广东省汕尾市陆丰市2026-2027学年上学期八年级第一次月考数学模拟练习1

**基本信息** 以新能源汽车标志、手电筒光学实验等真实情境为载体，覆盖三角形与全等核心知识，突出几何直观与推理能力考查，适配八年级上册月考检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|全等图形识别、三角形稳定性、三边关系|第1题结合新能源标志考查全等图形，体现数学眼光| |填空题|5/15|尺规作图依据、三角形高分类讨论|第14题以光学实验为背景，融合物理情境| |解答题|8/75|全等证明、角度计算、动态几何探究|第23题通过五角星变形递进考查推理能力，层次分明|

2026-2027广东省汕尾市陆丰市八年级（上）第一次月考数学模拟练习1 一．选择题（共10小题，满分30分） 1．下列新能源汽车标志中，不是由多个全等图形组成的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）下列图形中具有稳定性的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（　　） A．1cm，2cm，3cm B．4cm，6cm，10cm C．5cm，6cm，12cm D．4cm，5cm，6cm 4．如图中∠1的度数为（　　） A．80° B．70° C．100° D．110° 5．在△ABC与△DFE中，∠B＝∠F，AB＝DF，添加下列条件后，仍不能得到△ABC≌△DFE的是（　　） A．BC＝EF B．BE＝CF C．AC＝DE D．∠A＝∠D 6．（3分）如图，△ABC≌△DEC，点D在AB上，∠A＝70°，则∠BDE的度数为（　　） A．40° B．45° C．60° D．70° 7．（3分）在下列条件中：①∠A＝∠B﹣∠C，②∠A﹣∠B＝90°，③∠A：∠B：∠C＝2：3：5，④∠A∠B∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别是边BC，AB的中点，连接AD，DE．若△ABC的面积是8，则△BDE的面积是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 9．如图，AB＝AC，AE＝CD，BE⊥AD于点E，CD⊥AD于点D．若BE＝8，CD＝3，则DE的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 10．如图，将一张三角形纸片ABC的三角折叠，使点A落在△ABC的A′处折痕为DE，若∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA′＝γ，那么下列式子中正确的是（　　） A．γ＝180°﹣α﹣β B．γ＝α+2β C．γ＝2α+β D．γ＝α+β 二．填空题（共5小题，满分15分） 11．如图，用尺规作“与已知角相等的角”的过程中，作出∠A'O'B'＝∠AOB的依据是 　 　 ． 12．（3分）在△ABC中，AD是BC边上的高，若BD＝5，CD＝3，则BC的长为　 　 ． 13．（3分）如图，AC⊥BE，DE⊥BE，若△ABC≌△BDE，AC＝7，DE＝3，则CE等于 　 　 ． 14．（3分）如图所示，乐乐用手电筒进行物理光学实验．地面上从左到右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的光线从点G出发，在平面镜上的B处反射后，恰好经过木板的边缘点F、落在墙上的点E处、点F到地面的高度CF＝1.5米，A、C到平面镜B的距离相等．图中点A、B、C、D在同一条直线上．则灯泡到地面的高度AG为　 　 米． 15．（3分）如图，已知长方形纸带ABCD，将纸带沿EF折叠后，点C，D分别落在点H，G的位置，GH与BC交于点M，如图2，再将三角形MHF沿BC折叠，点H落在点N的位置．若∠DEF＝72°，则∠GMN＝　 　 ． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．沿着图中的虚线，用三种方法将上面的图形划分为两个全等的图形． 17．（9分）已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在BC上，点F在CA的延长线上，EF交AB于点G，∠AGF＝∠F． 求证：EF∥AD． 证明：∵AD平分∠BAC，（已知） ∴∠BAD＝∠CAD，（ 　 　 ） 即， ∵∠BAC是△AFG的外角，（已知） ∴　 　 ．（三角形外角的性质） ∵∠AGF＝∠F，（已知） ∴∠BAC＝2∠F， 即．（等式的性质） ∴∠CAD＝∠F．（ 　 　 ） ∴EF∥AD．（ 　 　 ） 18．（9分）如图，已知△ABC≌△ADE，延长ED分别交AC、BC于点F、G，∠CAD＝10°，∠BAE＝120°，∠B＝100°． （1）求∠DAE的度数； （2）求∠CGE的度数． 19．（9分）（1）已知在△ABC中，a＝12，b＝18，求第三边c的取值范围． （2）已知在△ABC中，a＝7，b：c＝4：3，求这个三角形周长的取值范围． 20．（9分）如图，在△ABC中，AD，AE，AF分别是△ABC的高、角平分线、中线． （1）若△ABF的面积为6，则△ABC的面积为 　 　 ． （2）当∠B＝30°，∠C＝50°时，求∠DAE的度数． 21．（9分）如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）若AF⊥CB交CB的延长线于点F，求∠FAE的度数． 22．（9分）如图1，已知∠MON＝60°，A、B两点同时从点O出发，点A沿射线ON运动，点B沿射线OM运动．点C为△ABO三条内角平分线交点，连接BC、AC． （1）如图2，当∠OAB＝70°，求∠ACB的大小． （2）在点A、B的运动过程中，∠ACB的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由： （3）如图3，连接OC并延长，与∠ABM的角平分线交于点P，与AB交于点Q．在△BCP中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出∠BAO的度数． 23．（12分）如图所示是五角星和它的变形． （1）图（1）是一个五角星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E． （2）把图（1）中的点A向下移到BE上时，如图（2）所示，五个角的和（∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有无变化？证明你的结论的正确性． （3）把图（2）中的点C向上移到BD上时，如图（3）所示，五个角的和（∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E）有无变化？说明你的结论的正确性． 2026-2027广东省汕尾市陆丰市八年级（上）第一次月考数学模拟练习1 一．选择题（共10小题，满分30分） 1．下列新能源汽车标志中，不是由多个全等图形组成的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等图形对各选项分析判断利用排除法求解． 【解答】解：A、组成图形的两个图形全等，不符合题意； B、组成图形的两个图形全等，不符合题意； C、组成图形的两个图形不全等，符合题意； D、组成图形的四个图形全等，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查的是全等图形，熟知能够完全重合的两个图形叫做全等图形是解题的关键． 2．（3分）下列图形中具有稳定性的是（　　） A． B． C． D． 【分析】由这一性质即可求解． 【解答】解：根据三角形具有稳定性可知，选项C的图形符合稳定性， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握该知识点是关键． 3．（3分）下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（　　） A．1cm，2cm，3cm B．4cm，6cm，10cm C．5cm，6cm，12cm D．4cm，5cm，6cm 【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可． 【解答】解：A、1+2＝3，不能组成三角形，故A选项错误； B、4+6＝10，不能组成三角形，故B选项错误； C、5+6＜12，不能组成三角形，故C选项错误； D、4+5＞6，能组成三角形，故D选项正确． 故选：D． 【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，掌握其相关知识点是解题的关键． 4．如图中∠1的度数为（　　） A．80° B．70° C．100° D．110° 【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和解答即可． 【解答】解：∵∠1是三角形的外角， ∴∠1＝30°+40°＝70°． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的外角性质，解题的关键是熟练掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 5．在△ABC与△DFE中，∠B＝∠F，AB＝DF，添加下列条件后，仍不能得到△ABC≌△DFE的是（　　） A．BC＝EF B．BE＝CF C．AC＝DE D．∠A＝∠D 【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【解答】解：A．AB＝DF，∠B＝∠F，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DFE，故本选项不符合题意； B．∵BE＝CF， ∴BE+CE＝CF+CE， 即BC＝EF， AB＝DF，∠B＝∠F，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DFE，故本选项不符合题意； C．AB＝DF，AC＝DE，∠B＝∠F，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DFE，故本选项符合题意； D．∠A＝∠D，∠B＝∠F，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DFE，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等． 6．（3分）如图，△ABC≌△DEC，点D在AB上，∠A＝70°，则∠BDE的度数为（　　） A．40° B．45° C．60° D．70° 【分析】先根据全等三角形性质求出∠DEC，然后根据等边对等角求出∠ADC，再利用平角性质求解即可． 【解答】解：∵△ABC≌△DEC，点D在AB上，∠A＝70°， ∴∠EDC＝∠A＝70°，CD＝AC， ∴∠ADC＝∠A＝70°， ∴∠BDE＝180°﹣∠EDC﹣∠CDA＝40°． 故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等是解题的关键． 7．（3分）在下列条件中：①∠A＝∠B﹣∠C，②∠A﹣∠B＝90°，③∠A：∠B：∠C＝2：3：5，④∠A∠B∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据直角三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案． 【解答】解：①由∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B﹣∠C得到：2∠B＝180°，则∠B＝90°，则△ABC是直角三角形，故符合题意； ②∠A﹣∠B＝90°得到：∠A＞90°，则△ABC不是直角三角形，故不符合题意； ③由∠A：∠B：∠C＝2：3：5，∠C，则△ABC是直角三角形，故符合题意；④由∠A+∠B+∠C＝180°，，得到：∠C＝90°，则△ABC是直角三角形，故符合题意； 综上所述，是直角三角形的是①③④，共3个． 故选：C． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质和三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键． 8．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别是边BC，AB的中点，连接AD，DE．若△ABC的面积是8，则△BDE的面积是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：∵点D是边BC的中点，△ABC的面积等于8， ∴S△ABDS△ABC＝4， ∵E是AB的中点， ∴S△BDES△ABD2， 故选：A． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，三角形的面积的计算，正确地识别图形是解题的关键． 9．如图，AB＝AC，AE＝CD，BE⊥AD于点E，CD⊥AD于点D．若BE＝8，CD＝3，则DE的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】由BE⊥AD于点E，CD⊥AD于点D，得∠AEB＝∠D＝90°，可由AB＝CA，AE＝CD，根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△CAD，则BE＝AD＝8，而AE＝CD＝3，所以DE＝AD﹣AE＝5，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵BE⊥AD于点E，CD⊥AD于点D， ∴∠AEB＝∠D＝90°， 在Rt△ABE和Rt△CAD中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△CAD（HL）， ∴BE＝AD＝8， ∵AE＝CD＝3， ∴DE＝AD﹣AE＝8﹣3＝5， 故选：C． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质，适当选择全等三角形的判定定理证明Rt△ABE≌Rt△CAD是解题的关键． 10．如图，将一张三角形纸片ABC的三角折叠，使点A落在△ABC的A′处折痕为DE，若∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA′＝γ，那么下列式子中正确的是（　　） A．γ＝180°﹣α﹣β B．γ＝α+2β C．γ＝2α+β D．γ＝α+β 【分析】根据三角形的外角得：∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论． 【解答】解：如图，设AC交DA′于F． 由折叠得：∠A＝∠A'， ∵∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'， ∵∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ， ∴∠BDA'＝γ＝α+α+β＝2α+β， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键． 二．填空题（共5小题，满分15分） 11．如图，用尺规作“与已知角相等的角”的过程中，作出∠A'O'B'＝∠AOB的依据是 　“SSS”，全等三角形的对应边相等　 ． 【分析】根据尺规作图得OC＝OD＝O'C'＝O'D'，CD＝C'D'，进而可依据“SSS”判定△OCD和△O'C'D'全等，再由全等三角形性质得∠A'O'B'＝∠AOB，据此即可得出答案． 【解答】解：根据尺规作图可知：OC＝OD＝O'C'＝O'D'，CD＝C'D'， 在△OCD和△O'C'D'中， ， ∴△OCD≌△O'C'D'（SSS）， ∴∠COD＝∠C'O'D'， 即∠A'O'B'＝∠AOB． ∴作出∠A'O'B'＝∠AOB的依据是：“SSS”，全等三角形的对应边相等． 【点评】此题主要考查了尺规作图，全等三角形的判定和性质，熟练掌握尺规作图，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 12．（3分）在△ABC中，AD是BC边上的高，若BD＝5，CD＝3，则BC的长为　8或2　 ． 【分析】分为点D在线段BC上和点D在BC的延长线上两种情况，分别计算BC的长度，即可求解． 【解答】解：∵AD是BC边上的高，分两种情况讨论： 当点D在线段BC上时，BC＝BD+CD＝5+3＝8； 当点D在BC的延长线上时，BC＝BD﹣CD＝5﹣3＝2； 综上，BC的长为8或2， 故答案为：8或2． 【点评】本题主要考查了三角形的角平分线、中线和高，掌握其相关知识点是解题的关键． 13．（3分）如图，AC⊥BE，DE⊥BE，若△ABC≌△BDE，AC＝7，DE＝3，则CE等于 　4　 ． 【分析】由全等三角形的对应边相等得到EB＝AC＝7，BC＝DE＝3，即可求出CE的长． 【解答】解：∵△ABC≌△BDE， ∴EB＝AC＝7，BC＝DE＝3， ∴CE＝BE﹣BC＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等． 14．（3分）如图所示，乐乐用手电筒进行物理光学实验．地面上从左到右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的光线从点G出发，在平面镜上的B处反射后，恰好经过木板的边缘点F、落在墙上的点E处、点F到地面的高度CF＝1.5米，A、C到平面镜B的距离相等．图中点A、B、C、D在同一条直线上．则灯泡到地面的高度AG为　1.5　 米． 【分析】根据平面镜反射原理得到∠ABG＝∠CBF，可证△GAB≌△FCB（ASA），得到AG＝CF＝1.5，即可得到答案． 【解答】解：根据题意得法线垂直镜面，且∠i＝∠r， ∴∠ABG＝∠CBF， ∵AB＝BC，∠GAB＝∠FCB＝90°， ∴△GAB≌△FCB（ASA）， ∴AG＝CF＝1.5（米）， 故答案为：1.5． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 15．（3分）如图，已知长方形纸带ABCD，将纸带沿EF折叠后，点C，D分别落在点H，G的位置，GH与BC交于点M，如图2，再将三角形MHF沿BC折叠，点H落在点N的位置．若∠DEF＝72°，则∠GMN＝　72°　 ． 【分析】先根据∠DEF＝72°求出∠EFC的度数，进而可得出∠EFB和∠BFH的度数，根据∠H＝90°和三角形的内角和可得∠HMF的度数，再由折叠的性质可得∠GMN． 【解答】解：∵AD∥CB， ∴∠EFC+∠DEF＝180°，∠EFB＝∠DEF， 即∠EFC＝180°﹣72°＝108°，∠EFB＝72°， ∴∠BFH＝108°﹣72°＝36°． ∵∠H＝∠D＝90°， ∴∠HMF＝180°﹣90°﹣36°＝54°． 由折叠可得：∠NMF＝∠HMF＝54°， ∴∠GMN＝72°． 故答案为：72°． 【点评】本题考查的是平行线的性质，由折叠的性质得到角相等是解题关键． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．沿着图中的虚线，用三种方法将上面的图形划分为两个全等的图形． 【分析】根据全等图形的定义画出图形即可． 【解答】解：如图所示： 【点评】本题考查全等图形的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 17．（9分）已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在BC上，点F在CA的延长线上，EF交AB于点G，∠AGF＝∠F． 求证：EF∥AD． 证明：∵AD平分∠BAC，（已知） ∴∠BAD＝∠CAD，（ 　角平分线的定义　 ） 即， ∵∠BAC是△AFG的外角，（已知） ∴　∠BAC＝∠F+∠AGF ．（三角形外角的性质） ∵∠AGF＝∠F，（已知） ∴∠BAC＝2∠F， 即．（等式的性质） ∴∠CAD＝∠F．（ 　等量代换　 ） ∴EF∥AD．（ 　同位角相等，两直线平行　 ） 【分析】由角平分线定义得到∠CAD∠BAC，由三角形的外角性质推出∠F∠BAC，因此∠CAD＝∠F，判定EF∥AD． 【解答】证明：∵AD平分∠BAC，（已知） ∴∠BAD＝∠CAD，（角平分线的定义） 即∠CAD∠BAC， ∵∠BAC是△AFG的外角，（已知） ∴∠BAC＝∠F+∠AGF，（三角形外角的性质） ∵∠AGF＝∠F，（已知） ∴∠BAC＝2∠F， 即∠F∠BAC，（等式的性质） ∴∠CAD＝∠F，（等量代换） ∴EF∥AD．（同位角相等，两直线平行） 故答案为：角平分线的定义；∠BAC＝∠F+∠AGF；等量代换；同位角相等，两直线平行． 【点评】本题考查平行线的判定，三角形的外角性质，角平分线定义，关键是掌握平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行． 18．（9分）如图，已知△ABC≌△ADE，延长ED分别交AC、BC于点F、G，∠CAD＝10°，∠BAE＝120°，∠B＝100°． （1）求∠DAE的度数； （2）求∠CGE的度数． 【分析】（1）由角的和差得到∠CAB+∠EAD＝∠BAE﹣∠CAD＝110°，再根据全等的性质得到∠CAB＝∠EAD＝55°； （2）根据三角形的内角和求得∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝25°，根据全等的性质得到∠E＝∠C＝25°，进而根据三角形外角的性质得到∠CFE＝∠CAE+∠E＝90°，∠CGE＝∠CFE﹣∠C＝65°． 【解答】解：（1）∵∠CAD＝10°，∠BAE＝120°， ∴∠CAB+∠EAD＝∠BAE﹣∠CAD＝110°， ∵△ABC≌△ADE， ∴∠CAB＝∠EAD＝55°； （2）∵∠CAD＝10°，∠DAE＝55°， ∴∠CAE＝∠CAD+∠DAE＝10°+55°＝65°， ∵∠B＝100°，∠BAC＝55°，∠C+∠B+∠BAC＝180°， ∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣100°﹣55°＝25°， ∵△ABC≌△ADE， ∴∠E＝∠C＝25°， ∴∠CFE＝∠CAE+∠E＝65°+25°＝90°， ∴∠CGE＝∠CFE﹣∠C＝90°﹣25°＝65°． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟知全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等是解题的关键． 19．（9分）（1）已知在△ABC中，a＝12，b＝18，求第三边c的取值范围． （2）已知在△ABC中，a＝7，b：c＝4：3，求这个三角形周长的取值范围． 【分析】（1）由三角形三边关系定理得到6＜c＜30． （2）设b＝4x，c＝3x，由三角形三边关系定理得到1＜x＜7，因此14＜7x+7＜56，于是得到14＜这个三角形的周长＜56． 【解答】解：（1）由三角形三边关系定理得到：18﹣12＜c＜18+12， ∴6＜c＜30． （2）∵b：c＝4：3， ∴设b＝4x，c＝3x， ∴这个三角形的周长＝7x+7， 由三角形三边关系定理得到：b﹣c＜a＜b+c， ∴4x﹣3x＜7＜4x+3x， ∴1＜x＜7， ∴14＜7x+7＜56， ∴14＜这个三角形的周长＜56． 【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌三角形三边关系定理． 20．（9分）如图，在△ABC中，AD，AE，AF分别是△ABC的高、角平分线、中线． （1）若△ABF的面积为6，则△ABC的面积为 　12　 ． （2）当∠B＝30°，∠C＝50°时，求∠DAE的度数． 【分析】（1）根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”计算即可； （2）根据三角形平分线、高的定义及三角形内角和定理计算即可． 【解答】解：（1）∵AF是△ABC的中线， ∴S△ABC＝2S△ABF＝2×6＝12． 故答案为：12． （2）∵∠B＝30°，∠C＝50°， ∴∠BAC＝180°﹣30°﹣50°＝100°， ∵AE是△ABC的角平分线， ∴∠CAE∠BAC100°＝50°， ∵AD是△ABC的高， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣50°＝40°， ∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝50°﹣40°＝10°． 【点评】本题考查三角形的面积，三角形的角平分线、中线和高，掌握“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”，三角形的角平分线、中线和高的定义，三角形内角和定理是解题的关键． 21．（9分）如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）若AF⊥CB交CB的延长线于点F，求∠FAE的度数． 【分析】（1）先整理得∠BAC＝∠DAE，根据AB＝AD，AE＝AC，证明△ABC≌△ADE，即可作答． （2）先得出△ACE是等腰直角三角形，得∠ACB＝∠E＝45°，又因为AF⊥CB，得∠CFA＝90°，∠FAC＝45°，最后把数值代入∠FAE＝∠FAC+∠CAE计算，即可作答． 【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE＝90°， ∴∠BAD﹣∠CAD＝∠CAE﹣∠CAD， ∴∠BAC＝∠DAE， 在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（SAS）； （2）解：∵AE＝AC，∠CAE＝90°， ∴△ACE是等腰直角三角形， ∴∠E＝∠ACE＝45°， ∵△ABC≌△ADE， ∴∠ACB＝∠E＝45°， ∵AF⊥CB， ∴∠CFA＝90°， ∴∠FAC＝90°﹣45°＝45°， ∴若AF⊥CB交CB的延长线于点F，则∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝45°+90°＝135°． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两个锐角互余，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 22．（9分）如图1，已知∠MON＝60°，A、B两点同时从点O出发，点A沿射线ON运动，点B沿射线OM运动．点C为△ABO三条内角平分线交点，连接BC、AC． （1）如图2，当∠OAB＝70°，求∠ACB的大小． （2）在点A、B的运动过程中，∠ACB的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由： （3）如图3，连接OC并延长，与∠ABM的角平分线交于点P，与AB交于点Q．在△BCP中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出∠BAO的度数． 【分析】（1）根据题意，则，；再根据∠MON＝60°，∠OAB＝70°，求出∠ABO的角度，最后根据∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC，即可； （2）根据题意，则，，再根据三角形的内角和，∠ABC＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC，即可； （3）设∠OBA＝m，根据题意，表示出△BCP的三个内角，分类讨论，即可． 【解答】解：（1）∵点C为△ABO三条内角平分线交点， ∴，， ∵∠MON＝60°，∠OAB＝70°， ∴∠ABO＝180°﹣60°﹣70°＝50°，， ∴， ∵∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC， ∴∠ACB＝180°﹣25°﹣35°＝120°． （2）不变，理由如下： ∵点C为△ABO三条内角平分线交点， ∴2∠BAC＝∠OAB，2∠ABC＝∠ABO， ∵∠MON＝60°， ∵∠ABO+∠BAO+∠MON＝180°， ∴2∠BAC+2∠ABC＝180°﹣∠MON＝120°， ∴∠BAC+∠ABC＝60°， ∵∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC， ∴∠ACB＝180°﹣（∠ABC+∠BAC）＝180°﹣60°＝120°． （3）设∠OBA＝m， ∴∠MBA＝180°﹣m， ∵∠ABO+∠BAO+∠MON＝180°，∠MON＝60°， ∴∠ABO+m＝120°， ∴∠BAO＝120°﹣m， ∵BP是∠ABM的角平分线， ∴， ∵点C为△ABO三条内角平分线交点， ∴，，∠BOC＝30°， ∴， ∴， ∴， 在△BCP中有一个角是另一个角的2倍， ∴①∠CBP＝2∠BCP， ∴， 解得：m＝30°， ∴∠BAO＝120°﹣m＝120°﹣30°＝90°； ②∠CBP＝2∠P， ∴， 解得：m＝30°， ∴∠BAO＝120°﹣m＝120°﹣30°＝90°； ③∠BCP＝2∠P， ∴， 解得：m＝60°， ∴∠BAO＝120°﹣m＝120°﹣60°＝60°； ④∠P＝2∠BCP， ∴， 解得：m＝0°（舍去）； ∴在△BCP中有一个角是另一个角的2倍时，∠BAO为90°或60°． 【点评】本题考查三角形的内角和与外角的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是掌握三角形内角和定理，三角形外角的性质． 23．（12分）如图所示是五角星和它的变形． （1）图（1）是一个五角星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E． （2）把图（1）中的点A向下移到BE上时，如图（2）所示，五个角的和（∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有无变化？证明你的结论的正确性． （3）把图（2）中的点C向上移到BD上时，如图（3）所示，五个角的和（∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E）有无变化？说明你的结论的正确性． 【分析】对于（1），连接CD，进行角标注，在△ACD中，根据三角形内角和定理，得出∠A+∠2+∠3+∠ACE+∠ADB＝180°，从而得出答案； 对于（2），根据平角的定义，得出∠BAC+∠CAD+∠DAE＝180°，即可得出结论； 对于（3），根据∠ACB＝∠CAD+∠D，∠ECD＝∠B+∠E，即可得出答案． 【解答】解：（1）连接CD，进行角标注，如图： 在△ACD中，根据三角形内角和定理，得出∠A+∠2+∠3+∠ACE+∠ADB＝180°． ∵∠1＝∠B+∠E＝∠2+∠3， ∴∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E＝∠A+∠B+∠E+∠ACE+∠ADB＝∠A+∠2+∠3+∠ACE+∠ADB＝180°； （2）无变化． 由三角形外角的性质，得∠C+∠E＝∠1，∠A+∠D＝∠2， 由三角形的内角和定理，得∠B+∠1+∠2＝180°， 等量代换，得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°； （3）无变化． ∵∠ECD是△BCE的一个外角， ∴∠ECD＝∠B+∠E（三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和）， ∴∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E＝∠CAD+∠ACE+∠D+∠ECD＝∠CAD+∠ACD+∠D＝180°， 故∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E等于180°，没有变化． 【点评】本题考查了多边形的内角与外角，利用了三角形外角的性质，三角形的内角和定理． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/9/9 16:55:27；用户：轩；邮箱：15361225968；学号：65446526 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $