1.2 一定是直角三角形吗 分层分类训练2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦勾股定理逆定理应用，从勾股数识别到网格与拓展问题，构建基础-提升-真题三阶训练体系，强化推理能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |勾股数问题|4题|选择判断勾股数及勾股树面积应用|从概念识别到图形面积转化，夯实逆定理基础| |三边判断|3题|给定边长判断直角三角形|直接应用逆定理，强化运算能力| |网格判断|3题|格点三角形形状判断及高计算|结合网格特征，培养空间观念与几何直观| |逆定理拓展|15题|含方向角、四边形面积、房梁安全等综合题|从单一应用到跨情境建模，发展应用意识与推理能力|

1.2 一定是直角三角形吗 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 考点1 勾股数（树）问题 考点2 判断三边能否构成直角三角形 考点3 在网格中判断直角三角形 考点4 勾股定理逆定理的拓展问题 基 础 达 标 练 考点1 勾股数（树）问题 1．（25-26八年级下·重庆秀山·期末）在下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．1，2，3 B．2，3，5 C．3，4，5 D．4，6，8 2．（25-26八年级上·广东茂名·期中）在下列各组数中，不是勾股数的一组数是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（25-26八年级上·山东聊城·开学考试）下面四组数，其中是勾股数组的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）“勾股树”是基于勾股定理通过无限递归画出的经典分形图形，它由正方形和直角三角形构成．如图，若正方形①、②、③、④的面积分别是2，7，1，3，连接顶点，，则线段的长是（     ） A． B． C． D． 考点2 判断三边能否构成直角三角形 5．（25-26八年级下·天津东丽·期末）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（     ） A．2，3，4 B．3，3，6 C．6，8，10 D．5，7，9 6．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）下列各组数能作为直角三角形的三边长的是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·北京密云·期末）的三边长分别为，，，由下列条件能判断为直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 考点3 在网格中判断直角三角形 8．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的形状是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 9．（25-26八年级下·重庆丰都·期中）一个三角形的三边长分别为，则这个三角形最长边上的高是（     ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）已知在的网格中，每个小正方形的边长为点均在格点上．以为边作直角三角形（点在格点上），能作___________个． 考点4 勾股定理逆定理的拓展问题 11．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）如图，，两点相距，机器狗由点出发，沿北偏东方向行走到达点，然后从点行走到达点，此时机器狗位于点的（     ） A．北偏东方向上 B．北偏西方向上 C．北偏西方向上 D．北偏西方向上 12．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，公园里有一块草坪，已知米，米，米，米，且，这块草坪的面积是（     ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 13.（25-26八年级下·广西钦州·期中）如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积为（   ） A．108 B．114 C．122 D．158 14.（25-26八年级下·广西百色·期中）如图，四边形中，，，，，．则（    ） A． B． C． D． 15．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）若一个三角形的三条边的长度分别为，则这个三角形是(   ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 能 力 提 升 练 16．（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，在四边形中，，，，，，四边形的面积为_________． 17．（25-26七年级上·江苏·期末）如图．在正方形网格中，每个小方格的边长都为单位1，点在正方形网格的格点上．请按下述要求画图并回答问题： (1)确定一个格点，画直线，使得垂直； (2)画射线，则与所在直线的位置关系是：__________；（填“平行”或“相交”）； (3)画线段，则四边形的面积是__________． 18．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中） 如图1， 在三角形中，为边上的高． (1)若， ， ， 求证： ； (2)根据（1）中的结论，小明发现：当满足 时，一定为直角三角形．小明的判断正确吗？为什么？ (3)如图2是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3所示的图形，已知斜梁于点 D．经测量，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁垂直则为安全房梁．请判断该房梁是否安全，并说明理由． 19．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）已知：，，． (1)当时，的值等于______．（结果用科学记数法表示） (2)当时，以a，b，c的值为三边长的三角形面积是______．（直接写出答案） (3)若两个正整数的平方和等于另一个正整数的平方，则称这三个数为勾股数．小明发现：当n取大于1的整数时，a，b，c为勾股数．你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 20．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如果把看作关于，，的方程，那么满足这个方程的正整数解，，通常叫作勾股数组，可以记作．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：；；；… 分析这些勾股数组可以发现，，，，… (1)分析其中的规律，请写出一组满足上述规律的勾股数组； (2)小红将移项并因式分解得，请写出满足上述规律的第个勾股数组(用含的式子表示)，并尝试用小红的方法证明； (3)若是满足上述规律的一组勾股数组，求的值． 21．（25-26八年级下·广东珠海·期末）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长，，都是正整数，则，，为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数： 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 … 4，3，5 n，15，17 12，p，37 16，63，65 … 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 … m，8，10 10，24，26 14，48，50 18，80，82 … (1)请补全上表中的勾股数：________，________，________． (2)我们把顶点均在正方形网格格点上的多边形叫做格点多边形． ①已知格点三边长度为、、，计算的面积． ②请在下面的网格中画出三边长度为、、的格点三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 22．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，是王奶奶家的一块菜地，中间用小路隔开，分别种植不同的蔬菜，经测量，，，，．求区域的面积．（小路的宽度忽略不计） 23．（25-26八年级下·云南红河·期末）如图，在四边形中，已知、、、且．求四边形的面积． 24．（25-26八年级下·天津·期中）已知在的网格中，每个小正方形的边长为1，在下列正方形网格中用无刻度的直尺按要求作图： (1)如图1，与交于点 M； ①找格点 E， 作线段； ②直接写出的度数 _________． (2)如图2， 点A、B、C均在格点上， 在上作点 M， 使． 请叙述你的作图方法，不要求证明．_________． 25．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把顶点均在格点上的三角形称为“格点三角形”，如图，就是一个格点三角形． (1)求的面积； (2)作出关于直线成轴对称的图形； (3)利用网格在直线上求作点，使得是以为直角的直角三角形．（提示：作图时，先用铅笔作图，确定不再修改后用中性笔描黑，保留作图痕迹） 真 题 提 前 练 26．（2025·湖北武汉·中考真题）如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（    ） A． B． C． D． 27．（2025·江苏扬州·中考真题）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为______． 28．（2025·广东·中考真题）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长，，都是正整数，则，，为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数． 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181 4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35 6，8，10 10，___，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122 (1)请补全上表中的勾股数． (2)根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示，，，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明． (3)某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1 一定是直角三角形吗 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 考点1 勾股数（树）问题 考点2 判断三边能否构成直角三角形 考点3 在网格中判断直角三角形 考点4 勾股定理逆定理的拓展问题 基 础 达 标 练 考点1 勾股数（树）问题 1．（25-26八年级下·重庆秀山·期末）在下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．1，2，3 B．2，3，5 C．3，4，5 D．4，6，8 【答案】C 【分析】四个选项中的数均为正整数，只需验证较小两数的平方和是否等于最大数的平方. 【详解】解：A. ，不是勾股数. B. ，不是勾股数. C. ，是勾股数. D. ，不是勾股数. 2．（25-26八年级上·广东茂名·期中）在下列各组数中，不是勾股数的一组数是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】验证每组数中较小两数的平方和与最大数的平方是否相等且是否为正整数，即可判断是否为勾股数． 【详解】解：A．，不是勾股数； B、C、D组分别满足，，，均为勾股数． 3．（25-26八年级上·山东聊城·开学考试）下面四组数，其中是勾股数组的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】根据勾股数的定义：满足的三个正整数称为勾股数，逐一验证选项即可． 【详解】解：对选项A：，且3，4，5都是正整数，∴A符合题意； 对选项B：0.3，0.4，0.5都不是整数，∴B不符合勾股数定义，不符合题意； 对选项C：，，，∴C不符合题意； 对选项D：，，，∴D不符合题意． 4．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）“勾股树”是基于勾股定理通过无限递归画出的经典分形图形，它由正方形和直角三角形构成．如图，若正方形①、②、③、④的面积分别是2，7，1，3，连接顶点，，则线段的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股树的特征，正方形的面积等于其上方两个分支正方形面积之和，由此求出中间两个正方形的面积及边长，过点作交的延长线于点，证明，得到，，再在中，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点， 由勾股树性质可知，正方形面积等于其上方两个小正方形面积之和， ∴为边长的正方形面积为，边长；为边长的正方形面积为，边长； ∵图形由正方形和直角三角形构成， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴中，． 考点2 判断三边能否构成直角三角形 5．（25-26八年级下·天津东丽·期末）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（     ） A．2，3，4 B．3，3，6 C．6，8，10 D．5，7，9 【答案】C 【分析】验证每组数中两较短边的平方和是否等于最长边的平方，判断能否构成直角三角形． 【详解】解：A选项，∵，∴不能构成直角三角形； B选项，∵，∴不能构成三角形，∴不能构成直角三角形； C选项，∵，∴能构成直角三角形； D选项，∵，∴不能构成直角三角形． 6．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）下列各组数能作为直角三角形的三边长的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定每组数的最长边，验证两条较短边的平方和与最长边的平方是否相等，相等则可作为直角三角形三边长． 【详解】解：A选项，最长边为， ∵，，， ∴不能作为直角三角形的三边长，故不符合题意； B选项，最长边为， ∵，，， ∴不能作为直角三角形的三边长，故不符合题意； C选项，最长边为， ∵，，， ∴不能作为直角三角形的三边长，故不符合题意； D选项，最长边为， ∵， ∴能作为直角三角形的三边长，故符合题意． 7．（25-26八年级下·北京密云·期末）的三边长分别为，，，由下列条件能判断为直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】先确定各选项中三角形的最长边，再利用勾股定理逆定理验证两短边平方和是否等于最长边平方． 【详解】解：A选项，，，，不是直角三角形； B选项，，，，∴不是直角三角形； C选项，，，，∴不是直角三角形； D选项，，，，∴是直角三角形． 考点3 在网格中判断直角三角形 8．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的形状是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理即可判断求解． 【详解】解：由网格得，，，， ∵， ∴是直角三角形． 9．（25-26八年级下·重庆丰都·期中）一个三角形的三边长分别为，则这个三角形最长边上的高是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题先利用勾股定理逆定理判断三角形的形状，确定最长边为直角三角形的斜边，再利用三角形面积的两种表示方法列方程求解最长边上的高． 【详解】解：∵， ∴该三角形是直角三角形，最长边是斜边， 设最长边上的高为， ∵ 三角形面积可表示为，也可表示为， ∴， 解得． 10．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）已知在的网格中，每个小正方形的边长为点均在格点上．以为边作直角三角形（点在格点上），能作___________个． 【答案】7 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全面是解题的关键． 分别以中A，B，C三个点为直角三角形的直角顶点，分三种情况分别讨论即可． 【详解】解：如下图， 当为斜边即点C为直角顶点，则第三个点C所在的位置有：，两个； 当为直角边且A点为直角顶点，则第三个点C所在的位置有：，两个； 当为直角边且B点为直角顶点，则第三个点C所在位置有：，，三个． ∴能作7个为边的直角三角形． 故答案为：7． 考点4 勾股定理逆定理的拓展问题 11．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）如图，，两点相距，机器狗由点出发，沿北偏东方向行走到达点，然后从点行走到达点，此时机器狗位于点的（     ） A．北偏东方向上 B．北偏西方向上 C．北偏西方向上 D．北偏西方向上 【答案】B 【分析】先通过勾股定理逆定理判定为直角三角形，得到，再利用南北方向线互相平行的性质求出的度数，作差算出与的夹角，从而确定相对于的方位． 【详解】解：， ， ， ，如下图： ， ， ， 此时机器狗位于点的北偏西方向上． 12．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，公园里有一块草坪，已知米，米，米，米，且，这块草坪的面积是（     ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理得到，最后根据草坪的面积，即可求解． 【详解】解：，米，米， 米， 米，米， ， ， 这块草坪的面积为平方米， 故选：B． 13.（25-26八年级下·广西钦州·期中）如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积为（   ） A．108 B．114 C．122 D．158 【答案】B 【分析】连接，勾股定理求出的长，勾股定理逆定理得到为直角三角形，再利用分割法求出四边形的面积即可． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵， ∴为直角三角形，且， ∴四边形的面积． 14.（25-26八年级下·广西百色·期中）如图，四边形中，，，，，．则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出，再结合勾股定理逆定理求出即可． 【详解】解：，，， ， ，， ，， ， ． 15．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）若一个三角形的三条边的长度分别为，则这个三角形是(   ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的拓展知识，只需比较较小的两边的平方和与最长边的平方的大小关系即可得解．若三角形的三边分别是、、，是三角形的最长边，则有：（1）这个三角形是锐角三角形；（2）这个三角形是直角三角形；（3）这个三角形是钝角三角形．掌握利用比较较小的两边的平方和与最长边的平方的大小关系来推导三角形的形状是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴这个三角形是锐角三角形． 故选：A． 能 力 提 升 练 16．（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，在四边形中，，，，，，四边形的面积为_________． 【答案】 【分析】连接，利用勾股定理的逆定理可得，从而利用四边形的面积等于两个直角三角形的面积之和求解即可. 【详解】解：连接， ∵，，， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴. 17．（25-26七年级上·江苏·期末）如图．在正方形网格中，每个小方格的边长都为单位1，点在正方形网格的格点上．请按下述要求画图并回答问题： (1)确定一个格点，画直线，使得垂直； (2)画射线，则与所在直线的位置关系是：__________；（填“平行”或“相交”）； (3)画线段，则四边形的面积是__________． 【答案】(1)如图： (2)相交 (3)14.5 【分析】本题考查了网格作图，熟练掌握全等三角形的性质，平移性质，三角形面积公式，是解题的关键． （1）取格点，画直线，使得垂直； （2）画射线，与所在直线的位置关系是相交； （3）画线段，四边形的面积等于的正方形面积减去周围３个三角形面积． 【详解】（1）解：取格点，画直线，使得垂直． 理由：如下图，∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：画射线，与所在直线的位置关系是相交， 理由：把线段平移到线段的位置， 则， ∵点H在外， ∴， ∴射线与直线在直线的右下方相交． 故答案为：相交． （3）解：画线段， ∵四边形在一个的正方形中， ∴四边形的面积为 ． 故答案为：14.5． 18．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中） 如图1， 在三角形中，为边上的高． (1)若， ， ， 求证： ； (2)根据（1）中的结论，小明发现：当满足 时，一定为直角三角形．小明的判断正确吗？为什么？ (3)如图2是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3所示的图形，已知斜梁于点 D．经测量，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁垂直则为安全房梁．请判断该房梁是否安全，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)正确，理由见解析 (3)这个房梁安全，理由见解析 【分析】（1）根据勾股定理及其逆定理进行求解即可； （2）根据勾股定理得，，得：，结合，化简得，即，即可得出结论； （3）根据勾股定理得，再得到，再进一步即可得出结论． 【详解】（1）解：∵在中，为边上的高， ∴， ∵， ， ， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：正确，理由如下： ， ∴在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 得：， ， ， ∴， ∴，即， 为直角三角形； （3）解：安全，理由如下： ， ，， 在中，根据勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 是直角三角形， ∴这个房梁安全． 19．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）已知：，，． (1)当时，的值等于______．（结果用科学记数法表示） (2)当时，以a，b，c的值为三边长的三角形面积是______．（直接写出答案） (3)若两个正整数的平方和等于另一个正整数的平方，则称这三个数为勾股数．小明发现：当n取大于1的整数时，a，b，c为勾股数．你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)60 (3) 解：小明的发现正确，理由如下： ， ， 当取大于1的整数时，、、为一组勾股数． 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，科学记数法，整式的混合运算，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据题意可得，把代入计算，并应用科学记数法表示方法表示即可； （2）先由勾股定理的逆定理证明这个三角形是直角三角形，且是斜边，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）先计算，再由勾股定理的逆定理即可得出结论． 【详解】（1）解：， 当时， ； 故答案为：； （2）解：，，， 当时，，，， ， 这个三角形是直角三角形，且是斜边， 这个三角形的面积是， 故答案为：； （3）略 20．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如果把看作关于，，的方程，那么满足这个方程的正整数解，，通常叫作勾股数组，可以记作．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：；；；… 分析这些勾股数组可以发现，，，，… (1)分析其中的规律，请写出一组满足上述规律的勾股数组； (2)小红将移项并因式分解得，请写出满足上述规律的第个勾股数组(用含的式子表示)，并尝试用小红的方法证明； (3)若是满足上述规律的一组勾股数组，求的值． 【答案】(1) (2)第个勾股数组为 ． 证明：由题意可知：第个勾股数组的最小数字(第一个数字)是， 令， ， ， 则 ， 即， 所以 是满足上述规律的第个勾股数组． (3)的值为 【分析】（1）根据算式规律写出下一个等式，从而得出对应的勾股数组； （2）先根据最小数字(勾股数组第一个数字)总结规律可知第个勾股数组的最小数字(第一个数字)是，再利用题干中等式规律可知第个勾股数组的第二个数字是即，则第个勾股数组的第三个数字，从而总结出第个勾股数组为．验证是否成立即可证明． （3）因为 是满足上述规律的一组勾股数组，故令，则，利用作差法消元求出n和m，继而求出x． 【详解】（1）由，，的规律可知：下一个等式是， 则对应的勾股数组是； （2）略 （3）因为 是满足上述规律的一组勾股数组， 故令，则， ∴，， ∴，， 解得：(负值舍去)，， ∴，， 此时，符合题意， 所以，的值为 21．（25-26八年级下·广东珠海·期末）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长，，都是正整数，则，，为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数： 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 … 4，3，5 n，15，17 12，p，37 16，63，65 … 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 … m，8，10 10，24，26 14，48，50 18，80，82 … (1)请补全上表中的勾股数：________，________，________． (2)我们把顶点均在正方形网格格点上的多边形叫做格点多边形． ①已知格点三边长度为、、，计算的面积． ②请在下面的网格中画出三边长度为、、的格点三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)6，8，35 (2)①24；② 【分析】（1）根据勾股定理列方程可分别求出的值； （2）①根据三角形面积公式进行计算即可； ②在线段所在网格线上，且在点的右侧取格点，使，连接，则即为所求． 【详解】（1）解：∵勾股数满足， ∴， 解得， ∵勾股数是正整数， ∴； ∵勾股数满足， ∴， 解得， ∵勾股数是正整数， ∴； ∵勾股数满足， ∴， 解得， ∵勾股数是正整数， ∴； （2）解：①的面积； ②略 22．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，是王奶奶家的一块菜地，中间用小路隔开，分别种植不同的蔬菜，经测量，，，，．求区域的面积．（小路的宽度忽略不计） 【答案】区域的面积为． 【分析】先判定是直角三角形，根据勾股定理求出的长，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 在中，， ∴． 23．（25-26八年级下·云南红河·期末）如图，在四边形中，已知、、、且．求四边形的面积． 【答案】26 【分析】先根据勾股定理求出的长，再证明是直角三角形，再将与的面积求和即可得四边形的面积． 本题主要考查了勾股定理和逆定理的应用，证明是直角三角形是解题的关键． 【详解】解：， 中，， ∵、， ， 又∵在中， ，，， ， 是直角三角形，， ． 24．（25-26八年级下·天津·期中）已知在的网格中，每个小正方形的边长为1，在下列正方形网格中用无刻度的直尺按要求作图： (1)如图1，与交于点 M； ①找格点 E， 作线段； ②直接写出的度数 _________． (2)如图2， 点A、B、C均在格点上， 在上作点 M， 使． 请叙述你的作图方法，不要求证明．_________． 【答案】(1) ①如图1中， 直线即为所求； ② (2) 如图2中，取格点，连接， 把向左边平移2格得到线段，再以为底边构造等腰直角三角形，记与的交点为，即为所求． 【分析】（1）①根据格点特点把向上平移1格即可；②先证明为等腰直角三角形，再利用平行线的性质可得答案； （2）如图2中，取格点，连接， 把向左边平移2格得到线段，再以为底边构造等腰直角三角形，记与的交点为，即为所求． 【详解】（1）解：① 略 ②∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：； （2） 理由：同理可得：，， 而， ∴， 故答案为：取格点，连接， 把向左边平移2格得到线段，再以为底边构造等腰直角三角形，记与的交点为． 25．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把顶点均在格点上的三角形称为“格点三角形”，如图，就是一个格点三角形． (1)求的面积； (2)作出关于直线成轴对称的图形； (3)利用网格在直线上求作点，使得是以为直角的直角三角形．（提示：作图时，先用铅笔作图，确定不再修改后用中性笔描黑，保留作图痕迹） 【答案】(1) (2) 如图所示，即为所求； (3) 如图所示，点P即为所求； 根据网格的特点可知是等腰直角三角形，即． 【分析】本题主要考查了网格作图，割补法求三角形面积，画轴对称图形等等，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）利用割补法求解即可； （2）根据轴对称图形的作图方法作图即可； （3）如图所示，取格点G，连接交直线n于P，点P即为所求． 【详解】（1）解； （2）略 （3）略 真 题 提 前 练 26．（2025·湖北武汉·中考真题）如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查动点问题的函数图象，根据图2得到的长度及点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离，掌握勾股定理及其逆定理、三角形面积计算公式是解题的关键．由图2可知的长度及点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离，再根据勾股定理及其逆定理、三角形面积公式求出点D到的距离即可． 【详解】解：根据图2，，点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离．如图： 在中，利用勾股定理，得， 在中利用勾股定理，得， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中利用勾股定理，得， 则， 解得， ∴点N的纵坐标是． 故选：B． 27．（2025·江苏扬州·中考真题）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为______． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，数字类规律探究，观察可知，每组勾股数的第一个数字为奇数，后面两个数字为两个连续的整数，得到第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为，根据勾股定理列出方程进行求解． 【详解】解：由题意，第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴； ∴第⑤组勾股数为； 故答案为：． 28．（2025·广东·中考真题）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长，，都是正整数，则，，为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数． 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181 4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35 6，8，10 10，___，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122 (1)请补全上表中的勾股数． (2)根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示，，，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明． (3)某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？ 【答案】(1) (2)，，，其中、、都是正整数，， 证明过程如下： ，，， ， ， ， ， ； (3)280 【分析】（1）先由表中勾股数规律，令，，，由勾股数定义列方程求解即可得到答案； （2）由表中数据，分别用代数式表示出，，，再由整式混合运算求证即可得证明； （3）由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，根据题意可知，最短边为20，另一个直角边为21，然后根据勾股定理求得斜边，即可得到答案． 【详解】（1）解：由表中勾股数的规律可知，令，，， 则由勾股数定义可知， 即， ， 解得或（舍去）； 故答案为：24． （2）略 （3）解：由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，如图所示： 设，即直角三角形中最短边为， 仅在三角形边上种花，三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为，三角形最短边种株花， ， 由题意可知，最小为， 那么 ， 那么这块绿地最少需要种植株花． 【点睛】本题考查由勾股数涉及的数字规律问题，难度中等偏上，涉及勾股数定义、整式加减乘法混合运算、平方差公式等知识，观察分析所给表中勾股数，分类找准规律并灵活运算解决实际问题是关键． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $1.2一定是直角三角形吗 学校： 姓名： 班级： 考号： 考点1勾股数（树）问题 考点2判断三边能否构成直角三角形 考点3在网格中判断直角三角形 考点4勾股定理逆定理的拓展问题 基础达标练 考点1勾股数（树）问题 1.(25-26八年级下·重庆秀山·期末)在下列各组数中，是勾股数的是() A.1,2,3 B.2,3,5 C.3,4,5 D.4,6,8 2.(25-26八年级上·广东茂名·期中)在下列各组数中，不是勾股数的一组数是() A.1,1,2 B.3,4,5 C.7,24,25 D.5,12,13 3.（25-26八年级上山东聊城开学考试)下面四组数，其中是勾股数组的是() A.3,4,5 B.0.3,0.4,0.5 C.32,42,52 D.6,7,8 4.(25-26八年级下.浙江杭州·期末)“勾股树'是基于勾股定理通过无限递归画出的经典分形图形，它由正 方形和直角三角形构成.如图，若正方形①、②、③、④的面积分别是2,7,1,3，连接顶点AB,CD, 则线段CD的长是() ② ① B A.13 B.2√5 C.21 D. √29 试卷第1页（共9页） 考点2判断三边能否构成直角三角形 5.(25-26八年级下·天津东丽·期末)以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是() A.2,3,4 B.3,3,6 C.6,8,10 D.5,7,9 6.(25-26八年级下·陕西榆林·期末)下列各组数能作为直角三角形的三边长的是() 4号好胡 B.√2，V5,5 C.1,2,3 D.5,12,13 7.(25-26八年级下·北京密云·期末)△ABC的三边长分别为a,b,c,由下列条件能判断△ABC为直角三 角形的是() A.a=2,b=3,c=4 B.a=2,b=4,c=5 C.a=√2，b=√3，c=2 D.a=1,b=2,c=5 考点3在网格中判断直角三角形 8.（25-26八年级下·陕西榆林·期末)如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则△ABC的形状是() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 9.(25-26八年级下·重庆丰都·期中)一个三角形的三边长分别为6cm、8cm10cm,则这个三角形最长边上的 高是()cm A.4cm B.3cm C.5cm D.4.8c1m 10.(25-26八年级上·贵州遵义·期末)己知在4×5的网格中，每个小正方形的边长为1，A,B点均在格点上.以 AB为边作直角三角形ABC(C点在格点上)，能作 个· B 考点4勾股定理逆定理的拓展问题 11.(25-26八年级下.贵州遵义·期中)如图，A,B两点相距26m,机器狗由A点出发，沿北偏东70°方向 试卷第2页（共9页） 行走24m到达C点，然后从C点行走10n到达B点，此时机器狗位于C点的（) 北 北 →东 A.北偏东20°方向上 B.北偏西20°方向上 C.北偏西30°方向上 D.北偏西40°方向上 12.(25-26八年级下·黑龙江哈尔滨期中)如图，公园里有一块草坪，已知AB=3米，BC=4米，CD=12 米，DA=I3米，且AB⊥BC,这块草坪的面积是() A.24平方米 B.36平方米 C.48平方米 D.72平方米 13.(25-26八年级下·广西钦州期中)如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=9,BC=12,CD=8, AD=17,则四边形ABCD的面积为（) B D A.108 B.114 C.122 D.158 14.(25-26八年级下·广西百色·期中)如图，四边形ABCD中，AB=17,BC=8,CD=12,AD=9,∠D=90°，则 ∠ACB=() D A.70° B.80° C.90° D.100° 15.(24-25八年级上·江苏宿迁·期中)若一个三角形的三条边的长度分别为4、5、6，则这个三角形是() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 能力提升练 试卷第3页（共9页） 16.(25-26八年级下·云南昭通·阶段检测)如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3,BC=4,CD=13, AD=12,四边形ABCD的面积为 D 17.（25-26七年级上·江苏期末)如图.在正方形网格中，每个小方格的边长都为单位1，点A,B,C在正方 形网格的格点上.请按下述要求画图并回答问题： (I)确定一个格点D,画直线CD,使得CD垂直AB; (2)画射线DB,则DB与AC所在直线的位置关系是： ;(填“平行”或“相交)： (3)画线段AD,则四边形ACBD的面积是 18.(25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中)如图1，在三角形ABC中，AD为BC边上的高. D 横梁 图1 图2 图3 (1)若CD=2,AD=4,BD=8,求证：AB LAC: (2)根据(1)中的结论，小明发现：当满足AD=BDCD时，△ABC一定为直角三角形.小明的判断正确 吗？为什么？ (3)如图2是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3所示的图形，己 知斜梁BD⊥AC于点D.经测量，斜梁AC=5m,BD=2.4m,横梁BC=4m.若横梁BC与竖梁AB垂直 则为安全房梁.请判断该房梁是否安全，并说明理由. 试卷第4页（共9页） 19.(25-26八年级上·江苏泰州期中)已知：a=m+1,b=2,c=n2-1. (1)当n=299时，a+b的值等于一·（结果用科学记数法表示) (2)当n=4时，以a,b,c的值为三边长的三角形面积是·（直接写出答案） (3)若两个正整数的平方和等于另一个正整数的平方，则称这三个数为勾股数.小明发现：当取大于1的 整数时，α，b,c为勾股数.你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由 试卷第5页（共9页） 20.(25-26八年级下·辽宁大连·期末)如果把a心+b2=c2看作关于a,b,c的方程，那么满足这个方程的 正整数解a,b,c通常叫作勾股数组，可以记作(a,b,c).毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式， 根据该公式可以构造出如下勾股数组：(3,4,5)；(5,12,13)：(7,24,25)：… 分析这些勾股数组可以发现，4=1×(3+1)，12=2×(5+1)，24=3×(7+1)，. (1)分析其中的规律，请写出一组满足上述规律的勾股数组： (2)小红将a+b2=c2移项并因式分解得a=c2-b2=(c+b)(c-b),请写出满足上述规律的第n个勾股数组 (用含的式子表示)，并尝试用小红的方法证明： (3)若(x,x+7,x+m)是满足上述规律的一组勾股数组，求x的值， 21.(25-26八年级下·广东珠海·期末)《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数 组的方法对研究直角三角形具有重要意义.若直角三角形的三边长4，b,c都是正整数，则a,b,c为一 组“勾股数”.下表中的每一组数都是勾股数： 3,4,5 7,24,25 11,60,61 15,112,113 4,3,5 ,15,17 12,p,37 16,63,65 5,12,13 9,12,15 13,84,85 17,144,145 ,8,10 10,24,26 14,48,50 18,80,82 。。 (1)请补全上表中的勾股数：m= 卫= (2)我们把顶点均在正方形网格格点上的多边形叫做格点多边形 ①已知格点△ABC三边长度为4、13、15，计算△ABC的面积. ②请在下面的网格中画出三边长度为13、14、15的格点三角形.（保留作图痕迹，不写作法） 试卷第6页（共9页） 15 3 22.(25-26八年级下·陕西西安·期末)如图，△ABC是王奶奶家的一块菜地，中间用小路AD隔开，分别种 植不同的蔬菜，经测量，AB=25m,AC=17m,AD=15m,CD=8m.求AABD区域的面积.（小路AD 的宽度忽略不计) 23.(25-26八年级下·云南红河·期末)如图，在四边形ABCD中，已知AB=3、BC=4、DA=V89、DC=8 且∠ABC=90°.求四边形ABCD的面积. D B 试卷第7页（共9页） 24.(25-26八年级下·天津·期中)已知在7×7的网格中，每个小正方形的边长为1，在下列正方形网格中用 无刻度的直尺按要求作图： B 图1 图2 (1)如图1，AB与CD交于点M ①找格点E,作线段DE=AB: ②直接写出∠AMC的度数 (2)如图2，点A、B、C均在格点上，在AB上作点M,使∠CMA=45°，请叙述你的作图方法，不要求 证明. 25.(25-26八年级上·四川成都阶段检测)如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把顶点 均在格点上的三角形称为“格点三角形”，如图，△ABC就是一个格点三角形. m (I)求△ABC的面积： (2)作出△ABC关于直线m成轴对称的图形： (3)利用网格在直线n上求作点P,使得△PBC是以∠PCB为直角的直角三角形.（提示：作图时，先用2B铅 笔作图，确定不再修改后用中性笔描黑，保留作图痕迹) 真题提前练 试卷第8页（共9页） 26.（2025湖北武汉中考真题)如图1，在△ABC中，D是边AC上的定点.点P从点A出发，依次沿AB,BC 两边匀速运动，运动到点C时停止.设点P运动的路程为x,DP的长为y,y关于x的函数图象如图2所 示.其中M,N分别是两段曲线的最低点.点N的纵坐标是() 图1 图2 1.116 17 B.120 C.12 17 15 D.16 15 27.(2025·江苏扬州中考真题)清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士 琳法则'.法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献.由此法 则写出了下列几组勾股数：①3,4,5；②5,12,13；③7,24,25；④9,40,41；...根据上述规律， 写出第⑤组勾股数为 28.(2025广东中考真题)《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对 研究直角三角形具有重要意义.若直角三角形的三边长a,b,c都是正整数，则a,b,c为一组“勾股数”，下 表中的每一组数都是勾股数 3,4,5 7,24,25 11,60,61 15,112,113 19,180,181 4,3,5 8,15,17 12,35,37 16,63,65 20,21,29 5,12,13 9,12,15 13,84,85 17,144,145 21,28,35 6,8,10 10, ,26 14,48,50 18,80,82 22,120,122 (1)请补全上表中的勾股数 (2)根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示a,b,c,使该组代数式能表示上表 中所有的勾股数，并证明 (3)某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成.种花 要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1m.如果 每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？ 试卷第9页（共9页）