重难点培优02 三次函数的图象与性质及其应用（7大题型）（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦三次函数图象与性质核心考点，按概念、性质、应用逻辑梳理知识，通过知识重构固根基、题型精研提能力、实战检测验成效的教学流程，帮助学生系统掌握导数应用、零点问题等高考重点，突破难点。 讲义创新采用“技巧通法+分层训练”模式，如利用韦达定理秒解零点和积问题培养数学思维，结合二阶导数探究对称性发展数学眼光，设置基础巩固与创新提升练习保障复习效果，助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏提供精准指导。

重难点培优02三次函数的图象与性质及其应用 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 4 题型01 三次函数图象的识别（★★★★） 4 题型02 三次函数的切线问题（★★★★） 6 题型03 利用韦达定理秒解三次函数零点和或积问题（★★★★★） 7 题型04 三次函数的单调性（★★★） 8 题型05 三次函数的极值或最值问题（★★★） 9 题型06 三次函数的对称性（★★★★） 9 题型07 三次函数的零点问题（★★★★★） 10 03 实战检测·分层突破验成效 12 重难知识巩固 12 创新能力提升 15 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 三次函数的概念 形如的函数，称为“三次函数”. 【说明】(1)三次函数是整式函数，因此x不能出现在分母中,但各项的系数可以为分数. (2)三次函数的最高次项为x的三次项，且该项的系数不为0，二次项、一次项及常数项的系数可以有部分为0，也可全为0. 知识点02 三次函数的图象与基本性质 1. 三次函数的基本性质 (1)定义域为. (2)值域为，函数在整个定义域上没有最大值、最小值. (3)奇偶性：①f(x)不可能为偶函数； ②当且仅当b=d=0时是奇函数. (4)三次函数要么无极值点，要么有两个，不可能只有一个. (5)对称性:三次函数的图象是中心对称曲线，且对称中心是. 【证明】设函数的图象的对称中心为，按向量将函数的图像平移，则所得图像对应的函数是奇函数，所以，化简得，该式对恒成立，故，得，所以函数的图象的对称中心是. 3．三次函数的图象和单调性、极值 的 图象 的 图象 的单调性、极值 增区间为， 减区间为， 有两个极值点，极大值为，极小值为 恒成立，在R上单调递增，无极值点 增区间为， 减区间为， 有两个极值点， 极大值为， 极小值为 恒成立，在R上单调递减，无极值点 4．三次函数图象的对称中心与导数的关系 (1)可以证明三次函数的二阶导函数的零点是三次函数图象对称中心的横坐标，即： 若，则图象的对称中心是点. (2)若图象关于点对称，则图象关于直线 对称 中心对称函数的导数是轴对称函数，轴对称函数的导数是中心对称函数.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数，此规律对其他函数也成立. 知识点03 三次方程的实根个数 设三次函数，其导函数为二次函数：，判别式为：，设的两根为，结合函数草图易得： ① 若，则恰有一个实根. ② 若，且，则恰有一个实根. ③ 若，且，则有两个不相等的实根. ④ 若，且，则有三个不相等的实根. 【说明】(1) 含有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次，即在上为单调函数（或两极值同号），所以（或，且）. ·(2) 有两个相异实根的充要条件是曲线与轴有两个公共点且其中之一为切点，所以，且. (3) 有三个不相等的实根的充要条件是曲线与轴有三个公共点，即有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以且. 知识点04 三次函数的其他拓展性质(拓展) 1．三次函数的韦达定理 设的三个零点分别为，， ，则: ； (2)； (3) ； (4) . 2. 三次函数f(x)的四段论法则 f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)且导函数Δ>0 f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a<0)且导函数Δ>0 (1)对称中心：； (2)极大值到对称中心距离为Δx，极小值到对称中心距离为Δx，极小值等值点到极大值距离为Δx，极大值等值点到极小值距离为Δx. 设 的极大值为 ，当 的两根为 ， 时，区间 被中心 和极小值点三等分，类似的，对极小值 也有此结论. 3．三次函数的其它二级结论： (1) 其导函数为二次函数，图象的对称轴为 ，所以对称中心的横坐标也就是导函数的对称轴，可见 图象的对称中心在导函数 的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点； (2) 是可导函数，若 的图象关于点 对称，则 图象关于直线 对称. (3)若 图象关于直线 对称，则 图象关于点 对称. (4)若可导函数 的三阶导数 ，函数有极大值或极小值时，极小值右偏，极大值左偏；若可导函数 的三阶导数 ，函数有极大值或极小值时，极小值左偏，极大值右偏； (5)若可导函数 的三阶导数 ，函数有极大值或极小值时，极小值右偏，极大值左偏； 若可导函数 的三阶导数 ，函数有极大值或极小值时，极小值左偏，极大值右偏. 题型精研·技巧通法提能力 题型01 三次函数图象的识别 【技巧通法·提分快招】 三次函数图象的识别技巧 1.图象特征：为连续无断点的平滑“N”型或反“N”型曲线，最多存在2个极值点、1个拐点，无渐近线. 2.定义域与值域：二者均为全体实数，无取值边界限制. 3.单调性：要么全程单调，要么呈“增-减-增”或“减-增-减”的三段变化. 4.对称性与奇偶性：无轴对称性，仅当二次项、常数项系数均为0时为奇函数，图象关于原点中心对称. 5.函数与导函数图象间的关系：若原函数为奇函数时，其导函数必为偶函数，即原函数图象关于中心对称，则导函数图象关于y轴对称. 1．关于三次函数的图象，下列叙述中正确的是（    ）． A．仅有一个对称中心 B．仅有一条对称轴 C．仅有一个对称中心 D．没有对称轴，但对称中心不止一个 2．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·广西桂林·期中）已知三次函数的图象如图所示，则（    ） A．5 B．－5 C．2 D．－2 4.（2026·云南楚雄·一模）若，则函数的图象可能是（    ） A．B．  C．  D．   5．（2026·湖北黄冈·三模）已知函数，若函数的图象如图所示，则一定有（  ） A． B． C． D． 题型02 三次函数的切线问题 【技巧通法·提分快招】 三次函数切线问题全攻略 1．过某点的三次函数图象的切线问题 研究过点 可以作出三次函数 图象的几条切线，本质上是研究方程根的个数，可以设切点为 ，则切线方程为 ，将点 的坐标代入切线方程可得 ，这一关于 的方程有几个实数解，过点 就可以作出函数 图象的几条切线，这一问题的结论如下图所示： (1)过曲线外部的点作的切线，有且仅有3条； (2)过曲线内部的点以及曲线的对称中心作的切线，有且仅有 1 条；记忆方法：记忆：外 3，内 1，线上 2. (3)过 图象（除去对称中心）上的点及过对称中心的切线上的点（除去对称中心）作 切线，有且仅有 2 条； 2．已知切线条数求参数范围的方法 (1)根据所需的实根数，建立条件不等式，即三次方程的两个极值点处的函数值异号； (2)解这个不等式，得到参数的取值范围. 1．已知函数是偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·广东江门·期中）过点的直线与曲线相切，则直线的斜率为（    ） A．1 B．-1 C．3或1 D．3或 3．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知函数，若过点可作曲线的3条不同切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知点不在函数的图象上，且过点仅有一条直线与的图象相切，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·安徽安庆·期末）若函数在点处的切线方程为，则=__． 题型03 利用韦达定理秒解三次函数零点和或积问题 【技巧通法·提分快招】 三次函数中的韦达定理及应用 1．三次函数的韦达定理 设的三个零点分别为，， ，则: ； (2)； (3) ； (4) . 2．利用上述韦达定理可以秒解三次函数零点和、积、倒数和等问题，应用时要注意记准零点关系式与三次函数系数间的关系. 1．已知恰有3个零点，则 ( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 2．（多选）（25-26高二下·云南玉溪·期末）已知在上是增函数，在上是减函数，且方程有三个实数根，，2，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（多选）已知函数的导函数为，且满足，，，若函数有个零点、、，则下列说法正确的是（     ） A．实数的取值范围是 B．的取值范围是 C．的最大值是 D．若在上的值域为，则的最大值为 4．已知恰有3个零点，则 5．设一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)的三个根分别为x1，x2，x3.求证：x1+x2+x3=-，x1x2+x2x3+x3x1=，x1x2x3=-. 题型04 三次函数的单调性 【技巧通法·提分快招】 三次函数单调性应用策略 1.三次函数的单调性与其导函数（二次函数）的根的判别式有关，具体情况详见知识点2. 2.处理三次函数的单调性问题，通常转化为其导函数（二次函数）的符号问题，利用二次函数的图象与性质（如判别式、对称轴等）进行求解. 1．（25-26高二下·广东潮州·期末）若函数的单调递减区间为，则等于（     ） A． B． C． D． 2．（2026·四川泸州·一模）若函数在单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数在上单调递增的必要不充分条件为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·广东广州·期末）若对于任意的实数，函数在上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（26-27高三上·安徽蚌埠·开学考试）已知函数. (1)若曲线在点处的切线与直线平行，求实数的值； (2)讨论函数的单调性. 题型05 三次函数的极值或最值问题 【技巧通法·提分快招】 三次函数的极值或最值问题求解策略 1.三次函数的极值与其导函数（二次函数）的根的判别式有关，具体情况详见知识点2. 2.若三次函数的定义域为R，则此三次函数无最值，若三次函数的定义域为区间[a,b]，则它的最值在区间端点或极值点处取得. 3. 结合韦达定理处理极值点问题时，注意极值点是导函数的零点，利用根与系数的关系简化运算. 1．函数在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数在处有极值44，则（    ） A．-6或10 B．-6 C．6 D．10 3．（多选）（25-26高二下·湖北随州·期末）设函数，则（    ） A．有两个极值点 B．当时，关于对称 C．当时，在上单调递减 D．当时， 4．（2026·贵州贵阳·模拟预测）函数在区间上的最大值是________. 5．（25-26高二下·云南文山·阶段检测）若函数，在时取得极大值，则实数的值为__________． 6．（25-26高二下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若存在极小值，且极小值小于零，求实数的取值范围. 题型06 三次函数的对称性 【技巧通法·提分快招】 三次函数对称性的应用 1. 三次函数 的图象关于点 对称，并且 在 处取得最小值，其图象关于直线 对称. 2．三次函数的对称中心横坐标是其二阶导数的零点，利用对称性可以快速求出对称点函数值之和. 对于小题，可用上述结论直接秒杀！ 1．函数图象的对称中心为（   ） A． B． C． D． 2．已知一元三次函数对称中心的横坐标为其二阶导函数的零点．若，则（    ） A．0 B．4 C． D． 3.（25-26高二上·陕西西安·期末）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数图象都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则（    ） A．2024 B．2025 C．1012 D．1013 4.（多选）已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．的极大值为0 C．的图象是轴对称图形 D．的图象关于点对称 5．设函数是的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数的图像都有对称中心，其中满足.已知三次函数，若，则 . 题型07 三次函数的零点问题 【技巧通法·提分快招】 三次函数函数零点问题求解策略 1．三次函数的零点情况详见知识点3. 2．三次方程实根个数问题，转化为三次函数的零点个数问题，通过极大值与极小值的乘积符号来判断. 3．根据零点个数求参数，通常先求导确定函数的单调区间和极值点，再结合极值与0的大小关系列出不等式求解. 1．（2025·云南红河·三模）函数的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知函数，则（    ） A．函数有3个零点 B．曲线存在一条对称轴 C．函数有3个极值点 D．曲线的对称中心在x轴上 3.（2025·河南·二模）若函数在区间内仅有一个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4.（多选）（2026·江西·5月预测）设关于实数的方程为，则下列结论正确的是（ 　　） A. 若方程只有一个实数根，则 B. 若方程有两个实数根，则 C. 若方程有三个实数根，则 D. 若方程有三个实数根，则 5.（2026·河南周口·三模）若函数有且仅有2个零点，则______. 6．（2025·湖南·二模）已知函数有三个不同的零点. (1)若，求的取值范围； (2)若，且对任意都有恒成立，求实数的取值范围； (3)若，比较的极大值与的大小. 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．（26-27高三上·福建莆田·开学考试）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数，则在上零点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（26-27高三上·山东日照·开学考试）若函数的单调递减区间为，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·广东韶关·期中）若曲线在点处的切线与曲线相切，则正数（    ） A． B．1 C．2 D．3 5．（26-27高三上·湖南长沙·开学考试）已知函数 在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 6.（2026·河南南阳·二模）若是函数的极值点，则（    ） A． B． C． D． 7.（2026·江西·3月一模）已知函数，若函数为偶函数，则（ 　　） A. ，B. ， C. ，D. ， 8．已知函数，则函数的图像对称中心是（    ） A． B． C． D． 9.已知函数的图象关于点对称，则（    ） A． B．1 C． D．2 10．（25-26高三上·福建宁德·阶段检测）已知三次函数的图象如图，则不正确的是（   ） A． B． C．的解集为 D．若，则 11．(多选)（25-26高二下·内蒙古赤峰·期末）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．当时，函数的极大值点为 B．当时，函数在上的值域为 C．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 D．存在实数使函数的图象是轴对称图形 12．（多选）（2026·四川广安·模拟预测）已知函数，是其导函数，则（    ） A． B．的单调递减区间为 13．(多选)（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．有两个极值点 B．对于，在上无零点 C．对于，在上无零点 D．对于，在上有且只有一个零点 14．（25-26高二下·黑龙江黑河·期末）函数的极大值点与极小值点分别为________，________． 15．（26-27高三上·福建泉州·开学考试）已知函数存在极值点，则实数的取值范围为_________． 16．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数的图像与直线有3个不同的交点，则c的取值范围为_____________． 17．（2026高三下·全国·专题练习）已知函数，若函数在区间上存在唯一的极值点，则实数a的取值范围是______． 18．（26-27高三·全国·一轮复习）设函数在区间上有最大值23，最小值3，则a=_______，b=________． 19.(2026·浙江·二模）若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是_________. 20．（26-27高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知函数   在 处取得极值. (1)求函数 的解析式; (2)求函数 的单调区间及极值. 21．（25-26高二下·四川资阳·期中）已知三次函数的极大值是，其导函数的图象经过点，如图所示，求 (1)，，的值； (2)若函数有三个零点，求的取值范围． 22．（25-26高二下·河南郑州·期末）已知函数，函数图象在点处的切线方程为，且当时，函数取得极值． (1)求函数的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围． 创新能力提升 1．（25-26高二下·甘肃·期中）已知两函数，的图象有公共点，且在一个公共点处的切线重合，则（    ） A．0 B．1 C．0或 D．0或1 2．（26-27高三上·湖南长沙·开学考试）三次函数，在处的切线与函数的图象的交点个数为（    ） A．1个 B．3个 C．1个或者2个 D．2个 3．已知函数，若至少存在两个实数，使得，，成等差数列，则过坐标原点作曲线的切线可以作（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 4．（2025·山西·二模）设函数，对任意，.若对任意，都有，则的极小值为（    ） A． B． C． D．0 5．已知函数有两个极值点，若，则关于的方程的不同实根个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．(多选)（26-27高三上·云南·阶段检测）已知函数，则（    ） A．是的极小值点 B．有三个不同零点 C．的对称中心是 D．若过点存在3条直线与曲线相切，则实数 7．(多选)（25-26高三上·陕西西安·阶段检测）设函数，则（    ） A．有两个零点 B．过点仅可以作一条直线与的图象相切 C．当时， D．若在区间上有最大值，则m的取值范围为 8．(多选)（26-27高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知函数，则（   ） A．若时取得极大值，则 B．若，则当时， C．若在上不单调，则 D．若，设 ，则， 9．（24-25高三下·山东·月考）设函数，其中，若，求的最小值 ． 10．（2025·河北秦皇岛·二模）已知函数有三个极值点，且，则实数的取值范围是 ． 11．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数． (1)求极值点的个数，并解不等式； (2)求证：若，则 12（2026·江苏苏州·期中）已知函数． (1)求的极值； (2)若对任意，都有恒成立，求实数的最小值； (3)若过点的直线与曲线相切，求的方程． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优02三次函数的图象与性质及其应用 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 4 题型01 三次函数图象的识别（★★★★） 4 题型02 三次函数的切线问题（★★★★） 7 题型03 利用韦达定理秒解三次函数零点和或积问题（★★★★★） 10 题型04 三次函数的单调性（★★★） 13 题型05 三次函数的极值或最值问题（★★★） 16 题型06 三次函数的对称性（★★★★） 19 题型07 三次函数的零点问题（★★★★★） 21 03 实战检测·分层突破验成效 26 重难知识巩固 26 创新能力提升 37 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 三次函数的概念 形如的函数，称为“三次函数”. 【说明】(1)三次函数是整式函数，因此x不能出现在分母中,但各项的系数可以为分数. (2)三次函数的最高次项为x的三次项，且该项的系数不为0，二次项、一次项及常数项的系数可以有部分为0，也可全为0. 知识点02 三次函数的图象与基本性质 1. 三次函数的基本性质 (1)定义域为. (2)值域为，函数在整个定义域上没有最大值、最小值. (3)奇偶性：①f(x)不可能为偶函数；②当且仅当b=d=0时是奇函数. (4)三次函数要么无极值点，要么有两个，不可能只有一个. (5)对称性:三次函数的图象是中心对称曲线，且对称中心是. 【证明】设函数的图象的对称中心为，按向量将函数的图像平移，则所得图像对应的函数是奇函数，所以，化简得，该式对恒成立，故，得，所以函数的图象的对称中心是. 3．三次函数的图象和单调性、极值 的 图象 的 图象 的单调性、极值 增区间为， 减区间为， 有两个极值点，极大值为，极小值为 恒成立，在R上单调递增，无极值点 增区间为， 减区间为， 有两个极值点， 极大值为， 极小值为 恒成立，在R上单调递减，无极值点 4．三次函数图象的对称中心与导数的关系 (1)可以证明三次函数的二阶导函数的零点是三次函数图象对称中心的横坐标，即： 若，则图象的对称中心是点. (2)若图象关于点对称，则图象关于直线 对称 中心对称函数的导数是轴对称函数，轴对称函数的导数是中心对称函数.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数，此规律对其他函数也成立. 知识点03 三次方程的实根个数 设三次函数，其导函数为二次函数：，判别式为：，设的两根为，结合函数草图易得： ① 若，则恰有一个实根. ② 若，且，则恰有一个实根. ③ 若，且，则有两个不相等的实根. ④ 若，且，则有三个不相等的实根. 【说明】(1) 含有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次，即在上为单调函数（或两极值同号），所以（或，且）. ·(2) 有两个相异实根的充要条件是曲线与轴有两个公共点且其中之一为切点，所以，且. (3) 有三个不相等的实根的充要条件是曲线与轴有三个公共点，即有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以且. 知识点04 三次函数的其他拓展性质(拓展) 1．三次函数的韦达定理 设的三个零点分别为，， ，则: ； (2)； (3) ； (4) . 2. 三次函数f(x)的四段论法则 f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)且导函数Δ>0 f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a<0)且导函数Δ>0 (1)对称中心：； (2)极大值到对称中心距离为Δx，极小值到对称中心距离为Δx，极小值等值点到极大值距离为Δx，极大值等值点到极小值距离为Δx. 设 的极大值为 ，当 的两根为 ， 时，区间 被中心 和极小值点三等分，类似的，对极小值 也有此结论. 3．三次函数的其它二级结论： (1) 其导函数为二次函数，图象的对称轴为 ，所以对称中心的横坐标也就是导函数的对称轴，可见 图象的对称中心在导函数 的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点； (2) 是可导函数，若 的图象关于点 对称，则 图象关于直线 对称. (3)若 图象关于直线 对称，则 图象关于点 对称. (4)若可导函数 的三阶导数 ，函数有极大值或极小值时，极小值右偏，极大值左偏；若可导函数 的三阶导数 ，函数有极大值或极小值时，极小值左偏，极大值右偏； (5)若可导函数 的三阶导数 ，函数有极大值或极小值时，极小值右偏，极大值左偏； 若可导函数 的三阶导数 ，函数有极大值或极小值时，极小值左偏，极大值右偏. 题型精研·技巧通法提能力 题型01 三次函数图象的识别 【技巧通法·提分快招】 三次函数图象的识别技巧 1.图象特征：为连续无断点的平滑“N”型或反“N”型曲线，最多存在2个极值点、1个拐点，无渐近线. 2.定义域与值域：二者均为全体实数，无取值边界限制. 3.单调性：要么全程单调，要么呈“增-减-增”或“减-增-减”的三段变化. 4.对称性与奇偶性：无轴对称性，仅当二次项、常数项系数均为0时为奇函数，图象关于原点中心对称. 5.函数与导函数图象间的关系：若原函数为奇函数时，其导函数必为偶函数，即原函数图象关于中心对称，则导函数图象关于y轴对称. 1．关于三次函数的图象，下列叙述中正确的是（    ）． A．仅有一个对称中心 B．仅有一条对称轴 C．仅有一个对称中心 D．没有对称轴，但对称中心不止一个 【答案】C 【分析】由三次函数性质即可判断. 【详解】，其图象的对称轴为直线，代入，得， 易知原函数图象的对称中心为，无对称轴． 故选：C. 2．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析的符号以及该函数的零点，结合排除法可得合适的选项. 【详解】因为，则，得， 所以排除BD． 由，可得或，排除A. 3．（25-26高二下·广西桂林·期中）已知三次函数的图象如图所示，则（    ） A．5 B．－5 C．2 D．－2 【答案】D 【分析】求导结合图象可得为极值点，进而列式得出的关系，再代入化简求解即可 【详解】求导得：， 结合图像可得为导函数的零点，即， 则，变形得， 所以． 故选：D． 4.（2026·云南楚雄·一模）若，则函数的图象可能是（    ） A．B．  C．  D．   【答案】B 【详解】对比各个选项可知， 由三次函数图象与性质可得，（）是函数的零点， 令， 可知（）且，都是函数的极值点，由此可以排除A，C； 若，则函数的图象形状为增减增， 在单调递增，在单调递减，在单调递增，可知B符合； 若，则函数的图象形状为减增减， 在单调递减，在单调递增，在单调递减，可知D不符合． 故选B. 5．（2026·湖北黄冈·三模）已知函数，若函数的图象如图所示，则一定有（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∴,   因为从左到右先增后减再增， 所以二次函数的图象开口向上， ， 因为的极值点都为正， 所以有两个不同的正根， 所以则，且则.故选：B 题型02 三次函数的切线问题 【技巧通法·提分快招】 三次函数切线问题全攻略 1．过某点的三次函数图象的切线问题 研究过点 可以作出三次函数 图象的几条切线，本质上是研究方程根的个数，可以设切点为 ，则切线方程为 ，将点 的坐标代入切线方程可得 ，这一关于 的方程有几个实数解，过点 就可以作出函数 图象的几条切线，这一问题的结论如下图所示： (1)过曲线外部的点作的切线，有且仅有3条； (2)过曲线内部的点以及曲线的对称中心作的切线，有且仅有 1 条；记忆方法：记忆：外 3，内 1，线上 2. (3)过 图象（除去对称中心）上的点及过对称中心的切线上的点（除去对称中心）作 切线，有且仅有 2 条； 2．已知切线条数求参数范围的方法 (1)根据所需的实根数，建立条件不等式，即三次方程的两个极值点处的函数值异号； (2)解这个不等式，得到参数的取值范围. 1．已知函数是偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，，又由是偶函数，， 令，则，根据是偶函数，，得到时，， 所以，时，，， 故曲线在处的切线方程为，即. 2．（25-26高二下·广东江门·期中）过点的直线与曲线相切，则直线的斜率为（    ） A．1 B．-1 C．3或1 D．3或 【答案】D 【分析】分切点在处与不在处，利用导数的几何意义求解． 【详解】解：因为，所以，， 当为切点时，； 当不为切点时，设切点为，， 所以， 所以切线方程为， 又切线过点， 所以， 即，即， 解得或（舍去），所以切点为， 所以． 综上所述，直线l的斜率为3或． 3．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知函数，若过点可作曲线的3条不同切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的导数并设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，再构造函数并利用导数求出极值，结合三次函数的特征求出范围. 【详解】函数，设切点坐标为，求导得， 则切线方程为，由切线过点， 得，化简得， “过点可作曲线的3条不同切线”等价于“关于的方程有3个不同的实根”， 即函数的图象与直线有3个不同的交点， 求导得，当或时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，， 所以当时，直线与函数的图象有3个交点，对应3条不同的切线． 4．已知点不在函数的图象上，且过点仅有一条直线与的图象相切，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】点不在函数的图象上，则，即， 设过点的直线与的图象相切于， 则切线的斜率，整理可得， 则问题可转化为只有一个零点，且， 令，可得或， 当时，，则单调递增，当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 即当时，有极大值，当时，有极小值，要使仅有一个零点， 或 5．（25-26高二下·安徽安庆·期末）若函数在点处的切线方程为，则=__． 【答案】 【分析】先对函数求导，求解出在点，处的切线方程,再根据切线方程为，求出，最后再求出. 【详解】， 对函数求导得 ，， 又函数在点处的切线方程为， 所以，解得，故. 题型03 利用韦达定理秒解三次函数零点和或积问题 【技巧通法·提分快招】 三次函数中的韦达定理及应用 1．三次函数的韦达定理 设的三个零点分别为，， ，则: ； (2)； (3) ； (4) . 2．利用上述韦达定理可以秒解三次函数零点和、积、倒数和等问题，应用时要注意记准零点关系式与三次函数系数间的关系. 1．已知恰有3个零点，则 ( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 【答案】C 【详解】本题可用韦达定理秒杀：c=-1，d=1，所以. 2．（多选）（25-26高二下·云南玉溪·期末）已知在上是增函数，在上是减函数，且方程有三个实数根，，2，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】，， 因为在上是增函数，在上是减函数， 故0为的极大值点，所以，所以，故A正确； 此时，则，依题意可得， 即，故，令，解得或， 因为在上是增函数，在上是减函数，是函数的极小值点， 所以，解得，故B正确； ，故C错误； ，所以，，故D正确． 3．（多选）已知函数的导函数为，且满足，，，若函数有个零点、、，则下列说法正确的是（     ） A．实数的取值范围是 B．的取值范围是 C．的最大值是 D．若在上的值域为，则的最大值为 【答案】AC 【分析】利用导数研究函数的单调性与极值，并作出函数的图像，从而得到的范围，可判断A选项；由可得出，结合A选项可判断B选项；通过利用、、的关系消元得到，利用的范围求最大值可判断C；的单调性及极值点结合函数的图像求得的最大值可判断D. 【详解】因为，则， 由题意可得，解得，所以， 对于A选项，，由可得或，列表如下： 递增 极大值 递减 极小值 递增 由题意可知，直线与函数的图象有三个交点，如下图所示： 由图可知，实数的取值范围是，故A正确； 对于B选项，由题意可知， 即， 所以，故B错误； (对于B选项，可用韦达定理秒杀：，故a=1，d=2-m， 所以） 对于C选项，， 因为，所以， 由图可知，所以当时，，故C正确； 对于D，因为在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且，， 所以时，；时，， 所以由在上的值域为，得，所以， 当，时，取到最大值，故D错误. 4．已知恰有3个零点，则 【答案】2 【详解】本题可用韦达定理秒杀：a=1，b=-2，所以. 5．设一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)的三个根分别为x1，x2，x3.求证：x1+x2+x3=-，x1x2+x2x3+x3x1=，x1x2x3=-. 【证明】由题意知ax3+bx2+cx+d=a(x-x1)(x-x2)(x-x3) =ax3-a(x1+x2+x3)x2+a(x1x2+x2x3+x3x1)x-ax1x2x3. 比较系数可得x1+x2+x3=-，x1x2+x2x3+x3x1=，x1x2x3=-. 题型04 三次函数的单调性 【技巧通法·提分快招】 三次函数单调性应用策略 1.三次函数的单调性与其导函数（二次函数）的根的判别式有关，具体情况详见知识点2. 2.处理三次函数的单调性问题，通常转化为其导函数（二次函数）的符号问题，利用二次函数的图象与性质（如判别式、对称轴等）进行求解. 1．（25-26高二下·广东潮州·期末）若函数的单调递减区间为，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵ 函数的定义域为，对其求导得. ∵ 函数的单调递减区间为，∴ 不等式的解集为， 即和是方程的两个根， 由韦达定理得，解得. ∴ . 2．（2026·四川泸州·一模）若函数在单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数，求导得， 当时，，在R上单调递增，不合题意； 令，解得或， 若函数在单调递减，则在恒成立， 当时，，， 当时，，， 的取值范围为，故选C． 3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数在上单调递增的必要不充分条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数在上单调递增，得在上恒成立， 则，解得， 因此A是充分条件，B是充要条件，C是既不充分也不必要条件，D是必要不充分条件. 故选：D 4．（25-26高二下·广东广州·期末）若对于任意的实数，函数在上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对含参函数求导，增函数条件转化为导函数恒非负，分离参数后先对配方求最小值，再对求最值，得到参数范围. 【详解】函数在上为增函数，等价于对任意，都有恒成立. 对求导得，因此条件转化为对任意恒成立. 由于为开口向上的二次函数，最小值在顶点处取得， 代入得， 因此， 问题转化为对任意恒成立. 设，求导得，令得. 时，，递减；时，，递增. 因此，则. 因此，即的取值范围是. 5．（26-27高三上·安徽蚌埠·开学考试）已知函数. (1)若曲线在点处的切线与直线平行，求实数的值； (2)讨论函数的单调性. 【分析】（1）应用导数的几何意义及已知平行关系即可求出； （2）求出函数的定义域以及导数，在定义域下，讨论大于0、等于0、小于0情况下导数的正负，即可得到函数的单调性． 【详解】（1）求导得，因为曲线在点处的切线与直线平行，所以曲线在点处的切线斜率为2. 所以解得. （2）令，解得或，当时，恒成立，所以函数在上单调递增； 当时，，当变化时，，的变化情况如下， 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 当时，，当变化时，，的变化情况如下， 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 综上所述： 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减. 题型05 三次函数的极值或最值问题 【技巧通法·提分快招】 三次函数的极值或最值问题求解策略 1.三次函数的极值与其导函数（二次函数）的根的判别式有关，具体情况详见知识点2. 2.若三次函数的定义域为R，则此三次函数无最值，若三次函数的定义域为区间[a,b]，则它的最值在区间端点或极值点处取得. 3. 结合韦达定理处理极值点问题时，注意极值点是导函数的零点，利用根与系数的关系简化运算. 1．函数在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，则， 则得或；得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 因，则当在内存在最小值时，有得， 则实数的取值范围是.故选：C. 2．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数在处有极值44，则（    ） A．-6或10 B．-6 C．6 D．10 【答案】D 【解析】对函数求导可得，， 由题意可得，， ∴， ∴，即得，所以或， 当时，，所以， 所以单调递减，单调递增， 在处有极小值，符合题意； 当时，，所以， 所以单调递增，无极值，不符合题意，舍去 ∴ 3．（多选）（25-26高二下·湖北随州·期末）设函数，则（    ） A．有两个极值点 B．当时，关于对称 C．当时，在上单调递减 D．当时， 【答案】BD 【详解】因为，则 对于A：若有两个极值点，则必须有两个不相等的根，即， 而，即当时，，此时函数没有极值点，故A错误； 对于B：当时，， 因为， 所以关于对称，故B正确； 对于C：因为， 由，得，，当时，， 因为是开口向上的二次函数， 当时，，所以单调递减， 当时，，所以单调递增. 所以当，即时，，所以在上单调递减； 当，即时，在单调递减，在上单调递增； 故C错误； 对于D：当时，， 所以当时，，单调递增； 4．（2026·贵州贵阳·模拟预测）函数在区间上的最大值是________. 【答案】2 【解析】函数，定义域为R， ，在区间上， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 又，，所以函数在区间上的最大值是2. 5．（25-26高二下·云南文山·阶段检测）若函数，在时取得极大值，则实数的值为__________． 【答案】 【详解】已知函数，则， 由于在处取得极大值，则，即，解得或， 当时，，则对任意的，都有，此时不存在极值点，不符合题意，舍去； 当时，，令，解得或， 当时，，函数在单调递增； 当时，，函数在单调递减， 此时在处取得极大值，符合题意， 综上所述，实数的值为. 6．（25-26高二下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若存在极小值，且极小值小于零，求实数的取值范围. 【分析】（1）求导后分类讨论求函数的单调区间； （2）根据函数的单调性讨论函数的极小值，建立不等式求解即可. 【详解】（1）定义域为，， 当时，或，， 单调增区间为，，单调减区间为； 当时，，在上是增函数； 当时，或；， ∴的单调增区间为，，单调减区间为. 综上，时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知时，的极小值为， 令，即，解得； 当时，无极值，不符合题意； 当时，的极小值为，不符合题意，舍去. 综上，实数的取值范围为. 题型06 三次函数的对称性 【技巧通法·提分快招】 三次函数对称性的应用 1. 三次函数 的图象关于点 对称，并且 在 处取得最小值，其图象关于直线 对称. 2．三次函数的对称中心横坐标是其二阶导数的零点，利用对称性可以快速求出对称点函数值之和. 对于小题，可用上述结论直接秒杀！ 1．函数图象的对称中心为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设的对称中心为，则对任意恒成立， 代入解析式，有，即对任意恒成立， 所以，解得，故对称中心为. 秒解：令所以对称中心为. 2．已知一元三次函数对称中心的横坐标为其二阶导函数的零点．若，则（    ） A．0 B．4 C． D． 【答案】B 【详解】二级结论：三次函数对称中心的横坐标是其二阶导数的零点。由题，，故二阶导函数的零点为，即对称中心的横坐标为1， 设对称中心为，则，可解得， 由，故 3.（25-26高二上·陕西西安·期末）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数图象都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则（    ） A．2024 B．2025 C．1012 D．1013 【答案】B 【分析】根据“拐点”的概念可判断函数的对称中心，进而求解. 【详解】，，， 令，解得：， 而，故函数关于点对称， ， ， 故选：B. 4.（多选）已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．的极大值为0 C．的图象是轴对称图形 D．的图象关于点对称 【答案】ABD 【分析】A求导，解不等式、即可；B利用单调性可知；C由时；时，可判断；D计算即可. 【详解】依题意，， 则得或；得， 则在和上单调递增，在上单调递减，故A正确； 而的极大值为，故B正确； 因，结合单调性可知时；时，， 故不是轴对称图形，故C错误；， 则关于点对称，故D正确. 故选：ABD. 5．设函数是的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数的图像都有对称中心，其中满足.已知三次函数，若，则 . 【答案】 【详解】由题意，，，令解得，又，故的对称中心为.故当时，. 题型07 三次函数的零点问题 【技巧通法·提分快招】 三次函数函数零点问题求解策略 1．三次函数的零点情况详见知识点3. 2．三次方程实根个数问题，转化为三次函数的零点个数问题，通过极大值与极小值的乘积符号来判断. 3．根据零点个数求参数，通常先求导确定函数的单调区间和极值点，再结合极值与0的大小关系列出不等式求解. 1．（2025·云南红河·三模）函数的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用导数研究函数的单调性，进而得函数的极值，即可得函数的零点个数. 【详解】，， 令，得或；令，得， 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为， 所以函数的极大值为，极小值为， 当时，，当时，， 所以函数的零点个数为2． 故选：C． 2．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知函数，则（    ） A．函数有3个零点 B．曲线存在一条对称轴 C．函数有3个极值点 D．曲线的对称中心在x轴上 【答案】A 【分析】根据导数作出函数图象，数形结合依次判断即可. 【详解】对函数求导可得， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 当时，，当时，，，， 所以函数大致图象如下： 由图象可知，函数有3个零点，2个极值点 ， 图象关于成中心对称，没有对称轴，故A正确，BCD错误. 3.（2025·河南·二模）若函数在区间内仅有一个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】法1：因为， 令，解得或； 令，解得， 所以在上单调递增， 要满足函数在区间内仅有一个零点， 则，，解得，故选：C. 法2：由题意，关于的方程在内仅有一个解， 而，， 令，解得或；即在上单调递增， 原问题等价于.故选：C 4.（多选）（2026·江西·5月预测）设关于实数的方程为，则下列结论正确的是（ 　　） A. 若方程只有一个实数根，则 B. 若方程有两个实数根，则 C. 若方程有三个实数根，则 D. 若方程有三个实数根，则 【答案】ABC 【详解】令，则.若，则，则在上单调递增，因为时，时，则在上只有一个零点，此时满足；若，则当或时，单调递增，当时，单调递减.，.若方程只有一个实数根，则或，得或，满足，故A正确；若方程有两个实数根，则或，得或，满足，故B正确；若方程有三个实数根，则且，即且，因为，所以，则满足上述不等式，且；若，则成立，由得；若，则成立，由得，故C正确，D错误.故选ABC. 5.（2026·河南周口·三模）若函数有且仅有2个零点，则______. 【案】3 【解析】因为，则，可知0不为的零点， 令，且，可得， 令，，可知与有且仅有2个交点， 因为， 当时，，可知在内单调递增， 且当趋近于时，趋近于，当趋近于0时，趋近于； 当时，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增，则， 当趋近于0或时，趋近于； 综上所述：可得的图象，如图所示： 若与有且仅有2个交点，则. 6．（2025·湖南·二模）已知函数有三个不同的零点. (1)若，求的取值范围； (2)若，且对任意都有恒成立，求实数的取值范围； (3)若，比较的极大值与的大小. 【答案】(1) (2) (3)极大值大于 【分析】（1）由极大值大于0，极小值小于0可得答案； （2）由题可得是方程的两个根，则由韦达定理结合题意可得：，随后分类讨论与大小关系可得答案； （3）设的两个不等根为，由题可得的极大值为，然后由，可用表示，可得，最后利用导数知识可比较大小. 【详解】（1）时，，， 知时，时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故的极大值是的极小值是， 由有三个零点知有解得. （2）由知，所以， 所以是方程的两个根， 即有，得， 所以，由，得， ①时，， 则此时不成立； ②时，， 所以只需，即，解得. 综上可知. （3）当时，， 由有三个零点知有两个不相等的解，记为（设）， 所以有，得（舍去）， 由求根公式知， 在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为， 由，得，得， 代入得， 由及知， 考虑函数， ，所以在上单调递减， 所以，所以，所以的极大值大于. 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．（26-27高三上·福建莆田·开学考试）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导数的几何意义，结合基本初等函数的导数及直线的点斜式方程求解即可. 【详解】求导得，所以曲线在点处的切线的斜率为. 所以曲线在点处的切线为，即. 2．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数，则在上零点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】令，求导，得到函数单调性，结合特殊点函数值和零点存在性定理可得答案. 【详解】令，，， 令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 其中，，． ∴，． ∴在内有一个零点，在内有一个零点． ∴在内有两个零点． 3．（26-27高三上·山东日照·开学考试）若函数的单调递减区间为，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对函数求导，根据单调递减区间对应导数小于等于0的解集，可知区间端点是导数等于0的根，代入求解即可得到的值. 【详解】 对求导，得. 已知的单调递减区间为，因此方程的两个实根为. 将代入，得，解得. 当时，，当时，，即恒成立，符合题意. 4．（25-26高二下·广东韶关·期中）若曲线在点处的切线与曲线相切，则正数（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】设，则，则. 所以曲线在点处的切线方程为，即． 由得，则，解得（舍去）或． 5．（26-27高三上·湖南长沙·开学考试）已知函数 在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【详解】， 令，解得或， 所以在上单调递增， 又函数 在区间上单调递增， 所以或，解得或， 所以的取值范围是或. 6.（2026·河南南阳·二模）若是函数的极值点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得， 因为为极值点，所以， 即，解得， 所以，此时是函数的极小值点，符合题意， 因此. 7.（2026·江西·3月一模）已知函数，若函数为偶函数，则（ 　　） A. ，B. ， C. ，D. ， 【答案】B 【详解】，，，，对称中心为为偶函数，则为奇函数，对称中心为向右平移，向上平移，对称中心变为.所以，，解得，. 8．已知函数，则函数的图像对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】任意取函数上的一点，逐项写出其中心对称点，代入函数检验，可得答案. 【详解】任意取函数上一点，则， 对于A，点关于点成中心对成的点为点， ，故A错误； 对于B，点关于点成中心对成的点为点， ，故B错误； 对于C，点关于点成中心对成的点为点， ，故C正确； 对于D，点关于点成中心对成的点为点， ，故D错误. 故选：C. 9.已知函数的图象关于点对称，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】图象关于点对称，， 又， ， ，解得：，. 秒解：三次函数图象的对称中心横坐标是其二阶导函数的零点，由此结论秒解.令,再由. 10．（25-26高三上·福建宁德·阶段检测）已知三次函数的图象如图，则不正确的是（   ） A． B． C．的解集为 D．若，则 【答案】D 【分析】由图象初步确定三次函数的解析式，然后根据解析式分析函数的性质逐项判断即可. 【详解】因为函数为三次函数，可设，. 由图可知：；. 所以设，. 所以，由，. 所以，， 又当时，. 对A: ,，因为，所以，故A正确； 对B：因为，而， 所以成立，故B正确； 对C：， 因为，所以或， 所以：不等式的解集为，故C正确； 对D：因为， 由， 所以，所以，所以，即.故D错误. 故选：D. 11．(多选)（25-26高二下·内蒙古赤峰·期末）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．当时，函数的极大值点为 B．当时，函数在上的值域为 C．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 D．存在实数使函数的图象是轴对称图形 【答案】BD 【详解】对于A，当时，，可得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以当时，取得极大值，即函数的极大值点为，所以A错误； 对于B，由选项A得，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又由， 所以函数在上的值域为，所以B正确； 对于C，由函数，可得， 若函数在上单调递增，可得在上恒成立， 则满足，解得，即实数的取值范围是，所以C错误； 当时，可得，则， 因为，所以函数为偶函数，图象关于轴对称， 所以存在实数使函数的图象是轴对称图形，所以D正确. 12．（多选）（2026·四川广安·模拟预测）已知函数，是其导函数，则（    ） A． B．的单调递减区间为 C．是的极小值点 D．的图象的对称中心为 【答案】ABD 【详解】，故A正确； 当或时，；当时，， 故的单调递减区间为，故B正确； 由符号变化可得是的极大值点，故C错误； 又 ， 故的图象的对称中心为，故D正确. 13．(多选)（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．有两个极值点 B．对于，在上无零点 C．对于，在上无零点 D．对于，在上有且只有一个零点 【答案】CD 【分析】本题通过求导分析函数的单调性、极值，结合零点存在性定理判断各选项正误. 【详解】，且，时，时； 选项A：当时，，在上单调递增，无极值点，A错误; 选项B：当时，的零点为和，在上单调递增，在上单调递减，极大值，取时，，结合、，可知上有两个零点，B错误； 选项C：当时，，当，，在上单调递增，且，所以当时,故在上无零点，C正确； 选项D：当时，，在上单调递增，且，时，所以在上有且只有一个零点； 当时，在上单调递增，且，时，所以在上有且只有一个零点； 当时，在上单调递减，在上单调递增，且，则，又时， 所以在上没有零点，在上有且只有一个零点,即在上有且只有一个零点； 综上，对于，在上有且只有一个零点，D正确. 14．（25-26高二下·黑龙江黑河·期末）函数的极大值点与极小值点分别为________，________． 【答案】 【详解】函数的定义域为， 令，得或. 当时，，函数在区间单调递增； 当时，，函数在区间单调递减； 当时，，函数在区间单调递增. 15．（26-27高三上·福建泉州·开学考试）已知函数存在极值点，则实数的取值范围为_________． 【答案】 【详解】因为函数存在极值点， 所以有两个不相等的实数根，故. 所以函数的极大值点与极小值点分别为. 16．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数的图像与直线有3个不同的交点，则c的取值范围为_____________． 【答案】 【分析】先求导确定三次函数单调区间与极大、极小值，再利用水平线与函数图像有三个交点的数形关系，得到介于极小值与极大值之间，求出取值范围 【详解】 令，得或 令，得 在上单调递增，在上单调递减，在单调递增， 在处取得极大值，在处取得极小值， 要使的图象与有三个不同的交点，则， c的取值范围为. 17．（2026高三下·全国·专题练习）已知函数，若函数在区间上存在唯一的极值点，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【分析】极值点对应导函数变号零点，导函数在区间单调，利用端点函数值异号建立不等式求解参数范围.需要注意的是，端点不能是极值点. 【详解】，则， 由函数在区间上存在唯一的极值点， 得 在区间上存在唯一变号零点， 由二次函数性质得，即，解得， 所以实数a的取值范围是 . 18．（26-27高三·全国·一轮复习）设函数在区间上有最大值23，最小值3，则a=_______，b=________． 【答案】 1 7 【详解】因为，所以， 令，则或. 由于，，当时，；当时，. 故在处，取得最小值3. 所以或者， 所以，或者，. 若，，则， 而，不合题意，舍去； 若，，则， 而， 故，. 19.(2026·浙江·二模）若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】∵，∴. 令，解得或. 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 故是的极小值点，极小值为. 令，即，整理得， 因式分解得，解得或. ∵ 函数在开区间上存在最小值，且， 开区间端点处的函数值无法取到，且时； 所以的最小值仅在处可取到， ∴ 极小值点必须落在区间内，即，得； 综上，实数的取值范围是. 20．（26-27高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知函数   在 处取得极值. (1)求函数 的解析式; (2)求函数 的单调区间及极值. 【分析】（1）由题设可得，据此可得答案； （2）由（1）中验证过程可得单调区间与极值. 【详解】（1）. 由在处取极值可得， 则此时. ，， 得在上单调递增，在上单调递减，即符合题意； （2）由（1）分析可得：在上单调递增，在上单调递减，极大值为，极小值为. 21．（25-26高二下·四川资阳·期中）已知三次函数的极大值是，其导函数的图象经过点，如图所示，求 (1)，，的值； (2)若函数有三个零点，求的取值范围． 【解析】（1）由导函数的图象可知： 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 所以是函数的极大值点，是函数的极小值点， 于是有， 由， 所以有； （2）由（1）函数的极小值为，极大值为， 而知函数的图象如下图所示 因为函数有三个零点， 所以函数的图象与直线有三个不同的交点， 所以. 22．（25-26高二下·河南郑州·期末）已知函数，函数图象在点处的切线方程为，且当时，函数取得极值． (1)求函数的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围． 【解析】（1）因为，则， ，解得， 即，所以， 当时，；当时，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极小值，符合题意. 综上所述，. （2）由，， 由可得或，故函数的增区间为和. 因为函数在区间上单调递增，所以，解得， 且有或， 所以或，解得或， 故实数的取值范围是. 创新能力提升 1．（25-26高二下·甘肃·期中）已知两函数，的图象有公共点，且在一个公共点处的切线重合，则（    ） A．0 B．1 C．0或 D．0或1 【答案】D 【分析】根据切线重合列方程，求得切点的横坐标，进而求得的值. 【详解】设两函数，的图象公共点的坐标为，则有①. 分别对两函数求导可得及， 由两函数在公共点处的切线重合，可得两函数在处的斜率相等， 即，即，解得或. 将代入①可得；将代入①可得，解得， 所以的值为0或1. 2．（26-27高三上·湖南长沙·开学考试）三次函数，在处的切线与函数的图象的交点个数为（    ） A．1个 B．3个 C．1个或者2个 D．2个 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义写出的切线方程，联立原函数得方程，令左侧为且，进而确定根的个数即可得. 【详解】由题设得， 则在处的切线斜率为， 所以切线方程为， 即， 将切线与曲线联立，消去并整理： ， 即， 令左边关于的三次多项式为，且， 由，则，或，即， 若两个交点重合，则，解得，与矛盾， 综上，切线与函数有两个不同的交点，横坐标分别为、. 3．已知函数，若至少存在两个实数，使得，，成等差数列，则过坐标原点作曲线的切线可以作（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】B 【分析】先由等差数列条件推出函数中心对称，利用三次函数对称中心为二阶导零点求出；再设切点，根据原点与切点连线斜率等于导数建立三次方程，因式分解结合单调性分析切点横坐标的不同实根个数，得到切线条数． 【详解】若至少存在两个实数，使得，，成等差数列， 可得， 即有的图象关于点对称，， 根据，得， 所以的对称轴为，即，解得， 即有，, 设切点为， 可得切线的斜率为，化为， 设，， 当时，， 单调递减； 当或时，，单调递增， 可得在处取得极大值，且为；在处取得极小值，且为， 可知有两解，即过坐标原点作曲线的切线可以作条， 4．（2025·山西·二模）设函数，对任意，.若对任意，都有，则的极小值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】先将代入，化简可得，由三次函数的图象性质及零点存在性定理得，，从而得到，最后利用导数计算极小值即可. 【详解】由可得， ， 由于等式对任意都成立，则项系数必须为0， 即，所以， 令，可得或， 由三次函数图象性质易得为函数的唯一变号零点， 由任意，都有， 可得，时，总有， 所以为函数的变号零点，所以，则， 此时，求导得， 令，得或2，当或时，；当时，. 故为极小值点，极小值. 故选：A. 5．已知函数有两个极值点，若，则关于的方程的不同实根个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先进行求导，利用导数和方程系数相同，得到或，转化为和，图像交点问题， 最后利用题目条件画出的图像即可求解. 【详解】函数有两个极值点，假设，则有两个不等的实数根，，方程的判别式，所以方程有两解，且或，函数的图像 和直线的交点个数即为方程解的个数，函数的图像和直线的交点个数即为方程解的个数. 在上单调递增，在上单调递减，又，画出图象如图所示，的图像和直线的交点个数为2个， 的图像和直线的交点个数为1个，或的根共有3个，即方程的不同实根个数为3. 故选：B. 【点睛】本题关键在于发现导数和方程系数对应相等，得到方程有两解，且或， 再转化成图像交点问题，最后数形结合即可求解. 6．(多选)（26-27高三上·云南·阶段检测）已知函数，则（    ） A．是的极小值点 B．有三个不同零点 C．的对称中心是 D．若过点存在3条直线与曲线相切，则实数 【答案】ACD 【分析】求导分析单调性可判断A；求导分析单调性再求出各极值点后可判断B；求二阶导，令二阶导为零可求对称中心，进而判断C；求解切点处的切线方程，将经过的点代入，利用方程的根即可判断D. 【详解】，，令，解得或， 当或时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 在处取得极大值，在处取得极小值，A正确； 计算，，进而作出图像，故有两个不同零点，B错误 ，，令，解得， ，所以的对称中心是，C正确； 对于D，设切点横坐标为，切点坐标为 过点且与相切的直线的斜率为， 由点斜式，切线方程为， 该切线过点，将代入切线方程得： ， 过点存在3条直线与曲线相切， 故， 化简得有三个解， 令， 令，解得或， 当或时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 且极大值为，极小值为， 所以，D正确. 7．(多选)（25-26高三上·陕西西安·阶段检测）设函数，则（    ） A．有两个零点 B．过点仅可以作一条直线与的图象相切 C．当时， D．若在区间上有最大值，则m的取值范围为 【答案】ACD 【分析】对于A，根据零点的定义判断即可；对于B，根据导数的几何意义求解即可；对于C，根据导数与单调性的关系及不等式的性质判断即可；对于D，根据题意列不等式组求解即可. 【详解】对于A，. 令，即，解得或，所以有两个零点，A正确. 对于B，求导得. 设切点为，则切线斜率， 所以切线方程为， 即. 因为切线过点，则，整理得， 即，解得或，即有两个不同的切点. 所以过点可以作两条直线与的图象相切，B错误. 对于C，求导得. 令，即，解得或. 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 当时，，所以，C正确. 对于D，由选项C知，在处取得极大值. 要使在区间上有最大值，则应在区间内，且. 故，即，所以. 若在区间上有最大值，则m的取值范围为，D正确. 8．(多选)（26-27高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知函数，则（   ） A．若时取得极大值，则 B．若，则当时， C．若在上不单调，则 D．若，设 ，则， 【答案】ACD 【分析】利用导数分析函数的单调性及极值，再逐一判断A、B、C，分析时，在上的单调性及最值，从而得到 ，并判断D. 【详解】函数 的定义域为. . 令，得或. 当，即时，恒成立，所以单调递增. 当，即时， 令，得或；令，得. 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取得极小值，在处取得极大值. 当，即时， 令，得或；令，得. 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取得极大值，在处取得极小值，所以A正确. 对于B，当 时， ，所以. 若 ，则， 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以在上不单调，所以B不正确. 对于C，若 在 上不单调， 则或，解得或，所以.所以C正确. 对于D，若 ，则函数 ， 且在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 设 ， 则当时，在上单调递增，所以，即. 所以； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，即最大值，最大值为. ，所以； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. ， 若，则，即； 若，则，即. 综上所述，. 所以D正确. 9．（24-25高三下·山东·月考）设函数，其中，若，求的最小值 ． 【答案】5 【分析】构建，根据题意分析可知的零点与的零点相同，进而可得，结合基本不等式即可得结果. 【详解】令， 因为的零点为， 可知的零点为，的零点为， 又因为，则，， 若，即，则， 可知的零点与的零点相同， 则，可得， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为5. 10．（2025·河北秦皇岛·二模）已知函数有三个极值点，且，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，结合导数将问题转化为直线与的图象有三个不同交点，利用导数求出的范围，再利用零点的定义及，构造函数，利用导数求出的范围，进而求出所求范围. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 由函数有三个极值点，得有三个不同的零点，显然， 则方程有三个不相等的实根，令，于是直线与的图象有三个不同交点， 求导得，由，得，由得，或， 函数在上单调递增，在上单调递减，， ，又时，恒成立，因此， 而，则，令，则，即， 令，求导得， 令，求导得，函数在上单调递减， ，则，函数在上单调递减，， 而函数在上单调递增，当时，， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 11．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数． (1)求极值点的个数，并解不等式； (2)求证：若，则 【详解】（1）因为， 所以， 令， 因为，两个根为， 当或时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以在处取得极值，所以有两个极值点； 由， 当时，，则； 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 所以的解集为：. （2）由， 设， 则， ， 所以， 所以当时，. 12（2026·江苏苏州·期中）已知函数． (1)求的极值； (2)若对任意，都有恒成立，求实数的最小值； (3)若过点的直线与曲线相切，求的方程． 【详解】（1）由题意得：，令，解得或， 由有：或，由有：， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的极大值为， 的极小值为 （2）由已知有：对任意，都有恒成立， 由（1）有在单调递增，在单调递减， 又， 所以， 所以， 所以实数的最小值为； （3）设切点为， 所以，， 所以切线方程为：， 所以， 又切线过点， 所以， 化简整理有：，即，解得， 所以直线的方程为：， 所以直线的方程为：. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $