第1章勾股定理易错精练卷-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 《第1章勾股定理易错精练卷》针对八年级上册北师大版勾股定理单元复习，聚焦易错点专项训练，覆盖勾股数、定理应用及实际问题，适配单元巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|勾股数判断、定理应用、逆定理|结合折叠（题4）、半圆面积（题5）等几何情境，考查空间观念| |填空题|6题|勾股数规律（题11）、折叠问题（题16）|融入罗士琳法则（题11），体现文化传承，培养抽象能力| |解答题|5题|实际应用（题19物理实验、题20传感器）、赵爽弦图（题21）|综合物理情境、传统文化，发展模型意识与推理能力|

第1章勾股定理易错精练卷-2026-2027学年数学八年级上册北师大版（2024） 一、单选题 1．下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．如图，池塘边有两点，，点是与方向成直角的方向上一点，测得，．则、两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 3．三边分别为、、，在下列条件下，不是直角三角形的是（     ） A．，， B． C．，， D． 4．如图，中，，，，沿折叠，使点与点重合，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．如图，分别以的直角边，为边向外作正方形，其面积分别为，，以斜边为直径向外画半圆，其面积为．若，，则等于（     ） A． B． C． D． 6．已知直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边为，且．则的值为（     ） A． B． C． D． 7．如图，公园里有一块草坪，已知米，米，米，米，且，这块草坪的面积是（     ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 8．如图，一个正六棱柱的礼品盒子底面边长为，盒子高为，点B在顶点A正上方处．用红色彩带从顶点A开始，绕礼盒侧面一圈到点B，再用黄色彩带从点B开始绕侧面到顶点C装饰，则红色与黄色彩带的总长度至少为（     ） A．38 B．28 C． D． 9．如图，小华和小高约好星期六去书店买书，星期六早晨小华从家出发，沿北偏东方向走了到达小高家，然后两人沿北偏西方向走了到达书店，则小华家与书店的距离为（     ） A． B． C． D． 10．在同一平面内，点到直线的距离为，点到直线的距离为，，且、均在直线上方，若直线上有一点，连接、，则的最小值为（     ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 11．清代数学家罗士琳提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为________． 12．已知直角三角形两直角边长分别为和，则斜边上的高为______． 13．如图，在中，，，，则的面积为________． 14．如图，在一张矩形纸板上放着一根长方体木块．已知，，该木块的长与平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达点需要爬行的最短路程是________． 15．用两对全等的直角三角形（，）和正方形拼成如图所示的（无重叠也无缝隙），其中，，记，的面积分别为，，则________． 16．如图，在中，，，，点D在上，将 沿直线翻折后，点的对称点恰好落在上，则线段的长为______． 三、解答题 17．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的三个顶点都在格点上． (1)画出，使与关于直线对称； (2)在直线上确定一点，使到、的距离之和最小，最小值为______，并在图中标出点（保留作图痕迹）； 18．如图，在中，于点D，，，． (1)求的值； (2)判断的形状，并说明理由． 19．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上．初始时，，，．绳子始终绷紧，滑轮与物体大小忽略不计． (1)求初始状态下细绳的总长度； (2)如图2，若物体C竖直升高，求此时滑块B向左滑动的距离． 20．如图，有一个由传感器控制的灯，装在门上方的墙上，任何东西只要移至该灯周围米及米以内时，灯就会自动发光． (1)一个身高米的人（即米）走到灯刚好发光的地方，测得此时他距墙米（即米）．根据测量所得数据，计算出传感器离地面的垂直高度； (2)一个身高米的人走到离墙米的地方时，灯是否会发光？ 21．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后世也称“赵爽弦图”（如图1所示），实际上，赵爽弦图与完全平方公式有着密切的联系．如图2是由个全等的直角三角形拼成，其中直角边分别为，，，请回答以下问题： (1)正方形的面积是_____，正方形的面积是_____，正方形的面积是_____；（用含，的式子表示）； (2)若正方形的面积是，正方形的面积为，求正方形的边长； (3)若，求的值； (4)如图3，在中，，，若的周长为，求的面积． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第1章勾股定理易错精练卷-2026-2027学年数学八年级上册北师大版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A D A B B A B A 1．C 【分析】勾股数需满足两个条件：三个数均为正整数，两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此验证各选项即可． 【详解】解：A选项，∵，，， ∴不是勾股数，不符合题意； B选项，∵，，， ∴不是勾股数，不符合题意； C选项，∵，且三个数均为正整数， ∴是勾股数，符合题意； D选项，∵，，， ∴不是勾股数，不符合题意． 2．C 【分析】利用勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：，，， ． 3．A 【分析】若三角形三边长满足两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形是直角三角形，根据该定理逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A：，，， ，， ，即， 不是直角三角形，符合题意； 选项B：，由勾股定理逆定理可知是直角三角形，不符合题意； 选项C：，，， ， 是直角三角形，不符合题意； 选项D：设，，（）， ， 是直角三角形，不符合题意． 4．D 【分析】根据勾股定理可知，根据折叠的性质得到，设，根据勾股定理求出，进而根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵沿折叠，使点与点重合， ∴， 设， 则， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∴． 5．A 【分析】根据正方形的性质，勾股定理得到，根据圆的面积公式，解答即可． 【详解】解：根据题意，得，且，， ， 根据勾股定理，得， 故圆的面积为， 根据题意，得是半圆的面积， 故； 6．B 【分析】先根据直角三角形性质得到a，b，c的关系，再利用勾股定理和完全平方公式变形求解即可． 【详解】解：该三角形是直角三角形，两直角边分别为，，斜边为， 由勾股定理得：， 整理得， 又， 对等式两边平方得：， 展开得：， ， 解得：． 7．B 【分析】根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理得到，最后根据草坪的面积，即可求解． 【详解】解：，米，米， 米， 米，米， ， ， 这块草坪的面积为平方米， 故选：B． 8．A 【分析】将正六棱柱侧面展开为长方形，根据绕侧面的圈数确定水平直角边长，结合两点间竖直高度差确定垂直直角边，再用勾股定理分别计算两段彩带的最短长度并求和． 【详解】解：正六棱柱的侧面展开图如下， 由题可知，红色彩带绕一圈从到，则红色彩带为， 黄色彩带绕半圈从到，则黄色彩带为， 底面边长为，高为，点在顶点正上方处， ，，， ， ， 故红色与黄色彩带的总长度至少为． 9．B 【分析】设小华家为点，小高家为点，书店为点，容易判断，使用勾股定理计算出即可． 【详解】解：如图，设小华家为点，小高家为点，书店为点， 由题意可知，，，， ∴由勾股定理可得，， ∴小华家与书店的距离为． 10．A 【分析】用轴对称性质将转化为两点之间的线段长，再结合勾股定理计算最小值． 【详解】解：如图，，，，， 过点作交的延长线于点，则四边形是矩形， ，， ， 作点关于直线的对称点，可得，，则， ，根据两点之间线段最短，可知的最小值为线段的长度， 在中，， 即，解得， 在中，， 的最小值为． 11．，， 【分析】观察可知，每组勾股数的第一个数字为奇数，后面两个数字为两个连续的整数，得到第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为，根据勾股定理列出方程进行求解． 【详解】解：由题意，第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴； ∴第⑤组勾股数为． 12． 【分析】先根据勾股定理求出斜边长，再利用等面积法列方程求解斜边上的高即可． 【详解】直角三角形两直角边长分别为和， 斜边长为， 设斜边上的高为， 直角三角形的面积为：， 解得， 即斜边上的高为． 13．1 【分析】根据勾股定理求出，再由三角形的面积公式计算即可． 【详解】解∶∵在中，，，， ∴， ∴． 14． 【分析】将木块展开，然后根据两点之间线段最短，利用勾股定理解答． 【详解】由题意可知，将木块展开，相当于是加上个正方形的边长， 展开后的矩形的长为，宽为． 最短路程为：． 15． 【分析】本题考查勾股定理和完全平方公式的应用，通过勾股定理计算出的值，然后计算，将的值整体代入即可求出答案． 【详解】设，，， 则,,, , 即①, ， 即② 得： ， ， ， 又 ． 16．5 【分析】先根据勾股定理，求得，接着利用折叠可得，，，最后在中利用勾股定理求得答案． 【详解】解：， ∴， ∴由翻折得，，， ∴，，， ∴， v即， 解得． 17．(1)解：如图所示即为所求， (2)；如图，点P即为所求作的点 【分析】（1）利用轴对称的性质画出的对应点，再顺次连接即可； （2）连接，交直线于点，则点即为所求作的点，用勾股定理求出的长度即可； 【详解】（1）略 （2）解：连接，如图， 由对称知， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小，且最小值为． 18．(1)； (2)是直角三角形，理由如下： 由（1）可知，， ∴ 5， ∵， ∴是直角三角形，且． 【分析】（1）利用勾股定理求出，再利用勾股定理求出． （2）先求出，再利用勾股定理逆定理求解即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴AD； （2）解：略； 19．(1) (2) 【分析】（1）利用勾股定理算出斜边的长度，再把与竖直绳段相加，即可求出细绳整体总长度． （2）先根据物体上升高度求出变化后的竖直绳长，结合绳总长不变算出新斜边，再次用勾股定理求出滑块新的水平距离，用减去初始水平长度，得到滑块向左滑动的距离． 【详解】（1）解：由题意得：， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 答：绳子的总长度为． （2）由题意得：， ， 绳子的总长度为， ， 在中，由勾股定理得：， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 20．(1)米 (2)解：设身高米的人头顶为，此时水平距离米， 垂直距离：米， 在中，根据勾股定理：， 因为， 可得米， 即人到的距离超过米， 因此结论：灯不会发光． 【分析】（）通过构造矩形得到水平距离和对应高度差，再在直角三角形中利用勾股定理求出传感器到人的垂直高度，最后加上人的身高得到传感器离地面的总高度； （）先算出传感器到人的垂直高度差，再结合水平距离用勾股定理求人与传感器的直线距离，将该距离与米比较，判断灯是否发光． 【详解】（1）解：过人的头顶作于， 由题意可知四边形是矩形， ∴，，灯刚好发光时， 在中，根据勾股定理：米， 因此传感器离地面的高度：米； （2）略 21．(1)，， (2) (3) (4) 【分析】（1）根据正方形的面积公式，以及勾股定理求解即可； （2）由题意得，正方形的面积是，正方形的面积是，两式相加得到，即可得解； （3）设，，则，，根据完全平方公式变形求出的值，即可求解； （4）设的两直角边分别为，，则，，根据完全平方公式变形求出的值，即可求解． 【详解】（1）解：正方形的面积是， 正方形的面积是， 正方形的面积是， 故答案为：，，； （2）解：正方形的面积是，正方形的面积是， ， ， ， ， ， 正方形的面积是， 正方形的边长为； （3）解：设，，则， ， ， ， ； （4）解：设的两直角边分别为，， ，的周长为， ， 在中，，， ，即， ， 的面积为． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $