广东省汕头市澄海区2026-2027学年上学期九年级第一次月考数学模拟练习

**基本信息** 以AI时代图标、太阳镜抛物线轮廓等真实情境为载体，融合二次函数、圆、旋转等核心知识，通过新定义“弦中点”及探究性问题，考查数学抽象与模型应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称与中心对称、二次函数顶点式等|以AI公司图标情境考查几何直观| |填空题|5/15|概率、扇形面积计算等|正六边形“三叶草”面积题考查空间观念| |解答题|8/85|截长补短法、抛物线应用等|23题分层设计实践-应用-探究，体现推理能力与创新意识|

2026-2027广东省汕头市澄海区九年级（上）第一次月考数学模拟练习 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）未来将是一个可以预见的AI时代．AI一般指人工智能，它研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）二次函数y＝x2﹣4x﹣2写成形如y＝a（x+m）2+n的形式，则m，n的值分别是（　　） A．， B．m＝﹣2，n＝﹣6 C．m＝2，n＝6 D．m＝2，n＝﹣2 3．（3分）小明手中有几组大小不等的三角板，分别是含45度，30度的直角三角板．从中选择两个各拼成如图所示的图形，则关于两图中四个顶点A，B，C，D的说法，正确的是（　　） A．甲图四点共圆，乙图四点共圆 B．甲图四点共圆，乙图四点不共圆 C．甲图四点不共圆，乙图四点共圆 D．甲图四点不共圆，乙图四点不共圆 4．（3分）如图，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，点D恰好在BC上．若∠CAE＝54°，则∠ADE的度数为（　　） A．45° B．54° C．60° D．63° 5．（3分）关于抛物线y＝﹣（x﹣2）2+4，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣2 C．顶点坐标是（2，4） D．x＞2时，y随x增大而增大 6．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB＝AD，BE是直径，若∠A＝70°，则∠ABE的度数为（　　） A．55° B．40° C．38° D．35° 7．（3分）已知α，β是一元二次方程x2+2x﹣9＝0的两根，则的值等于（　　） A． B． C． D． 8．（3分）为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于y轴对称，AE∥x轴，AB＝4cm，最低点C在x轴上，高CH＝1cm，BD＝2cm，则右轮廓DFE所在抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 9．（3分）如图，一把遮阳伞撑开时，母线长为2m，底面半径为1m，制作这把遮阳伞至少需要用布料（　　） A．4πm2 B．2πm2 C．πm2 D． 10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＝0；③a﹣b+c＝﹣2；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）一个袋子中装有4个黑球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为，则白球的个数n为 　 　 ． 12．（3分）点M（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是　 　 ． 13．（3分）如图，分别以正六边形ABCDEF的顶点A，C，E为圆心、边长为半径作弧，构成了阴影部分的“三叶草”图案．若该正六边形的边长是2，则“三叶草”的面积是 　 　 ． 14．（3分）抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，1），对称轴为直线x＝1与x轴交于点B，点C在抛物线上，若△ABC的内心恰好在x轴上，则点C的坐标是　 　 ． 15．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AD⊥AB于点A，OD交⊙O于点C，AE⊥OD于点E，交⊙O于点F，F为弧BC的中点，P为线段AB上一动点，若CD＝4，则PE+PF的最小值是　 　 ． 三．解答题（共3小题，满分21分，每小题7分） 16．（7分）解方程： （1）x2+3x＝0； （2）2x2﹣5x+2＝0． 17．（7分）一个不透明的口袋里装有四张卡片，卡片上分别标有汉字“活”“力”“白”“银”．除汉字不同之外，卡片没有任何区别． （1）若从中任取一张卡片，则取出的卡片上标有的汉字恰好是“活”的概率为　 　 ； （2）若从中任取两张卡片，请用画树状图法或列表法，求取出的两张卡片上标有的汉字恰好能组成“白银”的概率． 18．（7分）画一画． （1）画出三角形ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形． （2）请标出点E（9，3），F（13，3），并以EF为一条边，画一个与三角形ABC面积相等的钝角三角形． 四．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分） 19．（9分）【方法初探】截长补短法是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略． 问题：如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若CD＝DB+AB，求证：∠B＝2∠C． 解题思路：我们可以采用“截长补短法”解决该问题，如图2，辅助线做法在CD上截取DE＝DB，从而证明出结论． （1）请你根据上述解题思路，写出证明过程． 【方法应用】 （2）如图3，已知：等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AD是△ABC的角平分线，交BC边于点D．求证：AC＝AB+BD． 【实际应用】 （3）如图4，在四边形ABCD中，已知∠BAD＝50°，∠D＝110°，∠ACD＝45°，∠BCA＝85°，CE是△ABC的高，AD＝12，EB＝3，则AB的长为　 　 ． 20．（9分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，作DE⊥AC交AC于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）延长ED交AB的延长线于点F，若BD＝BF，AE＝3，求⊙O半径的长． 21．（9分）小王同学很喜欢玩纸飞机，他发现纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段，上抛和下降的飞行路径可看作是一段抛物线，滑行的飞行路径可看作是一条线段．如图所示，以地平线为x轴，起抛点所在铅垂线为y轴建立平面直角坐标系，分别得到抛物线yx+a和直线yx+m．其中，当纸飞机飞行的水平距离为8m时，自动进入滑行阶段． （1）若纸飞机进入滑行阶段时的高度为3.8m． ①直接写出a，m的值； ②小明的前方有一堵2.7m高的围栏，小明最多距离围栏多少米时，纸飞机可以顺利飞过围栏？ （2）要使纸飞机落地点与起抛点的水平距离不超过16m，直接写出a的最大值． 五．解答题（共2小题，满分27分） 22．（13分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是4．对于点P和⊙O，给出如下定义： 过点C的直线与⊙O交于不同的点M，N，如果点P为线段MN的中点，我们把这样的点P叫做关于MN的“弦中点”． （1）如图1，已知点C（﹣2，0）； ①点P1（﹣1，1），P2（0，1），P3（﹣2，0）中是关于MN的“弦中点”的是 　 　 ； ②若一次函数y＝2x+b的图象上只存在一个关于MN的“弦中点”，直接写出b的值； （2）如图2，正方形ABCD的中心为（﹣1，0），其各边平行于坐标轴，点C横坐标为t，其中t满足﹣8≤t≤﹣4，若对于任意的点C，都存在正方形ABCD，其边上有关于MN的“弦中点”，直接写出正方形ABCD边长AB的取值范围． 23．（14分）【实践探究】 数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践——应用——探究的过程： （1）实践：他们对一条抛物线形拱桥进行测量，测得当拱顶高离水面6m时，水面宽10m，并画出了拱桥截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，求该抛物线的解析式； （2）应用：按规定，船通过拱桥时，顶部与拱桥顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m．一场大雨，让水面上升了0.2m，为了确保安全，问该拱桥能否让宽度为6m、高度为3.2m的货船通过？请通过计算进行说明（货船看作长方体）； （3）探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，并过原点作一条y＝x的直线OF，交抛物线于点F，交抛物线对称轴于点E，提出了以下两个问题，请予解答： ①如图2，B为直线OF上方抛物线上一动点，过B作BA垂直于x轴，交x轴于A，交直线OF于C，过点B作BD垂直于直线OF，交直线OF于D，求BD+CD的最大值． ②如图3，G为直线OF上一动点，过G点作x轴的垂线交抛物线于点H，点P在坐标平面内．问：是否存在以E、G、H、P为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出G点的坐标；若不存在，请说明理由． 2026-2027广东省汕头市澄海区九年级（上）第一次月考数学模拟练习 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）未来将是一个可以预见的AI时代．AI一般指人工智能，它研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的定义以及中心对称图形的定义解决此题． 【解答】解：A．该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； D．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2．（3分）二次函数y＝x2﹣4x﹣2写成形如y＝a（x+m）2+n的形式，则m，n的值分别是（　　） A．， B．m＝﹣2，n＝﹣6 C．m＝2，n＝6 D．m＝2，n＝﹣2 【分析】配方法：加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式． 【解答】解：∵y＝x2﹣4x﹣2， ＝（x﹣2）2﹣6， ∴将二次函数y＝x2﹣4x﹣2写成形如y＝a（x+m）2+n的形式后，m，n的值分别是﹣2、﹣6； 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的三种形式．二次函数的解析式有三种形式： （1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）； （2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k； （3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）． 3．（3分）小明手中有几组大小不等的三角板，分别是含45度，30度的直角三角板．从中选择两个各拼成如图所示的图形，则关于两图中四个顶点A，B，C，D的说法，正确的是（　　） A．甲图四点共圆，乙图四点共圆 B．甲图四点共圆，乙图四点不共圆 C．甲图四点不共圆，乙图四点共圆 D．甲图四点不共圆，乙图四点不共圆 【分析】甲图中，取AC中点M，连接DM，BM，得出DM＝AM＝CM，得点D、A、C是以点M为圆心，AM为半径的圆上，再判断点B在圆M外即可；乙图中，取AC中点N，连接DN，BN，得DN＝AN＝CN＝BN，即可判断． 【解答】解：如甲图中，取AC中点M，连接DM，BM， ∵∠ADC＝90°， ∴DM＝AM＝CM， ∴点D、A、C是以点M为圆心，AM为半径的圆上， ∵△B C M为直角三角形， ∴BM＞CM， ∴点B在圆M外， ∴甲图四点不共圆； 如乙图中，取AC中点N，连接DN，BN， ∵∠ADC＝∠ABC＝90°， ∴DN＝AN＝CN＝BN， ∴点D、A、C、B是以点N为圆心，AN为半径的圆上， ∴乙图四点共圆， 综上，甲图四点不共圆，乙图四点共圆， 故选：C． 【点评】本题考查圆的定义，点和圆的位置关系，直角三角形斜边中线性质，熟练掌握这些定义和性质是解题的关键． 4．（3分）如图，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，点D恰好在BC上．若∠CAE＝54°，则∠ADE的度数为（　　） A．45° B．54° C．60° D．63° 【分析】根据旋转的性质及角的等量代换求得∠BAD＝∠CAE＝54°，△ABD是等腰三角形，求出∠B即可解答． 【解答】解：∵△ABC绕点A旋转得到△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，∠B＝∠ADE， ∵∠BAC＝∠BAD+∠CAD，∠DAE＝∠CAE+∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAE＝54°， ∵AB＝AD， ∴△ABD是等腰三角形， ∴， ∴∠ADE＝∠B＝63°． 故选：D． 【点评】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握以上知识点是解题的关键． 5．（3分）关于抛物线y＝﹣（x﹣2）2+4，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣2 C．顶点坐标是（2，4） D．x＞2时，y随x增大而增大 【分析】根据二次函数y＝﹣（x﹣2）2+4和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：∵二次函数y＝﹣（x﹣2）2+4，∴该函数图象开口向下，故选项A错误； 对称轴是直线x＝2，故选项B错误； 顶点坐标为（2，4），故选项C正确； 当x＞2时，y随x的增大而减小，故选项D错误． 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 6．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB＝AD，BE是直径，若∠A＝70°，则∠ABE的度数为（　　） A．55° B．40° C．38° D．35° 【分析】连接BD、ED，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠ABD，根据圆周角定理得到∠BDE＝90°，∠E＝∠A＝70°，根据直角三角形的性质求出∠EBD，计算即可． 【解答】解：如图，连接BD、ED， ∵AB＝AD，∠A＝70°， ∴∠ABD＝∠ADB（180°﹣70°）＝55°， ∵BE是⊙O的直径， ∴∠BDE＝90°， 由圆周角定理得：∠E＝∠A＝70°， ∴∠EBD＝90°﹣70°＝20°， ∴∠ABE＝55°﹣20°＝35°， 故选：D． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、掌握圆周角定理是解题的关键． 7．（3分）已知α，β是一元二次方程x2+2x﹣9＝0的两根，则的值等于（　　） A． B． C． D． 【分析】先利用根与系数的关系得α+β＝﹣2，αβ＝﹣9，再利用通分和完全平方公式变形得到，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：根据根与系数的关系得α+β＝﹣2，αβ＝﹣9， 所以． 故选：A． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 8．（3分）为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于y轴对称，AE∥x轴，AB＝4cm，最低点C在x轴上，高CH＝1cm，BD＝2cm，则右轮廓DFE所在抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据B、D关于y轴对称，得出D点坐标为（1，1），再求出左边抛物线的顶点C的坐标为（﹣3，0），则右边抛物线的顶点F的坐标为（3，0），设右边抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2，代入即可得出答案． 【解答】解：∵B、D关于y轴对称，高CH＝1cm，BD＝2cm， ∴D点坐标为（1，1）， ∵AE∥x轴，AB＝4cm，最低点C在x轴上， ∴AB关于直线CH对称， ∴左边抛物线的顶点C的坐标为（﹣3，0）， ∴右边抛物线的顶点F的坐标为（3，0）， 设右边抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2， 把D（1，1）代入y＝a（x﹣3）2得1＝a（1﹣3）2， 解得， 故右边抛物线的解析式为， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的应用，正确地理解题意是解题的关键． 9．（3分）如图，一把遮阳伞撑开时，母线长为2m，底面半径为1m，制作这把遮阳伞至少需要用布料（　　） A．4πm2 B．2πm2 C．πm2 D． 【分析】根据侧面积公式，进行计算即可． 【解答】解：根据侧面积公式进行计算可得： 制作这把遮阳伞至少需要用布料2×1×π＝2πm2； 故选：B． 【点评】本题考查求圆锥的侧面积，熟练掌握该知识点是关键． 10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＝0；③a﹣b+c＝﹣2；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】①首先根据抛物线开口向上，可得a＞0；然后根据对称轴在y轴左边，可得b＞0；最后根据抛物线与y轴的交点在x轴的上方，可得c＞0，据此判断出abc＞0即可． ②根据二次函数y＝ax2+bx+c+2的图象与x轴只有一个交点，可得Δ＝0，即b2﹣4a（c+2）＝0，b2﹣4ac＝8a＞0，据此解答即可． ③x＝﹣1时，a﹣b+c+2＝0，据此判断即可． ④根据对称轴是直线x＝﹣1，而且x＝0时，y＞2，可得x＝﹣2时，y＞2，据此判断即可． 【解答】解：①∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵对称轴在y轴左边， ∴b＞0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ∴c+2＞2， ∴c＞0， ∴abc＞0， ∴结论①不正确； ②∵二次函数y＝ax2+bx+c+2的图象与x轴只有一个交点， ∴Δ＝0， 即b2﹣4a（c+2）＝0， ∴b2﹣4ac＝8a＞0， ∴结论②不正确； ③x＝﹣1时，a﹣b+c+2＝0， ∴a﹣b+c＝﹣2， ∴结论③正确； ④∵对称轴是直线x＝﹣1，而且x＝0时，y＞2， ∴x＝﹣2时，y＞2， ∴4a﹣2b+c+2＞2， ∴4a﹣2b+c＞0． ∴结论④正确． 综上，可得正确结论的个数是2个：③④． 故选：C． 【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）一个袋子中装有4个黑球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为，则白球的个数n为 　6　 ． 【分析】根据白球概率求出黑球概率，黑球共有4个，就可以求出球的总数，再减去黑球个数即可解答． 【解答】解：∵摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为， ∴摸到黑球的概率为， ∵袋子中有4个黑球和n个白球， ∴由简单概率公式可得，解得n＝6， ∴白球有6个， 故答案为：6． 【点评】本题考查利用概率求个数，熟练掌握简单概率公式是解决问题的关键． 12．（3分）点M（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是　（2，﹣3）　 ． 【分析】根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，进行求解即可． 【解答】解：根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数可知： 点M（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，﹣3）； 故答案为：（2，﹣3）． 【点评】本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数是关键． 13．（3分）如图，分别以正六边形ABCDEF的顶点A，C，E为圆心、边长为半径作弧，构成了阴影部分的“三叶草”图案．若该正六边形的边长是2，则“三叶草”的面积是 　4π﹣6　 ． 【分析】连接OB，OD，OC， 根据正六边形的性质得到∠COB＝60°，∠BCD＝120°，得到OB＝OC＝BC＝2，同理OD＝CD＝2，推出四边形BCDO是菱形，过O作OH⊥CD于H，得到CH，根据勾股定理得到OH，根据菱形和扇形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：连接OB，OD，OC， ∵正多边形ABCDEF是正六边形， ∴∠COB＝60°，∠BCD＝120°， ∵OB＝OC， ∴△BOC是等边三角形， ∴OB＝OC＝BC＝2， 同理OD＝CD＝2， ∴OB＝BC＝OD＝CD， ∴四边形BCDO是菱形， 过O作OH⊥CD于H， ∴CH， ∴OH， ∴“三叶草”的面积＝3×（菱形BCDO的面积﹣扇形BCD的面积）＝3×（2）＝4π﹣6， 故答案为：4π﹣6． 【点评】此题主要考查了正六边形和圆以及扇形面积求法，注意圆与多边形的结合得出阴影面积＝（S扇形AOB﹣S△AOB）×6是解题关键． 14．（3分）抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，1），对称轴为直线x＝1与x轴交于点B，点C在抛物线上，若△ABC的内心恰好在x轴上，则点C的坐标是　（﹣1，﹣2）　 ． 【分析】先根据对称轴为直线x＝1且抛物线过点A（0，1）求得抛物线解析式，再由题意易得x轴平分∠ABC，即∠ABO＝∠CBO，且点C在y轴的左侧，过点C作CD⊥x轴于点D，设C（a，﹣a2+2a+1），然后可得a2﹣2a﹣1＝1﹣a，进而问题可求解． 【解答】解：抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，1），对称轴为直线x＝1与x轴交于点B，将点A的坐标代入，结合对称轴公式得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+1， ∵△ABC的内心恰好在x轴上， ∴x轴是∠ABC的角平分线，即∠ABO＝∠CBO， ∴△ABC的三个内角的角平分线交点在x轴上， ∴点C在y轴的左侧， 如图，过点C作CD⊥x轴于点D， 由题意知，OA＝OB＝1， ∴∠ABO＝∠DBC＝45°， ∴DC＝DB， 设C（a，﹣a2+2a+1），则有CD＝a2﹣2a﹣1，BD＝1﹣a， ∴a2﹣2a﹣1＝1﹣a， 解得：a1＝﹣1，a2＝2（不符合题意，舍去）， ∴C（﹣1，﹣2）， 故答案为：（﹣1，﹣2）． 【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 15．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AD⊥AB于点A，OD交⊙O于点C，AE⊥OD于点E，交⊙O于点F，F为弧BC的中点，P为线段AB上一动点，若CD＝4，则PE+PF的最小值是　6　 ． 【分析】延长DO交⊙O于点M，连接PM，PF，OF，EP，根据垂径定理推得，求得∠AOC＝∠COF＝∠BOF＝60°，进而得∠BOM＝∠AOC＝60°＝∠BOF，点F关于AB的对称点为点M，根据两点之间线段最短得出当E，P，M三点共线时，PE+PF最小，最小值为EM的长，再利用直角三角形的性质求出OA和OE的长，即可求解． 【解答】解：延长DO交⊙O于点M，连接PM，PF，OF，EP，如图， ∵AF⊥OD，F为弧BC的中点， ∴， ∴∠AOC＝∠COF＝∠BOF， ∵∠AOC+∠COF+∠BOF＝180°（平角的定义）， ∴∠AOC＝∠COF＝∠BOF＝60°， ∴∠BOM＝∠AOC＝60°＝∠BOF， ∴点F关于AB的对称点为点M， ∴PM＝PF（轴对称的性质）， ∴PE+PF＝PE+PM≥EM， 当E，P，M三点共线时，PE+PF最小，最小值为EM的长， ∵∠AOC＝60°，AD⊥AB， ∴∠D＝90°﹣∠AOC＝90°﹣60°＝30°， 故在Rt△ACD中，OD＝2OA， ∵CD＝4， ∴OD＝OC+4＝2OA＝2OC，即OC＝4， ∴OC＝OA＝OB＝OM＝OF＝4， ∵AF⊥OC，∠AOC＝60°， ∴∠OAE＝90°﹣∠AOE＝90°﹣60°＝30°， ∴OEOA4＝2， ∴EM＝OE+OM＝2+4＝6，即PE+PF的最小值为6， 故答案为：6． 【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系，轴对称，关键是相关性质和定理的熟练掌握． 三．解答题（共3小题，满分21分，每小题7分） 16．（7分）解方程： （1）x2+3x＝0； （2）2x2﹣5x+2＝0． 【分析】（1）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可； （2）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． 【解答】解：（1）x2+3x＝0， x（x+3）＝0， 则x＝0或x+3＝0， 所以x1＝0，x2＝﹣3； （2）2x2﹣5x+2＝0， （x﹣2）（2x﹣1）＝0， 则x﹣2＝0或2x﹣1＝0， 所以． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 17．（7分）一个不透明的口袋里装有四张卡片，卡片上分别标有汉字“活”“力”“白”“银”．除汉字不同之外，卡片没有任何区别． （1）若从中任取一张卡片，则取出的卡片上标有的汉字恰好是“活”的概率为　　 ； （2）若从中任取两张卡片，请用画树状图法或列表法，求取出的两张卡片上标有的汉字恰好能组成“白银”的概率． 【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中卡片上标有的汉字恰好是“活”的结果有1种，利用概率公式可得答案； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及取出的两张卡片上的汉字恰能组成“西安”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）由题意可知，共有4种等可能的结果，其中取出的卡片上标有的汉字恰好是“活”的结果有1种， ∴取出的卡片上标有的汉字恰好是“活”的概率为． 故答案为：； （2）列表如下： 活 力 白 银 活 （活，力） （活，白） （活，银） 力 （力，活） （力，白） （力，银） 白 （白，活） （白，力） （白，银） 银 （银，活） （银，力） （银，白） 从上表可知，共有12种等可能的结果，其中取出的两张卡片上标有的汉字恰好能组成“白银”的结果有2种， ∴取出的两张卡片上标有的汉字恰好能组成“白银”的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 18．（7分）画一画． （1）画出三角形ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形． （2）请标出点E（9，3），F（13，3），并以EF为一条边，画一个与三角形ABC面积相等的钝角三角形． 【分析】（1）根据旋转的定义，分别找出三角形三个顶点绕点C顺时针旋转90°后的位置，然后顺次连接即可； （2）先根据题意找到E，F的位置，再根据与△ABC面积相等且为钝角三角形找到第三个点的位置即可． 【解答】解：（1）三角形ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，如图1即为所求； （2）先根据题意找到E，F的位置，则EF＝AB＝4， ∵与△ABC面积相等， ∴三角形的高为3， 又∵为钝角三角形， ∴第三个点可取点D处（答案不唯一）． 与三角形ABC面积相等的钝角三角形DEF，如图2即为所求． 【点评】本题主要考查了作图﹣旋转变换，三角形的面积，解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质． 四．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分） 19．（9分）【方法初探】截长补短法是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略． 问题：如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若CD＝DB+AB，求证：∠B＝2∠C． 解题思路：我们可以采用“截长补短法”解决该问题，如图2，辅助线做法在CD上截取DE＝DB，从而证明出结论． （1）请你根据上述解题思路，写出证明过程． 【方法应用】 （2）如图3，已知：等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AD是△ABC的角平分线，交BC边于点D．求证：AC＝AB+BD． 【实际应用】 （3）如图4，在四边形ABCD中，已知∠BAD＝50°，∠D＝110°，∠ACD＝45°，∠BCA＝85°，CE是△ABC的高，AD＝12，EB＝3，则AB的长为　18　 ． 【分析】（1）在CD上截取DE＝DB，连接AE，利用SAS证得△ADB≌△ADE，从而得到AB＝AE，∠B＝∠AED，再由角度之间转换可得∠EAC＝∠C，根据等腰三角形的性质可得AE＝CE，即可推出∠B＝2∠C； （2）在AC上截取AE，使得AE＝AB，连接DE，由角平分线的定义可得∠BAD＝∠DAC，易利用SAS证得△ABD≌△AED，从而得到∠B＝∠AED，BD＝ED，再由角度之间转换可得∠C＝∠EDC，根据等腰三角形的性质可得BD＝EC，即可推出AB+BD＝AC； （3）在AE上截取AF＝AD，连接CF，在△ACD中，由三角形内角和可求得∠DAC＝∠FAC＝25°，从而易证得△DAC≌△FAC（SAS），得到∠AFC＝∠D＝110°，从而可推出∠CEF＝∠CEB＝90°，易证△CEF≌△CEB（AAS），得到EF＝BE，从而可推出AB的长． 【解答】（1）证明：如图2，AD⊥BC，在CD上截取DE＝DB，连接AE， ∴∠ADB＝∠ADE． 在△ADB和△ADE中， ， ∴△ADB≌△ADE（SAS）， ∴∠B＝∠AED，AB＝AE， ∵CD＝DB+AB， ∴CD＝DE+AE＝DE+CE， ∴AE＝CE， ∴∠EAC＝∠C． ∵∠AED＝∠EAC+∠C＝2∠C， ∴∠B＝∠AED＝2∠C， 即∠B＝2∠C； （2）证明：如图3，AD平分∠BAC，在AC上截取AE，使得AE＝AB，连接DE， ∴∠BAD＝∠DAC， 在△ABD和△AED中， ， ∴△ABD≌△AED（SAS）， ∴∠B＝∠AED，BD＝ED， 在等腰直角三角形ABC中，∠B＝∠AED＝90°， ∴∠C＝45°， ∴△CED是等腰直角三角形， ∴DE＝CE， ∴BD＝EC， ∵AE+EC＝AC， ∴AC＝AB+BD； （3）解：如图4，在AE上截取AF＝AD，连接CF， 在△ACD中，∠DAC＝180°﹣∠D﹣∠ACD＝25°， ∴∠FAC＝∠BAD﹣∠DAC＝25°， ∴∠DAC＝∠FAC＝25°， 在△DAC和△FAC中， ， ∴△DAC≌△FAC（SAS）， ∴∠AFC＝∠D＝110°， ∴∠CFE＝180°﹣∠AFC＝70°， ∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠FAC＝70°， ∴∠B＝∠CFE， ∵CE⊥AB， ∴∠CEF＝∠CEB＝90°， 在△CEF和△CEB中， ， ∴△CEF≌△CEB（AAS）， ∴EF＝BE， ∵AD＝12，EB＝3， ∴BF＝2BE＝6， ∴AB＝AF+BF＝AD+BF＝12+6＝18， 故答案为：18． 【点评】本题属于四边形综合题，主要考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键． 20．（9分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，作DE⊥AC交AC于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）延长ED交AB的延长线于点F，若BD＝BF，AE＝3，求⊙O半径的长． 【分析】（1）连接OD，则∠ADB＝90°，OA＝OB＝OD，根据AB＝AC得BD＝CD，由此得OD是△ABC的中位线，则OD∥AC，再根据DE⊥AC交AC于点E得OD⊥DE，据此即可得出结论； （2）根据BD＝BF，设∠F＝∠BDF＝α，则∠ABD＝∠F+∠BDF＝2α，由弦切角定理得∠BAD＝∠BDF＝α，在Rt△ABD中，根据∠BAD+∠ABD＝90°得α＝30°，则∠ABD＝2α＝60°，由此得△ABC是等边三角形，进而得∠CAD＝∠BAD＝30°，解Rt△ADE得AD＝2√3，解Rt△ABD得AB＝4，由此即可得出⊙O半径． 【解答】（1）证明：连接OD，如图所示： ∵AB为⊙O的直径，⊙O交BC于点D， ∴∠ADB＝90°，OA＝OB＝OD， ∴AD⊥BC， 在△ABC中，AB＝AC， ∴BD＝CD， 又∵OA＝OB， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC交AC于点E， ∴OD⊥DE， 又∵OD是⊙O半径， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：∵BD＝BF， ∴设∠F＝∠BDF＝α， ∵∠ABD是△BDF的外角， ∴∠ABD＝∠F+∠BDF＝2α， 由（1）可知：DE是⊙O的切线， 由弦切角定理得：∠BAD＝∠BDF＝α， 在Rt△ABD中，∠BAD+∠ABD＝90°， ∴α+2α＝90°， 解得：α＝30°， ∴∠ABD＝2α＝60°， 在△ABC中，AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠CAD＝∠BAD＝30°， ∵OD⊥DE， ∴△ADE是直角三角形， 在Rt△ADE中，AE＝3， ∵cos∠CAD， ∴AD， 在Rt△ABD中，cos∠BAD， ∴AB4， ∴OA＝OB＝2， 即⊙O半径的长为2． 【点评】此题主要考查了切线的判定，弦切角定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，理解等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，弦切角定理，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理，解直角三角形是解决问题的关键． 21．（9分）小王同学很喜欢玩纸飞机，他发现纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段，上抛和下降的飞行路径可看作是一段抛物线，滑行的飞行路径可看作是一条线段．如图所示，以地平线为x轴，起抛点所在铅垂线为y轴建立平面直角坐标系，分别得到抛物线yx+a和直线yx+m．其中，当纸飞机飞行的水平距离为8m时，自动进入滑行阶段． （1）若纸飞机进入滑行阶段时的高度为3.8m． ①直接写出a，m的值； ②小明的前方有一堵2.7m高的围栏，小明最多距离围栏多少米时，纸飞机可以顺利飞过围栏？ （2）要使纸飞机落地点与起抛点的水平距离不超过16m，直接写出a的最大值． 【分析】（1）①依据题意，把（8，3.8）分别代入抛物线解析式和直线解析式可得a和m的值； ②取y＝2.7，分别代入①中得到的两个函数解析式，求得合适的x的值，比较后可得所求的数值； （2）易得直线最远经过点（16，0），代入一次函数解析式，求得n的值，进而取x＝8，求得y的值，代入二次函数解析式可得c的最大值． 【解答】解：（1）①由题意，∵抛物线经过点（8，3.8）， ∴3.882+8+a． ∴a＝2.2． ∵yx+m经过点（8，3.8）， ∴3.88+m， ∴m＝7.8． ②当y＝2.7时，2.7x2+x+2.2， ∴x2﹣10x+5＝0， ∴x1＝5+28（不合题意，舍去），x2＝5﹣2， 又∵2.7x+7.8， ∴x＝10.2． ∵10.2＞5﹣2， ∴小明最多距离围栏10.2米时，纸飞机可以顺利飞过围栏． （2）由题意得：yx+m经过点（16，0）， ∴016+m， ∴m＝8， ∴yx+8， 当x＝8时，y＝4， ∴yx2+x+a经过点（8，4）， ∴482+8+a， ∴a＝2.4． 故答案为：2.4． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用．理解并应用二次函数和一次函数的交点坐标解决相关问题是解决本题的关键． 五．解答题（共2小题，满分27分） 22．（13分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是4．对于点P和⊙O，给出如下定义： 过点C的直线与⊙O交于不同的点M，N，如果点P为线段MN的中点，我们把这样的点P叫做关于MN的“弦中点”． （1）如图1，已知点C（﹣2，0）； ①点P1（﹣1，1），P2（0，1），P3（﹣2，0）中是关于MN的“弦中点”的是 P1，P3　 ； ②若一次函数y＝2x+b的图象上只存在一个关于MN的“弦中点”，直接写出b的值； （2）如图2，正方形ABCD的中心为（﹣1，0），其各边平行于坐标轴，点C横坐标为t，其中t满足﹣8≤t≤﹣4，若对于任意的点C，都存在正方形ABCD，其边上有关于MN的“弦中点”，直接写出正方形ABCD边长AB的取值范围． 【分析】（1）①根据“弦中点”的定义，判断得出点P在以（﹣1，0）为圆心，1为半径的圆周上，故点P1（﹣1，1），P2（0，1），P3（﹣2，0）中，只有P1（﹣1，1）和P3（﹣2，0）在以（﹣1，0）为圆心，1为半径的圆周上，从而可知答案； ②根据一次函数y＝2x+b的图象上只存在一个关于MN的“弦中点”，可得一次函数y＝2x+b的图象与以（﹣1，0）为圆心，1为半径的圆相切时满足题意． 如图1所示，一次函数y＝2x+b与y轴交点为B（0，b），与x轴交点为A（，0），D（﹣1，0）．当b＞0时，如图2所示，设一次函数y＝2x+b与x轴的夹角为α，则sinα，即，解得b；当b＜0，同理得b，综上，b的值为． （2）如图3，设正方形ABCD的中心E（﹣1，0），求出P点的轨迹，可以发现P点轨迹一定与BC和CD有交点，所以只需要保证这个交点在⊙O内即可求出t的取值范围，进而求出AB的取值范围， 【解答】解：（1）①∵点P为线段MN的中点，MN为⊙O的弦， ∴OP⊥MN，∠CPO＝90°， 又∵点C（﹣2，0）， ∴这样的点P在以（﹣1，0）为圆心，1为半径的圆周上，如图1所示： 在点P1（﹣1，1），P2（0，1），P3（﹣2，0）中， 只有P1（﹣1，1）和P3（﹣2，0）在以（﹣1，0）为圆心，1为半径的圆周上， 故答案为：P1，P3； ②∵一次函数y＝2x+b的图象上只存在一个关于MN的“弦中点”， ∴一次函数y＝2x+b的图象与以（﹣1，0）为圆心，1为半径的圆只有一个交点， 即一次函数y＝2x+b的图象与以（﹣1，0）为圆心，1为半径的圆相切时满足题意． 如图1所示，一次函数y＝2x+b与y轴交点为B（0，b），与x轴交点为A（，0），D（﹣1，0）． 当b＞0时，如图2所示， 设一次函数y＝2x+b与x轴的夹角为α，则sinα， 即，解得b； 当b＜0，同理可得，解得b， 综上，b的值为． （2）如图3，正方形ABCD的中心E（﹣1，0），连接OC，取OC中点Q，作△COP的外接圆， ∵P是MN的中点， ∴OP⊥MN， ∴OC为△COP外接圆的直径， ∴Q为△COP外接圆的圆心， ∵正方形ABCD各边平行于坐标轴， ∴C（t，﹣1﹣t）， ∵Q为OC中点， ∴Q（，）， ∵存在正方形ABCD，其边上有关于MN的“弦中点”， ∴⊙Q与BC和CD的交点需要在⊙O内， ∴⊙Q与BC的另一个交点为（0，﹣1﹣t），与CD的另一个交点为（t，0）， ∴﹣1﹣t＜4或﹣t＜4， ∴t＞﹣5或t＞﹣4， ∵﹣8≤t≤﹣4， ∴﹣5＜t≤﹣4， ∵AB＝2（﹣1﹣t）， ∴6≤AB＜8． 【点评】本题是一道以圆为背景的新定义题，考查了垂径定理，直线与圆的位置关系，切线的判定与性质，解直角三角形，综合性强，难度大，深刻理解新定义是解题关键． 23．（14分）【实践探究】 数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践——应用——探究的过程： （1）实践：他们对一条抛物线形拱桥进行测量，测得当拱顶高离水面6m时，水面宽10m，并画出了拱桥截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，求该抛物线的解析式； （2）应用：按规定，船通过拱桥时，顶部与拱桥顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m．一场大雨，让水面上升了0.2m，为了确保安全，问该拱桥能否让宽度为6m、高度为3.2m的货船通过？请通过计算进行说明（货船看作长方体）； （3）探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，并过原点作一条y＝x的直线OF，交抛物线于点F，交抛物线对称轴于点E，提出了以下两个问题，请予解答： ①如图2，B为直线OF上方抛物线上一动点，过B作BA垂直于x轴，交x轴于A，交直线OF于C，过点B作BD垂直于直线OF，交直线OF于D，求BD+CD的最大值． ②如图3，G为直线OF上一动点，过G点作x轴的垂线交抛物线于点H，点P在坐标平面内．问：是否存在以E、G、H、P为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出G点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣5）2+6，由图可知抛物线经过原点，即x＝0，y＝0，求出a的值即可求函数的解析式； （2）由题可知当x＝2时，y＝3.84，再由3.2+0.2+0.5＝3.9＞3.84，可以判断出船不能通过； （3）①由题可知△BCD是等腰直角三角形，则BD＝CDBC，设B（t，（t﹣5）2+6），则C（t，t），BC（t）2，当t时，BC的最大值为，即可得BD+CD的最大值为； ②由①可得∠EGH＝45°，当∠EHG＝90°时，H点的纵坐标为5，可得5（x﹣5）2+6，解得x5或x5，再由G点在直线y＝x上，即可求G点坐标．当∠HEG＝90°时，EMHG，可得2（5﹣m）m2m﹣m，解得m＝10或m，可求G点坐标． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣5）2+6， 当x＝0时，25a+6＝0， 解得a， ∴抛物线的解析式为y（x﹣5）2+6； （2）∵船的宽为6m， ∴10﹣6＝4（m）， 当x＝2时，y9+6＝3.84， ∵3.2+0.2+0.5＝3.9＞3.84， ∴船不能通过； （3）①∵y（x﹣5）2+6， ∴抛物线的对称轴为直线x＝5， ∴E（5，5）， ∴∠EOA＝45°， ∵BD⊥OE，AB⊥OA， ∴∠BCD＝45°，∠BDC＝90°， ∴BD＝CDBC， 设B（t，（t﹣5）2+6），则C（t，t）， ∴BCt2t（t）2， 当t时，BC的最大值为， ∴BD+CD的最大值为； ②存在以E、G、H、P为顶点的四边形是正方形，理由如下： 由①可得∠EGH＝45°， ∴△EGH是等腰直角三角形， 当∠EHG＝90°时，HG＝HE， ∵E（5，5）， ∴H点的纵坐标为5， ∴5（x﹣5）2+6， 解得x5或x5， ∵G点在直线OF上， ∴G（5，5）或（5，5）； 当∠HEG＝90°时， ∵∠AGE＝45°， ∴EMHG， 设H（m，m2m），G（m，m）， ∴2（5﹣m）m2m﹣m， 解得m＝10或m， ∴G（10，10）或（，）； 综上所述：G点坐标为（5，5）或（5，5）或（10，10）或（，）． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/9/6 21:16:49；用户：夏老师；邮箱：15361225968；学号：65446526 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $