第1章三角形易错精练卷-2026-2027学年苏科版 数学八年级上册

**基本信息** 聚焦三角形核心知识，通过易错点分类训练，整合性质应用、动态探究与模型构建，提炼分类讨论、全等证明等解题方法，强化逻辑推理与几何直观。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|1-5题、11-12题|三角形三边关系验证、等腰三角形分类讨论|从三边关系到等腰三角形性质，构建概念应用逻辑链| |性质应用|3-4题、13-15题|角平分线/垂直平分线性质应用、含30°直角三角形性质|以性质定理为核心，结合图形转化实现知识迁移| |动态与模型|10题、16题、21-22题|动点全等分类讨论、将军饮马最值模型、等边三角形动态探究|通过动态问题与经典模型，连接静态性质与动态应用，培养空间观念与模型意识|

第1章三角形易错精练卷-2026-2027学年数学八年级上册苏科版（2024） 一、单选题 1．等腰三角形的两条边分别为和，则它的周长是（     ） A． B． C． D．或 2．将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中的度数是（     ） A． B． C． D． 3．到三角形各边距离相等的点是（     ） A．三条中线的交点 B．三角形三条高所在的直线的交点 C．三条内角平分线的交点 D．三角形三条边的垂直平分线的交点 4．如图，在中，是的平分线，若，则点到的距离是（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 5．如图1是由一根细铁丝围成的正方形，其边长为1．现将该细铁丝围成一个三角形（如图2所示），则的长可能为（     ） A．1.5 B．2.1 C．2.4 D．3.0 6．如图，在中，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 7．把一块直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．如图，为估计池塘两岸间的距离，一位同学在池塘一侧选取一点P，测得，，那么之间的距离不可能是（     ） A． B． C． D． 9．如图,在中,,分别以点、为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点、,作直线分别交、于点、,连接.若,则的度数为（     ） A． B． C． D． 10．如图，，， ，如果点P在线段上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动．若经过t秒后，与全等，则t的值是（     ） A．2 B．4 C．2或3 D．2或4 二、填空题 11．三角形三边之长分别为3，7，，则a的取值范围为______． 12．等腰的周长为11，各边长为正整数，则这样的等腰三角形有___________个． 13．如图，在中，于点，，则的长为__________． 14．如图，的面积为，平分，于点，连接，则的面积为_____． 15．如图，，，．若，则______． 16．如图，等腰三角形的底边长为4，面积是12，腰的垂直平分线分别交，于点E、F，若点D为底边的中点，点M为线段上一动点，则的周长的最小值为_______________ 三、解答题 17．如图，在中，，，点是上一点，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于，且．求证： (1)； (2)平分． 18．如图，在中，，平分交于点D，于点E，与相交于点F． (1)若，，求的长； (2)求证：所在直线是线段的垂直平分线． 19．如图，与交于点O，，，说明：，请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据 说明：∵ （已知） ∴ （等式的性质） 即 ∵ （已知） ∴（ ） 在和中 ∵ （已证） （已证） （ ） ∴ （ ） ∴ （ ） 20．如图，在中，已知，，D是上一点，，，．求证： (1)； (2)． 21．综合与探究 问题情境：在等边三角形中，是折线上的动点，为射线上任意一点，且． (1)初步探究：如图①，当动点在边上时，连接，，求证：； (2)如图②，当动点是边的中点时，则________（选填“”，“”或“”）； (3)深入探究：如图③，当动点在边上时，求证：． (4)连接，若，是直角三角形，直接写出的长． 22．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀古从军行里的一句诗，由此引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图，若点和点分别在直线的两侧，请作出示意图，在直线上找到点，使得有最小值，并说明作图依据：________； (2)如图，若点和点在直线的同侧，请在直线上作出点，使得有最小值； (3)如图，已知，点在内部，，在射线和上分别确定点，，使的周长最小，并求出周长的最小值．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短周长用实线） 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第1章三角形易错精练卷-2026-2027学年数学八年级上册苏科版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C B A C C D D C 1．D 【分析】未明确腰和底，需分类讨论并验证三边关系． 【详解】解：∵等腰三角形的两条边长分别为和， ∴分两种情况：当腰长为，底边长为时， ∵，符合三边关系， ∴周长为； 当腰长为，底边长为时， ∵，符合三边关系， ∴周长为． 故周长为或． 2．A 【详解】解：如图， 根据三角板的度数可知：，， ． 3．C 【分析】由角平分线的判定定理求解即可． 【详解】解：∵到角两边距离相等的点在这个角的平分线上， ∴到三角形三边距离相等的点，同时在三角形三个内角的角平分线上， ∴满足题意的点是三角形三条内角平分线的交点． 4．B 【分析】作，根据角平分线的性质得到，即可求解． 【详解】解：作，如图所示： ∵，是的平分线， ∴ ∵， ∴ ∴点D到的距离是． 5．A 【分析】根据题意可得的周长等于正方形的周长，都为4，设，则，根据三角形的三边关系求出x的取值范围，即可解答． 【详解】解：正方形的周长为， ∴的周长， 设，则， ∵， ∴， 解得， 即， ∴A选项符合题意． 6．C 【分析】根据线段垂直平分线的性质得，进而可得的周长为，即可求解． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长为． 7．C 【详解】如图， ， ， ， ， ， ． 8．D 【分析】根据“三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边”求解． 【详解】解：由题意知，点组成为角形， ∴， ∵， ∴， 只有不在范围内． 9．D 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，可得，由垂直平分线的性质可知，根据角之间的关系即可求出的度数． 【详解】解：，， ， 由尺规作图可知，是的垂直平分线， ， ， ． 10．C 【分析】根据题意可分两种情况：和，根据全等三角形的性质讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴当与全等时，只存在和这两种情况， 当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴； 综上所述，t的值为2或3． 11． 【分析】根据三角形三边关系列出正确的不等式，再根据不等式性质求解； 【详解】解：由三角形三边关系，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，得， 即， 解得． 12． 【分析】设出等腰三角形的腰长与底边长，根据周长得到二者的关系式，结合边长为正整数的条件与三角形三边关系，筛选出所有符合条件的边长组合，统计个数即可． 【详解】解：设等腰的腰长为，底边长为，其中，均为正整数， 由题意得：，即 ． 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，可得且． 将代入不等式组得 ， 解不等式组得：． 因为为正整数， 所以的取值为，，， 当时，，三边长为，，，符合条件； 当时，，三边长为，，，符合条件； 当时，，三边长为，，，符合条件； 因此符合条件的等腰三角形共有个． 13．4 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出的度数，的度数，利用含角的直角三角形的性质依次求出、的长即可． 【详解】解：， ． ， ， ． ， ． 在中，， ． 14．6 【分析】延长交于，证明得到，再利用三角形的中线性质求解即可． 【详解】解：如图，延长交于， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的面积为， ． 15． 【分析】过点作于点，根据角平分线的性质得到，再利用平行线的性质得到，接着根据含度的直角三角形三边的关系得到，从而得到的长． 【详解】解：过点作于点，如图， ， 平分，， 而，， ， ， ， ， ． 16． 8 【分析】连接，根据等腰三角形三线合一的性质得出，利用三角形面积公式求出的长，再根据线段垂直平分线的性质得出，将的周长转化为，利用两点之间线段最短可知当，，三点共线时周长最小，最小值为，由此求解． 【详解】解：连接，，如图， 是等腰三角形，点是底边的中点， ， ，且， ，解得， 是线段的垂直平分线，点在上， ， 的周长， 为定值， 要使的周长最小，只需最小， 根据两点之间线段最短，当，，三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 的周长的最小值 17．(1) 证明：∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． (2)证明： ∵，， ∴，即E为中点． ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴平分． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形性质，灵活运用相关知识解决问题是解题关键． （1）证明，即可证明结论； （2）由，，得出，利用垂直平分线的性质，得出，最后利用等腰三角形三线合一的性质，即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 18．(1) (2)证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点A、D在线段的垂直平分线上， ∴所在直线是线段的垂直平分线． 【分析】（1）根据角平分线定义得出，证明，根据等腰三角形的判定得出，根据直角三角形的性质得出； （2）证明，得出，，说明点A、D在线段的垂直平分线上，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）略 19．，，等边对等角，，，公共边相等，，全等三角形的对应角相等 【分析】根据等边对等角，利用证明三角形全等，再根据全等三角形的对应角相等，作答即可. 【详解】略 20．(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2)证明：由（1）得， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）由直角三角形两锐角互余得到，由垂线的定义得到，则，据此利用即可证明； （2）由全等三角形的性质得到，再由三线合一定理即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 21．(1)证明：是等边三角形， ． ， 为等边三角形， ， ，即． ， ， ． 在和中， ， ； (2) (3)证明：过点作，交于， 是等边三角形，， ∴， ∴，即①． ②，③， 由①②③知，， ． ， ． (4)的长为或 【分析】（1） 利用等边与推出两个等边三角形，得到边、角相等，通过证； （2） 结合中点、等边、等腰三角形角度推导，证； （3） 作平行线构造小等边三角形，用证全等，推导出； （4） 分、两类讨论，结合等边边长与等腰性质计算长度． 【详解】（1）略 （2）解：为等边三角形，是中点， ， ， ． ， ． ． 为AC中点，， ． （3）略 （4）解：已知，为直角三角形，分情况讨论： ①当时，如图， 是的中线， ， 由（1）知，， ； ②当时，如图， ． ， ， 由（3）知，， ； 综上，的长为或． 22．(1)，两点之间线段最短 (2)如图，点即为所求 (3)，6 【分析】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”等模型． （1）依据是两点之间线段最短得出答案； （2）作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，点即为所求； （3）分别作关于、的对称点、，连接，交、于、，则的周长最小，进而根据轴对称的性质推出为等边三角形，进一步得出结果． 【详解】（1）解：连接，与直线相交于一点，则有最小值．作图依据是两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短； 图略； （2）略； （3）如图③， 作法：（Ⅰ）作关于的对称点， （Ⅱ）作点关于的对称点， （Ⅲ）连接，分别交于点M，交于N， 则的周长最小， 连接、， ∵点C和点Q关于对称， ∴，， 同理可得，，， ∴， ， ∴为等边三角形， ∴， ∴的周长． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $