广西南宁市第三中学2024-2025学年高二上学期月考（二）数学试题

南宁三中20242025.学年度上学期高二月考(二) 数学试题 命题人:高二数学备课组审题人:高二数学备课组 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的、 1.设集合A={:x>,B={-2<x<2),则(GAnB=() A.(-21) B.(-2,1c.(-∞,2)D.(1,2] 2复数2=1-2 ,则z的虚部为() 1+i 2 3.已知空间向量 =(-3,2,5S),b=(1,x,-1),且 与6垂直,则x等于() A.4B.1 C.3D.2 4.“m=1”是“直线4:x+(m+1)y+1=0与直线2:(m+1)x-my-1=0垂直”的() A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C充要条件D.既不充分也不必要条件 5若实数m满是0<m<5,则曲线号-,广1与自线.之上 =1的() 155-m 15-m5 A.离心率相等 B.焦距相等 C实轴长相等 D.虚轴长相等 视C名+E为酒个点P为圆C上一点,若P网P32,则aP四 为()》 A2B.3 C.4 D.6 7.已知双曲线x2-y2=2的左,右焦点分别为F,F,点P在双曲线的右半支上,点2(0,2),则Pg+PF 的最小值为() A.22 B.4 C.6D.42 8.己知椭圆C: 三+京=(a>b>0)的左,右焦点分别为F,B,点Ps是C上的-点, PFE的内 切圆圆心为(名,),当x=2时,x=V5,则C的离心率为( A5-1c D2-5 2 3 二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分在每小题给出的四个选项中,有多项符合 题目要求全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.下列说法中正碗的是() A若直线的倾斜角越大,则直线的斜率就越大 B若A(1,-3),B(1,3),则直线AB的顺斜角为90 C.若直线过点(1,2),且它的倾斜角为45 ,则这条直线必过点(3,4) D.直线y=-2的纵截距为-2 10.已知点A(1,2)在抛物线y=2x(P>0)上,F为抛物线的焦点,2(-1,0),则下列说法正确的是( A.p=2 B.点F的坐标为(2,0) C.直线AQ与抛物线相切D.AF⊥AQ I1,己知正方体ABCD-A,BC,D棱长为4,点N是底面正方形ABCD内及边界上的动点都点M是棱DD 上的动点(包括点D,D),已知MN=4,P为MN中点,则下列结论正确的是( A无论M,N在何位置,AP,CC,为异面直线 B,若M是棱DD中点,则点P的轨迹长度为 元 2 C:M,N存在唯一的位置,使AP∥平面ABC DAP与平面4BCD,所成角的正弦最大值为 三,填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 12.两条平行直线1:6x+8y-10=0与l2:6x+8y-5=0之间的距离是 13.若圆C,:(x-2)2+y=1与圆C,:x2+y2+4x+6y+m=0相内切,则m= 4已知双盘线号-卡=a>06>0)的焦查分为RR,M为及自线上一点.若 ∠RM2红,OM=瓦b,则双曲线的斋近钱方程为 3 3 四、解答题:本题共5小题,共77分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步豫。 15.(13分)分别求出适合下列条件的方程: (1)已知抛物线C:y2=2x(P>0)的焦点为F,且抛物线上一点A(3,m)到焦点的距高为5,求地物线 的方程: (2)已知圆C的圆心在y轴上,并且过原点和(一5,3),求圆C的方程. 16.(15分)记aABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsin2A=asinB. (1)求角A: (2)若a=万,MBC的面职为5,求6BC的周长 17.(1S分)如图,在四梭锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为4的正方形, PAD是等边三角形,CD⊥ 平面PAD,E,F,G,O分别是PC,PD,BC,AD的中点. G (1)求证:PO⊥平面ABCD: (2)求平面EFG与平面ABCD夹角的余弦值 1这《7分)已阅前图8学+长-16>6>可的左,右能直分别为50.50,M为满回E的上 顶点时, M的面积为√. (1)求椭圆E的方程: (2)直线1:y=c+m与椭圆E相交于P,2两点,且4k2+3=4m2,求证: OP2(0为坐标原点) 的面积为定值, 1917分》已如反金线r:2-卡=6>0:左右顶点分别为4,4:过点M(20的直越1突双数 T于P,2两点 (1)若离心率e=2时,求b的值; n-,001— (2)若b= 2v6 aM从P为等服三角形时,且点P在第一象限,求点P的坐标, 3 (3)连接O2并延长,交双曲线 于点R,若AR AP-,求b的取值花围 南宁三中20242025学年度上学期高二月考(二)) 数学试题参考答案 题号 6 9 10 答案 B DA BCD AC ABD 1.B 【详解】CA={x≤,B={-2<x<2),所以(CnA)nB={-2<x≤1}=(-2,1] 【详1=20=生-子计,故z的部为 3 2.B 1+i(1+0(1-i)2221 3.A 【详解】因为空间向量a=(-3,2,5),b=(L,x-1),且a与6垂直, 则a-6=-3+2x-5=2x-8=0,解得x=4. 4.A【详解】若直线:x+(m+1)y+1=0与直线人2:(m+)x-my-1=0垂直,则 1 (m+)+(m+) (-m)=0.解得m=士1,所以“m=1”是直线:x+(m+)y+1=0与直线 :(m+1)x-my-1=0垂直”的充分不必要条件 5.B【详解】因为0<m<5,所以5-m>0,15-m>0. 所以曲线兰-广=1与曲线亡-上=1都是焦点在x轴上的双曲线, 155-m 15-m5 15+5-m=20-m=15-m+5,所以两曲线的焦点和焦距都相同,故B正确:因为20-m卡20-m 1515-m 所以离心率不相等,枚A错误:因为15≠|5-m,所以实轴长不相等,故C错误:因为S-m≠5,所以 虚轴长不相等,故D错误. 6.C【详解】由题意a=3,b=2,c=√5,所以FF=2c=25,PFl+PF=2a=6,因为 P-PF=2,所以PRl=4PF=2,而PF+PF=16+4=20=FF,所以PR1PE, 所以S5=PRPR= 4 2=4. 7D【详解】由题意并结合双曲线的定义可得 Pl+lPRl=P0l+(PRJ+22)=POPEJ+2220F+25=2+22=42 当且仅当2,P,尸三点共线时第号成立 y=-x+2 而直线2的方程为y=-x+2、由 3 x2-y2=2 可得x=。,所以y= 2 所以点P的坐标为 (》所以当且仅当直P的全标为列习》时,PQ+P的最小值为45, 8A【详解】设c2=a2-b2.则F(-c,0),F(c.0): 由点(X)在C:子+长1上,则陷5+苔=1,即分=苔引所以 原-图-可 又-as≤a.所以PA=g+a=ex+a,PR=2a-Prl=a-ex,则Pfl-P5=2es 如图,由焦点aPRE的内切圆可得:P=PFE=GH,lFF=Fl川, 所以Prl-PF=|EF-FF=lH川-H川=2x: 刘5川-B川=(c+为)小-(e-)=2x=25.所以x=x,即e=互=5 2 9.BCD【详解】A:倾斜角为锐角,斜率为正!倾斜角为纯角时,斜串为负,错, B:由于(1,-3),B(1,3)的横坐标相等,即直线AB与少轴垂直,故倾斜角为90,对: C:由圆设,直线方程为y-2=x-1一x-y+1=0,显然(3,4)在直线上,对: D,直线y=女-2在y轴上的碳距为-2对. 10.AC【详解】将A1,2)代入y2=2px中可得4=2p,故p=2,F(,0),A正确,B错误, n1.则42方园为y=+l男化f-2x1-0a-0,微线e与据线a,C 正确,由于F⊥x轴,所以AF⊥AQ不成立,故D错误. 1ABD【详解】由于P、AM相交,而A4∥CC,因此AP,CC,为异而直线, A正确, 当M是梭DD中点,建立如图所示的空间直角坐标系,设 P(xyzM(0,0,2,A4,0,0),C(0,4,0),C(0.4,4),8(4,4,4). M 故N(2.x,2y,22-2),0≤2x≤4,0≤2y≤4且2z-2=0, 由于N=4,故(2.x)2+(2y)2+(2z-2-2)2=16,化简得x2+y2=3, 由于0≤2x≤40≤2y≤4,所以点P的轨迹长度为*径为V5的圆的,散长度为 ,8正确, 2 设M(0,0,a),4(4,0,4).则N(2x,2y,2z-a,0≤2x≤4,0s2y≤4且2z-a=0, 4P=(x-4,y,z-4),AB,=(0,4,4),AC=(4,4,0).设平而A8C的法向量为m=(m,n.k)、则 丽=如+秋=0令m=1,则丽=-小4不.m=(-4到+y-红-4到=0,故x+y-0. AC.m=-4m+4n=0 出于MN=4,(2x2+(2y)2+(2z-2a2=16,化简得x2+y2+z2=4, x+y-2=0 联立 442++g=2,数s不限-,此收0y-i,玻眼y-ae5. 枚C铅误, 由于AD⊥平面ABBA,ABC平面ABBA,故AD⊥AB,又四边形ABBA为正方形,所以 AB⊥AB, ABn4D,AB,ADC平面ABCD,所以AB⊥平面ABCD, 故平面ABCD的法向量为AB=(0,4,4),P=((x-4,y,z), 良5酒4C系为,则地0-o云,瓜同 y+2 2x-4+y+2 则s如9=1少++225是20y+z) 2-+y+z52-4+y+2' 当且仅当y=z时取等号, s咖'0s、y+22 4-x24-x2 -4+y+2“x-40+4-720-8x*e[0,2]时,令20-8x=1>0,则x=20- 8 故4-x2 20-8x 64 时等号成立,此 144., ,由2+y+24且y归可附y=2号因此09/+40 s24+401, 64 64 4 ,sinP20,故sin0的最大值为),故D正确,放选:ABD 2宁/05【详解】直线的方程可化为6x+8y-10=0,且直线的方程为6s+8y-5=0。 所以,平行直线与4之同的距离为d=上10+_1 V62+822 13.-23【详解】由C2:x2+y2+4x+6y+m=0=(x+2)2+0+3)}2=13-m,显然 13>m,C(2,0),C(-2,-3), 圆C,C,相内切,将C,点坐标代入圆C方程知(-2-2)}+(-3)>1,即C在圆C外部,所以圆C内切 于圆C2,则有C,C=V(-2-2)2+(-3-0)2=5=V3-m-1,解之得m=-23. 14y=t 【详解】由双曲线的对称性,不妨设M在第一象限,设MF=m吲M引=n,又 2 ∠MR-号 所-af+Msf-2∠RAMs=㎡+r-2m( =(m-n)2+3mn=4a2+3im=4c2,所以46=3mn, 因为0为RR的中点,所以而=派+派).即2M而=M而+派 所以两边平方得4M可2 =M+2派,-而+MFi=m+2mos号+m 2 -m-2+mm=4a2+mn=2862 3,所以42+46:28 3 ,即4a2=86,即=2 02 所以双曲线的渐近线方程为y=士 x 2 D因为抛物线上一点A3,m到熊点的距离为5,推线去 =5, p=4 故抛物线标准方程为y2=8x. (2)设圆C方程:x2+0-b)2=r2(r>0), 62=r2 由已知 (-52+3-b2=r21 解得 b=2 y=2' ∴圆C方程为x2+0y-2)2=4. 16.【详解】(I)因为bsin2A=asinB,所以2 bsincosA=asinB, +hebd n 根据正弦定理,得2 sinBsinAcosA=sinAsinB, 因为sinB≠0,sinM≠0, 所以c0sA=吃 又4eQ动,所以A=月 53 (2)在aMBC中,由己知S.Ac=2 sin=2bc ,∴bc=6, 2 2 因为4=子0=万 由余弦定理可得a2=b2+c2-2bcc0s4, 即7=(b+c}-2bc-2bc 即7=(b+c)2-3bc,又b>0,c>0,所以b+c=5. 所以 ABC的周长周长为5+√万 17.【详解】(1)证明:: PAD是等边三角形,O是AD的中点,PO⊥AD, 又CD⊥平面PAD,POc平面PAD∴.CD⊥PO. 又ADOCD=D,ADc平面ABCD,CDc平面ABCD∴.PO⊥平面ABCD. 由(1)得PO⊥平面ABCD,连接OG,建立以O为原点,以AD,OG,OP所在直线 分别为x轴,y轴,2轴的空间直角坐标系O-32, 如图所示,底面ABCD是边长为4的正方形, 则0(0,0,0),A(2,0,0),B(2,4,0),C(-2,4,0), D-20,0),G0,40,P0,02w5,E-1,25),F-1,05 则FE=(02,0,EG=山2,-5)设平面EG的法向量为i=(么,八2列, .F2=2y=0, 则万-E=+2y-52=0取=5.则y=0:=平面EG份法向量为万=0, 又平面ABCD的法向盘为丽=(Q0,2V5), ∴平而EFG与平面ABCD的夹角的余弦值为 cos<P,> 0p.月251 同2x252 . 18.【详解】(1)根据题意,c=1。 AM在椭圆E上顶点,此时 ) FMO5 所以a2=b2+c2=4, M 则求椭图￡的方程 2=1. 43 (2x -MN 于0s (2)如图所示,设P(:,y),(,): 2M(O. y=k+m, 4p=( 联立直线/与枕圆E的方程 AB 号-6:2a2-0 AC.i =64k2m2-43+4k2)(4m2-12=192k2-48m2+144=48(4k2-m2+3>0 由于M 8km 联立 P四=+k-=+&V名+》-4 故C =+ 8kom 4 4m2-12 3+4k2 3+4k2 =+Fy48(42-m2+3) 3+4k2 因为点O到直线P2的距离d= V1+k2 且4k2+3=4m2, 所Sw-XPed-xv+FYsa-m+习 m 6m2 6m2 6m2 3+4k2 V1+k2 3+42 3+4k2 42 2 综上,aOP2的面积为定值 2 19【详解】(1)由题意得e=￡==2,则c=2,b=2一=5. a 1 (2)当b 25时,双软2- =1,其中M(-2,0),4,0. 3 因为 MAP为等腰三角形,则 ①当以M4为底时,显然点P在直线x=-上,这与点P在第一象限矛盾,故舍去: 2 ②当以AP为底时,MP叫=MA=3, 设Pk功.则 3 rs- 23 x=- 81 11 x=1 ,联立解得 或 或 (x+2)2+y2=9 B/7 w7 y=0 11 y= 11 因为点P在第一象限,显然 以上均不合题意,舍去:(或者由双曲线性质知MP>MA,矛盾,舍去): ③当以MP为底时,A,P叫=MA=3,设P(x,%),其中>0,%>0, (-12+=9 =2 则有 云-营-1,爆得以2万即P2,25)缘上所选P收2 3 (3)由题知A(-1,0),4(1,0),当直线/的斜率为0时,此时ARP=0,不合题意, 则k≠0,则设直线:x=y-2,设点P(:,片),2(:,2),根据O2延长线交双曲线厂于点R, x=y-2 器双深生如以小立有女-若-6-小广-+-0. 显然二次项系数62m2-1≠0,其中 =(-4mb2)-462m2-1)362=46m2+1262>0, 302@承=( %+1-%4=(4-l,) 40m①y4=6m2- 4+h=6m2-1 则4RAP=(-2+1)(x-1)-2=1,因为P(,),2(,)在直线1上, 则片=%-2,=my-2,即-(my-3)(%-3)-y=1,即 y(m2+1-(4+)3m+10=0, *oe入m+刊”3加 462m+10=0, 即362(m2+1)-3m46m+1062m2-1=0,化简得62m2+362-10=0 所时-3.代入到6-1≠0,得10-站1所以6 3 且㎡-吕-320,解得≤号,又团为6>0,则0<≤号 象,e.(319(同j,