第1章 勾股定理 能力提升卷 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 北师大版八年级上册第1章勾股定理能力提升卷，聚焦定理应用与拓展，融合文化传承（赵爽弦图、《周髀算经》）与现实情境（无人机、烟花晚会），适配单元复习，提升综合解题能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|勾股定理计算、勾股数、实际应用（台风断树、航行问题）|设置双解问题（如第1题直角边与斜边分类），考查数学思维的严谨性| |填空题|6题|梯子高度、格点距离、折叠问题|融入清代“罗士琳法则”勾股数规律探究，培养抽象能力与创新意识| |解答题|5题|四边形面积、风筝高度、网格面积计算|设计劳动实践基地、风筝操作等真实情境，发展模型意识与应用意识，体现数学眼光观察现实世界|

第1章勾股定理能力提升卷-2026-2027学年数学八年级上册北师大版（新教材） 一、单选题 1．若直角三角形的两边长分别为3，4，则第三边长可以是（     ） A．4 B． C．5 D． 2．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．0.3，0.4，0.5 B．1，3，2 C．4，5，6 D．9，40，41 3．如图，一棵大树在一次强台风中离地面4米处折断倒下，倒下后树的顶端位于离树根3米处的点B处，则这种大树原来的高度为（   ） A．5米 B．8米 C．7米 D．9米 4．如图，在一个长方形草坪上，放着一个长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是________米， A． B． C． D． 5．两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速40海里，乙船时速30海里，两个小时后两船相距100海里，已知甲船的航向为北偏东，则乙船的航向（     ） A．南偏西 B．北偏西 C．南偏东或北偏西 D．南偏西或西偏北 6．小明在学习了勾股定理的证明后，尝试制作了四个全等三角形纸板（，，，．），并拼出一个新图形如图所示，若，，则的长为（     ） A．3 B． C． D．4 7．如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（     ） A． B． C． D． 8．南昌市“盛世华彩，豫章欢歌”烟花晚会在赣江水域震撼上演．5000架无人机通过高精度集群控制技术呈现闪耀五星、千里江山图、梦想之翼等九幕动态画面．在彩排期间，小杨在平地上操控无人机，从点处起飞，先垂直爬升3米，后水平飞行4米到达点处，如图所示，则点与点之间的距离是（    ） A．5米 B．米 C．6米 D．7米 9．如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，正方形的面积为，则正方形的面积为（   ） A．27 B．24 C．21 D．15 10．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，，则大正方形的面积为（     ） A．25 B．16 C．20 D．27 二、填空题 11．如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙角线的距离为，则梯子顶端的高度h为__． 12．如图，的顶点是正方形网格的格点，则点到的距离为_____． 13．如图，在中，，，，过点B作，垂足为B，，连接，则的长为______． 14．如图，三角形纸片中，．沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是__________． 15．三国时期数学家赵爽创制“赵爽弦图”，由四个全等直角三角形与小正方形拼成大正方形，若直角三角形短直角边为2，长直角边为4，则空白部分的小正方形的面积为_____． 16．我国清代数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④……；⑤11，60，61．根据上述规律可知第④组勾股数为______． 三、解答题 17．如图,已知中，，，，求的长． 18．如图，在四边形中，，点在上，且． (1)求证：． (2)已知，求的长． 19．为落实劳动教育要求，宜春八中开辟了劳动实践基地，现将一块四边形绿地规划为班级责任菜地，已知，，，，的面积是． (1)求的度数； (2)求这块四边形绿地的面积． 20．小望和小岳学习了“勾股定理”之后，为了得到风筝的垂直高度的长，他俩合作进行了如下操作： ①用皮尺测得的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线（线段）的长为25米； ③小望拉风筝的手到地面的距离（线段的长）为米． (1)求风筝的垂直高度（线段的长）； (2)如果小望想使风筝沿下降12米到F处，求他应该往回收线多少米？ 21．问题情境：在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题．图1，图2都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点． 操作发现：小颖在图1中画出，其顶点，，都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边，分别经过点，，她借助此图求出了的面积． (1)在图1中，小颖所画的的三边长分别是______，______，______；的面积为______． 解决问题： (2)已知中，，，，请你根据小颖的思路，在图2的正方形网格中画出，并直接写出的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第1章勾股定理能力提升卷-2026-2027学年数学八年级上册北师大版（新教材）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D D A C C C A A A 1．C 【分析】分两种情况讨论，当4是直角边长时和当4是斜边长时，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：当3，4是直角边长时，由勾股定理得第三边长； 当4是斜边长时，由勾股定理得第三边长． 2．D 【分析】勾股数的定义为：满足两个较小正整数的平方和等于最大正整数的平方的三个正整数，称为勾股数. 根据定义逐一验证各选项即可得到答案． 【详解】解：勾股数要求三个数均为正整数，选项A中三个数均为小数，因此不是勾股数； 对其余选项从小到大排序后验证： B、，不能构成三角形，不符合题意； C、，故选项C的三个数不是勾股数； D、，且三个数均为正整数，故选项D的三个数是勾股数． 3．D 【分析】根据题意构建直角三角形，利用勾股定理求出折断部分的长度，再加上未折断部分的高度即可得出大树原来的高度． 【详解】解：设大树折断处为点，树根为点，树顶落地点为点， 大树离地面米处折断， 米， 树的顶端位于离树根米处的点处， 米， 在中，，由勾股定理得：（米）， 大树原来的高度为：（米）． 4．A 【分析】画出木块展开后的平面图，对角线即为所求最短路径，用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，将木块展开，则对角线即为所求最短路径， 由题意可知，（米），米，， 在中，（米）， 所以从点爬过木块到达处需要走的最短路程是17米． 5．C 【分析】先计算两船航行2小时后的路程，利用勾股定理逆定理判断两船航行方向互相垂直，再结合甲船的方位角分情况得到乙船的航向即可． 【详解】解：由题意得，两船航行2小时后，甲船行驶路程为海里，乙船行驶路程为海里， ∵， ∴ 由勾股定理逆定理可得，甲乙两船的航行方向夹角为， 已知甲船航向为北偏东，计算得，分两种情况： 乙船航行方向为北偏西或乙船航行方向为南偏东； 因此乙船的航向为南偏东或北偏西． 6．C 【分析】先根据全等三角形的性质求出，，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：， ， ，， ． 7．C 【分析】当地毯铺满楼梯时，其长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可． 【详解】解：由勾股定理得： 楼梯的水平宽度， ∵地毯铺满楼梯所需长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， ∴地毯的长度至少是． 8．A 【详解】解：根据题意得，点与点之间的距离是（米）． 9．A 【分析】根据正方形的面积为可得，再在中利用勾股定理求出的值，即为正方形的面积． 【详解】解：∵四边形为正方形，且面积为， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴正方形的面积为． 10．A 【分析】由是小正方形对角线，用求小正方形面积；结合，算出四个直角三角形总面积；然后根据大正方形面积=小正方形面积四个直角三角形面积，求和得结果． 【详解】解：是中间小正方形的对角线，正方形对角线相等， ． ， ． 单个直角三角形面积为，， 四个直角三角形总面积． 大正方形面积等于小正方形面积与四个直角三角形面积之和， ． 大正方形的面积是25． 11． 4 【分析】直接利用勾股定理进行求解即可. 【详解】解：由勾股定理，得. 12． 【详解】解：设点到的距离为， ∵，， ∴， ∴，即点到的距离为． 13． 【分析】过点D作于点E，则可证明，得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点D作于点E， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：． 14．/ 【分析】根据折叠的性质证明，进而证明，然后利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 15．4 【分析】理解“赵爽弦图”，结合小正方形的面积等于边长乘边长进行列式计算，即可作答． 【详解】解：如图所示： 依题意，， 则 ∴空白部分的小正方形的面积为． 16．9，40，41 【分析】观察已知勾股数，可得出第一个数为连续奇数，得到第④组勾股数的第一个数，再根据后两个数为差为1的连续正整数，设未知数后利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由题意可知，第组勾股数的第一个数为，因此第④组勾股数的第一个数字为， 设第二个数字为，则第三个数字为， 由勾股定理，得： ， 即， 整理得：， 解得：， 因此：， 故第④组勾股数为9，40，41． 17．或 【分析】过点作，垂足为，得到，设，则，在中,由勾股定理列方程求出，最后在中根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作，垂足为． ， ． ． 设，则， 在中,由勾股定理,得， 即， 整理得， ，， 在中,由勾股定理得或， 的长为或． 18．(1) 证明：在和中， ， ． (2) 【分析】（1）直接利用证明三角形全等即可； （2）由全等三角形的性质可得，再在中运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴． 在中，， ，解得：． 19．(1) (2) 【分析】（1）先根据三角形的面积公式求得，再根据勾股定理的逆定理可判断； （2）求出的面积即可解答． 【详解】（1）解：∵，，的面积是， ∴， ∵，， ∴，又， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴这块四边形绿地的面积为． 20．(1)风筝的垂直高度为米 (2)他应该往回收线8米 【分析】（1） 先利用勾股定理求出中的长，再加上的长度得到． （2）先算出的长，再用勾股定理求出的长，最后用得出回收线的长度． 【详解】（1）解：由题意得：米，米，米． ∴在中，（米）， ∴（米）. 答： 风筝的垂直高度为米． （2）解：由题意得：米，(米) 在中，(米)， (米) 答：他应该往回收线8米． 21．(1)，，； (2) 【分析】（１）利用勾股定理求出的三边长，再根据求出的面积； （2）借助勾股定理画出，并把放在的正方形网格中，借助正方形求出的面积． 【详解】（1）解：，， ， ，， ； ，， ； ； （2）解：，，， 借助勾股定理画图如下： ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $