北京师范大学附属实验中学2027届高三数学练习（二）

北京师范大学附属实验中学2027届高三数学练习（二) 2026.9.8 教学班 姓名 成绩 一、选择题（每小题4分，共40分） 1.已知集合A={x‖xk2},B={xx-1>0},则AUB= A.{x-2<x<1}B.{x|x>-2} C.{x|1<x<2} D.{x|x>1} 2.不等式(1-x)(2+x)>0的解集为 A.（-2,1) B.(-1,2) C.（-n,-2)U(1,+∞) D.(-0,-1)U(2,+∞) 3.设ab,c∈R,且a>b,则 A.ac>bc B.a-c<b-c C.a>b3 D.a>b2 4.己知22=5,1og83=b,则4-0= A.25 B.5 D 5.在△ABC中，a=√3，b=1,B=30°，则A= A.60 .30 C.120 D.60°或120 6已：，则 A.f(x)为奇函数，且在(0，+∞)上单调递增 B.f(x)为奇函数，且在(0，+o)上单调递减 C.f(x)为偶函数，且在(0，+o)上单调递增 D.f(x)为偶函数，且在(0+o)上单调递减 7.已知a是实数，则函数f(x)=1+asin ax的图象不可能是 2π B 2元 C 8.“sin0+tan0>0”是“0为第一或第三象限角”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 9.定义在R上的函数f(x)满足f(x+3)=-f(x).当-3≤x<-1时，f(x)=-(x+2)2,当 -1≤x<0时，f(x)=x.则f()+f(2)++f(2026)= A.-1 B.0 C.1 D.2 10.已知函数fy)=sin x+X-2(o>0在[0,2]上恰有4个不同的零点，则实数0 x+2 的取值范围为 B [竖如 20 二、填空题（每小题5分，共25分） 1.函数fd=血+的定义域为 12.若cosa=1,3<a<2m,则cos 52 13.己知函数f()=sin(x+p)+sim2x的图象关于直线x=匹对称，则常数P的一个取 值为 14.如图所示，齿轮A和齿轮B相互啮合（齿的尺寸忽略不 计)，其半径之比为1：2，当t=0时，齿轮A上的点(，)和 齿轮B上的点乃(x2,2)均与坐标原点重合.当两齿轮旋转时， ?和卫在相同时间内运动的弧长相等，则？，卫运动的角速度 之比为 若=sint,则x2关于t的一个函数解析式为 15.已知函数∫(x)的定义域为D,值域为A,函数f(x)具有下列性质： (1D若x,y∈D,则∈A,2)若xy∈D,则Jx)+f)∈A f(y) 下列结论正确的是 ①函数f(x)可能是奇函数； ②函数f(x)可能是周期函数： ③存在x∈D,使得f(x)= 2026 2025: ④对任意x∈D,都有fP(x)EA. 三、解答题（共85分） 16.(本小题13分)在△ABC中，√bcosA=asin B. (1)求∠A的大小： (2)若b-c=4,a=2W7,求△ABC的面积. 17.（本小题13分)已知f)=Asim(ox+(xeR),其中A>0,o>0,0<p<7f)的 部分图象如下图所示： (1)求f(x)的解析式和单调增区间： (2)当x∈ π3π 12’4 时，若函数g(x)=f(x)-m恰有两个不同的 零点，和x,,直接写出m的取值范围. 18.(本小题14分)设函数f(x)=√3 sinwxcos@x+Acos2or(A>0,w>0),从条件①、 条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得(x)存在且唯一. (1)求函数f(x)的解析式： 2求在区同0到 上的最大值和最小值. 条件①：f(0)=1: 条件②：f(x)的最大值为 的 条件③：f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为工 2 注：如果选择的条件不符合要求，得0分：如果选择多组条件分别解答，按第一组解答 计分. 19.（本小题15分)椭圆C等+5=1ab>0)的左焦点为PL0,离心幸为号 (1)求椭圆C的方程： (2)若椭圆C的右顶点为D,点E的坐标为(O,),过点F的直线I与椭圆C交第一象 限于点P,1与线段DE交于点Q.若三角形FDP的面积是三角形FOO面积的5倍(O 为坐标原点)，求直线1的方程. 20.(本小题15分)已知函数f(x)=(x+a)lnx(a>0). (I)函数f(x)在定义域内无极值，求a的取值范围： (②)函数g(x)=f)2-x(a>0),8()有三个不同的极值点，西，名， X<x2<x3,求a的取值范围. 21.(本小题15分)若集合A=BUB3U…UBn,其中B1,B2,,Bn为非空集合， B,∩B=O1≤i<j≤m,则称集合{B,B,,B}为集合A的一个n划分. (1)写出集合A={1,2,3}的所有不同的2划分： (2)设{B,B}为有理数集Q的一个2划分，且满足对任意x∈B,任意y∈B,都 有x<y,判断命题“B,中的元素存在最大值，B,中的元素存在最小值.”的真假， 并说明理由. (3)设集合A={1,2,3,,16},对于集合A的任意一个3划分{B1,B,B3},证明：存 在i∈{1,2,3}，存在a,b∈B,使得b-a∈B. 北京师范大学附属实验中学2027届高三数学练习（二）答案 、 选择题 1 2 3 6 8 9 10 B A A C B B 二、填空题 11.(-1,0)U(0,+∞) 12. 2W6 13. 5 （答案不唯一） 4 14.2,x3=-2c05+2(答案不唯-) (3/2) 15.②③④(2/4/5) 三、解答题 16.解：(1)由√3 bcos A=asin B,则√3 sin B cos A=sin Asin B, …2分 由B∈(0，π)，则sinB≠0， …4分 故√3cosA=sinA, …5分 即tanA=√3， …6分 又A∈(0，)，故A= 3: …8分 (2)c0s4 b+c2-a2_(b-c)°+2bc-a_16+2c-28_1 …10分 2bc 2bc 2be 则bc=12, …12分 故S.ABc= cs如A- 12x5-35 …13分 、2 17.解：(I)记函数的最小正周期为T,由图知T=兀 …2分 所以0= 2=2 …3分 因为最低点为 2 32 所以A=2, …5分 因为2sin 3+-2, 4 3兀 +2m,k∈Z, 又因为0<p< 所以p君 …7分 所以f(x)=2sin 2x+ …8分 6 由-匹+2m≤2x+亚s+2a, 2 6-2 解得-亚+≤x≤+m …10分 3 6 所以单调增区间为 …11分 3 (II)√3≤m<2或-2<m≤-5. …13分 18.解：（1)若选择条件①③：…1分 由f(0)=1,可得f(0)=0+A=1,即A=1, …3分 2 …6分 由∫()的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π可得工=兀 2 特22 …8分 所以T=2亚=元，解得0=1， …9分 20 所以2) …10分 若选择条件②③： …1分 由腿激可得f)-5n2ar+oo2ar+4VF 2 22 3sin(2ox+p）+2 …4分 )的最大值为号，则4-1， …6分 所以f()= 2m2a+w-号na+wa+分a2m+哥引 2 …7分 由f()的图象的相邻两条对称轴之间的距离为”可得T=乃 …8分 2 22 所以T=2亚=，解得0=1， …9分 20 所以=2 …10分 (2)）当x02 时，2x+∈，7π …12分 66’6 则当2x+亚=匹，即x=亚时，f()有最大值： …13分 62 6 当2x+亚=7匹，即x=亚时，f)有最小值0： …14分 66 2 c=1 [a=2 19.(1)由题意得： c=1 ,解得 b=√3 …2分 d=b+c2 所以椭圆方程为+上 =1. …4分 43 (2)由题意可知，直线1的斜率存在且为正， 直线DE方程为y=- +1, 1 …5分 因为三角形FDP的面积是三角形FOQ面积的5倍， SFDE |FDFPsin∠PFD IFarelin ZPRD =5 …6分 S.F0O FD =3 FO FP D …8分 又由题意可知P、Q均在y轴右侧，=3.9分 2m-2 1 xo= 设直线l方程为x=y-1,由 y- x+1,解得 2+m …10分 3 x=y-1 yo= 2+m 5 %=3'e2+m …11分 所以，=州，1=4-2 …12分 2+m 因为点P点在椭圆上，故将P点坐标代入椭圆方程整理得： 92-24m+16=(3-4)2=0 …13分 、4 ∴.m= 3 …14分 所以直线1方程为x=4y-1,即3x-4y+3=0. …15分 3 20.解：(1)f'(y)=血x+x+a (x>0), …1分 令F(x)=xnx+x+a(x>0), 因为函数∫(x)在定义域内无极值， 所以函数f'(x)无变号零点，即函数F(x)在(0，+o)上无变号零点. 由P()=血x+2=0,得x=是 …2分 F'(x) 0 F(x) 极小 所以F(x)的极小值为 (-a …4分 注意到F(1)=a+1>0 …6分 (2)(ig(x)=(x+ant-gx2-x(a>0,x>0), g(x)=nx-am+9(a>0,x>0), 令G(x)=8(y),则Gx)=-ar+x-4 x2 …7分 因为8(x)有三个不同的极值点，即G(x)有三个变号零点， 所以G(x)=0必有两个不相等的正根， 所以方程-2+x-a=0必有两个不相等的正根， 白A=1-4i0得a0) 记为5<4，则4，=1，古+5，-上且0<4<1<4， …9分 (0,41) (4,53) t (5,+0) G(x) 0 + 0 G(x) 极小 极大 …10分 因为0<<1<5，且G(1)=0,所以必有x2=1,且为极小值点， …11分 G(6)>G1)=0, 当x>1时，nx≤x-1<x 所以n<√R,即nx<2√ 所以G(x)=nx-am+a<2WF-ax+a 取= 1+V1+a2 ,则G(0)<2√+a1-x0)=0 a 所以在(，+∞)上有唯一零点x3,为极大值点. …13分 又}-+m a=-G(x)=0 必有，=∈(0，)为极大值点. …14分 t (0,) X1 (1,1) 1 (1,53) Xg (3,+0) g(x) 0 0 0 g(x) 极大 极小 极大 综上，当且仅当ae 2 时，g(x)有三个不同的极值点，即a的取值范围为 0, …15分 21.(1)集合A=1,2,3}的所有不同的2划分为{红，2,3》，{红，3}，{2}，{2,3}， …3分 (2)证明如下：假设成立，不妨设B,中元素的最大值为S,B,中元素的最小值为 1由题可知：t,所以s<5+<t, …4分 2 因为为B中元素的最大值。所以“空”e具， …5分 因为1为，中元素的最小值，所以十EB, …6分 2 因为BUB,=Q,所以+t 庄Q； …7分 2 这与生Q矛盾，所以假设不成立，即命题不可能成立， ……8分 (3)由于集合A中有16个元素，所以B,B,B,中至少有一个集合至少包含6个元素， 不妨设B中至少包含6个元素， 设A,b,b3,b4,b,b6∈B1,且b<b<b<b4<b5<bg: …9分 假设对任意i∈红，2,3}，对任意a,b∈B,都有b-aB, 那么b6-b,b6-b,b6-b,b6-b4,bg-bEB 又因为b6-h,b6-b,bg-b,b6-b4,b6-b∈A, 所以b6-b,b6-b,b6-b,b6-b4,b6-b∈BUB' 则B2,B,中必有一个集合至少包含b。-b,b。-b,b-b,b。-b,b6-b中的3个元素， …11分 不妨设这3个元素为4，，∈B,4<4<4: 由假设可知：4-4,4-4,4-4EB, 对任意i,j1≤j<i≤3)，存在m,n1≤<n≤5)， 都有a-a,=b。-bm-b。+bn=bn-bmB, …13分 又因为4-4,4-4，a-a∈B3,而4-4-(a-4)=4-4,与假设矛盾， 所以假设不成立，即存在ie红，2,3}，存在a,beB,使得b-a∈B, …15分