1.2 一定是直角三角形吗 同步训练 2026--2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级上册“一定是直角三角形吗”同步练，聚焦直角三角形判定与勾股数，通过基础辨析、情境应用到综合探究的分层设计，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|直角三角形判定条件、勾股数概念|以选择/填空题辨析边与角的判定关系，如勾股数特征（3,4,5）及非勾股数识别| |提升|判定定理应用、简单图形计算|结合四边形面积（分割直角三角形）、阴影面积计算，强化推理与运算能力| |综合|实际问题解决、规律探究|购物车支架判定、古埃及画直角原理等生活情境，渗透模型意识与创新思维|

北师大版（2024）八年级上册 1.2 一定是直角三角形吗 同步训练 一、选择题 1.如图，一块四边形，已知，，，，，则这块地的面积为　　． A.24 B.30 C.48 D.60 2.下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是　　 A.三个角的比为 B.三条边满足关系 C.三条边的比为 D.三个角满足关系 3.在中，，，的对边分别记为，，，下列条件能够判定为直角三角形的是　　 A. B. C. D. 4.在△ABC中，若AC=b，AB=c，BC=a，则下列条件能判定△ABC是直角三角形的是(　　) A.∠B=50°，∠C=45° B.a∶b∶c=6∶8∶10 C.a=1，b=3，c=4 D.AB=1，BC=2，AC=3 5.下列各组线段，能组成直角三角形的是　　 A.，， B.，， C.，， D.，， 6.以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是(　　) A.3，4，5 B.3，3，4 C.2，3，4 D.4，5，5 7.满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是(　　) A.b2=a2-c2 B.a∶b∶c=3∶4∶5 C.∠C=∠A-∠B D.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5 8.下列各组数中，是勾股数的是(　　) A.1.5，2，2.5 B.，，1 C.3，4，5 D.4，5，6 9.下列数据：(1)3，5，7； (2)5，15，17； (3)1.5，2，2.5； (4)7，24，25；(5)10，24，26，其中勾股数有(　　) A.1组   B.2组   C.3组   D.4组 10.古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是(　　) A.直角三角形两个锐角互补 B.三角形内角和等于180° C.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 D.如果三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形 11.下列各组数中，是勾股数的是　　 A.0.3，0.4，0.5 B.5，12，13 C.9，16，25 D.1，2，3 12.如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，这块菜地的面积是　　 A. B. C. D. 二、填空题 13.下面各组、、，是勾股数的是　　．（填序号） （1），， （2），， （3），， （4），， 14.下列说法： ①因为0.6，0.8，1不是勾股数，所以以0.6，0.8，1为边的三角形不是直角三角形； ②若a，b，c是勾股数，且c>b，c>a，则必有a2+b2=c2； ③因为以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数； ④若三个整数a，b，c是直角三角形的三边长，则3a，3b，3c必是勾股数. 其中正确的是　　　　.(填序号) 15.如图，Rt△ABC中，AC=12，BC=5，分别以AB，AC，BC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为　　　　. 16.一个三角形的三边长分别为15 cm，20 cm，25 cm，则这个三角形最长边上的高是　　　　cm. 17.已知，如图，，，，，，则四边形的面积是 　　． 三、解答题 18.图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架AC=8 dm，AB=6 dm，两轮中心的距离BC=10 dm，滚轮半径r=1 dm. (1)判断△ABC的形状，并说明理由； (2)若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离AD=13 dm，AE=5 dm，且AE⊥DE，AE和BC都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离. 19.（1）大家知道3，4，5；5，12，13；8，15，17等都是勾股数，有人说它们中好像一定有一个是偶数，你认为他的观点正确吗？说明你的理由； （2）除此之外，你还能发现具有哪些规律？至少写出一条． 20.已知，如图在中，，，，，的面积为35，求的面积． 21.已知，，，为大于1的正整数），试问是直角三角形吗？若是，哪条边所对的角是直角？请说明理由． 22.如图，四边形的三边、、和的长度都为5厘米，动点从出发以2厘米秒的速度沿折线运动，动点从点出发以2.8厘米秒的速度沿折线运动．5秒后、相距3厘米，试确定5秒时的形状． 北师大版（2024）八年级上册 第一章 勾股定理2 一定是直角三角形吗 同步训练（参考答案） 一、选择题 1.如图，一块四边形，已知，，，，，则这块地的面积为　　． A.24 B.30 C.48 D.60 【答案】A 【解析】解：连接， ，，， ， ，， ，即为直角三角形， 这块地的面积为． 故选：． 2.下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是　　 A.三个角的比为 B.三条边满足关系 C.三条边的比为 D.三个角满足关系 【答案】C 【解析】解：、三个角的比为，设最小的角为，则，，，故正确； 、三条边满足关系，故正确； 、三条边的比为，，故错误； 、三个角满足关系，则为，故正确． 故选：． 3.在中，，，的对边分别记为，，，下列条件能够判定为直角三角形的是　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：、由无法判定哪个角是直角，故此条件不能够判定为直角三角形，故本选项不符合题意； 、，，故此条件不能够判定为直角三角形，故本选项不符合题意； 、，，以、、为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； ．，，此条件能够判定为直角三角形，故符合题意， 故选：． 4.在△ABC中，若AC=b，AB=c，BC=a，则下列条件能判定△ABC是直角三角形的是(　　) A.∠B=50°，∠C=45° B.a∶b∶c=6∶8∶10 C.a=1，b=3，c=4 D.AB=1，BC=2，AC=3 【答案】B 【解析】因为∠B=50°，∠C=45°，∠B+∠C+∠A=180°， 所以∠A=85°， 因为∠B=50°，∠C=45°，∠A=85°，三个角都小于90°， 所以△ABC是锐角三角形， 故A不符合题意； 当a∶b∶c=6∶8∶10时，设a=6x，b=8x，c=10x， 则a2+b2=(6x)2+(8x)2=(10x)2=c2， 所以根据勾股定理逆定理知△ABC是直角三角形， 故B符合题意； 因为a=1，b=3，c=4， 所以a+b=1+3=c=4， 所以无法组成三角形，不能是直角三角形， 故C不符合题意； 因为AB=1，BC=2，AC=3， 所以AB+BC=AC， 所以AB，BC，AC不能构成三角形，不能是直角三角形， 故D不符合题意. 5.下列各组线段，能组成直角三角形的是　　 A.，， B.，， C.，， D.，， 【答案】D 【解析】解：、，该三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意； 、，该三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意； 、，该三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意； 、，该三角形是直角三角形，故此选项符合题意； 故选：． 6.以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是(　　) A.3，4，5 B.3，3，4 C.2，3，4 D.4，5，5 【答案】A 【解析】A项，32+42=52，根据勾股定理逆定理知组成的三角形是直角三角形，故本选项正确；B项，32+32≠42，不满足a2+b2=c2，所以组成的三角形不是直角三角形，故本选项错误；C项，22+32≠42，不满足a2+b2=c2，所以组成的三角形不是直角三角形，故本选项错误；D项，42+52≠52，不满足a2+b2=c2，所以组成的三角形不是直角三角形，故本选项错误. 7.满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是(　　) A.b2=a2-c2 B.a∶b∶c=3∶4∶5 C.∠C=∠A-∠B D.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5 【答案】D 【解析】因为b2=a2-c2，所以满足勾股定理逆定理，故是直角三角形，故A不符合题意； 因为32+42=52，所以满足勾股定理逆定理，故是直角三角形，故B不符合题意； 因为∠C=∠A-∠B，∠A+∠B+∠C=180°， 所以∠A=90°， 所以是直角三角形，故C不符合题意； 因为∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，所以∠C=180°×=75°，不是直角三角形，故D符合题意. 8.下列各组数中，是勾股数的是(　　) A.1.5，2，2.5 B.，，1 C.3，4，5 D.4，5，6 【答案】C 【解析】A项，不都是正整数，不是勾股数，故A不符合题意； B项，不都是正整数，不是勾股数，故B不符合题意； C项，32+42=52，能构成直角三角形，都是正整数，是勾股数，故C符合题意； D项，42+52≠62，不能构成直角三角形，不是勾股数，故D不符合题意. 9.下列数据：(1)3，5，7； (2)5，15，17； (3)1.5，2，2.5； (4)7，24，25；(5)10，24，26，其中勾股数有(　　) A.1组   B.2组   C.3组   D.4组 【答案】B 【解析】 (1)3，5，7 不是勾股数，因为32+52≠72； (2)5，15，17 不是勾股数，因为52+152≠172； (3)1.5，2，2.5不是勾股数，因为1.5，2.5不是正整数； (4)7，24，25 是勾股数，因为72+242=252，且7，24，25是正整数； (5)10，24，26是勾股数，因为102+242=262，且10，24，26是正整数. 10.古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是(　　) A.直角三角形两个锐角互补 B.三角形内角和等于180° C.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 D.如果三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形 【答案】D 【解析】设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为3m，4m，5m， 因为(3m)2+(4m)2=(5m)2， 所以以3m，4m，5m为边长的三角形是直角三角形(如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形). 11.下列各组数中，是勾股数的是　　 A.0.3，0.4，0.5 B.5，12，13 C.9，16，25 D.1，2，3 【答案】B 【解析】解：、，0.4，0.5不是整数， 不是勾股数，故本选项不符合题意； 、， 是勾股数，故本选项符合题意； 、， 不是勾股数，不符合题意； 、， 不是勾股数，不符合题意． 故选：． 12.如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，这块菜地的面积是　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：连接， ，，， ， ，， ，， ， 是直角三角形， ， 四边形的面积的面积的面积 ， 这块菜地的面积为， 故选：． 二、填空题 13.下面各组、、，是勾股数的是　　．（填序号） （1），， （2），， （3），， （4），， 【答案】（1）（2） 【解析】解：（1）、，能构成勾股数，故符合题意； （2）、，能构成勾股数，故符合题意； （3）、，不能构成勾股数，故不符合题意． （4）、均不是整数，所以不能构成勾股数，故不符合题意； 故答案为：（1）（2）． 14.下列说法： ①因为0.6，0.8，1不是勾股数，所以以0.6，0.8，1为边的三角形不是直角三角形； ②若a，b，c是勾股数，且c>b，c>a，则必有a2+b2=c2； ③因为以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数； ④若三个整数a，b，c是直角三角形的三边长，则3a，3b，3c必是勾股数. 其中正确的是　　　　.(填序号) 【答案】②④ 【解析】①虽然0.6，0.8，1不是勾股数，但是0.62+0.82=12，所以以0.6，0.8，1为边的三角形是直角三角形，故①说法错误； ②若a，b，c是勾股数，且c>b，c>a，则必有a2+b2=c2，故②说法正确； ③因为0.5，1.2，1.3都不是正整数，所以0.5，1.2，1.3不是勾股数，故③说法错误； ④若三个整数a，b，c是直角三角形的三边长，则3a，3b，3c一定是勾股数，故④说法正确. 15.如图，Rt△ABC中，AC=12，BC=5，分别以AB，AC，BC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为　　　　. 【答案】30 【解析】因为AC=12，BC=5， 所以AB===13， 所以阴影部分的面积=π·+π·+×12×5-π· =π+π+30-π =30. 16.一个三角形的三边长分别为15 cm，20 cm，25 cm，则这个三角形最长边上的高是　　　　cm. 【答案】12 【解析】如图，设AB=25是最长边，AC=15，BC=20，过C作CD⊥AB于D， 因为AC2+BC2=152+202=625，AB2=252=625， 所以AC2+BC2=AB2， 所以∠C=90°， 因为S△ACB=AC·BC=AB·CD， 所以AC·BC=AB·CD， 15×20=25CD， 所以CD=12 cm. 即这个三角形最长边上的高是12 cm. 17.已知，如图，，，，，，则四边形的面积是 　　． 【答案】36． 三、解答题 18.图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架AC=8 dm，AB=6 dm，两轮中心的距离BC=10 dm，滚轮半径r=1 dm. (1)判断△ABC的形状，并说明理由； (2)若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离AD=13 dm，AE=5 dm，且AE⊥DE，AE和BC都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离. 【答案】解　(1)△ABC是直角三角形，理由如下： 在购物车侧面简化示意图中，AC=8 dm，AB=6 dm，BC=10 dm， 因为82+62=102，即AC2+AB2=BC2， 所以△ABC是直角三角形. (2)因为AD=13 dm，AE=5 dm，AE⊥DE， 所以在Rt△ADE中，由勾股定理得DE2=AD2-AE2=132-52=144， 所以DE=12 dm， 如图，过点A作AG⊥BC于点G， 由(1)得，△ABC是直角三角形， 所以S△ABC=AB·AC=BC·AG， 所以AG===4.8(dm)， 所以购物车上篮子的左边缘D到地面的距离为DE+AG+r=12+4.8+1=17.8(dm). 19.（1）大家知道3，4，5；5，12，13；8，15，17等都是勾股数，有人说它们中好像一定有一个是偶数，你认为他的观点正确吗？说明你的理由； （2）除此之外，你还能发现具有哪些规律？至少写出一条． 【答案】解：（1）观点正确，理由如下： 若，，是一组勾股数，则有，所以有， 利用平方差公式，可得， 若为偶数时，观点显然正确；若为奇数，则，均为奇数，则和中必有一个偶数， 所以，，中必定有一个偶数． （2）（当勾股数组中较大的两个数为连续整数时，最小数为奇数）， （当勾股数组中有两个连续的奇数或偶数时，另外一个数的平方必是4的倍数）． 20.已知，如图在中，，，，，的面积为35，求的面积． 【答案】解：，的面积为35， ， ， ，， ， ， ． 21.已知，，，为大于1的正整数），试问是直角三角形吗？若是，哪条边所对的角是直角？请说明理由． 【答案】解：是直角三角形，理由是： 中，，，， ， 即， 这个三角形是直角三角形， 边所对的角是直角． 22.如图，四边形的三边、、和的长度都为5厘米，动点从出发以2厘米秒的速度沿折线运动，动点从点出发以2.8厘米秒的速度沿折线运动．5秒后、相距3厘米，试确定5秒时的形状． 【答案】解：厘米，动点从出发到，速度为2厘米秒， 秒时点运动路程为（厘米）， 而厘米， 此时与重合． 厘米，动点从点出发到，速度为2.8厘米秒， 秒时点运动路程为（厘米）， 而厘米， 在边上，且厘米，如图． 在中，厘米，厘米，厘米， ， 为直角三角形，， ， 为直角三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $