1.2一定是直角三角形吗同步练习2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 初中数学八年级上册1.2一定是直角三角形吗同步练，满分100分，45分钟。以分层设计构建“概念理解-应用实践-规律探究-创新拓展”路径，强化勾股定理逆定理的判定与应用，适配新授课基础巩固与能力提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|勾股定理逆定理判定条件、勾股数概念|选择填空（1-13题），通过比例、角度、边长关系辨析基础概念，如第3题勾股数判断| |提升层|实际情境应用、综合计算|解答题（14-16题），结合四边形面积、道路垂直检验等情境，如15题用测量数据判定垂直| |综合层|规律探究、多步推理|解答题（17-18题），通过勾股数表格归纳规律（17题）、多直角三角形联动证明（18题）| |拓展层|开放探究、理论证明|附加题（19-20题），如19题证明连续整数和与直角三角形关系，培养创新意识|

八年级上册数学 1.2一定是直角三角形吗 同步练习 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 北师大版 · 满分 100 分 · 建议用时 45 分钟 一、选择题（每题 3 分，共 24 分） 1．下列条件中，不能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A．a∶b∶c=5∶12∶13 B．∠A+∠B=∠C C．∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶5 D．a=6，b=10，c=12 2．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c。若a²=(b+c)(b-c)，则（　　） A．∠A=90° B．∠B=90° C．∠C=90° D．无法确定 3．下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．0.6，0.8，1 B．3，4，6 C．8，15，17 D．6，8，11 4．一个三角形的三边长分别为10，24，26，则长度为10和24的两边（　　） A．互相垂直 B．互相平行 C．长度相等 D．无法判断 5．如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，每个小正方形的边长为1。△ABC的形状是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 6．已知一个直角三角形的三边长为9、x、15，且x为正整数，则x的值为（　　） A．6 B．12 C．18 D．√306 7．木工师傅用三根木条组成三角形支架，木条长分别为20 cm、21 cm、29 cm。这个支架（　　） A．有一个直角 B．有两个直角 C．没有直角 D．不能围成三角形 8．下列说法正确的是（　　） A．直角三角形的三边一定都是勾股数 B．满足a²+b²=c²的三个正数a、b、c一定是勾股数 C．若a²+b²≠c²，则以a、b、c为边的三角形一定不是直角三角形 D．若三角形三边a、b、c满足a²+b²=c²，则∠C=90° 二、填空题（每题 4 分，共 20 分） 9．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，则△ABC________（填“是”或“不是”）直角三角形。 10．若△ABC的三边长a、b、c满足|a-7|+|b-24|+(c-25)²=0，则△ABC中最大的角为________°。 11．以一个三角形的三边为边分别向外作正方形，三个正方形的面积分别为25、144、169，则这个三角形的面积为________。 12．若两个连续正整数24、25的和恰好是正整数n的平方，则n=________；以n、24、25为边的三角形是直角三角形。 13．△ABC的三边长分别为12、16、20，则最短边与次短边所夹的角为________°。 三、解答题（共 56 分） 14．（10 分）如图，一块四边形钢板ABCD中，AB=6，BC=8，AC=10，CD=24，AD=26。 （1）分别判断∠ABC、∠ACD是否为直角，并说明理由； （2）求这块钢板的面积。 15．（10 分）如图，为检验两条道路OA、OB是否垂直，施工人员从交点O沿两条道路分别量取OA=9 m、OB=12 m，并测得AB=15 m。 （1）根据测量结果判断OA与OB是否垂直，并说明依据； （2）若OA、OB仍分别为9 m、12 m，而复测得到AB=14 m，此时还能判定OA⊥OB吗？为什么？ 16．（12 分）以△ABC的三边为边分别向外作正方形，三个正方形的面积分别为81 cm²、144 cm²、225 cm²，其中面积为225 cm²的正方形所对应的边为AB。 （1）判断△ABC的形状，并指出直角顶点； （2）求△ABC中AB边上的高。 17．（12 分）【数据分析】某数学小组整理出下表中的三组勾股数： n a b c 2 3 4 5 3 5 12 13 4 7 24 25 （1）观察a、b、c与n的关系，用含n的式子分别表示a、b、c； （2）证明：当n为大于1的整数时，你写出的a、b、c一定能作为直角三角形的三边长。 18．（12 分）如图，点B、C、D在同一直线上，∠ABC=∠CDE=90°，AB=6，BC=8，CD=9，DE=12，连接AC、CE、AE。 （1）求AC、CE、AE的长； （2）判断∠ACE是否为直角，并说明理由。 四、附加拓展题（选做，不计入总分） 19．【发现与证明】小明发现：如果两个连续正整数m、m+1的和恰好等于正整数n的平方，那么n、m、m+1可以作为一个直角三角形的三边长。 （1）用12+13=5²验证这个发现； （2）设m+(m+1)=n²，用代数方法证明这个发现。 20．【开放探究】请从1～30的正整数中找出两组不同的勾股数，且两组中都含有同一个数。写出这两组勾股数，并分别说明它们满足勾股定理逆定理的判定条件。 参考答案与详细解答 一、选择题 1．答案：D A中5²+12²=13²；B中∠A+∠B=∠C，而∠A+∠B+∠C=180°，所以∠C=90°；C中三个角共10份，最大角∠C=5×18°=90°；D中6²+10²=136≠12²=144，不能判定为直角三角形。 2．答案：B 由a²=(b+c)(b-c)=b²-c²，得a²+c²=b²。因为b为满足平方和关系的最长边，所以由勾股定理的逆定理可知∠B=90°。 3．答案：C 勾股数必须是三个正整数，并满足较小两数的平方和等于最大数的平方。8²+15²=64+225=289=17²，所以8、15、17是勾股数。A含小数，不是勾股数；B、D不满足平方关系。 4．答案：A 10²+24²=100+576=676=26²，所以该三角形是直角三角形，26为斜边，长度为10和24的两边是两条直角边，因此互相垂直。 5．答案：B 由网格可得AB²=1²+2²=5，BC²=4²+2²=20，AC²=3²+4²=25。因为AB²+BC²=AC²，所以△ABC是直角三角形。 6．答案：B 15为已知最长边时，9²+x²=15²，得x²=144，x=12。若x为斜边，则x²=9²+15²=306，x=√306，不是正整数，不符合题设。因此x=12。 7．答案：A 29为最长边，20²+21²=400+441=841=29²，所以由勾股定理的逆定理可知该支架为直角三角形，有一个直角。 8．答案：D D符合勾股定理的逆定理：在三角形中若a²+b²=c²，则c所对的角∠C=90°。A错误，直角三角形的边长不一定都是整数，例如等腰直角三角形可取1、1、√2；B错误，勾股数必须是正整数；C错误，因为c未必是最长边，例如3、5、4满足3²+5²≠4²，但3、4、5仍能组成直角三角形。 二、填空题 9．答案：不是。三个角共3+4+5=12份，每份为180°÷12=15°，三个角分别为45°、60°、75°，没有直角。 10．答案：90。由非负数之和为0，得a=7，b=24，c=25。因为7²+24²=25²，所以三角形是直角三角形，最大的角为90°。 11．答案：30。三个正方形的边长分别为5、12、13。因为5²+12²=13²，所以三角形为直角三角形，两直角边为5和12，面积为5×12÷2=30。 12．答案：7。因为24+25=49=7²，所以n=7；又7²+24²=49+576=625=25²，故7、24、25构成直角三角形。 13．答案：90。20为最长边，12²+16²=144+256=400=20²，所以12和16是两条直角边，它们所夹的角为90°。 三、解答题 14．解： （1）在△ABC中，AB²+BC²=6²+8²=36+64=100=10²=AC²，所以由勾股定理的逆定理可知∠ABC=90°。 在△ACD中，AC²+CD²=10²+24²=100+576=676=26²=AD²，所以由勾股定理的逆定理可知∠ACD=90°。 （2）四边形ABCD可由△ABC和△ACD组成。 S△ABC=6×8÷2=24，S△ACD=10×24÷2=120。 所以S四边形ABCD=24+120=144。答：这块钢板的面积为144。 15．解： （1）15 m为最长边，且9²+12²=81+144=225=15²。由勾股定理的逆定理可知△AOB是直角三角形，且AB为斜边，所以∠AOB=90°，即OA⊥OB。 （2）不能，而且可判定OA与OB不垂直。若OA⊥OB，则在Rt△AOB中应有AB²=OA²+OB²=9²+12²=225，即AB=15 m；而复测AB=14 m，与此矛盾。因此OA与OB不垂直。 16．解： （1）三个正方形的边长分别为9 cm、12 cm、15 cm。因为9²+12²=81+144=225=15²，所以由勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形。 面积为225 cm²的正方形对应边AB，所以AB=15 cm，是斜边，因此直角顶点为C，即∠C=90°。 （2）△ABC的面积为9×12÷2=54 cm²。设AB边上的高为h cm，则15h÷2=54，解得h=7.2。答：AB边上的高为7.2 cm。 17．解： （1）观察各行可得：a=2n-1，b=2n(n-1)，c=2n(n-1)+1。 （2）因为n>1，所以a、b、c均为正整数。又 a²+b²=(2n-1)²+[2n(n-1)]² =4n²-4n+1+4n²(n-1)² =4n⁴-8n³+8n²-4n+1 =[2n(n-1)+1]²=c²。 因为a、b、c>0且a²+b²=c²，所以c<a+b，其余两个三角形不等式显然成立，故a、b、c能组成三角形。再由勾股定理的逆定理可知，该三角形是直角三角形。 18．解： （1）在Rt△ABC中，AC=√(6²+8²)=10。 在Rt△CDE中，CE=√(9²+12²)=15。 又因为B、C、D在同一直线上，所以BD=BC+CD=8+9=17；A、E到直线BD的垂直距离分别为6和12，故A、E的竖直距离为12-6=6。于是AE=√(17²+6²)=√325=5√13。 （2）AC²+CE²=10²+15²=100+225=325，而AE²=(5√13)²=325。 所以AC²+CE²=AE²。由勾股定理的逆定理可知△ACE是直角三角形，且AE为斜边，因此∠ACE=90°。 四、附加拓展题 19．解： （1）12+13=25=5²，同时5²+12²=25+144=169=13²，所以5、12、13能组成直角三角形。 （2）由m+(m+1)=n²，得2m+1=n²。于是 m²+n²=m²+(2m+1)=m²+2m+1=(m+1)²。 因为m、m+1、n都是正整数，且满足m²+n²=(m+1)²，所以由勾股定理的逆定理可知，n、m、m+1可以作为直角三角形的三边长。 20．解：答案不唯一。例如取3、4、5和5、12、13，两组都含有5。 第一组：3²+4²=9+16=25=5²，所以3、4、5是勾股数。 第二组：5²+12²=25+144=169=13²，所以5、12、13是勾股数。 两组都满足“较短两边的平方和等于最长边的平方”，因此由勾股定理的逆定理可知，对应三角形均为直角三角形。 汪老师编写 · 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $