重难点培优09 导数中的秘密武器——洛必达法则（4大题型）（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

重难点培优09 导数中的秘密武器——洛必达法则 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 3 题型01 洛必达法则的简单计算（★★★★） 3 题型02 用洛必达法则处理型函数（★★★★） 5 题型03 用洛必达法则处理型函数（★★★★★） 8 题型04 用洛必达法则解决函数综合问题（★★★） 11 03 实战检测·分层突破验成效 13 重难知识巩固 13 创新能力提升 19 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 洛必达法则 洛必达法则定义：在一定条件下，通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法，称为洛必达法则。 1.法则1（型）：若函数和满足下列条件： （1）设当时， 及； （2）在点处函数和的图像是连续的，即函数和在点处存在导数； （3）；则：. 2.法则2（型）： 若函数和满足下列条件： （1） 及； （2）在点处函数和的图像是连续的，即函数和在点处存在导数； （3），则：. 3.法则3（型）：若函数和满足下列条件： （1）及； （2）在点处函数和的图像是连续的，即函数和在点处存在导数；且； （3），则：= 知识点02 洛必达法则中的注意事项 1．将上面公式中的 换成 洛必达法则也成立. (2)洛必达法则可处理 型. (3)在着手求极限前, 首先要检查是否满足 , 型定式, 否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时, 就不能用洛必达法则, 这时称洛必达法则不适用, 应从另外途径求极限. 4. 若条件符合, 洛必达法则可连续多次使用, 直到求出极限为止., 如满足条件, 可继续使用洛 必达法则。 知识点03 利用洛必达法则解决导数问题的基本思路是： （1）在求参数范围或证明不等式时，若分离参数后得到函数 ，其定义域在端点 处无定义，但需确定 在 处的极限以得到参数的临界值； （2）判断该极限是否为 或 型的未定式； （3）验证洛必达法则的使用条件（分子分母在去心邻域内可导，且分母导数不为0，导数之比的极限存在或为无穷大）； （4）对分子分母分别求导，计算极限，若仍为未定式则连续使用，直至求出极限值，从而将参数范围问题转化为确定的数值比较。 知识点04 洛必达法则在导数综合题中的核心应用策略： （1）分离参数结合极限：当不等式 在区间 上恒成立，分离得 ，若 的最小值在端点处取极限（端点无定义），则用洛必达求该极限作为参数的临界值； （2）多次洛必达：若一次求导后仍为未定式，可继续求导，但每次均需重新验证条件，直至分母导数不为0或得到确定极限； （3）转化其他未定式：对 型，将其中一个因子取倒数化为 或 ；对 型，通分化为分式；对 、、 型，取对数转化为 再处理； （4）与端点效应协同：当端点处函数值及低阶导数均为0时，可结合洛必达快速求高阶导数比值，避免逐阶求导的繁琐。 知识点05 洛必达法则的实用技巧与简化方法： （1）求导前先对分子分母进行因式分解、约分或等价无穷小替换（如 ），简化求导运算； （2）若极限是单侧极限（如 ），需明确方向，并在求导后代入对应方向； （3）洛必达法则只需求出极限值，不必构造辅助函数，常用于填空题快速得解，在解答题中若使用，务必在关键步骤注明“由洛必达法则得”，并简述满足条件； （4）若导数比极限不存在（非无穷大），则洛必达失效，应立即改用泰勒展开或夹逼准则，但北京卷压轴题通常不会出现此类复杂情形。 知识点06 利用洛必达法则的易错点与关键提醒： （1）条件不满足仍使用：未检查是否为 或 型，直接求导导致错误结论； （2）忽略分母导数为零：若求导后分母在极限点处仍为0，则需继续使用洛必达，不能停止； （3）极限存在性未验证：若导数之比的极限不存在（如震荡），则洛必达法则失效，但原极限可能存在，需换方法； （4）数列极限误用：洛必达仅适用于函数极限，数列极限应先转化为连续函数再使用； （5）端点取值与等号：若极限值恰好使不等式取等，需结合端点是否在定义域内决定参数是否包含该值，一般区间开闭需单独说明。 题型精研·技巧通法提能力 题型01 洛必达法则的直接应用 【技巧通法·提分快招】 洛必达法则的应用技巧 核心口诀：零比零或无穷比无穷，上下求导再极限；一次不行反复用，验证条件莫放松。 高分技巧： 识别标准型：洛必达法则仅适用于 型或 型未定式极限。使用前必须确认当 （或 ）时，分子分母同时趋于0或同时趋于无穷大，否则不可使用； 直接求导法：若极限为 且满足未定式条件，则 。求导后若仍是未定式，可继续使用洛必达法则，直到能直接代入求出极限为止（通常不超过3次）. 1．两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，如，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】. 故选：B 2．1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：，按此法则有（    ） A．2 B．1 C．0 D．-2 【答案】A 【详解】由题意可得 ， 故选：A. 3．们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】， 故选：D 4．我们把分子､分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】由题意得， 故选：B 题型02 用洛必达法则处理型函数 【技巧通法·提分快招】 洛必达法则处理型的应用技巧 用洛必达法则处理型极限，先验证分子分母极限都为0，满足使用条件；再分别求导再取极限，若仍未定形可继续求导。注意它不能直接写在高考大题步骤里，多用于快速探路、检验答案，正式解答尽量用构造函数、等价变形书写。 1．我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则________． 【答案】/0.5 【详解】 故答案为： 2．（2025高三·全国·专题练习） ． 【答案】1 【详解】． 故答案为：1. 3．1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，算法之一为：若函数和满足下列条件： ①， ②在点a的去心邻域内与可导，且 ③，那么据此回答下面问题： (1)求的值，并用导数的定义证明： (2)已知 （i）求函数的单调递减区间; （ii）若对任意恒成立，求实数a的取值范围. 【详解】(1)1，证明：， 依据导数的定义： （2）（i）因为，定义域为R， 所以， 令，解之得：， 所以的单调递减区间为， （ii）因为对任意恒成立，且当时，不等式显然成立， 所以，当时，原式可转化为恒成立， 令，即， 因为， 令， ， 当时，， ，在上单调递减， 所以， 即时， 所以在上单调递减， ， 所以， 当时， 因为， 所以， 所以， 所以， 综上可知：实数a的取值范围为 4．已知函数，.若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 【详解】因为对任意，不等式恒成立， 即在内恒成立， 即在内恒成立， ①当时，，不等式成立； ②当时，，不等式成立； ③当时，即， 令， 则 ， 所以在内单调递增， 由洛必达法则得， 所以，故的取值范围是. 题型03 用洛必达法则处理型函数 【技巧通法·提分快招】 洛必达法则处理型的应用技巧 处理型极限，先确认分子、分母都趋于无穷，才可使用洛必达法则。分别对分子分母求导再求极限，若还是未定式可继续求导。高考大题不要直接书写该法则，多用于预判答案，正式过程优先采用放缩、构造函数来完成证明。 1．已知函数的定义域为． (1)求m的值； (2)求证：不存在极值点； (3)对任意给定的，求证：关于x的方程恰有一个正根． 【详解】（1）要使函数有意义，须满足， 若，解得，不符合题意，舍去； 若，解得， 因为函数的定义域为， 所以，解得； （2）由（1）知，， 所以， 令， 所以 ， 因为在上是单调递增的， 所以当时， ，，在上单调递增； 当时， ，，在上单调递减， 所以在处取得极大值，即， 但是不在函数的定义域内， 因此在定义域内没有零点，即不存在极值点； （3）由（2）知在上单调递减，且， 所以，即在上单调递减， 当时，由洛必达法则可知， 当时，和都趋近于， 但是的增长速度比慢，所以， 综上可知，当时，， 所以当时，方程恰有一个正根． 2．已知函数的定义域为． (1)求m的值； (2)求证：不存在极值点； (3)对任意给定的，求证：关于x的方程恰有一个正根． 【详解】（1）要使函数有意义，须满足， 若，解得，不符合题意，舍去； 若，解得， 因为函数的定义域为， 所以，解得； （2）由（1）知，， 所以， 令， 所以 ， 因为在上是单调递增的， 所以当时， ，，在上单调递增； 当时， ，，在上单调递减， 所以在处取得极大值，即， 但是不在函数的定义域内， 因此在定义域内没有零点，即不存在极值点； （3）由（2）知在上单调递减，且， 所以，即在上单调递减， 当时，由洛必达法则可知， 当时，和都趋近于， 但是的增长速度比慢，所以， 综上可知，当时，， 所以当时，方程恰有一个正根． 题型04 用洛必达法则解决函数综合问题 【技巧通法·提分快招】 洛必达法则处理函数综合题的应用技巧 函数综合题（如恒成立、存在性）里，出现 “” 型，用洛必达法则求极限，分析函数趋势、最值，结合导数研究单调性，解决参数范围、零点等问题。 1．若不等式对于恒成立，求的取值范围. 【详解】当时，原不等式等价于. 记，则. 记，则. 因为，， 所以在上单调递减，且， 所以在上单调递减，且. 因此在上单调递减，且， 故，因此在上单调递减. 由洛必达法则有， 即趋向于0时，趋向，即有. 故时，不等式对于恒成立. 2．已知 恒成立, 求 的取值范围 【详解】 记 , 则 则 所以, 在 单调递增, 且 所以 时, 时, 即 在 上单调递减, 在 上单调递增 所以 所以 3． 恒成立, 求的取值范围. 【详解】 记 , 则 则 所以, 当 时, 单调递减, 所以 即 所以 所以 所以 4． 恒成立, 求 的取值范围. 解: 记 , 则 记 则 所以, 在 单调递增, 所以 所以, 在 单调递增, 所以 即在 上 , 所以 在 上单调递增 所以 所以 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．（25-26高三上·安徽蚌埠·月考）函数的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【详解】因为当时，该函数无意义，故排除AC选项， 根据洛必达法则知，故D错误 故选：B. 2．年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，按此方法则有 ． 【答案】 【详解】由题意可得：． 故答案为：. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，.若当时，恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】当时，，不等式成立； 当时，，令，依题意，， 求导得，令，求导得， 函数在上单调递增，则，即， 函数在上单调递增，由洛必达法则知， 因此恒成立，则， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 4．求下列极限： (1)； (2)； (3)． 【详解】（1）原式. 说明：当时，，，sin x∽x. （2）原式洛必达法则； 说明：当时，，，. （3）令，则原式洛必达法则洛必达法则． 5．恒成立,求的取值范围 【详解】， 记，， 则， 记， 则， 而， 所以,在单调递增,所以， 所以,在单调递增,所以， 即在上,所以在上单调递增， 所以， 所以. 6.若不等式对于恒成立，求的取值范围. 【详解】当时，原不等式等价于. 记，则. 记，则. 因为，， 所以在上单调递减，且， 所以在上单调递减，且. 因此在上单调递减，且， 故，因此在上单调递减. 由洛必达法则有， 即趋向于0时，趋向，即有. 故时，不等式对于恒成立. 7.已知. （1）求的单调区间； （2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 【详解】（1）由解析式知：的定义域为且， 令，则 ∴当时，；当时，， ∴在单调递减，在单调递增，即， ∴在上单调递增，即的增区间为，无减区间. （2）解法1：直接求导，分类讨论. 对任意，不等式恒成立等价于对任意，不等式恒成立. 令，则， 令，则，由知：， ①当，即时， 即，即在上单调递减，又， ∴时，，即在上单调递减，又， ∴时，，符合题意. ②若，即， 当时，， ∴在单调递增，即时，， 故不恒成立，不合题意. ③若，则恒成立，所以在单调递增. ∴时，，即在单调递增， 又时，，即恒成立，不合题意. 综上所述，的取值范围是. 解法2： 对任意，不等式恒成立等价于对任意，恒成立. 令，则，记， ①当时，，此时，在单调递减，又， 所以时，，即对任意，恒成立. ②当时，，在上单调递增，又， 所以时，，即对任意，恒成立，不符合题意. ③时，不等式化为，显然不成立. ④当且时，方程的二根为，， 若，，，则在单调递增，又，所以时，，即不等式不恒成立； 若，，则在单调递增，又，所以时，，即不等式不恒成立. 综上所述，的取值范围是. 解法3：参数分离 当，对任意，不等式恒成立等价于对任意，恒成立. 记，则 ， 记， 则， 所以在单调递减，又，所以，时，，即， 所以在单调递减.所以， 综上所述，的取值范围是. 8．设函数， (1)若，（为常数），求的解析式； (2)在（1）条件下，若当时，，求的取值范围． 【详解】（1）解：因为，， 所以，， 解得， 所以； （2）由（1）可知，时，，此时，； 故时，成立时，成立， 对恒成立， 即对恒成立； 记，则， 记，则， 记 ，则 ， ∴当0时，，在上单调递增； ， 所以在上单调递增；； ∴时，0，即在上单调递增； 记，， 当时，，符合洛必达法则条件， ∴， ∴时，， ∴． 创新能力提升 1．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，满足，满足． (1)求数列的通项公式． (2)试比较与的大小，并说明理由． (3)是否能小于等于一个常数？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由． 【详解】（1）依题意得：， 所以是等差数列， 首项，公差， 所以，从而； （2）由（1）得， 构造函数，则 当时，，所以函数在区间上单调递增， 当时，，所以函数在区间上单调递减， 所以， 即，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号，即， 累加即得，当且仅当时取等号； （3），， 不妨设，令， 则，， 令，由，得，在上单调递增， 由洛必达法则得，从而，所以． 2．（25-26高三上·重庆沙坪坝·开学考试）记函数 ； (1)求函数 的极值点个数； (2)记函数 的极值点为 ，证明： ① ； ②数列 单调递减． (提示： 时， ) 【详解】（1）由提示知，，显然不是其极值点， 故，， 令,， ， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，且代入，此时， 故存在，有， 且时，，且时，(不恒为零）， 从而在上单调递减，上单调递增， 故存在唯一极小值点，无极大值点. （2）①由（1）可知，为唯一的极值点，且为极小值点， 由单调性和正负性可知，等价于， 又，只需证， 即证，令， 只用证，， 令， 易知在单调递减，且， 则存在，有，且时，，时，， 故在单调递增，在单调递减，又， 且由洛必达法则，， 故时，，即，，证毕； ②由（1）可知，，故单调递减只需证， 即证：， 由，则有， 代入有： ， 因为，则，若， 只需：， 关注到因式分解，有：， 只需， 由前可知，，证毕． 3．设函数，，，且有唯一零点. (1)求a的取值范围； (2)证明：存在三个零点； (3)记的零点为p，最小的零点为q，证明：，其中e是自然对数的底数. 【详解】（1）当时，， 令，得，而，故， 当时，令得，， 令，，令，， 则，因为，则， 则，则，则在单调递减， 则，即，即在上恒成立， 则时，， 而时，， 时，，则， 故在上恒成立， 故在上单调递减，而，， 故，解得 （2），设，，， 则，令，解得，此时单调递减，即单调递减， 令，解得，此时单调递增，即单调递增， 而，， 当，且时，，当，， 故存在满足，使得， 且当时，，此时单调递增， 时，，此时单调递减， 时，，此时单调递增，而， 则，则， 而当时，；，且时，， 则根据零点存在定理知在和上各有一根，加上， 则存在三个零点. （3），则； ，即，且，则， 因为，所以， 令，，则， 设，其中， 则，则在上单调递增， 故，则在恒成立， 则，则， 则在上恒成立， 则在上单调递增，设， 且，，在点1的某去心邻域内两者皆可导，且， 且， 则，作出如下图象， 因为，则， 要证，即证， 只需证， 即证，即证， 设， 则， 令， 则， 令 则， 令 ， 故， 则，则在上单调递增， 则，得证， 故，故. 4．在函数极限的运算过程中，洛必达法则是解决未定式型或型极限的一种重要方法，其含义为：若函数和满足下列条件： ①且（或，）； ②在点的附近区域内两者都可导，且； ③（可为实数，也可为），则． (1)用洛必达法则求； (2)函数（，），判断并说明的零点个数； (3)已知，，，求的解析式． 参考公式：，． 【详解】（1） （2），， 所以，． 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， ，， 当时，，所以仅在时存在1个零点． （3），所以，，…， 将各式相乘得， 两侧同时运算极限，所以， 即， 令，原式可化为，又， 由（1）得， 故，由题意函数的定义域为， 综上， 1 / 27 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优09 导数中的秘密武器——洛必达法则 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 3 题型01 洛必达法则的简单计算（★★★★） 3 题型02 用洛必达法则处理型函数（★★★★） 5 题型03 用洛必达法则处理型函数（★★★★★） 6 题型04 用洛必达法则解决函数综合问题（★★★） 6 03 实战检测·分层突破验成效 7 重难知识巩固 7 创新能力提升 9 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 洛必达法则 洛必达法则定义：在一定条件下，通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法，称为洛必达法则。 1.法则1（型）：若函数和满足下列条件： （1）设当时， 及； （2）在点处函数和的图像是连续的，即函数和在点处存在导数； （3）；则：. 2.法则2（型）： 若函数和满足下列条件： （1） 及； （2）在点处函数和的图像是连续的，即函数和在点处存在导数； （3），则：. 3.法则3（型）：若函数和满足下列条件： （1）及； （2）在点处函数和的图像是连续的，即函数和在点处存在导数；且； （3），则：= 知识点02 洛必达法则中的注意事项 1．将上面公式中的 换成 洛必达法则也成立. (2)洛必达法则可处理 型. (3)在着手求极限前, 首先要检查是否满足 , 型定式, 否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时, 就不能用洛必达法则, 这时称洛必达法则不适用, 应从另外途径求极限. 4. 若条件符合, 洛必达法则可连续多次使用, 直到求出极限为止., 如满足条件, 可继续使用洛 必达法则。 知识点03 利用洛必达法则解决导数问题的基本思路是： （1）在求参数范围或证明不等式时，若分离参数后得到函数 ，其定义域在端点 处无定义，但需确定 在 处的极限以得到参数的临界值； （2）判断该极限是否为 或 型的未定式； （3）验证洛必达法则的使用条件（分子分母在去心邻域内可导，且分母导数不为0，导数之比的极限存在或为无穷大）； （4）对分子分母分别求导，计算极限，若仍为未定式则连续使用，直至求出极限值，从而将参数范围问题转化为确定的数值比较。 知识点04 洛必达法则在导数综合题中的核心应用策略： （1）分离参数结合极限：当不等式 在区间 上恒成立，分离得 ，若 的最小值在端点处取极限（端点无定义），则用洛必达求该极限作为参数的临界值； （2）多次洛必达：若一次求导后仍为未定式，可继续求导，但每次均需重新验证条件，直至分母导数不为0或得到确定极限； （3）转化其他未定式：对 型，将其中一个因子取倒数化为 或 ；对 型，通分化为分式；对 、、 型，取对数转化为 再处理； （4）与端点效应协同：当端点处函数值及低阶导数均为0时，可结合洛必达快速求高阶导数比值，避免逐阶求导的繁琐。 知识点05 洛必达法则的实用技巧与简化方法： （1）求导前先对分子分母进行因式分解、约分或等价无穷小替换（如 ），简化求导运算； （2）若极限是单侧极限（如 ），需明确方向，并在求导后代入对应方向； （3）洛必达法则只需求出极限值，不必构造辅助函数，常用于填空题快速得解，在解答题中若使用，务必在关键步骤注明“由洛必达法则得”，并简述满足条件； （4）若导数比极限不存在（非无穷大），则洛必达失效，应立即改用泰勒展开或夹逼准则，但北京卷压轴题通常不会出现此类复杂情形。 知识点06 利用洛必达法则的易错点与关键提醒： （1）条件不满足仍使用：未检查是否为 或 型，直接求导导致错误结论； （2）忽略分母导数为零：若求导后分母在极限点处仍为0，则需继续使用洛必达，不能停止； （3）极限存在性未验证：若导数之比的极限不存在（如震荡），则洛必达法则失效，但原极限可能存在，需换方法； （4）数列极限误用：洛必达仅适用于函数极限，数列极限应先转化为连续函数再使用； （5）端点取值与等号：若极限值恰好使不等式取等，需结合端点是否在定义域内决定参数是否包含该值，一般区间开闭需单独说明。 题型精研·技巧通法提能力 题型01 洛必达法则的直接应用 【技巧通法·提分快招】 洛必达法则的应用技巧 核心口诀：零比零或无穷比无穷，上下求导再极限；一次不行反复用，验证条件莫放松。 高分技巧： 识别标准型：洛必达法则仅适用于 型或 型未定式极限。使用前必须确认当 （或 ）时，分子分母同时趋于0或同时趋于无穷大，否则不可使用； 直接求导法：若极限为 且满足未定式条件，则 。求导后若仍是未定式，可继续使用洛必达法则，直到能直接代入求出极限为止（通常不超过3次）. 1．两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，如，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：，按此法则有（    ） A．2 B．1 C．0 D．-2 3．们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 4．我们把分子､分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：，则（    ） A． B． C．1 D．2 题型02 用洛必达法则处理型函数 【技巧通法·提分快招】 洛必达法则处理型的应用技巧 用洛必达法则处理型极限，先验证分子分母极限都为0，满足使用条件；再分别求导再取极限，若仍未定形可继续求导。注意它不能直接写在高考大题步骤里，多用于快速探路、检验答案，正式解答尽量用构造函数、等价变形书写。 1． 我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则________． 2．（2025高三·全国·专题练习） ． 3．1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，算法之一为：若函数和满足下列条件： ①， ②在点a的去心邻域内与可导，且 ③，那么据此回答下面问题： (1)求的值，并用导数的定义证明： (2)已知 （i）求函数的单调递减区间; （ii）若对任意恒成立，求实数a的取值范围. 3．已知函数，.若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 题型03 用洛必达法则处理型函数 【技巧通法·提分快招】 洛必达法则处理型的应用技巧 处理型极限，先确认分子、分母都趋于无穷，才可使用洛必达法则。分别对分子分母求导再求极限，若还是未定式可继续求导。高考大题不要直接书写该法则，多用于预判答案，正式过程优先采用放缩、构造函数来完成证明。 1．已知函数的定义域为． (1)求m的值； (2)求证：不存在极值点； (3)对任意给定的，求证：关于x的方程恰有一个正根． 2．已知函数的定义域为． (1)求m的值； (2)求证：不存在极值点； (3)对任意给定的，求证：关于x的方程恰有一个正根． 题型04 用洛必达法则解决函数综合问题 【技巧通法·提分快招】 洛必达法则处理函数综合题的应用技巧 函数综合题（如恒成立、存在性）里，出现 “” 型，用洛必达法则求极限，分析函数趋势、最值，结合导数研究单调性，解决参数范围、零点等问题。 1．若不等式对于恒成立，求的取值范围. 2．已知 恒成立, 求 的取值范围 3． 恒成立, 求的取值范围. 4． 恒成立, 求 的取值范围. 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．（25-26高三上·安徽蚌埠·月考）函数的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   2．年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，按此方法则有 ． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，.若当时，恒成立，则实数的取值范围为 ． 4．求下列极限： (1)； (2)； (3)． 5．恒成立,求的取值范围. 6.若不等式对于恒成立，求的取值范围. 7.已知. （1）求的单调区间； （2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 8．设函数， (1)若，（为常数），求的解析式； (2)在（1）条件下，若当时，，求的取值范围． 创新能力提升 1．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，满足，满足． (1)求数列的通项公式． (2)试比较与的大小，并说明理由． (3)是否能小于等于一个常数？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由． 2．（25-26高三上·重庆沙坪坝·开学考试）记函数 ； (1)求函数 的极值点个数； (2)记函数 的极值点为 ，证明： ① ； ②数列 单调递减． (提示： 时， ) 3．设函数，，，且有唯一零点. (1)求a的取值范围； (2)证明：存在三个零点； (3)记的零点为p，最小的零点为q，证明：，其中e是自然对数的底数. 4．在函数极限的运算过程中，洛必达法则是解决未定式型或型极限的一种重要方法，其含义为：若函数和满足下列条件： ①且（或，）； ②在点的附近区域内两者都可导，且； ③（可为实数，也可为），则． (1)用洛必达法则求； (2)函数（，），判断并说明的零点个数； (3)已知，，，求的解析式． 参考公式：，． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $