB，构建基础线段；② 用尺规作AB的垂直 平分线，交弧AB于点E；③ 点E即为弧AB的中点。 💡 技巧总结： 将“弧中点”问题转化为“弦的垂直平分线”问题，是解决此类作图题的核心技巧。 6 新课探究 新知探索：定理总结 ▍ 定理内容 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。这是圆的轴对称性的重要体现，也是解决圆相关计算与证明的核心依据。 垂直关系 直径必须与弦互相垂直，这是定理成立的首要条件，体现了圆的垂直对称特性。 过圆心 直线必须经过圆心（即直径），这是定理的核心前提，确保了对称中心的存在。 平分弦 直径将弦分成两段相等的线段，即弦被直径垂直平分，这是最直观的几何结论。 平分弧 不仅平分弦，还平分弦所对的优弧和劣弧，体现了圆在旋转和轴对称下的不变性。 7 典例1 如图，☉O的弦AB与半径OE，OF相交于点C、D，AC=BD， 求证： 典例分析 证明：过点O作OM⊥AB，交AB于点M，交☉O于点N，如图 ∴AM=BM，AN=BN ∵AC=BD，∴CM=DM. 又∵OM⊥CD，∴OC=OD, ∴∠EON=∠FON. ∴=· ∴-=- ∴= 练一练 如图，OA=OB，AB交☉O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB 于点F 典例分析 证明：∵OA=OB, ∴△AOB是等腰三角形， ∵OE⊥AB于点F，AF=BF, 又∵OE是☉O的半径，OE⊥AB，∴CF=DF, ∴AF-CF=BF-DF, ∴AC=BD; (1)求证：AC=BD； 练一练 如图，OA=OB，AB交☉O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB 于点F 典例分析 解：如图，连接AC ∵OE⊥AB，CD为⊙O的弦， CF=CD=5，∠OFC=90° ∴CO²=CF²+OF², 设⊙O的半径是r, r2=5²+(r-3)²，解得r= ⊙O的半径是 (2)若CD=10，EF=3，求☉O的半径. 典例分析 如图，拱门的上部是一段圆弧AD，其圆心O在线段EF上，点E是弧AD的中点，下部是宽BC为4.8m，高AB为2.8m的长方形，已知拱门最高处E距离地面的高度EF为4m，EF⊥AD于点P，连接AO.求上部圆弧的半径AO的长. 典例2 解：由题意得圆心O在EF上，EF⊥AD，EF=4m，AP=AD=24m，设OA=Rm，OP=OE-PE=(R-1.2)m，在Rt△AOP中，OA²=AP²+OP²，即R²=2.4²+(R-1.2)² 解得R=3 所以，上部圆弧的半径是3m. 练一练 有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡，滨朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度AB=60米，拱高PD=18米. 典例分析 解：连接OA 由题意得：AD=AB=30米， OD=(r-18)米，在Rt△ADO中， 有r2=30²+(r-18)², 解得r=34米； (1)求圆弧所在的圆的半径的长； 练一练 有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡，滨朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度AB=60米，拱高PD=18米. 典例分析 解：连接OA'. ∵OE=OP-PE=30米， 在Rt△A'EO,中A'E=(米) ∴A'B'=32米. ∵A'B'=32>30,∴不需要采取紧急措施. (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE=4米时，是否要采取紧急措施? 典例分析 如图所示，☉O的两条弦AB，CD互相垂直目相交于点P，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F，=求证：四边形OEPF是正方形. 典例3 证明：连接OA、OD ∵AB⊥CD，OE⊥AB，OF⊥CD, ∴四边形OEPF是矩形，∵= ∴+=+即=, ∴AB=CD,∵OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分别为E,F, ∴AE=AB,DF=CD,∴AE=DF, ∵OA=OD,OE²=OA²-AE²,OF²=OD²-DF², ∴OE=OF,∴四边形OEPF是正方形. 典例分析 如图，在☉O中，弦BC与半径OA垂直于点D，连接AB、AC.点E为AC的中点，连接DE. 练一练 (1)解：∵BC⊥OA, ∴=,，∠ADC=90°, ∴AC=AB=6, ∵点E为AC的中点， ∴DE=AC=3 (1)若AB=6，求DE的长； 典例分析 如图，在☉O中，弦BC与半径OA垂直于点D，连接AB、AC.点E为AC的中点，连接DE. 练一练 (2)解：∵AC=AB，∴∠B=∠C, ∵∠BAC=100°, ∠C=(180°-100°)=40° ∵点E为AC的中点，∴ED=EC, ∠CDE=∠C=40°. (2)若∠BAC=100°,求∠CDE的度数. 课堂小结 06 课堂小结 · 重点回顾 01 核心定理：垂径定理 垂直于弦的直径平分弦及弦所对的两条弧；其推论指出：平分非直径弦的直径垂直于弦，且平分弦所对的弧。这是解决圆中弦与直径关系问题的理论基石。 02 核心思想：数形结合 将抽象的几何图形性质转化为具体的代数方程（如勾股定理）来求解，把几何问题代数化，实现形与数的相互转化，是解决圆中计算问题的关键思维。 03 解题策略：构造直角三角形 过圆心作弦的垂线（弦心距），构建由“半径、弦心距、弦的一半”组成的直角三角形，利用勾股定理建立方程，从而解决弦长、半径、弦心距等相关计算问题。 04 实践技能：尺规作图 利用垂径定理的推论，通过尺规作图的方法精准找到弧的中点。这不仅是几何作图的基础技能，更是将理论知识应用于实践操作的重要体现。 课堂练习 1.如图，在☉O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB=8，OC=5，则CD的长是 （ ) A. 3 B. 2.5 C. 2 D. 1 课堂练习 2.如图，AB为☉O的直径，AE为☉O的弦，C为优弧ABE的中点，CD⊥AB，垂足为D。若AE=8，DB=2，则☉O的半径为（） A. 6 B. 5 C. D. 课堂练习 3.某小区的排水管道的截面示意图如图所示，点A、C、D在☉O上，点B是CD的中点，且AB经过圆心O，若AB=25cm，CD=30cm,则☉O的半径是( ) A. 18cm B. 17cm C. 16cm D. 15cm 课堂练习 4.日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成(如图1)，它可以看作如图2所示的几何图形，已知AC=BD=5cm，AC⊥CD，垂足为C，BD⊥CD，垂足为D，CD=16cm，☉O的半径r=10cm，则圆盘离桌面CD最近的距离是____. 1cm 课堂练习 5.如图，四边形ABCD内接于☉O，=2若AB=6，CD=，则☉O的半径是 。 课堂练习 6.如图，AB是☉O的直径，CD是☉O的弦，CD⊥AB于点E，C是的中点，连接AF. 证明：∵AB是☉O的直径，CD⊥AB于点E， ∴= ∵C是的中点， ∴=， ∴+=+ 即=∴AF=CD; (1)求证：AF=CD. 课堂练习 6.如图，AB是☉O的直径，CD是☉O的弦，CD⊥AB于点E，C是的中点，连接AF. 解：连接OD，由(1)可知AF=CD=10, 设☉O的半径为r，则OA=OD=r, ∵AE=2，∴OE=OA-AE=(r-2), ∵CD⊥AB于点E，∴DE=CD=5， ∴在Rt△ODE中，OE²+DE²=OD²， 即(r-2)²+5²=r2 解得r=∴☉O的半径为 (2)若AE=2，AF=10，求☉O的半径. $